基于ABAQUS 的二級(jí)減速器箱體有限元分析與回歸分析

馬云睿，張凱杰，郁欽陽(yáng)，丁超杰

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

減速器箱體的主要作用是支撐傳動(dòng)系統(tǒng)，在外部和內(nèi)部激勵(lì)的作用下，減速器箱體容易產(chǎn)生振動(dòng)和彈性變形；當(dāng)箱體受載過(guò)大時(shí)，產(chǎn)生的彈性變形會(huì)嚴(yán)重影響齒輪副的嚙合，導(dǎo)致齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力的產(chǎn)生。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)減速器箱體的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究，魏靜[1]等計(jì)算了風(fēng)電齒輪箱基于內(nèi)部激勵(lì)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)；劉濤[2]等基于ANSYS 優(yōu)化功能對(duì)減速器箱體結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化；陳克[3]等建立車用變速箱箱體模型，并通過(guò)ANSYS 對(duì)箱體的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析研究；王富民[4]等針對(duì)齒輪箱進(jìn)行諧響應(yīng)分析，得出不同頻率下的振動(dòng)響應(yīng)。

本文以二級(jí)減速器為研究對(duì)象，建立有限元模型，對(duì)箱體進(jìn)行受力分析，得到箱體的靜態(tài)分析結(jié)果，證明結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性；對(duì)箱體施加正弦激振力，進(jìn)行諧響應(yīng)分析，探究在各階模態(tài)下箱體的響應(yīng)規(guī)律；以箱體肋板厚度和箱體壁厚作為變量因素，對(duì)設(shè)計(jì)工況下的箱體最大彈性變形進(jìn)行回歸，建立數(shù)學(xué)模型，得到2 個(gè)因素的顯著性程度，為減速器箱體的參數(shù)設(shè)計(jì)提供參考。

1 二級(jí)減速器箱體受力分析

1.1 傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

傳動(dòng)系結(jié)構(gòu)如圖1 所示，電機(jī)1 輸入的驅(qū)動(dòng)力通過(guò)聯(lián)軸器2 傳入減速器齒輪箱3 中，減速器采用兩級(jí)齒輪傳動(dòng)，分別為高速級(jí)的斜齒齒輪傳動(dòng)和低速級(jí)的直齒齒輪傳動(dòng)，再經(jīng)聯(lián)軸器4 將動(dòng)力傳送至負(fù)載5。

圖1 傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組成Fig.1 Structure composition of transmission system

1.2 減速器各級(jí)齒輪基本參數(shù)

一級(jí)齒輪副：法向模數(shù)mn1=1.5，小齒輪齒數(shù)z1=22，大齒輪齒數(shù)z2=95，螺旋角β=12°，壓力角α=20°；二級(jí)齒輪副：法向模數(shù)mn2=2，小齒輪齒數(shù)z3=25，大齒輪齒數(shù)z4=82，螺旋角β=0°，壓力角α=20°；根據(jù)各級(jí)齒輪參數(shù)可以計(jì)算得到各級(jí)傳動(dòng)軸的傳動(dòng)比i12=4.32，i23=3.28。

1.3 各級(jí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的受力情況

輸入轉(zhuǎn)矩計(jì)算公式：

式中：T——輸入扭矩，N·m；P——輸入功率，kW；Nn——額定轉(zhuǎn)速，r/min。

已知高速軸的輸入功率是7.2 kW，電機(jī)的額定轉(zhuǎn)速為1 440 r/min，由于齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)效率一般可達(dá)0.95～0.99，故忽略各級(jí)齒輪嚙合產(chǎn)生的功率損耗。各級(jí)傳動(dòng)軸的輸入轉(zhuǎn)矩通過(guò)力學(xué)公式計(jì)算可得：T1=47.75 N·m；T2=206.28 N·m；T3=676.6 N·m。

齒輪各向受力計(jì)算公式：

式中：Ft——圓周力，N；Fr——徑向力，N；Fa——軸向力，r/min。齒輪受力情況如表1 所示。

表1 齒輪受力分布表Tab.1 Force distribution of gears

減速器正常工作時(shí)，齒輪所受的合力通過(guò)傳動(dòng)軸至軸承，最后傳遞到箱體的軸承座上，計(jì)算可得圓周力與徑向力合力作用下箱體各軸承座的受力情況，以及各個(gè)軸承座的受力方向，如表2 所示。

表2 箱體軸承座載荷分布表Tab.2 Load distribution of box bearing pedestal

將軸承座受力轉(zhuǎn)換成壓強(qiáng)的形式[5]：

式中：F——軸承座所受合力；d——軸承孔直徑；l——軸承座壁厚。

高速軸軸承座直徑為62 mm，中間軸軸承座直徑為80 mm，低速軸軸承座直徑為95 mm，軸承座壁厚為50 mm，齒輪中心距從一級(jí)齒輪副到二級(jí)齒輪副分別為148.5 mm 和174 mm。求得高速軸軸承座所受壓強(qiáng)為p1=0.25 MPa，p2=0.67 MPa；中間軸軸承座所受壓強(qiáng)為p3=1.50 MPa，p4=1.20 MPa；低速軸軸承座所受壓強(qiáng)為p5=1.14 MPa，p6=0.62 MPa。

2 二級(jí)減速器箱體有限元模型的建立

箱體三維模型通過(guò)Creo 軟件建立，為保證模擬分析與實(shí)際的一致性，模型盡量保留箱體的原始結(jié)構(gòu)特征，如圓角特征、軸承座外表面的錐形特征等。箱體分為箱蓋和下箱體，其尺寸（單位：mm）分別為663×280×168 和663 ×280 ×190。減速箱箱體結(jié)構(gòu)如圖2 所示。再將Creo 中建立的三維模型導(dǎo)入ABAQUS，給模型添加材料屬性并劃分網(wǎng)格，共劃分了129 972 個(gè)節(jié)點(diǎn)，561 558 個(gè)單元。有限元模型如圖3 所示。

圖2 箱體結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Box structure

圖3 箱體有限元模型Fig.3 Finite element model of box

箱體材料相關(guān)參數(shù)如表3 所示。

表3 材料參數(shù)Tab.3 Material parameters

3 減速器箱體靜力學(xué)模擬分析

3.1 靜力學(xué)分析目的

實(shí)際工作中，齒輪軸將齒輪傳動(dòng)承受的載荷作用在滾動(dòng)軸承上，滾動(dòng)軸承再將載荷傳遞到齒輪箱，齒輪箱受力發(fā)生彈性變形，產(chǎn)生內(nèi)部激勵(lì)，影響傳動(dòng)性能，因此必須通過(guò)靜力分析，預(yù)測(cè)箱體在正常工作時(shí)不發(fā)生大變形且不會(huì)因應(yīng)力過(guò)大而破壞。

3.2 靜力分析求解結(jié)果

由圖4 和圖5 可知，設(shè)計(jì)工況下箱體的最大應(yīng)力發(fā)生在箱體中間軸的軸承座處，值為8.6 MPa，遠(yuǎn)小于箱體材料的強(qiáng)度極限；最大彈性變形發(fā)生在箱體中間軸軸承座外緣處，位移值為10 μm，對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)影響較小，說(shuō)明減速器在該工況下能夠正常運(yùn)行。

圖4 箱體應(yīng)力云圖Fig.4 Stress nephogram of gear box

圖5 箱體位移云圖Fig.5 Cloud chart of gear box displacement

4 二級(jí)減速器箱體模態(tài)分析與諧響應(yīng)分析

4.1 模態(tài)分析目的

模態(tài)分析用于計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的數(shù)值分析技術(shù)，可分析二級(jí)減速器箱體結(jié)構(gòu)的固有頻率、固有振型，目的是避免工作時(shí)箱體發(fā)生共振。其動(dòng)力學(xué)微分方程為

4.2 箱體固有限元模態(tài)分析結(jié)果

采用ABAQUS 仿真軟件對(duì)減速器箱體進(jìn)行模態(tài)分析，得到箱體前6 階固有頻率和振型。在實(shí)際工作箱體底板、箱蓋和下箱體通過(guò)螺栓連接固定，所以這里求解約束模態(tài)：對(duì)下箱體底板的螺栓孔處設(shè)置固定約束，箱蓋與下箱體通過(guò)tie 綁定約束，其結(jié)果如表4 所示。

表4 減速器箱體前6 階固有頻率Tab.4 The first six natural frequencies of reducer box

由于篇幅有限，本文只給出一階模態(tài)下的箱體振型云圖，如圖6 所示。

圖6 減速箱箱體一階模態(tài)振型云圖Fig.6 Nephogram of first mode vibration mode of gearbox

分析結(jié)果表明，減速器箱體最低固有頻率為373.3 Hz；減速器正常工作時(shí)，高速軸齒輪的轉(zhuǎn)速為1 440 r/min，轉(zhuǎn)頻為f1=24 Hz；中間軸齒輪的轉(zhuǎn)速為333.5 r/min，轉(zhuǎn)頻為f2=5.5 Hz；低速軸齒輪轉(zhuǎn)速為101.7 r/min，轉(zhuǎn)頻為f3=1.7 Hz，都遠(yuǎn)小于齒輪箱的1 階模態(tài)。齒輪的嚙合頻率分別為f12=528 Hz，f34=139 Hz，沒(méi)有與箱體的各階固有頻率重疊，但高速齒輪副的嚙合頻率接近箱體2 階固有頻率，在實(shí)際工作中可能會(huì)引起共振，為避免這種現(xiàn)象，可考慮優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)或更換材料以改變箱體固有頻率。

4.3 諧響應(yīng)分析

本文已經(jīng)對(duì)減速器箱體模型做了模態(tài)分析得到其固有頻率，現(xiàn)要研究在不同激振頻率下箱體的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，故采用模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析。諧響應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程：

式中：F1，F(xiàn)2——激振力。

已知前6 階固有頻率為373～901 Hz，所以掃頻范圍設(shè)置為300～1 000 Hz 求解步數(shù)為100 步，正弦激振力的頻域幅值為3 244 N，以軸承載荷的方式施加在輸入軸軸承座上，選取齒輪箱三位置設(shè)置節(jié)點(diǎn)，如圖7 所示，得到節(jié)點(diǎn)振動(dòng)位移頻域圖如圖8—圖10 所示。

圖7 振動(dòng)節(jié)點(diǎn)位置示意圖Fig.7 Schematic diagram of vibration node location

圖8 節(jié)點(diǎn)1 位移頻域圖Fig.8 Frequency domain diagram of node 1 displacement

圖9 節(jié)點(diǎn)2 位移頻域圖Fig.9 Frequency domain diagram of node 2 displacement

圖10 節(jié)點(diǎn)3 位移頻域圖Fig.10 Frequency domain diagram of node 3 displacement

由圖7、圖8 可知，上箱體在373.3 Hz、901.7 Hz附近時(shí)會(huì)出現(xiàn)最大振動(dòng)位移。由圖9 可知，下箱體在373.3 Hz 附近時(shí)會(huì)出現(xiàn)最大的振動(dòng)位移，因?yàn)殡姍C(jī)的額定轉(zhuǎn)速為1 440 r/min,齒輪嚙合頻率最大為f12=528 Hz，f34=139 Hz，因此減速器在正常工作時(shí)輸入轉(zhuǎn)速應(yīng)盡量避免1 017 r/min，防止箱體發(fā)生一階共振。

5 減速器箱體剛度影響因素分析

5.1 箱體受載剛度影響因素

箱體的工作能力主要取決于剛度，增加箱體的壁厚可以顯著提高箱體的剛度，此外在箱體受力較大的部位設(shè)置加強(qiáng)肋增加肋板厚度，可顯著增加箱體的剛度[6]。

5.2 數(shù)據(jù)來(lái)源

通過(guò)參數(shù)化箱體模型，以箱體壁厚和加強(qiáng)肋厚度作為實(shí)驗(yàn)因素，以箱體的最大變形為實(shí)驗(yàn)指標(biāo)，構(gòu)建2 因素4 水平實(shí)驗(yàn)得到16 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表6 所示。

表5 因素水平表Tab.5 Factor levels

表6 箱體變形實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表Tab.6 Experimental data of box deformation

5.3 數(shù)學(xué)模型建立

基于上文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，記箱體的最大變形量為y，肋板厚度為X1，箱體壁厚為X2，構(gòu)建最大變形量與各影響因素之間的回歸模型。

首先假設(shè)箱體正常工況下最大彈性變形量y與各因素之間是多元線性回歸模型：

利用統(tǒng)計(jì)軟件Stata 進(jìn)行求解，得到的回歸結(jié)果如圖11 所示。

圖11 Stata 回歸分析結(jié)果圖Fig.11 Results of Stata regression analysis

利用Stata 回歸功能得到各回歸系數(shù)為β0=13.652，β1=-0.03，β2=-0.449，且β1對(duì)應(yīng)的P值為0.02＜0.05，β2對(duì)應(yīng)的P值為0.00＜0.05，因此β1與β2顯著不為0；同時(shí)檢驗(yàn)回歸模型的3 個(gè)統(tǒng)計(jì)量：擬合優(yōu)度R2=0.99，檢驗(yàn)值F=738，檢驗(yàn)值F對(duì)應(yīng)的P值為0.00，由于擬合優(yōu)度高達(dá)0.99，表明回歸模型式（8）可以比較準(zhǔn)確地反應(yīng)X1與X2對(duì)y的影響程度。

5.4 回歸結(jié)果分析

由回歸模型可知，當(dāng)箱體其他參數(shù)不變時(shí)，肋板厚度增加一個(gè)單位量，箱體在正常工況下最大變形減少0.03 μm，箱體壁厚增加一個(gè)單位量時(shí)最大變形量減少0.45 μm；該回歸模型也反映出箱體厚度對(duì)影響箱體彈性變形具有更大的顯著性，對(duì)減速箱箱體剛度優(yōu)化提供了理論依據(jù)，對(duì)減速器箱體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

6 結(jié)論

（1）對(duì)設(shè)計(jì)工況下的箱體進(jìn)行靜力分析，可知箱體的最大彈性變形量為10 μm，最大Mises 應(yīng)力為8 MPa，遠(yuǎn)小于鑄鐵的強(qiáng)度極限，證明設(shè)計(jì)參數(shù)的合理性。

（2）基于箱體前6 階模態(tài)分析結(jié)果進(jìn)行諧響應(yīng)分析，得出結(jié)論：箱體的第1 階、第5 階和第6階模態(tài)下箱體的振動(dòng)響應(yīng)最明顯，在工作時(shí)應(yīng)盡量避免箱體的1 階、6 階固有頻率，因此減速器在正常工作時(shí)輸入轉(zhuǎn)速應(yīng)盡量避免1 017 r/min，防止箱體發(fā)生1 階共振。

（1）以箱體肋板和壁厚作為變量因素進(jìn)行2因素4 水平全因子實(shí)驗(yàn)，得到不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下箱體最大變形數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，得到結(jié)論：箱體的肋板厚度和壁厚均對(duì)箱體的剛度有顯著性影響，且壁厚的顯著性要大于肋板厚度，為同類減速器的剛度優(yōu)化提供了理論依據(jù)。