流體-孔隙介質(zhì)界面震電反射和透射系數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)式

段韻達(dá)， 胡恒山

哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天科學(xué)與力學(xué)系， 哈爾濱 150001

0 引言

地下和海底巖石都是孔隙介質(zhì).孔隙流體中存在的凈剩電荷形成擴(kuò)散層，而相應(yīng)異號(hào)電荷在固體壁面形成吸附層(Stern，1924)，地震波經(jīng)過孔隙介質(zhì)時(shí)擴(kuò)散層相對(duì)吸附層運(yùn)動(dòng)從而引起電磁波的現(xiàn)象即震電效應(yīng)(Haines et al.，2007).在孔隙介質(zhì)的震電耦合波理論建立前，Biot(1956a,b, 1962)導(dǎo)出了孔隙介質(zhì)中聲波的控制方程組(Biot方程組)，揭示了孔隙介質(zhì)中存在三類彈性波：快縱波、慢縱波和橫波.Pride(1994)利用體積平均法導(dǎo)出了描述孔隙介質(zhì)震電效應(yīng)的彈性波-電磁波耦合的方程組(下文稱之為Pride方程組).當(dāng)動(dòng)電耦合系數(shù)等于零時(shí)，Pride方程組解耦為關(guān)于孔隙介質(zhì)彈性波的Biot方程組和關(guān)于電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程組.Pride和Haartsen(1996)在無(wú)限大介質(zhì)中求解了Pride方程組，揭示出孔隙介質(zhì)中存在四種體波，分別是電磁波、快縱波、慢縱波和橫波，每一種體波均引起電場(chǎng)、固相位移和滲流位移.特別的，快縱波、慢縱波引起電場(chǎng)，而橫波引起磁場(chǎng)和微弱的電場(chǎng).

震電耦合效應(yīng)受到了地球物理界的關(guān)注.Zhu等(1999)提出震電測(cè)井的方法，即充流體井孔中聲源激發(fā)聲場(chǎng)，在井軸上接收來(lái)自孔隙地層的反射電磁場(chǎng).胡恒山和王克協(xié)(1999)推導(dǎo)了孔隙地層包圍的充流體井孔中點(diǎn)聲源引起的井內(nèi)、外震電波場(chǎng)表達(dá)式，并對(duì)井內(nèi)震電波場(chǎng)的進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算(胡恒山和王克協(xié)，2000)，結(jié)果表明伴隨聲波傳播的電場(chǎng)中縱波的電聲比最大，斯通利波次之，橫波最小.Wang等(2015)在實(shí)驗(yàn)室的模型井中測(cè)量了震電信號(hào)，結(jié)果表明他們所測(cè)的電聲比與胡恒山和王克協(xié)(2000)一致，并且震電波場(chǎng)比聲場(chǎng)對(duì)滲透率和孔隙度更為敏感，從而震電測(cè)井方法有望用于探測(cè)儲(chǔ)層滲透率和孔隙度.除了井孔模型中的震電波場(chǎng)，水平分層模型中的震電波場(chǎng)也受到許多學(xué)者的關(guān)注.Haartsen和Pride(1997)推導(dǎo)了爆炸源在水平分層孔隙地層中引起的震電波場(chǎng)，計(jì)算結(jié)果表明來(lái)自界面的輻射電磁場(chǎng)的幅度隨著遠(yuǎn)離界面迅速減小，因而測(cè)量輻射電磁場(chǎng)的儀器不應(yīng)布置在遠(yuǎn)離界面地方.Garambois和Dietrich(2002)數(shù)值計(jì)算了地震波通過水平分層孔隙地層時(shí)引起的界面電磁波場(chǎng)，結(jié)果表明界面電磁波主要對(duì)界面的孔隙度、滲透率、流體電導(dǎo)率和流體黏度的差異敏感.Haines和Pride(2006)通過有限差分方法數(shù)值模擬了地震波通過水平分層孔隙地層時(shí)引起的界面電磁波場(chǎng)，結(jié)果表明當(dāng)?shù)貙雍穸刃∮诘卣鸩ㄩL(zhǎng)的二十分之一時(shí)，薄層引起的界面電磁波明顯強(qiáng)于單個(gè)地層界面引起的界面電磁波.Haines等(2007)針對(duì)水平分層孔隙地層，進(jìn)行了離線幾何測(cè)量(源與接收器陣列不共線，相當(dāng)于井間測(cè)量)和共線幾何測(cè)量(源與接收器陣列共線，相當(dāng)于地震勘探測(cè)量)的模型實(shí)驗(yàn)，并與有限差分的模擬結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明離線幾何測(cè)量更有利于分離界面電磁波和同震電磁場(chǎng).天然地震時(shí)，可能由于巖石動(dòng)電效應(yīng)引起同震電磁信號(hào)，Gao和Hu(2010)推導(dǎo)出了地震雙力偶點(diǎn)源引起的電磁場(chǎng)；Hu和Gao(2011)模擬了豎直走滑斷層的電磁響應(yīng).

流體-孔隙介質(zhì)界面是海洋地震勘探領(lǐng)域中常見的介質(zhì)界面.Gao等(2017a)研究了流體中爆炸源對(duì)流體-海底界面的震電響應(yīng)，導(dǎo)出了流體和海底介質(zhì)中震電波場(chǎng)的表達(dá)式，數(shù)值計(jì)算表明氣槍震源引起的震電響應(yīng)的量級(jí)達(dá)到了儀器可測(cè)的程度，從而震電效應(yīng)有望用來(lái)勘探海底儲(chǔ)層.由于球面波可以展開為平面波(Aki and Richards，2002)，所以平面波入射流體-孔隙介質(zhì)界面的震電響應(yīng)模型有著重要的實(shí)際意義.Stoll和Kan(1981)基于Biot方程組和邊界連續(xù)條件，導(dǎo)出了流體中的聲反射系數(shù)和固體中的聲透射系數(shù)，其中固體中的三類彈性波(快縱波、慢縱波和橫波)都是非均勻平面聲波.崔志文等(2002)簡(jiǎn)要介紹了流體-孔隙介質(zhì)界面上的折、反射問題的研究情況.崔志文等(2004)研究了流體飽和孔隙介質(zhì)中非均勻平面聲波的能量特征，給出了Biot孔隙介質(zhì)中的能流表達(dá)式，數(shù)值研究了界面上的干涉能流特征.崔志文等(2011)進(jìn)一步研究了流體飽和孔隙介質(zhì)中非均勻震電平面波的能流特征，導(dǎo)出了非均勻震電平面波的能流表達(dá)式，討論了非均勻震電平面波的能量特征.Schakel和Smeulders(2010)基于全耦合的Pride方程和邊界條件導(dǎo)出了流體-孔隙介質(zhì)界面的震電反射和透射系數(shù)，并討論了震電反射和透射系數(shù)對(duì)地層參數(shù)的敏感性.然而，他們給出的震電反射和透射系數(shù)是通過數(shù)值求解彈性波-電磁波耦合的6×6線性方程組獲得的，從該方程組中難以看出震電反射和透射系數(shù)與孔隙介質(zhì)中三類彈性體波的物理聯(lián)系和數(shù)值關(guān)系.特別的，接收器一般布置在流體中，如果反射電磁波與孔隙介質(zhì)中三類彈性體波的物理聯(lián)系能夠直接體現(xiàn)在震電反射系數(shù)中，則地下和海底儲(chǔ)層的參數(shù)反演就有了清晰的思路.因此，本文推導(dǎo)流體-孔隙介質(zhì)界面的震電反射系數(shù)和透射系數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)式，以便實(shí)現(xiàn)震電波場(chǎng)的簡(jiǎn)化計(jì)算并為儲(chǔ)層參數(shù)反演提供思路.

1 震電反射和透射系數(shù)的推導(dǎo)及化簡(jiǎn)

圖1 流體中平面聲波入射引起的反射波和透射波示意圖Fig.1 Schematic diagram of reflected and transmitted waves caused by a plane acoustic-wave from fluid

本文考慮的平面波入射平面界面模型中，入射波、反射波和透射波既可是均勻平面波，也可是非均勻平面波，這樣不僅能描述均勻平面波入射平面界面的情況，而且能描述球面波入射平面界面的情況(球面波可以展開為均勻平面波和非均勻平面波).對(duì)于均勻平面波入射而言，入射角是實(shí)數(shù)，對(duì)于非均勻平面波入射而言，入射角是復(fù)數(shù).圖1是流體中平面聲波入射引起的反射波和透射波示意圖，其中e和em分別表示流體中的反射電磁波和孔隙介質(zhì)中的透射電磁波，p1、p2和sv分別表示孔隙介質(zhì)中快縱波、慢縱波和橫波.

1.1 Block的震電反射和透射電磁波的電場(chǎng)式

在推導(dǎo)震電反射和透射系數(shù)前，我們先簡(jiǎn)要介紹前人給出的震電反射和透射電磁波的電場(chǎng)式.Block(2004)忽略轉(zhuǎn)換電場(chǎng)對(duì)聲場(chǎng)的影響，利用解耦的Pride方程組和電磁邊界條件，導(dǎo)出了平面波從流體入射孔隙介質(zhì)界面的震電反射和透射電磁波的電場(chǎng)表達(dá)式(為了便于推導(dǎo)，省略了時(shí)間簡(jiǎn)諧因子exp(-iωt))：

×exp[ike(xsinθe-zcosθe)]，

(1)

×exp[ikem(xsinθem+zcosθem)]，

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中η、L和κ分別為黏滯系數(shù)、動(dòng)電耦合系數(shù)和滲透率，θp1、θp2和θsv分別為快縱波、慢縱波和橫波的透射角，wp1、wp2和wsv分別為快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移的幅度系數(shù)(即滲流位移中除去方向向量和簡(jiǎn)諧因子部分)，ks表示孔隙介質(zhì)中的橫波波數(shù).我們注意到，Block(2004)文中式(4.48b)分子中的θe應(yīng)寫為θem，這里的式(6)中已更正.

1.2 震電反射系數(shù)

本小節(jié)將利用震電反射系數(shù)的定義式和Block給出的反射電磁波的電場(chǎng)式，先推導(dǎo)震電反射系數(shù)，然后基于一定的前提條件，將其化簡(jiǎn)為簡(jiǎn)化表達(dá)式.

1.2.1 震電反射系數(shù)的推導(dǎo)

流體中反射電磁波的電場(chǎng)可以寫為：

(8)

其中：

ψe=Aeexp[ike(xsinθe-zcosθe)]，

(9)

這里的ψe是與反射電磁波的電場(chǎng)有關(guān)的矢量勢(shì)，在本文中簡(jiǎn)稱其為“反射電磁波的電勢(shì)”，但物理意義并不是靜電場(chǎng)中的電勢(shì).

震電反射系數(shù)定義為反射電磁波的電勢(shì)與入射聲波的位移勢(shì)在界面入射點(diǎn)處的比值：

(10)

其中ψe為流體中反射電磁波的電勢(shì)，φf(shuō)為流體中入射聲波的位移勢(shì)，z=0表示入射點(diǎn)位于界面z=0上.

將式(1)和式(9)代入式(8)可得：

(11)

將式(9)、(11)、(3)代入式(10)可得：

(12)

再將式(5)和式(6)代入式(12)得：

(13)

(14)

(15)

(16)

其中φp1、φp2和ψsv分別為快縱波、慢縱波和橫波的位移勢(shì)函數(shù)，αp1、αp2和αs分別為快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移與固相位移之幅度比(Pride and Haartsen，1996；胡恒山，2000)，Tp1、Tp2和Tsv分別為快縱波、慢縱波和橫波的透射系數(shù).

將式(14)—(16)代入式(13)得震電反射系數(shù)：

(17)

式(17)中聲波與電磁波的物理參數(shù)是解耦的，在給定介質(zhì)參數(shù)和入射角且已知三類彈性體波的透射系數(shù)時(shí)，由式(17)就能直接計(jì)算出震電反射系數(shù).式(17)中快縱波、慢縱波和橫波的透射系數(shù)可通過Biot方程組和聲場(chǎng)邊界條件求解(見附錄A).由于Block給出的反射電磁波的電場(chǎng)式是在轉(zhuǎn)換電場(chǎng)對(duì)聲場(chǎng)的影響可忽略的條件下導(dǎo)出的，所以式(17)成立的條件是：彈性波引起的電磁場(chǎng)對(duì)彈性波本身傳播的影響可以忽略，而這種影響在地球物理問題中都是可忽略的(Hu and Liu，2002；Haines and Pride, 2006；Guan et al., 2018)，因此式(17)適用于地球物理問題.數(shù)值計(jì)算表明式(17)與Schakel和Smeulders(2010)給出的震電反射系數(shù)一致(即式(17)對(duì)于所有入射角都成立)，但式(17)比Schakel和Smeulders(2010)給出的震電反射系數(shù)要明確得多，因?yàn)樗麄兊姆椒ū仨毲蠼鈴椥圆ㄅc電磁波耦合的6×6線性方程組，難以從中看出孔隙地層中三類彈性波引起反射電磁波的物理因素.因式(17)中含有透射角、反射角以及快縱波、慢縱波、橫波和電磁波的波數(shù)，形式仍不夠簡(jiǎn)潔，所以我們將對(duì)震電反射系數(shù)式(17)進(jìn)步一步化簡(jiǎn).

1.2.2 震電反射系數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)式

在化簡(jiǎn)震電反射系數(shù)式(17)前，還需引入一定的前提條件.從電磁波數(shù)遠(yuǎn)小于聲波波數(shù)的角度考慮，假定電磁波數(shù)也遠(yuǎn)小于界面的切向波數(shù)，即：

|ke|?kr, |kem|?kr，

(18)

其中kr為界面的切向波數(shù)(式(17)在直接坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系下的表達(dá)相同，但使用圓柱坐標(biāo)系更便于描述任意方向入射的平面波，所以這里把切向波數(shù)寫為了kr，下標(biāo)r的含義是任意徑向方向，且r軸位于oxy面內(nèi))，kr可寫為(Brekhovskikh，1960)：

kr=ksinθ，

(19)

(20)

式(17)中的三角函數(shù)可以寫為：

(21)

(22)

其中kp1、kp2和ks分別為孔隙介質(zhì)中快縱波、慢縱波和橫波的波數(shù).將前提條件式(18)代入式(22)得：

(23)

將式(21)和式(23)代入式(17)得：

(24)

將|kem|?ks和|kem|?kr代入式(24)得：

(25)

×[iαsTsv-(αp1Tp1+αp2Tp2)]，

(26)

其中σ、σf、ε和εf分別為孔隙介質(zhì)的電導(dǎo)率、流體的電導(dǎo)率、孔隙介質(zhì)的介電常數(shù)和流體的介電常數(shù).由(26)可知，快縱波、慢縱波和橫波都對(duì)震電反射系數(shù)有貢獻(xiàn)，并且貢獻(xiàn)形式都是透射系數(shù)與固-滲位移比的乘積，而動(dòng)電耦合系數(shù)、電導(dǎo)率和滲透率以乘積形式作為一個(gè)整體出現(xiàn)在震電反射系數(shù)中.式(26)形式簡(jiǎn)潔，明確表達(dá)了孔隙地層中三類彈性波引起反射電磁波的物理因素，這為儲(chǔ)層動(dòng)電耦合系數(shù)、電導(dǎo)率和滲透率的反演提供了思路.

1.3 震電透射系數(shù)

1.3.1 震電透射系數(shù)的的推導(dǎo)

透射電勢(shì)波的電場(chǎng)可以寫為：

(27)

其中：

ψem=Aemexp[ikem(xsinθem+zcosθem)]，

(28)

這里的ψem是與透射電磁波的電場(chǎng)有關(guān)的矢量勢(shì)，在本文中簡(jiǎn)稱其為“透射電磁波的電勢(shì)”，但物理意義并不是靜電場(chǎng)中的電勢(shì).

震電透射系數(shù)定義為：

(29)

(30)

將式(2)和式(28)代入式(27)得：

(31)

將式(28)、(31)、(4)代入式(29)得：

(32)

再將式(5)和式(7)代入式(32)得：

(33)

將式(14)—(16)代入式(33)得震電透射系數(shù)：

(34)

式(34)中聲波與電磁波的物理參數(shù)是解耦的，在給定介質(zhì)參數(shù)和入射角且已知三類彈性體波的透射系數(shù)時(shí)，由式(34)就能直接計(jì)算出震電透射系數(shù).由于Block給出的透射電磁波的電場(chǎng)式是在轉(zhuǎn)換電場(chǎng)對(duì)聲場(chǎng)的影響可忽略的條件下導(dǎo)出的，所以式(34)成立的條件是：彈性波引起的電磁場(chǎng)對(duì)彈性波本身傳播的影響可以忽略，而這種影響在地球物理問題中都是可忽略的(Hu and Liu，2002；Haines and Pride, 2006；Guan et al., 2018)，因此式(34)適用于地球物理問題.數(shù)值計(jì)算表明式(34)與Schakel和Smeulders(2010)給出的震電透射系數(shù)一致(即式(34)對(duì)于所有入射角都成立)，但式(34)比Schakel和Smeulders(2010)給出的震電透射系數(shù)要明確得多，因?yàn)樗麄兊姆椒ū仨毲蠼鈴椥圆ㄅc電磁波耦合的6×6線性方程組，難以從中看出孔隙地層中三類彈性波引起透射電磁波的物理因素.

1.3.2 震電透射系數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)式

將式(21)和式(23)代入式(34)得：

(35)

將|kem|?ks和|ke|?kr代入式(35)得：

(36)

(37)

可見，震電透射系數(shù)的簡(jiǎn)化式(37)與震電反射系數(shù)的簡(jiǎn)化式(26)有相似之處，即快縱波、慢縱波和橫波都對(duì)Tem有貢獻(xiàn)，并以透射系數(shù)與固-滲位移比的乘積形式出現(xiàn).

2 算例檢驗(yàn)

圖2 10 Hz下和Re隨入射角的正弦的變化規(guī)律(a) 和Re的幅度比較； (b) 和Re的相位角比較.Fig.2 Variation of and Re as a function of the sine of the incidence angle under f=10 Hz(a) Comparison of the amplitudes of and Re； (b) Comparison of the phase angles of and Re.

圖3 10 Hz下和Tem隨入射角的正弦的變化規(guī)律(a) 和Tem的幅度比較； (b) 和Tem的相位角比較.Fig.3 Variation of and Tem as a function of the sine of the incidence angle under f=10 Hz(a) Comparison of the amplitudes of and Tem； (b) Comparison of the phase angles of and Tem.

圖4 10 kHz下和Re隨入射角的正弦的變化規(guī)律(a) 和Re的幅度比較； (b) 和Re的相位角比較.Fig.4 Variation of and Re as a function of the sine of the incidence angle under f=10 kHz(a) Comparison of the amplitudes of and Re；(b)Comparison of the phase angles of and Re.

圖5 10 kHz下和Tem隨入射角的正弦的變化規(guī)律(a) 和Tem的幅度比較； (b) 和Tem的相位角比較.Fig.5 Variation of and Tem as a function of the sine of the incidence angle under f=10 kHz(a) Comparison of the amplitudes of and Tem； (b) Comparison of the phase angles of and Tem.

簡(jiǎn)化式Re和Tem成立的入射角范圍由前提條件式(18)的使用范圍確定，而式(18)與式(20)等價(jià)，所以臨界入射角為θc也可通過式(20)給出，而式(20)可改寫為：

θ?θc_e,θ?θc_em，

(38)

其中θc_e和θc_em分別為反射電磁波和透射電磁波的臨界角，分別寫為：

(39)

其中c為流體中聲波速度，μ為真空磁導(dǎo)率(流體和孔隙介質(zhì)中的磁導(dǎo)率一般都近似為真空磁導(dǎo)率).由式(38)知，θc也應(yīng)遠(yuǎn)大于θc_e和θc_em，從而θc可寫為：

θc=n·max{θc_e,θc_em}，

(40)

值得一提的是，我們利用準(zhǔn)靜態(tài)電磁近似法(Hu and Liu，2002；Sava and Revil，2012；Gao et al.，2017b；Guan et al., 2018)也導(dǎo)出了簡(jiǎn)化表達(dá)式(26)和式(37)，但準(zhǔn)靜態(tài)電磁近似法無(wú)法定量解釋為什么當(dāng)入射角不是極其小時(shí)式(26)和式(37)才成立，因此本文未給出用準(zhǔn)靜態(tài)電磁近似法推導(dǎo)式(26)和式(37)的過程.本文方法包含兩條前提假設(shè)，其一忽略轉(zhuǎn)換電場(chǎng)對(duì)聲場(chǎng)的影響(見前文對(duì)Block公式的介紹)，其二是前提條件式(18)，其含義是將電磁波視為倏逝電磁波(見式(18)到式(23)的分析)；準(zhǔn)靜態(tài)電磁近似法也包含兩條前提假設(shè)，其一是忽略轉(zhuǎn)換電場(chǎng)對(duì)聲場(chǎng)的影響，其二是電磁波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于源距(源到接收器的距離)；可見本文方法與準(zhǔn)靜態(tài)電磁近似法只有一處不同，但這種不同只是表象，其實(shí)質(zhì)上是相通的.因?yàn)橘渴挪ú豢赡茉谶h(yuǎn)離界面處存在，并且電磁波在水和固體中也不能傳播很遠(yuǎn)，所以倏逝電磁波對(duì)應(yīng)的源距不能太大，而這也就意味著源距不能大于電磁波長(zhǎng)，因此本文方法與準(zhǔn)靜態(tài)電磁法物理含義相通，所以兩種方法都可以導(dǎo)出簡(jiǎn)化式(26)和式(37).由于電磁波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于源距時(shí)準(zhǔn)靜態(tài)電磁近似法適用于震電測(cè)井和海洋地震勘探(Gao et al.，2017b；Guan et al., 2018)，而本文方法與準(zhǔn)靜態(tài)電磁近似法相通，所以電磁波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于源距時(shí)簡(jiǎn)化式(26)和式(37)也適用于震電測(cè)井和海洋地震勘探.

我以海洋震電模型為例說(shuō)明簡(jiǎn)化式(26)和式(37)的用法，理論模型是球面波入射平面界面，將球面波展開為無(wú)窮多個(gè)均勻平面波和非均勻平面波(Aki and Richards，2002)，其中的非均勻平面波即倏逝波.當(dāng)平面聲波的入射角小于電磁波臨界角時(shí)，引起均勻平面電磁波(包括反射和透射)，當(dāng)平面聲波的入射角大于電磁波臨界角時(shí)，引起倏逝平面電磁波(傳播方向與界面平行，幅度在垂直界面方向上隨著離開界面的距離按指數(shù)規(guī)律下降).將因子i/kr分別乘以式(26)和式(37)可得反射和透射平面波表達(dá)式中的反射和透射系數(shù)(詳見Aki和Richards(2002)中的BOX6.6).因簡(jiǎn)化式(26)和式(37)只能描述倏逝電磁波的反射和透射系數(shù)，所以均勻平面電磁波對(duì)全波的貢獻(xiàn)被忽略了.當(dāng)電磁波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于源距時(shí)，這種忽略是可行的，因?yàn)楸疚牡姆椒ㄅc全耦合法的計(jì)算結(jié)果一致(全耦合法指基于完整Pride方程計(jì)算球面波入射流體-孔隙介質(zhì)界面時(shí)引起的反射和透射電磁波場(chǎng)，見Gao等(2017a)).然而，當(dāng)電磁波長(zhǎng)小于源距或與源距在一個(gè)量級(jí)時(shí)，倏逝平面電磁波衰減嚴(yán)重，而均勻平面電磁波的貢獻(xiàn)不可忽略，則可用式(17)和式(34)描述均勻平面電磁波的反射和透射系數(shù)(式(17)和式(34)對(duì)于極其小的入射角也成立).

3 孔隙介質(zhì)中三類體波對(duì)震電反射和透射系數(shù)的影響

本節(jié)將研究孔隙介質(zhì)中快縱波、慢縱波和橫波對(duì)震電反射和透射系數(shù)的影響，以便為儲(chǔ)層參數(shù)反演提供一定的思路.

3.1 滲流位移勢(shì)與震電反射和透射系數(shù)的關(guān)系

注意到震電反射和透射系數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)式(26)和式(37)中與快縱波、慢縱波和橫波有關(guān)的量是以αiTi的形式出現(xiàn)(i=p1,p2,sv)，所以接下來(lái)將對(duì)αiTi進(jìn)行處理.以αp1Tp1為例，αp1是快縱波的滲流位移勢(shì)與固相位移勢(shì)的比值(Pride and Haartsen，1996；胡恒山，2000)，有：

(41)

其中：

(42)

其中φw_p1為快縱波的滲流位移勢(shì)，Aw_p1和Ap1分別為快縱波的滲流位移勢(shì)和固相位移勢(shì)的幅值系數(shù).

快縱波的透射系數(shù)Tp1為：

(43)

其中φf(shuō)為流體中入射聲波的位移勢(shì)，有φf(shuō)=Afexp[ik(xsinθ+zcosθ)]，其中Af為入射聲波的位移勢(shì)的幅值系數(shù).由界面處切向波數(shù)相等得kr=ksinθ=kp1sinθp1，將該式和式(42)代入式(43)得：

(44)

由式(41)、(42)和(44)得：

(45)

式(45)的形式也適用于慢縱波和橫波，則式(26)和式(37)可分別改寫為：

×(Aw_p1+Aw_p1-iAw_sv)，

(46)

(47)

3.2 滲流位移勢(shì)對(duì)震電反射和透射系數(shù)的影響

本小節(jié)將通過算例研究快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)Re和Tem的影響.將式(46)寫為Re=Re_p1+Re_p2+Re_sv，其中Re_p1、Re_p2和Re_sv分別為快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)Re的貢獻(xiàn)；將式(47)寫為Tem=Tem_p1+Tem_p2+Tem_sv，其中Tem_p1、Tem_p2和Tem_sv分別為快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)Tem的貢獻(xiàn).

圖6比較了10 Hz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)，其中圖6a比較了|Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|，圖6b比較了|Re_p2+Re_sv|和|Re|.圖6a表明當(dāng)sinθ<1.25時(shí)，慢縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)最大，而sinθ>1.3時(shí)，橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)最大；圖6b表明快縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)可以忽略.圖7比較了10 Hz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)，其中圖7a比較了|Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|，圖7b比較了|Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|.圖7a表明當(dāng)sinθ<1.25時(shí)，慢縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)最大，而sinθ>1.38時(shí)，橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)超過慢縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)；圖7b表明快縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)可以忽略.綜上可知，在地震頻率下(例如f=10 Hz)，快縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)震電反射和透射系數(shù)的影響可忽略，而這一現(xiàn)象未見前人報(bào)道.

圖6 10 Hz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)(a) |Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|的比較； (b) |Re_p2+Re_sv|和|Re|的比較.Fig.6 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Re| under f=10 Hz(a) Comparisons of |Re_p1|, |Re_p2|, |Re_sv| and |Re|； (b) Comparison of |Re_p2+Re_sv| and |Re|.

圖8比較了10 kHz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)，其中圖8a比較了|Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|，圖8b比較了|Re_p2+Re_sv|和|Re|.圖8a表明當(dāng)sinθ<1.25時(shí)，慢縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)最大，而sinθ>1.3時(shí)，橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)最大；圖8b表明快縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)可以忽略.圖9比較了10 kHz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)，其中圖9a比較了|Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|，圖9b比較了|Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|.圖9a表明當(dāng)sinθ<1.25時(shí)，慢縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)最大，而sinθ>1.38時(shí)，橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)超過慢縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)；圖9b表明快縱波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)可以忽略.綜上可知，在測(cè)井頻率下(例如f=10 kHz)，快縱波對(duì)震電反射和透射系數(shù)的影響可忽略.此外，我們通過計(jì)算知在實(shí)驗(yàn)室超聲頻率下(例如f=0.5 MHz)，快縱波對(duì)震電反射和透射系數(shù)的影響也可忽略，但這里不再給出詳細(xì)結(jié)果.

4 結(jié)論

本文利用Block(2004)給出的震電反射和透射電磁波的電場(chǎng)式，導(dǎo)出了震電反射和透射系數(shù)的表達(dá)式，在給定介質(zhì)參數(shù)和入射角且已知三類彈性體波的透射系數(shù)時(shí)，就計(jì)算震電反射和透射系數(shù).本文的震電反射和透射系數(shù)與前人的震電反射和透射系數(shù)的計(jì)算結(jié)果一致，對(duì)于所有入射角都成立.相比前人給出的震電反射和透射系數(shù)，本文的震電反射和透射系數(shù)表達(dá)式中聲波與電磁波的物理參數(shù)是解耦的，表達(dá)式形式更為簡(jiǎn)單.

圖7 10 Hz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)(a) |Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|的比較； (b) |Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|的比較.Fig.7 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Tem| under f=10 Hz(a) Comparisons of |Tem_p1|, |Tem_p2|, |Tem_sv| and |Tem|； (b) Comparison of |Tem_p2+Tem_sv| and |Tem|.

圖8 10 kHz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Re|的貢獻(xiàn)(a) |Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|的比較； (b) |Re_p2+Re_sv|和|Re|的比較.Fig.8 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Re| under f=10 kHz(a) Comparisons of |Re_p1|, |Re_p2|, |Re_sv| and |Re|； (b) Comparison of |Re_p2+Re_sv| and |Re|.

圖9 10 kHz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢(shì)對(duì)|Tem|的貢獻(xiàn)(a) |Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|的比較； (b) |Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|的比較.Fig.9 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Tem| under f=10 kHz(a) Comparisons of |Tem_p1|, |Tem_p2|, |Tem_sv| and |Tem|； (b) Comparison of |Tem_p2+Tem_sv| and |Tem|.

基于電磁波數(shù)遠(yuǎn)小于界面切向波數(shù)的前提條件，本文將震電反射和透射系數(shù)的表達(dá)式化簡(jiǎn)為了簡(jiǎn)化表達(dá)式.震電反射和透射系數(shù)的簡(jiǎn)化式中，與快縱波、慢縱波和橫波有關(guān)的量均以透射系數(shù)與滲-固位移比的乘積的形式出現(xiàn)，而動(dòng)電耦合系數(shù)、電導(dǎo)率和滲流率以乘積的形式作為一個(gè)整體出現(xiàn).當(dāng)入射角θ大于一個(gè)極其小的臨界角θc時(shí)(即入射角不是極其小時(shí))，震電反射和透射系數(shù)的簡(jiǎn)化式適用于地震、測(cè)井和實(shí)驗(yàn)室超聲頻段，其中θc不超過1.4°(對(duì)應(yīng)f=10 Hz)，并且θc隨著頻率的增大而減小.快縱波、慢縱波和橫波通過滲流位移勢(shì)影響震電反射和透射系數(shù)；快縱波對(duì)震電反射和透射系數(shù)的影響可以忽略.本文導(dǎo)出的震電反射和透射系數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)式，不僅可以簡(jiǎn)化震電波場(chǎng)的計(jì)算，而且明確表達(dá)了快縱波、慢縱波和橫波引起反射和透射電磁信號(hào)的物理因素，從而為地下和海底儲(chǔ)層的參數(shù)反演提供了思路.

附錄A 透射系數(shù)的確定

忽略轉(zhuǎn)換電場(chǎng)對(duì)聲場(chǎng)的影響，則Pride方程組中的聲場(chǎng)與電磁場(chǎng)解耦，從而聲場(chǎng)部分可通過Biot方程組(Biot，1962)和聲場(chǎng)邊界條件獨(dú)立求解，即得快縱波、慢縱波和橫波的透射系數(shù).流體-孔隙介質(zhì)界面的聲場(chǎng)邊界條件為：

(A1)

其中ufz、uz、wz、pf、p、σzz和τzx分別是流體的法向位移、孔隙介質(zhì)中固相的法向位移、孔隙介質(zhì)中法向滲流位移、流體壓強(qiáng)、孔隙流體壓強(qiáng)、法向正應(yīng)力和界面處切應(yīng)力.

將Biot方程組(Biot，1962)代入邊界條件式(A1)可得：

M·A=B，

(A2)

其中A是由反射和透射系數(shù)構(gòu)成的向量(Rm為流體中聲波反射系數(shù)，Tp1、Tp2和Tsv分別是快縱波、慢縱波和橫波的透射系數(shù))，B是源向量，它們寫為：

(A3)

(A4)

其中：

m11=kz，m12=kp1_z(1+αp1)，m13=kp2_z(1+αp2)，m14=kr(1+αsv)；