PSO 聯(lián)合Kriging 模型的結構可靠度計算

解豐銘， 溫 馨

（遼寧石油化工大學， 遼寧 撫順 113001）

引言

隨著學者們的努力探究，結構可靠度算法在不斷的創(chuàng)新發(fā)展。響應面法作為最經典的代理模型法，以減少抽樣次數(shù)、提高擬合效率、增加計算精度為目標，使用二次多項式作為回歸擬合方程，具有較好效果。但是用于非線性程度較高的功能函數(shù)時，會產生結果不收斂的情況。Kriging 方法可以有效彌補上述不足，不但突破了經典插值和統(tǒng)計學的限制，綜合考慮了變量的確定性和隨機性，而且與經典響應面方法相比具有算法靈活、可獲得待求點的無偏最優(yōu)估計等優(yōu)點[1]。

Kriging 思想最早是由南非的礦業(yè)工程師Krige提出的，隨后一位法國數(shù)學家Matheron[2]對其成果進行理論系統(tǒng)化分析，提出一種插值外推理論。Giunta和Watson[3]用自變量測試比較了最小二乘法建立的二次多項式和Kriging 插值法建立的代理模型，結果后者更具靈活性和計算效率。2011 年陳志英等[4]將粒子群優(yōu)化算法用于Kriging 建模，以其良好的群體搜索能力保證了相關參數(shù)的最優(yōu)性。2016 年，黃曉旭[5]提出Kriging 模型代替結構功能函數(shù)，引入主動學習函數(shù)，在每次迭代中加入最佳樣本點更新Kriging 模型，能夠得到精度較高的可靠度結果。

1 拉丁超立方設計（LHD）

樣本點的選擇對代理模型的精度有很大的影響，拉丁超立方抽樣（LHS）由于全空間填充和非重疊采樣特性成為最合適搭配Kriging 的抽樣方法。

M 水平N 因子的LHS 構造方法：

1）對每個維度空間進行M 等分，形成區(qū)間：[0，1/M]，[1/M，2/M]，…[1-1/M，1]。

2）在隨機變量的均值加減3 倍標準差范圍內（也稱3σ 準則）隨機選取每個區(qū)域的樣本點，得到x1（k）、x2（k），…，xM（k）。

3）依照維度選取分量隨機配對，不考慮已選取過的分量，組成M 個N 維數(shù)據(jù)。

圖1 為一個六水平二因子的拉丁超立方抽樣概念圖，可明顯看出其優(yōu)點：每個采樣點的橫縱網格都沒有交叉重復，具有獨立性、隨機性和均勻性，可為后續(xù)近似模型擬合起到很好的鋪墊作用。

2 Kriging 模型

Kriging 模型的數(shù)學表達式如下：

式中：p 為回歸量的個數(shù)；x 為抽樣點，z（x）是隨機過程Z（x）的模型。表達式整體由兩部分組成，前半部分是線性回歸模型，反映過程均值的變化，提供模擬的全局近似?；貧w量的選擇對于模擬的精度不起決定性的作用，因此在大多數(shù)工程中為簡化模型常取常量1[6]。后半部分，z（x）服從正態(tài)分布N（0，σ2）但不獨立，其樣本點之間的協(xié)方差非零且關系如下：

公式（2）中R（θ，ω，x）是一個空間相關函數(shù)，其中θ 是一個以高斯模型為基礎的關鍵參數(shù)，ω 是模型的光滑程度參數(shù)。可整理為式（3）：

標準Kriging 模型空間相關函數(shù)為高斯模型如式（4）所示：

式中：d 是兩數(shù)據(jù)間距量。利用已知樣本點的空間函數(shù)響應值組成相關矩陣：

Kriging 模型的最佳線性無偏估計如式（6）所示：

式（6）的方差估計值可以由式（7）計算：

根據(jù)式（3）、式（6）、式（7）可知，矩陣R、估計因子β^與模型的估計方差都由參數(shù)θ 決定，基于最大似然估計理論，利用無約束優(yōu)化方法最大化式（8）可得到最優(yōu)θ 值。

Kriging 模型的建立問題最后變成了非線性無約束的優(yōu)化問題。θ 值越接近最優(yōu)值，模型的效果就會越好。在Matlab 軟件中也可以通過Dace 工具箱建立簡單的Kriging 模型。

3 PSO 算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）：一種全局尋優(yōu)算法，與傳統(tǒng)算法相比具有計算快、全局搜索能力強、受初始種群規(guī)模限制小等特點。

算法具體流程如下：初始化粒子的速度和位置、計算適應度、記錄個體最優(yōu)數(shù)值和群體歷史最優(yōu)值、更新速度和位置、檢查是否滿足條件，滿足則輸出，不滿足則從第一步繼續(xù)開始。

迭代過程的公式為：

式中：ω 為慣性權重；ω×Vid表示粒子保持之前運動速度的趨勢，即慣性；C1、C2表示記憶參數(shù)；r1、r2為隨機數(shù)控制粒子速度在限制范圍。Pid、Pgd為局部極值全局極值，x 表示位置坐標。

4 結合優(yōu)化算法的代理模型可靠性分析

結構在規(guī)定的時間內，在規(guī)定的條件下，完成預定功能的概率，稱為結構可靠度?？煽慷鹊姆柋硎緸椤隆?，也叫做可靠度指標，是分析可靠性時的重要參數(shù)?？煽慷鹊膸缀我饬x是在標準化正態(tài)空間中坐標原點到極限狀態(tài)函數(shù)曲面的最短距離（也就是坐標原點到設計驗算點的最短距離），其值越大結構越可靠。

編寫Matlab 程序時需要將幾何意義定為罰函數(shù)的一個約束條件，另外還要滿足極限狀態(tài)要求，即極限狀態(tài)方程為0。罰函數(shù)可在求解最優(yōu)化問題時對不滿足約束點或企圖逃離可行域點賦予一個很大的增量，其目的是更高效的區(qū)分可行與不可行值。

PSO 算法結合代理模型進行可靠性分析的基本思想是：

1）首先用LHD 的3σ 準則抽取樣本點，記錄樣本和響應值。

2）通過Matlab 軟件和上一步的數(shù)據(jù)擬合Kriging模型得到近似隱式的極限狀態(tài)曲面。

3）利用尋優(yōu)算法PSO 結合罰函數(shù)理論編程，尋找設計驗算點。

5 算例

圖2 為Matlab 軟件擬合的Kriging 模型，圖3 為PSO 算法求解非線性等式約束的兩個最優(yōu)值（最短距離2.91 和極限方程為0），最后標準正態(tài)化得可靠度2.25，其他算法求解結果見下頁表2。

表2 各計算方法結果對比

此題設計驗算點附近的曲率較大，一般求解方法不收斂且需要多次計算。

6 結論

對比于傳統(tǒng)的Kriging 法和蒙特卡洛法，PSO-Kriging 無論是在計算效率還是精度上都要更加優(yōu)秀。與尋優(yōu)算法的結合使用讓收斂效率大幅提高，不但可以明顯減少計算次數(shù)，還能在極限狀態(tài)方程非線性程度較高時保持準確性。