基于數(shù)字編碼超材料的大視場(chǎng)前視成像方法

高思哲 馬暉 王國(guó)強(qiáng) 劉宏偉

（西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071）

引 言

基于多通道體制的前視成像雷達(dá)系統(tǒng)，如多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達(dá)、相控陣?yán)走_(dá)等，雖然可以實(shí)現(xiàn)前視成像的功能，但是其系統(tǒng)復(fù)雜、造價(jià)昂貴[1-3].并且如果想要實(shí)現(xiàn)較高的橫向分辨率就相應(yīng)地需要大的陣列孔徑，這就進(jìn)一步導(dǎo)致了系統(tǒng)的復(fù)雜度高.近些年已提出的稀疏孔徑等布陣方式可以提升陣列孔徑，但是稀疏布陣的方式同樣會(huì)導(dǎo)致發(fā)射波束的旁瓣增高等新問(wèn)題，這也為高質(zhì)量成像帶來(lái)了困難.

電磁超表面的出現(xiàn)為解決傳統(tǒng)數(shù)字陣列中存在的問(wèn)題帶來(lái)了一些轉(zhuǎn)機(jī)[4-8].電磁超表面可以看作是三維電磁超材料的二維平面形式，即亞波長(zhǎng)散射體單元在平面內(nèi)沿著x或y方向以一定周期延拓，形成平面且超薄的超材料表面，簡(jiǎn)稱(chēng)“超表面”.然而傳統(tǒng)超表面仍然采用連續(xù)的等效煤質(zhì)參數(shù)描述，因此從電路角度來(lái)看，這類(lèi)超表面與模擬電路類(lèi)似.為了實(shí)現(xiàn)超表面的數(shù)字調(diào)控，東南大學(xué)崔鐵軍教授團(tuán)隊(duì)提出了一種新型的基于數(shù)字表征的編碼超表面[9]，即通過(guò)數(shù)字編碼序列實(shí)現(xiàn)電磁波的調(diào)控，稱(chēng)之為數(shù)字編碼超材料[10].數(shù)字編碼超材料目前主要的應(yīng)用在于信息傳遞方向，其在雷達(dá)系統(tǒng)中的應(yīng)用還并未被研究[11-15].

本文基于數(shù)字編碼超材料可以數(shù)控的特性，設(shè)計(jì)了一種雷達(dá)成像方法，且針對(duì)該成像方法中可能存在的一些問(wèn)題提出了解決方案.首先，基于超表面的數(shù)字編碼調(diào)控特性進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模[16]，得到了有效的數(shù)學(xué)模型[17-18].然后，針對(duì)大視場(chǎng)成像問(wèn)題中網(wǎng)格劃分困難的問(wèn)題，提出了從粗網(wǎng)格到細(xì)網(wǎng)格劃分的遞進(jìn)成像方法.然而，大視角場(chǎng)成像問(wèn)題中，輻射場(chǎng)自由度不足可進(jìn)一步導(dǎo)致精細(xì)化成像的失敗，針對(duì)此本文提出了基于閾值分割的精細(xì)化成像方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)場(chǎng)景的進(jìn)一步成像.最后，為了提升重構(gòu)算法的速度，基于免逆稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(inverse-free sparse Bayesian learning,IF-SBL)算法[17]對(duì)場(chǎng)景進(jìn)行重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)的快速成像.

1 布陣分析&信號(hào)模型

1.1 布陣分析

為了滿(mǎn)足空域奈奎斯特采樣定理，通常最大陣元間隔為半波長(zhǎng).然而這樣就與雷達(dá)孔徑存在矛盾，即想要獲得大的孔徑就需要龐大數(shù)量的天線(xiàn)，導(dǎo)致雷達(dá)系統(tǒng)造價(jià)昂貴.針對(duì)此一種稀疏布陣的方式被提出來(lái)，但是相應(yīng)的這種布陣方式也不滿(mǎn)足奈奎斯特采樣定理，且會(huì)導(dǎo)致空間柵瓣的產(chǎn)生.本文通過(guò)對(duì)半波長(zhǎng)和二倍半波長(zhǎng)的天線(xiàn)方向圖進(jìn)行仿真，證明了這一問(wèn)題.圖1(a)為20×20 半波長(zhǎng)布陣的陣列方向圖，圖1(b)為二倍半波長(zhǎng)布陣的天線(xiàn)方向圖，可以看到大量的柵瓣產(chǎn)生，對(duì)成像造成了較大的困難.而本文中利用的數(shù)字編碼超材料是基于半波長(zhǎng)布陣的方式，并且是基于單通道，從而在一定程度上解決了系統(tǒng)造價(jià)昂貴的問(wèn)題.

圖1 不同陣元間隔下的陣列方向圖Fig.1 Array pattern under different array element spacing

1.2 信號(hào)模型

如圖2 所示，本文所提出的成像方法是基于單通道雷達(dá)系統(tǒng)，即由一個(gè)喇叭天線(xiàn)發(fā)射線(xiàn)性調(diào)頻波(linear frequency modulation,LFM)經(jīng)過(guò)超表面的相位調(diào)制輻射到空間中形成時(shí)空二維輻射場(chǎng)，照射到目標(biāo)后被單接收天線(xiàn)接收，最后通過(guò)關(guān)聯(lián)處理實(shí)現(xiàn)前視成像.利用編碼超材料進(jìn)行雷達(dá)成像，那么超材料本身所存在的相位調(diào)制以及幅度調(diào)制問(wèn)題就需要進(jìn)行明確要求.本文中利用理想情況下的編碼超材料性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)建模，即超材料陣元在開(kāi)、關(guān)兩種情況下的相位偏轉(zhuǎn)分別為0°和180°，并且喇叭天線(xiàn)照射到超材料表面并反射出去時(shí)，對(duì)信號(hào)的幅度并不存在調(diào)制.

圖2 信號(hào)調(diào)制與空間網(wǎng)格劃分Fig.2 Signal modulation and spatial grid division

這里M×M個(gè)陣元的超表面被用來(lái)進(jìn)行成像.首先根據(jù)數(shù)字編碼超表面的相位調(diào)制機(jī)理，可以得到第t次脈沖經(jīng)過(guò)調(diào)制后的信號(hào)形式：

式中：rect(·) 表示矩形函數(shù)；η表示調(diào)頻率.

然后根據(jù)該系統(tǒng)的接收機(jī)理，回波信號(hào)有如下形式：

式中：K表示散射點(diǎn)個(gè)數(shù)；γk表示散射點(diǎn)的后向散射系數(shù)；φt表示第t次的相位調(diào)制向量；a(R(τk))表示第k個(gè)散射點(diǎn)與雷達(dá)間的導(dǎo)向矢量；w表示噪聲矩陣.

假設(shè)一共發(fā)射了T次脈沖，經(jīng)過(guò)脈沖壓縮處理后，其中第u個(gè)距離單元上的回波信號(hào)可以用矩陣表示為

式中，yu∈CT×1.

這里我們定義字典為

式(3)是一個(gè)經(jīng)典的壓縮感知模型，因此可利用常用的壓縮感知算法進(jìn)行求解，如正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法、SBL 算法、L1/L2范數(shù)優(yōu)化等.

2 快速成像方法

利用壓縮感知算法通常需要構(gòu)造關(guān)于場(chǎng)景的字典，而本文所提出的成像場(chǎng)景都是基于大視場(chǎng)場(chǎng)景的應(yīng)用背景，若直接對(duì)成像場(chǎng)景進(jìn)行精細(xì)的網(wǎng)格劃分，必然會(huì)導(dǎo)致在進(jìn)行成像恢復(fù)過(guò)程中帶來(lái)很大的計(jì)算量從而無(wú)法進(jìn)行快速成像.為了解決這一問(wèn)題，本文給出一種從粗網(wǎng)格成像到精細(xì)化成像的方法，從而達(dá)到減少計(jì)算量的效果.

2.1 算法流程

粗網(wǎng)格-細(xì)網(wǎng)格算法的主要思想是首先進(jìn)行成像預(yù)處理，成像平面的網(wǎng)格劃分如圖3 所示；然后利用稀疏重構(gòu)算法進(jìn)行粗成像.

圖3 目標(biāo)場(chǎng)景網(wǎng)格劃分Fig.3 Spatial meshing of the target scene

本文所提的快速成像算法流程如圖4 所示.首先，通過(guò)粗網(wǎng)格劃分實(shí)現(xiàn)粗網(wǎng)格成像得到初步圖像；其次，利用閾值分割方法確定分割閾值；然后，利用局域波形優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)輻射場(chǎng)能量聚焦；最終，利用IF-SBL 的方法實(shí)現(xiàn)精細(xì)化成像.

圖4 大視場(chǎng)成像方法Fig.4 Large FOV imaging method

2.2 閾值分割算法

在面對(duì)大視場(chǎng)凝視成像進(jìn)行粗成像時(shí)，要求波束能量盡可能地覆蓋大視角成像場(chǎng)景，能量的發(fā)散必然導(dǎo)致目標(biāo)回波信噪比的降低或者成像場(chǎng)景中不可避免有一些干擾目標(biāo)，導(dǎo)致在利用稀疏重構(gòu)算法進(jìn)行粗成像過(guò)程中出現(xiàn)一些噪點(diǎn).本文借鑒圖像處理領(lǐng)域中的閾值分割算法對(duì)干擾噪點(diǎn)進(jìn)行去除，閾值分割主要是利用成像場(chǎng)景中目標(biāo)與干擾噪點(diǎn)之間的散射系數(shù)差異，理想狀態(tài)下，干擾噪點(diǎn)與目標(biāo)之間的散射系數(shù)差異很大，且同一個(gè)目標(biāo)的散射系數(shù)基本相同.在上述情況下，尋找一個(gè)閾值，對(duì)成像區(qū)域的干擾噪點(diǎn)進(jìn)行去除，具體過(guò)程如圖4 所示.具體的閾值確定方法有：基于局部散射系數(shù)和其相鄰散射系數(shù)性質(zhì)確定閾值的方法；基于全局散射系數(shù)進(jìn)行分割的方法.

在本文中，使用的閾值分割算法是最大類(lèi)間方差法，借鑒圖像分割中的應(yīng)用原理，通過(guò)閾值將圖形分為兩類(lèi)，使這兩類(lèi)散射系數(shù)均值與全局散射系數(shù)之間的方差和達(dá)到最大.首先，設(shè)定閾值T，將大于T的散射系數(shù)記作C1，均值為m1，概率為p1；小于T的散射系數(shù)記作C2，均值為m2，概率為p2.那么全局均值m可以表示為

類(lèi)間方差為

聯(lián)立方程組可得

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到閾值后，將小于閾值的視為干擾點(diǎn)進(jìn)行去除.為驗(yàn)證閾值分割算法的性能，目標(biāo)位置與之前相同，然后在稀疏重構(gòu)算法的基礎(chǔ)上結(jié)合閾值分割進(jìn)行成像恢復(fù).

2.3 局域波形優(yōu)化方法

根據(jù)2.2 節(jié)中所介紹的方法，我們可以得到目標(biāo)的大致區(qū)域；然后，基于得到的先驗(yàn)信息對(duì)局域輻射場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化，使超材料陣列輻射出的能量集中到目標(biāo)場(chǎng)景局部區(qū)域同時(shí)保持良好的輻射場(chǎng)自由度，如圖5所示；最后，進(jìn)行精細(xì)化成像.

圖5 局域波形優(yōu)化示意圖Fig.5 Schematic diagram of local waveform optimization

關(guān)于輻射自由度的優(yōu)化我們?cè)O(shè)計(jì)了優(yōu)化函數(shù).根據(jù)壓縮感知理論，測(cè)量矩陣D需要滿(mǎn)足較大的自由度，通常使用約束等距性(restricted isometry property,RIP)描述，即便是在有噪聲的情況下，使用某種重構(gòu)算法也能有很高概率將目標(biāo)重構(gòu)出來(lái).本文提到的這種體制雷達(dá)的測(cè)量矩陣，其縱向維度代表了不同時(shí)刻即不同的相位編碼所代表的輻射場(chǎng)，橫向維度代表了成像場(chǎng)景的網(wǎng)格數(shù).但是通常情況下橫向維度會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于縱向維度，因此測(cè)量矩陣是一個(gè)扁矩陣，此時(shí)使用RIP 準(zhǔn)則對(duì)測(cè)量矩陣進(jìn)行優(yōu)化并不合適.故我們采用另一種對(duì)測(cè)量矩陣評(píng)價(jià)的方法，即分析列向量之間的相關(guān)性，小的互相關(guān)特性會(huì)很大概率保證欠定測(cè)量狀況下的有效稀疏重構(gòu).定義列向量的相關(guān)函數(shù)來(lái)描述其相關(guān)特性，有

本文基于上述相關(guān)函數(shù)并利用遺傳算法，對(duì)成像網(wǎng)格間的相關(guān)性進(jìn)行優(yōu)化，最終得到滿(mǎn)足成像要求的字典矩陣，即使得字典矩陣每一列盡可能不相關(guān)，即輻射場(chǎng)在時(shí)間和空間上盡可能不相關(guān).這里我們令字典自相關(guān)矩陣的上三角元素的均值和方差最小，基于這一假設(shè)輻射場(chǎng)優(yōu)化的代價(jià)函數(shù)為

式中：λ1和λ2是可調(diào)參數(shù)，可根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置；Rˉ為字典自相關(guān)矩陣上三角元素的均值；為字典自相關(guān)矩陣上三角元素的方差.

以上算法可以針對(duì)全局場(chǎng)景進(jìn)行優(yōu)化也同樣可以加入局域場(chǎng)景的約束，實(shí)現(xiàn)對(duì)局域波形的優(yōu)化.如圖4，在粗網(wǎng)格成像后我們可以大致確定目標(biāo)所在區(qū)域.我們用 ζ表示該距離單元內(nèi)目標(biāo)所在的位置，從而D(ζ)可以表示對(duì)應(yīng)區(qū)域的空間譜.根據(jù)式(8)和式(9)可以得到局域波形優(yōu)化的代價(jià)函數(shù)：

設(shè)計(jì)完代價(jià)函數(shù)之后，遺傳算法被用來(lái)解該代價(jià)函數(shù).遺傳算法本質(zhì)上是模擬物競(jìng)天擇的生物進(jìn)化過(guò)程，通過(guò)維護(hù)一個(gè)潛在解的群體，執(zhí)行多方向的搜索，并且支持這些方向上的信息構(gòu)成和交換.

以下是遺傳算法的一般步驟：

1) 隨即產(chǎn)生種群個(gè)體，即產(chǎn)生隨機(jī)相位編碼；

2) 評(píng)估每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度；

3) 遵照適應(yīng)度越高，選擇概率越大的原則，進(jìn)行遺傳選擇；

4) 進(jìn)行交叉，變異從而產(chǎn)生新的子代個(gè)體；

5) 重復(fù)2，3，4 步驟，直到產(chǎn)生最優(yōu)種群，最后從種群中選出最優(yōu)個(gè)體.

2.4 IF-SBL 算法

在介紹IF-SBL 算法之前，首先介紹一下變分貝葉斯的概念.在貝葉斯學(xué)習(xí)模型中，求解后驗(yàn)概率是一個(gè)很重要的步驟；但在大多數(shù)情況下，我們很難利用貝葉斯公式求出后驗(yàn)概率的精確解；這時(shí)，我們便需要一個(gè)近似解來(lái)逼近精確解.求解近似解主要有兩種方法：隨機(jī)近似方法和確定性近似方法，變分貝葉斯則屬于后者.利用平均場(chǎng)理論以及確定性近似方法，我們可以將后驗(yàn)概率p(Z|X)用一個(gè)等效模型代替，同時(shí)，我們用KL-Divergence來(lái)衡量近似模型與原始模型的差異：

我們的目標(biāo)是最小化 KL(Q‖P)，由于 lnP(X)是不依賴(lài)于Z的似然函數(shù)，可以視為常數(shù)，所以最小化KL(Q‖P)可 以視為最大化L(Q)，L(Q)可 以看成lnP(X)的下界，通常稱(chēng)為ELOB (evidence lower bound).

在SBL 模型yu=ΦA(chǔ)Xu+Wu中，我們假設(shè)Xu服從一個(gè)兩層的先驗(yàn)分布，其中第一層，

3 仿 真

本節(jié)我們?cè)O(shè)計(jì)一些實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文所提出算法的有效性.

3.1 成像機(jī)理驗(yàn)證

為了驗(yàn)證第1 節(jié)以及2.1 節(jié)所提出的成像模型的有效性，這里利用OMP 和SBL 算法進(jìn)行單個(gè)距離維切片的成像仿真，結(jié)果如圖6 和圖7 所示，仿真參數(shù)如表1 所示.

圖6 OMP 算法成像重構(gòu)圖Fig.6 OMP algorithm imaging reconstruction results

圖7 SBL 算法成像重構(gòu)圖Fig.7 SBL reconstruction results

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameter

從圖6 和圖7 來(lái)看利用普通的稀疏重構(gòu)算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)回波信號(hào)的處理，并且從成像結(jié)果中看到實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)點(diǎn)的恢復(fù).雖然受噪聲的影響產(chǎn)生了一些額外的噪點(diǎn)，但是這些噪點(diǎn)相較于真實(shí)散射點(diǎn)來(lái)說(shuō)幅度較小，對(duì)確定目標(biāo)的形狀影響不大.

3.2 閾值分割算法

利用2.2 節(jié)提出的閾值分割算法對(duì)3.1 節(jié)得到的成像結(jié)果進(jìn)行處理，結(jié)果如圖8 和圖9 所示.可以看到，成功祛除了大部分的噪點(diǎn).驗(yàn)證了閾值分割算法的有效性.

圖8 圖6 被閾值分割方法處理后的結(jié)果Fig.8 The result of the Fig.6 being processed by the threshold segmentation method

圖9 圖7 被閾值分割方法處理后的結(jié)果Fig.9 The result of Fig.7 being processed by the threshold segmentation method

3.3 局域波形優(yōu)化

為了得到特定區(qū)域更加精細(xì)的圖像，在2.3 節(jié)提出的局域波形優(yōu)化的代價(jià)函數(shù)基礎(chǔ)上得到優(yōu)化后的編碼波形.用遺傳算法進(jìn)行編碼優(yōu)化，結(jié)果如圖10所示.

圖10 局域空間譜相關(guān)性Fig.10 Local spatial spectral correlation

3.4 精細(xì)化快速成像

經(jīng)過(guò)局域波形優(yōu)化后我們可以得到一組優(yōu)化后的波形編碼，然后利用這組編碼進(jìn)行精細(xì)化成像.傳統(tǒng)的SBL 算法存在矩陣求逆，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)、成像慢.本文利用IF-SBL 算法進(jìn)行快速成像，結(jié)果如圖11 所示.可以觀察到經(jīng)過(guò)局域波形優(yōu)化的結(jié)果相較于未優(yōu)化的結(jié)果少了許多噪點(diǎn)，成像質(zhì)量明顯優(yōu)于前者.

圖11 IF-SBL 算法成像結(jié)果Fig.11 Imaging results of inverse-free sparse Bayesian learning algorithm

為了分析IF-SBL 算法的計(jì)算量，進(jìn)行蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，圖12 為500 次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，可以明顯看到IFSBL 算法的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于SBL 算法.

圖12 算法計(jì)算效率分析Fig.12 Computational efficiency analysis of the algorithms

4 結(jié) 論

本文針對(duì)數(shù)字編碼超材料在成像中的一些應(yīng)用給出了較為可行的方案.首先針對(duì)大視場(chǎng)的成像困難問(wèn)題，提出了從粗網(wǎng)格到細(xì)網(wǎng)格的成像方法，從而大大降低了字典的維度，降低了存儲(chǔ)和計(jì)算困難.針對(duì)局域輻射場(chǎng)自由度不高的問(wèn)題設(shè)計(jì)了局域波形優(yōu)化的代價(jià)函數(shù)，成功地提升了成像質(zhì)量.并且針對(duì)傳統(tǒng)SBL 算法中存在矩陣求逆過(guò)程導(dǎo)致的計(jì)算復(fù)雜問(wèn)題，利用IF-SBL 算法進(jìn)行稀疏重構(gòu)，大大降低了成像速度.本文為前視成像提出一個(gè)新的解決方案，為降低雷達(dá)系統(tǒng)的復(fù)雜度提供了新方向.本文用來(lái)解決成像速度的模型尚存在一定不足，對(duì)于系統(tǒng)中存在的相位誤差、幅度調(diào)制等問(wèn)題并未進(jìn)行考慮，因此下一步將考慮這些問(wèn)題對(duì)成像效果的影響，并進(jìn)一步對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行建模處理.