(1+1)維色散長波系統(tǒng)的留數(shù)對稱和相互作用解

張開開,夏亞榮

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710055)

1.引言

非線性偏微分方程在物理學(xué)、力學(xué)以及各類工程技術(shù)科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用,尤其是在物理的各個分支領(lǐng)域受到越來越多學(xué)者們的關(guān)注,如流體力學(xué)、等離子體理論、非線性光學(xué)和量子場論等[1-2].對稱分析在求解非線性偏微分系統(tǒng)中起著重要作用,利用經(jīng)典或非經(jīng)典的Lie群方法[3],可以獲得微分方程的Lie點(diǎn)對稱,并通過有限變換將已知解轉(zhuǎn)化為新解,通過相似約化構(gòu)造群不變解.近年來,樓森岳教授發(fā)現(xiàn)對于任意一個Painlev′e可積的非線性系統(tǒng),在Painlev′e截斷展開時,奇異流形的負(fù)一次冪的系數(shù)就是該系統(tǒng)的非局域?qū)ΨQ,也被稱為留數(shù)對稱[4].由于非局域?qū)ΨQ是無法直接求解的,樓等人[5]為解決該問題,提出將初始系統(tǒng)進(jìn)行延拓的直接方法,通過引入新的輔助因變量使得初始系統(tǒng)局部化為Lie點(diǎn)對稱,然后通過Lie第一基本定理得出封閉系統(tǒng)的有限對稱變換群.另外,樓森岳教授對tanh函數(shù)展開法和Riccati方程展開法進(jìn)行了推廣,并構(gòu)造出求解非線性系統(tǒng)的CRE方法和CTE方法[6-7],這對尋找更多非線性系統(tǒng)的可積性提供了可能.

文[8]基于Painlev′e截斷展開研究了廣義色散水波系統(tǒng)的留數(shù)對稱、n階B¨acklund變換,并運(yùn)用CTE方法求解出孤子與共振波、周期波、有理函數(shù)波和誤差函數(shù)波之間的相互作用解;文[9]基于標(biāo)準(zhǔn)的Painlev′e截斷展開導(dǎo)出了(2+1)維色散長波系統(tǒng)的留數(shù)對稱、B¨acklund變換,研究了該系統(tǒng)的CRE可解性、孤子-橢圓波解和守恒律;文[10]利用Painlev′e截斷展開法構(gòu)造了(2+1)維色散長波方程的非局域?qū)ΨQ、B¨acklund變換,并從CRE方法出發(fā)研究了孤子-橢圓波相互作用解.本文主要考慮(1+1)維色散長波系統(tǒng)的留數(shù)對稱、局部化、B¨acklund變換、CRE可解和相互作用解,具體方程組如下:

其中,沿x軸傳播的水平速度u(x,t)和未受擾動水面上波的高度v(x,t)分別是x和t的可微函數(shù).在文[11]中利用齊次平衡法得到系統(tǒng)(1.1)的多孤子解.

本文具體工作安排如下: 第二部分基于Painlev′e截斷展開法解出(1+1)維色散長波系統(tǒng)的留數(shù)對稱,并給出該系統(tǒng)對應(yīng)的有限對稱變換群;第三部分證明了(1+1)維色散長波系統(tǒng)是CRE可解的,并利用CRE方法的特殊形式CTE方法求出該系統(tǒng)的相互作用解,同時選取適當(dāng)?shù)膮?shù)對上述解作出圖像模擬;第四部分是對本文的總結(jié)和討論.

2.(1+1)維色散長波系統(tǒng)的留數(shù)對稱

定義2.1給定一個非線性偏微分方程

若它的解u具有如下的洛朗展開式:

并滿足

1)α是一個整數(shù)(領(lǐng)頭項分析確定);

2)uj=uj(t,z1,z2···zn)(j=1,2,···)在流形φ(z1,z2···zn)的鄰域內(nèi)解析;

3)uj(j=1,2,···)滿足方程自相容的解.則稱非線性偏微分方程(2.1)具有Painlev′e性質(zhì).

對于任意一個具有Painlev′e性質(zhì)的非線性偏微分方程(2.1)都可以做如下截斷Painlev′e展開,

其中α是通過領(lǐng)頭分析而確定的正整數(shù).

而方程(2.1)的一個對稱σ滿足下面方程

把展開式(2.3)代入原方程(2.1)中,消去φ的各次冪的系數(shù),我們可得如下定理.

定理2.1(留數(shù)對稱定理)Painlev′e截斷展開式(2.3)中奇異流形的留數(shù)uα-1關(guān)于原方程(2.1)的解uα是一個對稱.

證將(2.3)代入原方程(2.1)中,我們有

分別消去φ0和φ-1可得

由對稱定義可知uα是原始系統(tǒng)的解,奇異流行的留數(shù)

是關(guān)于解uα的一個對稱,故定理2.1 得證.

對于一個Painlev′e可積的非線性偏微分方程(2.1),我們通過變換

可以把原方程(2.1)轉(zhuǎn)化為它的Schwarzian形式

Schwarzian形式(2.10)在M¨obious變換

下是不變的,這意味著方程(2.10)具有三個對稱σφ=d1,σφ=d2φ和

其中d1,d2和d3為任意常數(shù).

根據(jù)以上討論我們可以知道留數(shù)對稱就是關(guān)于線性化方程(2.9)的M¨obious變換的對稱(2.12),也就是說留數(shù)對稱可以局部化為

對于不同的模型,d3的取值不同.

現(xiàn)通過齊次平衡法平衡(1+1)維色散長波系統(tǒng)的最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項,我們可以得到系統(tǒng)(1.1)的Painlev′e截斷展開式為

其中u0,u1,v0,v1,v2和奇異流行φ都是關(guān)于x和t的函數(shù).把(2.14)式代入(1.1)式中消去的各次冪的系數(shù)可以得到

并且φ滿足系統(tǒng)(1.1)的Schwarzian方程

把(2.14)式和(2.15)式代入系統(tǒng)(1.1)中我們可以得到如下的非自B¨acklund變換.

定理2.2如果φ是Schwarzian方程(2.16)的解,那么

是系統(tǒng)(1.1)的解.

定理2.3(1+1)維色散長波方程組系統(tǒng)(1.1)的留數(shù)對稱為:

證方程組(1.1)對應(yīng)的線性化方程為:

利用(2.16)把(2.17)和(2.18)代入(2.19)中,則(2.19)倆端恒成立,故該定理得證.

系統(tǒng)(1.1)的留數(shù)對稱σu=2φx,σv=2φxx對應(yīng)的初值問題為:

這里ε為無窮小參數(shù).由于函數(shù)φ和φ的導(dǎo)數(shù)的存在,導(dǎo)致系統(tǒng)(1.1)的留數(shù)對稱(2.18)不是一個封閉系統(tǒng),即留數(shù)對稱是非局部對稱,因此對應(yīng)的初值問題是無法求解的,所以我們需引入倆個新的輔助因變量

使得非局域?qū)ΨQ局部化為下列Lie點(diǎn)對稱

從方程(2.22)可以看出,在由(1.1)、(2.16)和(2.21)構(gòu)成的延拓系統(tǒng)中,非局部的留數(shù)對稱已轉(zhuǎn)化為了局部對稱,且方程(2.22)的Lie點(diǎn)對稱的向量場表示為:

根據(jù)Lie第一基本定理,求解以下初值問題:

通過求解上述初值問題,可以得到如下的有限對稱變換定理:

定理2.4(自B¨acklund變換定理) 若{u,v,φ,g,h}是延拓系統(tǒng)(1.1)、(2.16)和(2.21)的一個解,則也是該延拓系統(tǒng)的一個解,其中,

注2.4由定理2.4我們可以知道,通過Painlev′e截斷展開得到的留數(shù)對稱σu=2φx,σv=2φxx正好是群(2.25)的無窮小形式.因為奇異流行系統(tǒng)(1.1)、(2.16)和(2.21)在變換1+εφ →φ(εg →φx,εh →φxx)下是保持不變的.因此以上的群變換實(shí)際上等價于把表達(dá)式(2.15)代入(2.14)后的Painlev′e截斷展開式.

3.(1+1)維色散長波系統(tǒng)的CRE可解性和相互作用解

由于留數(shù)對稱得到的解是一個特殊的群不變解[12],為了找到初始系統(tǒng)(1.1)更一般的解,我們將留數(shù)對稱方法進(jìn)一步推廣到CRE方法,并證明系統(tǒng)(1.1)是CRE可解的.其次,通過CRE方法的特殊形式CTE方法得到孤子-橢圓余弦波的相互作用解.

Ⅰ CRE可解

對于一個給定的非線性偏微分方程

我們的目的是尋找如下截斷展開形式的解,

其中u,w是x,t的函數(shù),n是通過平衡方程(3.1)的非線性項和最高階導(dǎo)數(shù)項而確定的正整數(shù),R(w)滿足如下的Riccati方程

其中a0,a1和a2是常數(shù).將(3.2)及(3.3)代入(3.1)中得到關(guān)于R(w)的方程,令R(w)的各次冪的系數(shù)為零,則可解出ui的關(guān)系式.

定義3.1對于非線性方程(3.1),若將表達(dá)式(3.2)及(3.3)代入(3.1)后,通過消去R(w)各次冪的系數(shù)得到的ui和w的方程是相容的,不是超定的,我們則稱表達(dá)式(3.2)是相容的Riccati展式(CRE),且非線性系統(tǒng)(3.1)是CRE可解的.

基于CRE方法,(1+1)維色散長波系統(tǒng)(1.1)的解可以表示為

其中u0,u1,v0,v1,v2是x,t的函數(shù),且R(w)為Riccati方程(3.3)的解.

把(3.3)式與(3.4)式代入系統(tǒng)(1.1)中,消去R(w)各次冪的系數(shù)可得

且函數(shù)w滿足系統(tǒng)(1.1)的Schwarzian方程

綜上所述,(1+1)維色散長波系統(tǒng)(1.1)具有一個相容Riccati展式,故系統(tǒng)(1.1)是CRE可解的.系統(tǒng)(1.1)的相容Riccati展式如下:

其中u0,v0滿足方程(3.5).

Ⅱ (1+1)維色散長波系統(tǒng)的CTE可解性和相互作用解

當(dāng)a0,a1,a2分別為1,0,-1時,Riccati方程(3.3)具有一個特殊解R(w)=tanh(w),此時,CRE 可解為CTE可解,并且系統(tǒng)(1.1)的相容tanh函數(shù)展開式為:

其中a0=1,a1=0,a2=-1,u0,v0分別由方程(3.5)給出.

為了求解系統(tǒng)(1.1)與其它非線性波之間的相互作用解,我們只需要找到w方程(3.6)的解,而刻畫孤子和橢圓波的相互作用解w具有如下特殊形式：

其中S=sn(h2x+k2t,m),D=dn(h2x+k2t,m),T=tanh(h1x+k1t+cEllipticF(S,m)),R=cosh(h1x+k1t+cEllipticF(S,m)).

現(xiàn)在取參數(shù){h1=0.8,k1=0.8,h2=1.5,k2=2.4,c=1.58,m=0.8},則u和v的圖像模擬分別如圖1(a)-1(c)和圖2(a)-2(c)所示.

圖1 (a) u(x,0)沿x軸的波形圖

圖1 (b) u(0,t)沿t軸的波形圖

圖1 (c) u(x,t)的三維波形圖

圖2 (a) v(x,0)沿x軸的波形圖

圖2 (b) v(0,t)沿t軸的波形圖

圖2 (c) v(x,t)的三維波形圖

把(3.14)或(3.15)代入(3.12)中可得

把(3.19)和(3.5)代入(3.8)中可得孤子-橢圓余弦波解u和v分別為

其中X=tan(h2x+k2t-2Eπ(tanh(h2x+k2t),-1,1)).

在(3.20)式和(3.21)式中取參數(shù){h2=0.000005,k2=0.000004},則u和v的圖像模擬分別如圖3(a)-3(c)和圖4(a)-4(c)所示.

圖3 (a) u(x,0)沿x軸的波形圖

圖3 (b) u(0,t)沿t軸的波形圖

圖3 (c) u(x,t)的三維波形圖

圖4 (a) v(x,0)沿x軸的波形圖

圖4 (b) v(0,t)沿t軸的波形圖

圖4 (c) v(x,t)的三維波形圖

現(xiàn)在另取方程(3.6)的第二類孤子-橢圓波的相互作用解w的形式為:

其中sn(z,m)為雅克比橢圓正弦函數(shù).

把(3.22)式代入(3.6)式中可得

其中h2和k2為任意常數(shù).

把(3.23)式代入(3.22)式中,其結(jié)果如下:

把(3.24)和(3.5)代入(3.8)式中可得系統(tǒng)(1.1)的孤子-橢圓余弦波解u和v分別為

現(xiàn)對(3.25)式和(3.26)式選取參數(shù){h2=0.000000005,k2=0.000000005},則u和v的圖像模擬分別如圖5(a)-5(c)和圖6(a)-6(c)所示.

圖5 (a) u(x,0)沿x軸的波形圖

圖5 (b) u(0,t)沿t軸的波形圖

圖5 (c) u(x,t)的三維波形圖

圖6 (a) v(x,0)沿x軸的波形圖

圖6 (b) v(0,t)沿t軸的波形圖

圖6 (c) v(x,t)的三維波形圖

4.總結(jié)和討論

本文研究了(1+1)維色散長波系統(tǒng)的留數(shù)對稱和孤子-橢圓周期波之間的相互作用解.基于Painlev′e截斷展開得到初始系統(tǒng)的留數(shù)對稱,然后通過引入輔助因變量將留數(shù)對稱局部化為Lie點(diǎn)對稱,并由Lie第一基本定理給出封閉系統(tǒng)的有限對稱變換.此外,利用Riccati方程證明了(1+1)維色散長波系統(tǒng)是CRE可解的,并運(yùn)用CRE方法的特殊形式CTE方法解出孤子-橢圓周期波之間的相互作用解.由于留數(shù)對稱是線性函數(shù),且Schwarzian方有無窮多解,因此該系統(tǒng)的無窮多個留數(shù)對稱和n階B¨acklund變換值得我們進(jìn)一步研究.更多類型的數(shù)學(xué)物理方程的可積性和相互作用解有待我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn).