基于非局部理論的一維飽和土層穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

閆啟方，李曉嫻，張宗領(lǐng)

(信陽(yáng)師范學(xué)院 建筑與土木工程學(xué)院， 河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言

當(dāng)前，對(duì)于多孔介質(zhì)的研究主要是以Biot飽和土理論[1]、多孔介質(zhì)理論[2]和雜交混合物理論[3]為主，而在刻畫(huà)飽和土力學(xué)特性方面大多采用Biot飽和土理論。EDELMAN[4]、余萍[5]等指出Biot飽和土理論存在一定的模型缺陷：一是模型的耦合慣性質(zhì)量是非客觀量，二是本構(gòu)模型假定不滿足物質(zhì)客觀公理。所以，能夠避免非相容性又可以滿足相關(guān)公理的多孔介質(zhì)理論相對(duì)而言較為合理。

隨著海綿城市地下管道、人防工程、地鐵、地下隧道等的建設(shè)，動(dòng)力響應(yīng)和穩(wěn)定問(wèn)題事關(guān)地下結(jié)構(gòu)或建筑物工程安全，地下結(jié)構(gòu)或建筑物動(dòng)力響應(yīng)的研究在土木工程、地震工程和地球物理學(xué)領(lǐng)域具有十分重要的研究?jī)r(jià)值，已成為相關(guān)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和難點(diǎn)?；贐iot飽和土理論，ZHANG[6]提出了一種求解黏彈性層狀飽和多孔介質(zhì)中波傳播的數(shù)值方法和傳輸矩陣法，對(duì)黏彈性層狀多孔介質(zhì)中波的傳播問(wèn)題進(jìn)行了研究。李偉華等[7]利用非飽和多孔介質(zhì)波動(dòng)方程建立了非飽和土自由場(chǎng)地震反應(yīng)分析模型，分析了平面P波入射情況下場(chǎng)地中的波場(chǎng)?；诙嗫捉橘|(zhì)理論，DE BOER等[8-9]分析了流體飽和多孔介質(zhì)動(dòng)力響應(yīng)場(chǎng)方程的一般形式，并將其應(yīng)用于瞬態(tài)波動(dòng)的研究，得到了不可壓流體飽和半空間一維動(dòng)力響應(yīng)的解析解，以及研究了平面簡(jiǎn)諧波在不可壓流體飽和彈性半空間的傳播和反射，得到了彌散關(guān)系、波速、衰減系數(shù)等。楊驍?shù)萚10]基于多孔介質(zhì)理論，利用Laplace逆變換的Crump數(shù)值反演方法，得到了流體飽和不可壓黏彈性多孔介質(zhì)層的一維動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題的數(shù)值解。

對(duì)于飽和土層動(dòng)力響應(yīng)等的研究，不管是采用Biot飽和土理論還是多孔介質(zhì)理論，都沒(méi)有考慮孔隙尺寸、孔隙動(dòng)力等局部效應(yīng)的影響。ERINGEN[11-12]指出，連續(xù)體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力，不只與該點(diǎn)的應(yīng)變有關(guān)，還與連續(xù)體內(nèi)所有點(diǎn)的應(yīng)變及變形歷史有關(guān)，為此，提出了非局部理論，將非局部核函數(shù)直接引入到傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方程，這樣能夠有效反映尺度因素的影響。當(dāng)前非局部理論在納米領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，但在其他領(lǐng)域的研究才剛剛起步，特別是巖土工程領(lǐng)域，TONG等[13]首次將非局部彈性理論和Biot飽和土理論相結(jié)合，提出了一種非局部Biot飽和土理論，并研究了流體飽和多孔介質(zhì)中波的傳播特性。徐長(zhǎng)節(jié)等[14]在非局部理論和Biot理論的基礎(chǔ)上研究了飽和土中深埋圓柱形襯砌對(duì)平面彈性波的散射問(wèn)題。為了克服Biot理論存在的不足，同時(shí)考慮土體非局部效應(yīng)的影響，基于非局部彈性理論和多孔介質(zhì)理論，本文構(gòu)建飽和土的運(yùn)動(dòng)控制方程，并在此基礎(chǔ)上研究一維飽和土層的動(dòng)力響應(yīng)，分析非局部效應(yīng)等對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響。

1 基于非局部理論的飽和土控制方程

在線彈性、均勻和各向同性的情況下，不計(jì)體力的非局部理論的基本方程[11]為:

σij,j=0,

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1所示為一半無(wú)限飽和土層，飽和土層的上表面有均布的簡(jiǎn)諧荷載Q(t)=q0eiωt，i為虛數(shù)單位，ω為荷載頻率。飽和土層下部為基巖，土層的厚度為H。

圖1 飽和土層Fig.1 Saturated soil layer

對(duì)于飽和土，采用多孔介質(zhì)理論進(jìn)行描述，由于方程(1)是在不考慮體力影響下建立的，而此處的問(wèn)題為穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，為此需要在多孔介質(zhì)理論的基礎(chǔ)上對(duì)方程(1)進(jìn)行修改。借助體積分?jǐn)?shù)的概念并忽略固相骨架和流相之間的能力和質(zhì)量交換，則有飽和多孔介質(zhì)的動(dòng)量方程和體積分?jǐn)?shù)方程為[15]:

(5)

(6)

其中：p為孔隙水壓力，Sv為液固耦合系數(shù),I為單位矩陣。再考慮固相土骨架的本構(gòu)方程:

(7)

其中：λS、μS為宏觀拉梅常數(shù)。

由式(4)—式(7)可以得到，以位移表示的基于非局部理論和多孔介質(zhì)理論的飽和土控制方程為

(8)

2 基于非局部理論一維飽和土層穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解

對(duì)于如圖1所示的飽和土層，由式(8)可以得到沿x方向的一維飽和土耦合動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的基本方程為

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

無(wú)量綱運(yùn)算可得

(14)

(15)

(16)

式(14)—式(16)可以寫(xiě)成矩陣形式：

(17)

這里，

令

(18)

代入式(17)可得特征方程為

r4-β2r2=0,

(19)

式中，

由此可得特征根分別為

r1,2=±β，r3,4=0,

(20)

與特征根對(duì)應(yīng)的特征矢量分別為

(21)

其中

由此可得方程(17)的通解為

(22)

其中，待定系數(shù)C1、C2、C3可根據(jù)邊界條件式(12)確定，由此可得

(23)

(24)

(25)

(26)

3 數(shù)值算例與分析

為了方便分析非局部效應(yīng)等對(duì)一維飽和土層穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，令

圖2—圖4通過(guò)α=e0a/H來(lái)考慮飽和土孔隙尺寸、孔隙動(dòng)應(yīng)力等對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。可以看出，不考慮非局部效應(yīng)時(shí)波動(dòng)一直存在，隨著非局部效應(yīng)的增強(qiáng)，峰值越小，且在高頻時(shí)峰值消失，曲線趨于穩(wěn)定(x/H=0處)，說(shuō)明當(dāng)考慮孔隙尺寸、孔隙動(dòng)應(yīng)力等因素時(shí)系統(tǒng)阻尼有增大現(xiàn)象。隨著頻率的增大，固相位移和液相位移波動(dòng)減小，由于頻率較大時(shí)系統(tǒng)來(lái)不及反應(yīng),和自由表面直接承受外部荷載作用,產(chǎn)生了一定位移，進(jìn)而導(dǎo)致固相位移和液相位移隨頻率增大，曲線趨于常數(shù)，此時(shí)固相位移和液相位移很小。

圖2 非局部效應(yīng)對(duì)固相位移的影響Fig. 2 Influence of nonlocal effect on displacement of solid phase

圖3 非局部效應(yīng)對(duì)液相位移的影響Fig. 3 Influence of nonlocal effect on displacement of fluid phase

圖4 非局部效應(yīng)對(duì)孔隙水壓力的影響Fig. 4 Influence of nonlocal effect on pore water pressure

液-固耦合系數(shù)對(duì)固相位移、液相位移和孔隙水壓力的影響主要在變化曲線的峰值處，且有較大的影響(圖5—圖7)。隨著固相和液相相互作用的增大，固相位移、液相位移和孔隙水壓力將減小。

圖5 液-固耦合系數(shù)對(duì)固相位移的影響Fig. 5 Influence of liquid-solid coupling coefficient on displacement of solid phase

圖6 液-固耦合系數(shù)對(duì)液相位移的影響Fig. 6 Influence of liquid-solid coupling coefficient on displacement of fluid phase

4 結(jié)論

在非局部彈性理論和多孔介質(zhì)理論的基礎(chǔ)上，克服Biot飽和土理論的不足，考慮飽和土孔隙尺

圖7 液-固耦合系數(shù)對(duì)孔隙水壓力的影響Fig. 7 Influence of liquid-solid coupling coefficient on pore water pressure

寸、孔隙動(dòng)應(yīng)力等的影響，構(gòu)建了基于非局部理論的飽和土的運(yùn)動(dòng)控制方程，研究了上表面均布簡(jiǎn)諧荷載作用下飽和土層的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。通過(guò)數(shù)值算例分析發(fā)現(xiàn)：(1)簡(jiǎn)諧荷載作用下飽和土層的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)存在共振現(xiàn)象，當(dāng)考慮飽和土的非局部效應(yīng)時(shí)，共振現(xiàn)象主要發(fā)生在低頻范圍內(nèi)，高頻時(shí)共振消失；(2)考慮飽和土的非局部效應(yīng)可以增大飽和土的阻尼，降低固相位移、液相位移隨頻率變化曲線的幅值，且在高頻時(shí)由于系統(tǒng)來(lái)不及反應(yīng)，固相位移和液相位移將趨于零。(3)由于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的原因，飽和土孔隙水壓力隨頻率的增大將逐漸增大，甚至?xí)a(chǎn)生液化現(xiàn)象。(4)當(dāng)考慮液相和固相相互作用的影響時(shí)，固相位移、液相位移和孔隙水壓力在峰值處將減小，液固耦合系數(shù)的影響主要在峰值處。