基于一次二階矩法的折臂機構(gòu)運動可靠性分析*

薛自然 馮 偉 王衛(wèi)軍 熊新紅 王世杰,4

1武漢理工大學交通與物流工程學院 武漢 430063 2中國科學院深圳先進技術(shù)研究院 深圳 518055 3中國科學院大學 北京 100049 4河北工業(yè)大學機械工程學院 天津 300401

0 引言

搬運機器人末端執(zhí)行器的運動精度問題是機器人設計制造過程中的重要問題，其精度大小直接影響著搬運作業(yè)質(zhì)量，而機器人各零部件的尺寸偏差和關節(jié)間隙偏差是導致末端精度超出范圍的重要原因[1]，這些偏差往往是不可控的，故會對機構(gòu)末端的運動精度產(chǎn)生極大影響。運動可靠性表示的是機器人末端執(zhí)行器在某一特定的時間內(nèi)落入許用精度范圍內(nèi)的概率[2]，這一概念是評價這些不可控因素的一項重要指標。

許多學者對如何提高機器人末端執(zhí)行器的運動精度進行了廣泛的研究。孫志禮等[3]通過ADAMS軟件建立3-RPS并聯(lián)機器人的參數(shù)化虛擬樣機模型，在考慮桿長誤差和球副誤差的作用下通過蒙特卡洛法計算得出了機器人的運動可靠度；Du X P[4]通過建立包絡線的方法，對典型四桿機構(gòu)進行動態(tài)運動可靠性的求解；李懷政等[5]通過ADAMS仿真軟件，基于蒙特卡洛法對SCARA機器人機構(gòu)運動可靠性進行研究。Zhang J F等[6]提出了一種混合降維法，實現(xiàn)了在機械裝置關節(jié)的隨機間隙影響下的運動可靠度的分析；文瑞橋[7]考慮關節(jié)參數(shù)的不確定性，采用一次二階矩法計算求得了斯坦福機器人末端執(zhí)行器的運動可靠度。

圖1是一款正在設計制造階段的新型幕墻搬運機器人，其中框選部分即為折臂機構(gòu)。搬運機器人在幕墻搬運作業(yè)中載荷較大，移動底盤傾斜、傳動環(huán)節(jié)間隙、液壓缸尺寸誤差等因素均會導致機器人末端存在柔性，從而導致作業(yè)不確定性，這不僅會影響到搬運機器人作業(yè)的質(zhì)量與效率，甚至會由于末端位置的偏差而導致搬運機器人的傾覆以及末端執(zhí)行器上所吸附的幕墻的碎裂，因此，提高該款搬運機器人的運動精度，對該款機器人能否真正應用在實際作業(yè)中起著決定性作用。

圖1 折臂機構(gòu)在幕墻安裝機器人上的應用

本文針對該款機器人的折臂機構(gòu)進行分析，考慮折臂機構(gòu)驅(qū)動裝置液壓缸的尺寸偏差對系統(tǒng)準確度的影響，在對該機構(gòu)的運動學正解求解的基礎上，對其進行微分得到位姿輸出誤差模型，然后應用一次二階矩法求解機構(gòu)的運動可靠性，最后通過蒙特卡洛法驗證這一結(jié)果。

1 機構(gòu)描述

如圖2所示，折臂機構(gòu)由基平臺、2個支臂、3個液壓缸推桿機構(gòu)、末端執(zhí)行器平臺等部分組成。除了每個液壓缸推桿機構(gòu)是通過滑動副連接，其他各部分之間均通過轉(zhuǎn)動副進行連接，3個液壓缸為機構(gòu)原動件，折臂機構(gòu)具有3個自由度。

圖2 折臂機構(gòu)模型

折臂機構(gòu)運動簡圖如圖3所示，全局坐標系為{O}設在基平臺中心點，取豎直向上為z軸正方向，垂直紙面向里是y軸正方向，水平向右為x軸正方向。A～I分別代表折臂機構(gòu)各個轉(zhuǎn)動副，J為折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器位置。

圖3 折臂機構(gòu)運動簡圖

2 機構(gòu)建模

2.1 運動學求解

針對折臂機構(gòu)進行正運動學分析，首先將液壓缸看作一個整體，假設液壓缸BC、EF、HI的整體長度分別為x1、x2、x3，該長度隨活塞桿行程的變化而不斷變化。

如圖3所示，坐標軸原點位置、x軸方向、y軸正方向和各點位置均已給出，則在ΔABC、ΔDEF、ΔGHI中有

在圖3中，已知∠BAx、∠CAD，則有

A點坐標已知，假設為(xA，zA)，AD長度已知，為lAD，則D點坐標為

在圖3中，已知∠ADE、∠FDG，則有

已知DG長度為lDG，則G點坐標為

在圖3中，已知∠DGH、∠IGJ，則有

已知GJ長度為lGJ，則J點坐標為

式（9）即為折臂機構(gòu)運動學正解函數(shù)式。

2.2 誤差分析與建模

常用的誤差建模方法有微分法、攝動法、矢量法等，這里選用微分法對末端執(zhí)行器偏差進行建模，根據(jù)運動學模型，x1、x2、x3的誤差Δx1、Δx2、Δx3會對機器人末端執(zhí)行器的位置產(chǎn)生影響，從而使末端執(zhí)行器偏離其原始位置坐標。誤差建模就是要建立各原始誤差與末端執(zhí)行器位置誤差之間的函數(shù)關系。

由式（9）可建立折臂機構(gòu)運動學方程為

式中：J為末端執(zhí)行器坐標；xi為各輸入?yún)?shù)；i為輸入?yún)?shù)數(shù)量，i=1、2、3。

根據(jù)微分法，對式（10）兩端分別求導，各原始誤差傳遞系數(shù)為末端執(zhí)行器位置坐標依次對各原始誤差參數(shù)求偏導，依此可建立末端執(zhí)行器的位置誤差函數(shù)關系式為[8-10]

式中：ΔJj為折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器位置偏差，j為末端執(zhí)行器坐標方向數(shù)量，Δxi為各原始誤差參數(shù)，Jp為末端執(zhí)行器位置誤差與各原始誤差之間的誤差傳遞系數(shù)雅可比矩陣。

誤差傳遞系數(shù)雅可比矩陣可表示為

進一步整理可得

2.3 系統(tǒng)可靠性建模

運動可靠性是評價機構(gòu)運動精度高低更本質(zhì)的評價指標。對機構(gòu)進行運動可靠性分析，即希望在機構(gòu)設計之初就可以得到，在各原始誤差影響下，批量生產(chǎn)的機構(gòu)中任意一臺其末端執(zhí)行器運動誤差落入許用范圍內(nèi)的概率[11]。從而發(fā)現(xiàn)機構(gòu)中的不穩(wěn)定部分，為之后機器人運動精度的提高提供指導。

一次二階矩法(FOSM)作為分析運動可靠性的常用方法，是通過分析末端執(zhí)行器誤差函數(shù)的一階矩和二階矩來實現(xiàn)對機構(gòu)運動可靠性的分析方法。其通過確定原始誤差的一階矩和二階矩，推導出末端執(zhí)行器誤差的一階矩和二階矩，從而實現(xiàn)對末端執(zhí)行器的可靠性的分析[12]。針對單一變量類型可靠性分析，一次二階矩法往往具有較高的精度[13]，本文選用一次二階矩法對機構(gòu)運動可靠性進行分析。

假設之間相互獨立，且是正態(tài)分布的隨機變量，即

且因為

其中，Ui~N(0，1)，故可知液壓缸尺寸誤差符合正態(tài)分布

根據(jù)式(11)、式(16)可得

由正態(tài)分布函數(shù)變換規(guī)律可知，正態(tài)分布函數(shù)乘以一個系數(shù)后仍為正態(tài)分布，即折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器誤差ΔJ也符合正態(tài)分布，根據(jù)式(15)～式(17)可知，ΔJ均值為0、末端執(zhí)行器誤差ΔJ所符合的正態(tài)分布函數(shù)的標準差為

設折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器的允許誤差范圍為ε，根據(jù)可靠性概念，在某一姿態(tài)下，某一個輸入誤差參數(shù)的可靠度R(Δxi)為

Pr｛·｝代表概率，其相應的失效率為

應用一次二階矩法來計算串并聯(lián)機構(gòu)末端執(zhí)行器在x、y、z方向上的可靠度，表示為[14]

化簡后得

式中：Φ（·）是標準正態(tài)分布函數(shù)。

相應地，Φ（·）的失效率為

3 可靠性分析

將折臂機構(gòu)的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)據(jù)帶入正運動學分析計算公式，結(jié)合式(9)、式(13)，并取折臂機構(gòu)姿態(tài)為圖3所示姿態(tài)，帶入可求得誤差傳遞系數(shù)雅可比矩陣為

由于x1、x2、x3初始長度依次為145 mm、215 mm、230 mm，其制造加工精度一般可達IT10～IT7，通過查找公差表，取桿長標準差為

根據(jù)3σ原則，此時原始誤差基本符合實際公差帶的情況。

依次取Δx1、Δx2、Δx3為唯一變量，帶入式(13)、式(18)、式(24)，即可得到折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器在各原始誤差影響下，在x、z方向上的誤差所符合的正態(tài)分布的標準差（取絕對值）為

根據(jù)市面上常見折臂機構(gòu)所能達到的末端執(zhí)行器精度范圍，取折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器允許誤差范圍ε=0.5 mm，根據(jù)式(21)、式(25)，即可得出折臂機構(gòu)在各原始誤差影響下的末端執(zhí)行器位置偏差的可靠度和失效率分別如圖4和圖5所示。

圖4 末端位置偏差可靠度

圖5 末端位置偏差失效率

由圖4、圖5可知，原始誤差參數(shù)Δx1、Δx3對折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器的位置偏差影響較小，其可靠度高、失效率較低；但原始誤差參數(shù)Δx2對末端執(zhí)行器的位置偏差影響較大，極易導致末端執(zhí)行器偏離預定坐標，從而影響搬運作業(yè)質(zhì)量。因此，該可靠性分析結(jié)果表明，要保證折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器的運動精度，需嚴格控制原始誤差Δx2。

4 虛擬樣機仿真分析

4.1 可靠度計算

Monte Carlo模擬法（MCS）作為求解系統(tǒng)可靠性最重要的方法之一，具有方法簡單、適用性廣、結(jié)果準確等優(yōu)點，能夠?qū)θ我饽Ｐ偷倪\動可靠性進行精確求解[15]，其通過計算機技術(shù)生成一組符合設定的正態(tài)分布的隨機誤差抽樣數(shù)據(jù)，依次帶入模型進行計算，即可得到折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器偏差為

式中：J*為實際坐標值，J為理想坐標值。

設機構(gòu)誤差允許值范圍為[-ε，ε]，則當∣ΔxJ∣＜ε時，代表可靠；當∣ΔxJ∣＞ε時，代表不可靠。

當模擬次數(shù)n足夠大時，通過MCS方法計算機構(gòu)的運動可靠度即可表示為

式中：n為總的模擬次數(shù)，s為可靠的次數(shù)。

失效率為

4.2 實例分析

根據(jù)圖3折臂機構(gòu)運動簡圖，在ADAMS/View內(nèi)建立折臂機構(gòu)模型如圖6所示。

圖6 折臂機構(gòu)虛擬樣機模型

利用Matlab軟件中的Normacdf函數(shù)，根據(jù)式(16)與式(25)給定的誤差均值與方差，由概率統(tǒng)計方法構(gòu)造1 000組符合正態(tài)分布的誤差數(shù)據(jù)作為折臂機構(gòu)的誤差樣本。將樣本中參數(shù)依次帶入圖6的ADAMS仿真模型中進行仿真，記錄機構(gòu)位姿輸出誤差?？山y(tǒng)計得到折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器位置誤差可靠次數(shù)s如表1所示。

表1 末端執(zhí)行器偏差可靠次數(shù)

將表1數(shù)據(jù)與n=1 000一并帶入式（28）、式（29），可得出在各原始誤差影響下的末端執(zhí)行器位置偏差的可靠度和失效率，分別如圖7和圖8所示。

圖7 末端位置偏差可靠度

圖8 末端位置偏差失效率

對比圖4與圖7，一次二階矩法計算的結(jié)果與MCS方法計算的結(jié)果非常接近。但結(jié)果仍存在微小的誤差，原因包括：1）一次二階矩法僅考慮了原始誤差與末端執(zhí)行器偏差之間函數(shù)式的一階偏導，其模擬精度有限；2）MCS抽樣次數(shù)未趨于無窮大，故也會存在一定的誤差。但對照結(jié)果可知，計算偏差控制在一定范圍內(nèi)，即可靠度的計算結(jié)果是準確的。

5 結(jié)論

1)通過對搬運機器人中的折臂機構(gòu)進行運動可靠性分析，得知原始誤差參數(shù)對機構(gòu)末端執(zhí)行器運動精度影響最大，為搬運機器人后續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計及末端執(zhí)行器精度提高提供了優(yōu)化方向和理論依據(jù)。

2)通過基于蒙特卡洛法的仿真分析方法，驗證了一次二階矩法在分析折臂機構(gòu)末端執(zhí)行器運動可靠性問題上的準確性。

3)本文分析對其他機器人及機構(gòu)的運動可靠性分析具有一定的參考與借鑒意義。