圓柱踏面車輪沿環(huán)形平面軌道運行時的切向應力研究

張再斌 屈福政 祝德強 韓成軍

1大連理工大學機械工程學院 大連 116024 2大連華銳重工集團股份有限公司 大連 116052

0 引言

輪軌蠕滑現(xiàn)象最早由Osborne Reynolds[1]發(fā)現(xiàn)并提出。當圓柱體在平面上滾動時，接觸區(qū)域的彈性變形會增加圓柱體接觸區(qū)域表面的速度，使其在平面上蠕動，即使圓柱體在平面上并沒有產(chǎn)生整體的滑動。輪軌蠕滑在二維和三維條件下的數(shù)學模型分別由Knothe K[2]和Johnson K L等[3]提出，并引入縱向蠕滑率，橫向蠕滑率以及自旋蠕滑率的概念。很多學者在此基礎上進行了完善，其中Kalker J J[4-6]提出了輪軌接觸的簡化理論和精確理論，并分別發(fā)展出了Fastsim和Contact算法。Polach Y O等[7]基于Kalker J J簡化理論得出了踏面輪軌蠕滑簡化公式。其中Fastsim算法由于其計算效率高等優(yōu)點，直至今日依然被廣泛應用在輪軌接觸蠕滑力仿真中。

盡管經(jīng)典的輪軌接觸理論經(jīng)過了不斷實踐驗證，但是其中穩(wěn)態(tài)滾動的假設在很多實際輪軌接觸情況中仍然無法滿足[8]。近年來，基于有限元方法的快速發(fā)展，很多學者通過有限元的方法對復雜的輪軌接觸情況進行研究。肖乾等[9-11]利用Abaqus軟件，分別從輪軌沖角、摩擦系數(shù)和運行工況3個方面對輪軌接觸的蠕滑特性進行分析。

上述發(fā)展都是基于鐵路踏面輪軌點接觸形式，而對于吊車和起重機等重型起重設備而言，小車車輪一般為圓柱踏面形式，與軌道接觸為線接觸形式。劉萍等[12]利用有限元仿真方法，分析了線接觸形式下起重機輪軌偏斜對起重機輪軌接觸狀態(tài)的影響。任燾等[13]對線接觸形式下，輪軌系統(tǒng)靜止狀態(tài)和運行狀態(tài)輪軌接觸情況進行仿真分析。

現(xiàn)有重型設備輪軌接觸研究主要聚焦于直軌道，但當圓柱踏面輪軌在環(huán)形軌道上運行時，由于會產(chǎn)生速度差，會產(chǎn)生蠕滑現(xiàn)象，并產(chǎn)生切應力。這與車輪直軌道接觸有較大的區(qū)別，其切向應力對起重設備小車的轉(zhuǎn)向阻力矩以及輪軌之間的磨損有著直接的影響。目前，有關其切向應力分析研究較少，按經(jīng)典的模型計算也非常復雜。本文將提出適用于圓柱踏面車輪與環(huán)形軌道接觸的切向應力簡化理論，并給出轉(zhuǎn)向阻力矩的計算公式。

1 圓柱踏面車輪在環(huán)軌上運行時的蠕滑現(xiàn)象

當車輪沿環(huán)形軌道滾動時，除接觸中心外，車輪接觸區(qū)域滾動速度和實際速度都存在速度差，如圖1a所示。

圖1 輪軌接觸和運動速度示意圖

由蠕滑率的定義[5]

參考圖1b，得車輪沿環(huán)形軌道運行時接觸上的蠕滑率分布如圖2所示，圖中l(wèi)為輪軌接觸線的長度。

圖2 車輪沿環(huán)軌的蠕滑率

2 切向應力簡化模型

在彈性理論中，接觸表面的某一點位移取決于接觸表面上所有點的面力，其函數(shù)關系稱為影響函數(shù)。但是Kalker J J在1973年引入了滾動接觸的簡化理論，即一點處的位移，僅取決于同一點處的面力，并呈線性關系。Kalker J J在彈性薄覆層的情況下進行了相應的證明。

圖3 薄覆層示意圖

在彈性薄覆層下，Kalker J J利用級數(shù)的方法得到了滾動接觸的簡化理論為

式中：L為柔度參數(shù)，在彈性薄覆層條件下其與薄覆層寬度、泊松比以及彈性模量有關；ui和pi分別是薄覆層表面不同點在3個坐標軸方向上的位移和內(nèi)力。

Kalker J J將其簡化理論應用到不屬于薄覆層的其他情況進行了驗證，發(fā)現(xiàn)簡化理論能與現(xiàn)有的精確三維接觸理論定性的一致，定量的一致性可以通過調(diào)整柔度參數(shù)來達到。通過擬合柔度系數(shù)，Kalker J J將簡化理論成功應用在鐵路輪軌點接觸情形上。

圓柱踏面車輪與環(huán)形軌道的接觸區(qū)域為線接觸，接觸區(qū)域為一條接觸窄帶，其面積遠大于點接觸。本文基于Kalker簡化理論，根據(jù)線接觸的特點，提出了一種適用于圓柱踏面車輪與環(huán)形軌道接觸的切向應力簡化模型。

當車輪在軌道上滾動時，車輪材料從接觸區(qū)域的前邊滾入接觸區(qū)域，在接觸區(qū)域的后邊滾出接觸區(qū)域，其示意圖如圖4所示。

圖4 接觸區(qū)域前邊后邊示意圖

接觸區(qū)域前邊處的應力為0，故通過積分推導出在材料路徑上一點p處的應力為

根據(jù)Kalker簡化理論可推導出接觸區(qū)域內(nèi)一點蠕滑率與內(nèi)力和柔度系數(shù)之間的關系為

式中：為蠕滑率，為柔度參數(shù)。

將其帶入式(4)得

由式(6)可看出，接觸區(qū)域內(nèi)一點處的切向應力，隨著與前邊之間距離的增大呈線性增長，其比例系數(shù)即為柔度系數(shù)，但是在接觸材料為薄覆層的假設基礎上推導出來的，而車輪與軌道接觸，由于軌道高度相比于車輪直徑差別較小，不符合薄覆層的假設。因此，借鑒Kalker J J的輪軌接觸線性理論，對柔度系數(shù)進行修正，得到接觸區(qū)域內(nèi)各點切向應力為

式中：L（ε）為修正后的柔度系數(shù)，與蠕滑率有關。

本文將通過仿真結(jié)果擬合出不同蠕滑率下的柔度系數(shù)計算公式。柔度系數(shù)與接觸區(qū)域切向應力分布的關系如圖5所示。

圖5 柔度系數(shù)示意圖

以上的推導是在接觸區(qū)域為全黏著條件下得到的，且后邊處的切向應力不為0，這與實際情況不符。在赫茲接觸的假設下，正應力在后邊處逐漸消失，摩擦極限在后邊處也會逐漸降為0。因此，在接觸區(qū)域靠近后邊處較大的切向應力值會引起局部接觸面的相對滑動，不符合全黏著的假設條件。為此，本文對Kalker簡化理論進行修正，提出了一種適用于輪軌接觸局部蠕滑的切向應力簡化模型（見圖6）。

圖6 切向應力簡化理論示意圖

圖中滑動極限為Hertz正應力和摩擦系數(shù)的乘積，黏著區(qū)域切應力為距離前邊距離和柔度系數(shù)的乘積，表示為

式中：f為摩擦系數(shù)，δ為接觸正應力，L為簡化模型的柔度系數(shù)，y為距離前邊的距離。

當切向應力超過滑動極限時就會發(fā)生滑動，切向應力就等于滑動極限，故本文提出的切應力簡化模型的分為黏著區(qū)域和滑動區(qū)域2部分，表示為

式中：τ0為黏著區(qū)域切應力曲線和滑動極限交點處的切向應力。

此簡化模型既可以確定接觸區(qū)域的切應力分布，同時還可以確定接觸區(qū)域滑動和黏著區(qū)域的分布。在特定蠕滑率下，黏著區(qū)域和蠕滑區(qū)域的分界點在簡化模型切向應力曲線和滑動極限應力曲線的交點。當車輪沿環(huán)軌運行時，接觸區(qū)域沿接觸寬度方向（車輪軸向）存在線性分布的蠕滑率（見圖2）。在偏離車輪中心面的接觸區(qū)域，隨著蠕滑率增大，簡化模型的應力曲線的斜率也會逐漸增大，此時滑動區(qū)域相比于黏著區(qū)域的占比就會逐漸增大（見圖7）。

圖7 黏著滑移區(qū)域分布示意圖

當輪軌之間的滑動在整個接觸區(qū)域中占主導時，即可認為出現(xiàn)了極限蠕滑現(xiàn)象。此時的蠕滑率即為圓柱踏面車輪在環(huán)軌運行時的極限蠕滑率。

3 圓柱踏面輪軌與環(huán)軌接觸仿真

近年來，由于有限元可較好地模擬穩(wěn)態(tài)滾動和非穩(wěn)態(tài)滾動輪軌接觸，故被廣泛應用在輪軌接觸狀態(tài)研究和應力分析中。在此，將基于Abaqus仿真軟件對本文提出的切向應力簡化模型進行驗證，并擬合出車輪沿環(huán)軌運行時轉(zhuǎn)向力矩和應力分布的計算公式。選取的輪軌接觸幾何參數(shù)和載荷參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設置

首先在SolidWorks中建立輪軌接觸的三維幾何模型，將其導入到Abaqus仿真軟件中進行材料設置和網(wǎng)格劃分，其中網(wǎng)格采用六面體單元，在車輪和軌道接觸處將網(wǎng)格細化為2 mm。接觸性質(zhì)采用面面接觸，其有限元模型如圖8所示。

圖8 輪軌接觸仿真模型

設置加載和滾動2個隱式動力學載荷步，載荷步時間分別為0.5 s和1 s，載荷步長分別采用自動和固定2種形式。

仿真得到的正應力和計算得到的Hertz正應力如圖9所示，其中Hertz計算的最大正應力為650.7 MPa，仿真計算的最大正應力為577.9 MPa，最大應力的相對誤差為12.6%。其應力分布對比圖如圖9所示。

圖9 正應力仿真理論對比圖

存在較大誤差的最主要原因是單元的網(wǎng)格尺寸，進一步細化網(wǎng)格可以顯著減小誤差，但這會導致現(xiàn)有的計算機資源無法對車輪滾動過程進行模擬?？紤]到本研究的核心內(nèi)容是接觸面的切應力分布，故仍取現(xiàn)有的網(wǎng)格細化尺寸。

輪軌接觸區(qū)域切應力分布如圖10所示，其中紅色剪頭指向車輪前進方向。通過應力云圖可以發(fā)現(xiàn)，切向應力值從前邊到后邊是逐漸遞增且在后邊處逐漸消失，這與本文提出的切向應力簡化模型計算的應力分布是一致的。對接觸區(qū)域的切向應力值進行提取得到接觸區(qū)域內(nèi)切向應力的分布圖如圖11所示。

圖10 切向應力云圖

圖11 仿真切向應力分布

根據(jù)切應力分布特點可以將接觸區(qū)域沿著寬度方向分成2個部分，在靠近前邊的部分，由圖11可知，應力近似線性增長，且隨著蠕滑率的應力增長的斜率逐漸變大。在切向應力增長到一定值之后，在靠近后邊的部分，切向應力值逐漸下降，且下降趨勢與滑動極限一致。這與本文提出的切向應力簡化模型相符，其對應的區(qū)域分別為黏著區(qū)和滑動區(qū)。

在接觸區(qū)域內(nèi)，選取距車輪中心面42 mm的直線，分析其切應力分布。這條直線上的蠕滑率為0.002 1，仿真分析得到離散的7個切應力值（見圖12）。采用最小二乘法對應力增長部分線性擬合得到切向應力隨接觸寬度變化的比例系數(shù)，即為本文提出的輪軌接觸柔度系數(shù)。根據(jù)庫倫摩擦定律得到的滑動極限曲線。

圖12中點劃線為仿真得到的切向應力分布，擬合曲線（實線）以及滑動極限曲線（虛線）為本文提出的切向應力簡化模型預測的切向應力分布。由此可知，簡化模型預測的切向應力分布與仿真結(jié)果很接近，簡化模型可以較好地預測圓柱踏面車輪和環(huán)軌接觸區(qū)域內(nèi)部的切向應力分布。

圖12 切向應力理論仿真對比

在接觸區(qū)域橫向方向上，即車輪的軸向，車輪與軌道之間的蠕滑率是線性變化的（見圖2），根據(jù)切向應力簡化理論，不同的蠕滑率會有不同的切應力分布，對應不同的柔度系數(shù)，故通過擬合得到圖13所示不同蠕滑率下的柔度系數(shù)。

圖13 不同蠕滑率下的柔度系數(shù)

顯然，隨著蠕滑率的增加，柔度系數(shù)線性增加。定義蠕滑率和柔度系數(shù)之間的比例系數(shù)，即圖12中擬合線的斜率，為橫向變化系數(shù)k0。采用最小二乘法擬合求得k0=8 197 MPa/mm。

仿真得到接觸區(qū)域滑移和黏著情況如圖14所示。由圖可以看出，輪軌接觸簡化模型可以較為準確地預測接觸區(qū)域內(nèi)部的黏著和滑移情況，即隨著距離車輪中心面越遠，黏著區(qū)域占比越大。

圖14 仿真黏著滑移區(qū)域分布

4 輪軌接觸的簡化模型

已知黏著區(qū)域應力變化曲線為

式中：ε為該點處的蠕滑率，x為與前邊之間的距離。

滑動極限曲線根據(jù)庫倫摩擦定律可得

式中：δ0為Hertz接觸極限切向應力，L為接觸區(qū)域?qū)挾取?/p>

可以求得2曲線之間的交點坐標為

在滑動區(qū)域由于變上下限橢圓函數(shù)積分非常復雜，故在計算車輪與軌道之間接觸回正力矩時進行進一步簡化。將滑動區(qū)域的切向應力在后邊附近的衰減過程從橢圓函數(shù)近似為線性衰減過程。這樣在特定蠕滑率下切向應力的積分就是三角形的面積，經(jīng)過此方法得到轉(zhuǎn)向力矩的積分公式為

式中：W為軌道寬度即接觸窄帶的長度，D為軌道的直徑。

由式(15)可知，轉(zhuǎn)向阻力矩和輪壓成正比，并與軌道的輪徑比有關。本文對不同輪壓條件進行仿真，得到不同輪壓條件下理論計算公式結(jié)果和仿真結(jié)果，并對其進行對比，如表2所示。

表2 不同輪壓下理論計算和仿真計算結(jié)果對比

由表2可知，本文提出的簡化理論計算結(jié)果與仿真結(jié)果相對誤差很小都在5%以內(nèi)，可有效地計算輪軌接觸的轉(zhuǎn)向力矩。

5 結(jié)論

1）基于Kalker簡化理論和庫倫摩擦定律提出了圓柱踏面輪軌在環(huán)形軌道上運行時的切向應力簡化模型，為后繼分析奠定了基礎；

2）采用Abaqus仿真軟件對圓柱踏面輪軌在環(huán)形軌道上運行時的輪軌接觸情況進行仿真，其切向應力結(jié)果證明了輪軌接觸的簡化模型是有效的；

3）通過數(shù)值擬合，得到滑移黏著分界點以及回正力矩計算公式。