等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用

樊永文

(甘肅省民樂縣第一中學(xué) 734500)

近年高考數(shù)學(xué)試題中，關(guān)于等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用是一個考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，我們應(yīng)引起足夠重視.基于此，本文特歸類舉例加以說明，希望能夠幫助同學(xué)們掌握一些常用的解題方法，進(jìn)一步提高處理等差、等比數(shù)列綜合問題的解題能力.

1 考查等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的綜合應(yīng)用

又注意到所求式子與b無關(guān)，從而應(yīng)設(shè)法消去b.

因?yàn)橛散诘胋=2x-a，

由③得b=2y-c，

所以將之代入①可得

(2x-a)(2y-c)=ac.

即4xy-2ay-2cx=0.

評注一般地，a，b，c成等差數(shù)列?b是a，c的等差中項(xiàng)?2b=a+c；a，b，c成等比數(shù)列?b是a，c的等比中項(xiàng)?b2=ac(其中a，b，c都不為零).

2 考查兩個等差或兩個等比數(shù)列的交匯問題

(2)在等比數(shù)列{an}中，a1=2，前n項(xiàng)和為Sn.若數(shù)列{an+1}也是等比數(shù)列，則Sn=____．

解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則

解得d=0.故所求Sn=na1=5n.

(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則

a1+1=3,a2+1=2q+1,a3+1=2q2+1.

所以由{an+1}是等比數(shù)列,得

解得q=1.故所求Sn=na1=2n.

評注類似分析，可得如下一般性結(jié)論：

②設(shè){an}是等比數(shù)列，且公比為q，若{an+c}(c≠0)也是等比數(shù)列，則q=1.

3 以等差數(shù)列為背景，設(shè)置等比數(shù)列問題

例3在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，a2是a1與a4的等比中項(xiàng).已知數(shù)列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)kn.

所以(a1+d)2=a1(a1+3d).

所以d2=a1d.

又公差d≠0，所以d=a1.

所以an=a1+(n-1)d=nd.

從而，由題設(shè)得數(shù)列d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比數(shù)列.

又注意到d≠0，故可得所求kn=3n+1.

解法2同解法1，先求得a1=d，

所以kn·d=d·3n+1.

又注意到d≠0，故可得所求kn=3n+1.

評注上述兩種解法的區(qū)別在于：前者先明確所給等比數(shù)列的各項(xiàng)，再運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；后者則是考慮akn在兩個數(shù)列中的不同位置，并靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行綜合分析.

4 考查等差數(shù)列與等比數(shù)列交錯接龍

解析因?yàn)閿?shù)列a1,a2,…,a6是以a1=-3為首項(xiàng)，且以d1=1為公差的等差數(shù)列，所以可得a6=-3+5×1=2.

于是，由數(shù)列a6,a7,…,a12是以q1=3為公比的等比數(shù)列，得a12=a6·q6=2×36.

由數(shù)列a12,a13,…,a18是以d2=-2為公差的等差數(shù)列，可得a18=a12+6d2=2×36+6×(-2)=2×36-12.

評注在具體情景下，多次反復(fù)運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是本題順利求解的關(guān)鍵所在.整體看，本題設(shè)計(jì)較好，情景新穎，不僅考查了學(xué)生的閱讀理解能力，而且也考查了學(xué)生在新情景下靈活運(yùn)用所學(xué)等差、等比數(shù)列知識分析、解決問題的實(shí)際能力.

5 以行與列的形式，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的活用

(1)求公比q的值；

(2)求a4k；

(3)求ann；

(4)求a11+a22+…+ann.

圖1

于是，由第4列的數(shù)組成等比數(shù)列,得

(2)因?yàn)榈?行的數(shù)組成等差數(shù)列，

所以a4k=a42+(k-2)·(a43-a42)

(4)根據(jù)(3)可知

④

⑤

由④-⑤,得

評注(1)本題以“方陣”為載體，考查了在新情景下學(xué)生靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列知識處理問題的能力，而解題的關(guān)鍵就是利用等差、等比數(shù)列推廣的通項(xiàng)公式及錯位相減法.

(2)根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，很容易證得推廣的通項(xiàng)公式：

①若{an}是等差數(shù)列，則an=am+(n-m)d；

②若{an}是等比數(shù)列，則an=am·qn-m.

綜上，處理有關(guān)等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用問題，首先要認(rèn)真審題，看清題目已知條件；其次，要能夠?qū)⒌炔睢⒌缺葦?shù)列的性質(zhì)在解題中加以靈活、準(zhǔn)確運(yùn)用.顯然，通過上述的歸類剖析，可幫助我們進(jìn)一步熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而提高對新情景的適應(yīng)能力以及對相關(guān)知識的綜合運(yùn)用能力，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).