結(jié)構(gòu)模糊可靠度的計算方法

溫 馨， 田 豐， 解豐銘

（遼寧石油化工大學(xué)土木工程學(xué)院， 遼寧 撫順 113001）

引言

可靠性主要是用來評價一個結(jié)構(gòu)是否滿足要求的指標(biāo)，定義為結(jié)構(gòu)在規(guī)定時間和條件下，完成指定功能的能力[1]。經(jīng)典可靠性理論中，將結(jié)構(gòu)所受到的應(yīng)力以及結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度視為隨機(jī)變量，即考慮了基本變量的隨機(jī)性。隨機(jī)性是指某個事件在明確給出的條件下，有可能發(fā)生或不發(fā)生的性質(zhì)。而模糊性是指一個事件發(fā)生了卻無法對其進(jìn)行明確定義的性質(zhì)[2]。顯然，實(shí)際工程中，基本變量不僅具有隨機(jī)性，同時也存在著大量的模糊性。因此在可靠性計算過程中，需要同時考慮變量的隨機(jī)性和模糊性，才能得到更為精確的結(jié)果。

根據(jù)經(jīng)典可靠性和模糊數(shù)學(xué)理論，得出模糊事件的可靠度計算公式為：

近些年來，學(xué)者們對于可靠性的研究主要集中在隨機(jī)可靠性方面，對于模糊可靠性的研究較少。最先對結(jié)構(gòu)的模糊可靠性進(jìn)行研究的是A.Kaufmann，他提出將模糊理論應(yīng)用于可靠性計算中。黃洪鐘等[4]考慮了結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)的模糊性，并提出用狀態(tài)變量來表示廣義靜強(qiáng)度的模糊可靠度計算方法。AndrewUtomi Ebenuwa 等[5]基于模糊可靠性理論，提出一種埋地管道的可靠性和風(fēng)險評估方法，并將其用于確定管道的最佳維修時間，以提高維修效率并節(jié)省成本。鄭山鎖等[6]基于“投資- 效益”準(zhǔn)則，建立了框架結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化模型，并將其應(yīng)用于Monte Carlo 算法中，通過算例證明了該優(yōu)化算法的可行性。

1 模糊可靠性計算方法

1.1 模糊事件的隸屬函數(shù)

對于一般集合來說，可以用1 來表示某個元素屬于這個集合，用0 來表示該元素不屬于這個集合。由于模糊集合具有不確定性，因此用一個介于0～1 之間的函數(shù)（x）來表示元素對該集合的屬于程度，這個函數(shù)就是該模糊集的隸屬函數(shù)[8]。

1）模糊強(qiáng)度- 隨機(jī)應(yīng)力下的隸屬函數(shù)。結(jié)構(gòu)在設(shè)計施工過程中，由于材料存在不確定性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)強(qiáng)度具有一定的模糊性。將結(jié)構(gòu)受到的應(yīng)力看作隨機(jī)變量S，結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度看作模糊變量。模糊強(qiáng)度- 隨機(jī)應(yīng)力狀態(tài)下的隸屬函數(shù)如下頁圖1 所示。

由圖1 可知，xmin為隨機(jī)應(yīng)力S 的下限值，xmax為隨機(jī)應(yīng)力S 的上限值，顯然可得下式。

當(dāng)xmax≤s≤xmin時，陰影部分為模糊安全區(qū)域，記為Dr，另一部分為模糊失效區(qū)域，記為Df。顯然圖1中，模糊安全區(qū)域的面積為（x）dx，模糊失效區(qū)域的面積為x）dx，我們可以利用圖1 中模糊安全區(qū)域的面積與總積分面積的比值作為該模糊事件的隸屬函數(shù)，即：

2）模糊應(yīng)力—隨機(jī)強(qiáng)度下的隸屬函數(shù)。除了上文所述的強(qiáng)度具有模糊性外，結(jié)構(gòu)所受到的應(yīng)力也具有模糊性。將結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度視為隨機(jī)變量R，結(jié)構(gòu)所受到的應(yīng)力視為模糊變量，模糊應(yīng)力—隨機(jī)強(qiáng)度狀態(tài)下的隸屬函數(shù)如圖2 所示。

由圖2 可知，xmin為隨機(jī)強(qiáng)度R 的下限值，xmax為隨機(jī)強(qiáng)度R 的上限值，顯然可得下式。

當(dāng)xmax≤r≤xmin時，陰影部分為模糊安全區(qū)域，記為Dr，另一部分為模糊失效區(qū)域，記為Df。根據(jù)圖2可知，模糊安全區(qū)域的面積可表示為x）dx，模糊失效區(qū)域的面積可表示為x）dx。同理，利用上述理論，整個模糊事件的隸屬函數(shù)可以用模糊應(yīng)力狀態(tài)下的隸屬函數(shù)中的模糊安全區(qū)域的面積與總面積的比值來表示，即：

則整個模糊事件的隸屬函數(shù)如式（7）所示。

1.2 模糊事件的可靠性計算

由隨機(jī)事件的概率公式可得模糊事件的概率公式如式（8）所示。

1.2.1 模糊強(qiáng)度—隨機(jī)應(yīng)力下的可靠度計算

將式（4）代入式（8）中，可得整個模糊事件的可靠度如式（9）所示。

式中：Pr為結(jié)構(gòu)的可靠度。

理想情況下，當(dāng)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度不存在模糊性時，上式可轉(zhuǎn)化為式（10）。

式中：P（A）為隨機(jī)事件的概率。

1.2.2 隨機(jī)強(qiáng)度—模糊應(yīng)力下的可靠度計算

將式（7）代入式（8）中，則整個模糊事件的可靠度如式（11）所示。

同理，在不考慮結(jié)構(gòu)所受應(yīng)力的模糊性時，上式可轉(zhuǎn)化為式（12）。

顯然，在不考慮基本變量模糊性的條件下，本文所給出的公式與經(jīng)典可靠性理論中的計算公式一致，足以說明本文所提出的公式的適用性。

2 算例1

某新線大橋中在修筑過程中所采用的鋼筋為HRB400 鋼筋，其屈服強(qiáng)度為400 MPa 左右。鋼筋屈服強(qiáng)度的隸屬函數(shù)滿足三角型分布，假設(shè)鋼筋所受的應(yīng)力服從正態(tài)分布，即σ～N（260，212）MPa。屈服強(qiáng)度的隸屬函數(shù)如式（10）及圖3 所示。求解該鋼筋的屈服強(qiáng)度的模糊可靠度。

鋼筋屈服強(qiáng)度的隸屬函數(shù)為：

則根據(jù)上述理論可得鋼筋在模糊安全狀態(tài)下的隸屬函數(shù)為：

當(dāng)370＜s＜400 時，

當(dāng)400＜s＜440 時，

根據(jù)正態(tài)分布的密度函數(shù)可得，

則由式（9）可知，鋼筋的模糊可靠度為：

當(dāng)不考慮鋼筋強(qiáng)度的模糊性時，計算得到的鋼筋可靠度為：

比較兩種情況下鋼筋的可靠度，我們可以得到：在考慮鋼筋模糊性時計算的結(jié)果比正常計算結(jié)果保守，足以說明計算結(jié)構(gòu)的模糊可靠度能更好地保障結(jié)構(gòu)的安全。

3 算例2

某水利工程中的渡槽橫梁和縱梁均采用C50 混凝土，其抗壓強(qiáng)度為50 MPa，假設(shè)其抗壓強(qiáng)度服從正態(tài)分布，即fC～N（50，42）MPa。渡槽橫梁和縱梁所受應(yīng)力大約為35 MPa，其隸屬函數(shù)符合三角型隸屬函數(shù)分布，其隸屬函數(shù)如式（14）及圖4 所示。計算該混凝土在模糊應(yīng)力下的可靠度。

應(yīng)力的隸屬函數(shù)為：

同理可得，渡槽橫梁和縱梁所受到的應(yīng)力在模糊安全狀態(tài)下的隸屬函數(shù)為：

因?yàn)榛炷量箟簭?qiáng)度服從正態(tài)分布，所以可得：

則由式（11）可得，混凝土受到模糊應(yīng)力狀態(tài)下的可靠度為：

當(dāng)不考慮混凝土所受應(yīng)力的模糊性時，計算的混凝土可靠性為：

對比可得，在設(shè)計時，考慮混凝土所受應(yīng)力的模糊性時的計算結(jié)果比不考慮其所受應(yīng)力的模糊性時的計算結(jié)果更加保守，結(jié)構(gòu)也更加安全。

4 結(jié)論

本文出于實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)構(gòu)件的安全性考慮，提出了一種計算結(jié)構(gòu)模糊可靠性的算法。用結(jié)構(gòu)模糊安全狀態(tài)下的隸屬函數(shù)來表示整個模糊事件的隸屬函數(shù)。通過對比以上兩個算例考慮模糊狀態(tài)和不考慮模糊狀態(tài)的可靠度計算結(jié)果可得：利用本文提出的方法計算出的模糊可靠度要比不考慮模糊狀態(tài)時計算出的可靠度數(shù)值保守，使用該方法進(jìn)行可靠度計算，能夠更好地保障工程結(jié)構(gòu)的安全。