二自由度柱面可展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)類(lèi)型的分析

莊彥帥，張帆，王鋒，張玉輝，張銳浩

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院）

0 引言

可展曲面在一些領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用空間[1-3]，在船舶制造領(lǐng)域，將鋼板加工成單向彎曲的可展曲面形狀的可行性很高。JULIE[4]等討論了基于邊界線(xiàn)的船體可展曲面造型；鄭玉健[5]等提出一種基于邊界曲線(xiàn)的擬可展曲面構(gòu)造方法應(yīng)用在船體造型設(shè)計(jì)。在建筑設(shè)計(jì)領(lǐng)域，可展曲面同樣具有很重要的研究意義[6]，設(shè)計(jì)師僅通過(guò)簡(jiǎn)單的加工程序便可得到預(yù)期的建筑效果。王崢濤[7]等對(duì)可展曲面的特性和應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行討論，并列舉在造型生成階段主要使用的兩種可展曲面交互建模方法?？烧骨媾c工程設(shè)計(jì)建立起了聯(lián)系，但側(cè)重點(diǎn)均為直接利用可展曲面進(jìn)行造型設(shè)計(jì)，對(duì)于可展曲面衍生的機(jī)構(gòu)缺乏分析。NELSON[8]等將可展曲面進(jìn)行組合，設(shè)計(jì)了一種滾動(dòng)接觸機(jī)構(gòu)，演示了滾動(dòng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)路徑，通過(guò)組合得到滾動(dòng)機(jī)構(gòu)。除此之外，在可展曲面的基礎(chǔ)上衍生了可展機(jī)構(gòu)。GREENWOOD[9]等介紹了可展機(jī)構(gòu)的一種運(yùn)動(dòng)類(lèi)型分類(lèi)方式，提出了陰影法來(lái)圖解單自由度圓柱可展機(jī)構(gòu)；HYATT[10]等利用投影角的性質(zhì)得到球面四桿機(jī)構(gòu)的面錐角，提出了四桿機(jī)構(gòu)位置分析的替代方法；NELSON[11]等在圓柱面上建立切比雪夫四桿機(jī)構(gòu)和可驅(qū)動(dòng)的4R圓柱可展機(jī)構(gòu)，證明了其步行或主動(dòng)抓取運(yùn)動(dòng)。

由于可展機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)性能，越來(lái)越多的研究者分析可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)情況，提供了研究可展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的思路方法，但提出的分析方法對(duì)于多自由度的可展機(jī)構(gòu)，并不能完全適用。目前，研究對(duì)象主要集中在單自由度的4R 可展機(jī)構(gòu)，或?qū)⒊Ｓ玫膯巫杂啥葯C(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)框架設(shè)計(jì)可展機(jī)構(gòu)，在多自由度可展機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方面還鮮有涉及。本文以二自由度柱面5R 可展機(jī)構(gòu)為模型，在可展機(jī)構(gòu)的研究方法上進(jìn)行了改進(jìn)，可以實(shí)現(xiàn)單自由度到二自由度可展機(jī)構(gòu)的分析。利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)圖解法與瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法結(jié)合的方法，判斷桿件的位置，通過(guò)桿件瞬時(shí)中心參考線(xiàn)的位置得到預(yù)想機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，并分析了驅(qū)動(dòng)方向來(lái)判斷可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，基于A(yíng)DAMS 進(jìn)行4 種情況的仿真驗(yàn)證。此種方法避免了在直接建模分析的繁瑣過(guò)程中的錯(cuò)誤，而且可以拓展到二自由度錐面可展機(jī)構(gòu)來(lái)判斷運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，為基于可展機(jī)構(gòu)的二自由度機(jī)器人研究提供運(yùn)動(dòng)分析的理論依據(jù)。

1 可展曲面的基本理論

直紋曲面因具有良好的特性，在微分幾何中占有重要地位，可展曲面便是直紋曲面中的一種。

1.1 直紋曲面

直紋曲面是由單參數(shù)直線(xiàn)族所生成的曲面，曲面S 的參數(shù)方程為

式中：a（u）——直紋曲面上準(zhǔn)線(xiàn)的位置向量；b（u）——直紋曲面母線(xiàn)的單位向量。則曲面S 被稱(chēng)為直紋曲面[12]。

如圖1所示，設(shè)直紋曲面的準(zhǔn)線(xiàn)為曲線(xiàn)C：a=a（u），b（u）是過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn) a（u）處的直母線(xiàn)上的單位向量，其中準(zhǔn)線(xiàn)上的點(diǎn) a（u）到過(guò)該 a（u）的直母線(xiàn)上P點(diǎn)的距離為v。

圖1 直紋曲面Fig.1 Ruled surface

1.2 可展曲面

直紋曲面參數(shù)方程r（u，v）=a（u）+vb（u），若直紋曲面S 滿(mǎn)足（a'（u），b（u），b'（u））=0，則該直紋曲面S 為可展曲面，其中，a'（u）、b'（u）分別為a（u）與b（u）的切向量，（a'（u），b（u），b'（u））=0 表示a'（u）、b（u）和b'（u）的混合積等于零。直觀(guān)來(lái)講，如果沿著直紋曲面的每一條直母線(xiàn)只有一個(gè)切平面，或者沿著直母線(xiàn)有同一法向量，則稱(chēng)該直紋曲面為可展曲面[13]。可展曲面可分3 種類(lèi)型：柱面、錐面和一空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)曲面，形成條件如下[14]：

當(dāng)b（u）=b0為常向量時(shí)，任意母線(xiàn)的方向不變，曲面S 為柱面；當(dāng)a（u）=a0為常向量時(shí)，任意母線(xiàn)過(guò)一定點(diǎn)，曲面S 為錐面；當(dāng)b（u）=α為導(dǎo)線(xiàn)上切向量，或當(dāng)a'（u）∥b（u）時(shí)，曲面S 為一空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)曲面。

2 可展機(jī)構(gòu)

2.1 可展機(jī)構(gòu)基本理論

滿(mǎn)足如下3 條準(zhǔn)則的機(jī)構(gòu)被定義為可展機(jī)構(gòu)[11]：（1）當(dāng)機(jī)構(gòu)以零厚度建模時(shí)，該機(jī)構(gòu)包含在可展曲面內(nèi)或者符合可展曲面與其一致，如圖2、圖3所示；（2）該機(jī)構(gòu)具有可動(dòng)性；（3）不需要可展曲面變形便能使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。

圖2 包含在柱面內(nèi)的四桿機(jī)構(gòu)Fig.2 Four-bar mechanism contained in the cylinder

圖3 符合柱面的四桿機(jī)構(gòu)Fig.3 Four-bar mechanism conforming to cylinder

在準(zhǔn)則（2）中，通過(guò)螺旋理論求得機(jī)構(gòu)自由度便能判斷出機(jī)構(gòu)的可動(dòng)性。準(zhǔn)則（1）與準(zhǔn)則（3）可以得出機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸的放置條件，即可展機(jī)構(gòu)是通過(guò)可展曲面的直母線(xiàn)對(duì)齊旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這稱(chēng)為關(guān)節(jié)軸約束條件，利用此條件便可將不同機(jī)構(gòu)部署于可展曲面上?？烧箼C(jī)構(gòu)要求所有連桿要與基準(zhǔn)表面一致并與基準(zhǔn)表面對(duì)齊?；鶞?zhǔn)表面就是機(jī)構(gòu)所在的可展曲面，機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸必須與可展曲面的直母線(xiàn)對(duì)齊。圖2 所示類(lèi)型為包含在可展曲面內(nèi)的可展機(jī)構(gòu)。當(dāng)厚度不可忽略時(shí)，對(duì)于符合可展曲面的可展機(jī)構(gòu)，其中關(guān)節(jié)軸位于一個(gè)可展曲面上，與它所符合的另一個(gè)可展曲面偏移，關(guān)節(jié)軸需要與偏移的可展曲面上的直母線(xiàn)對(duì)齊。如圖3所示得到的4R 可展機(jī)構(gòu)。

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析只依賴(lài)于關(guān)節(jié)的相對(duì)位置，連桿可以是任意形狀的，因此只要不發(fā)生自干涉，剛性連桿的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與連桿形狀無(wú)關(guān)。確?？烧箼C(jī)構(gòu)連桿可以包含在可展曲面內(nèi)或符合可展曲面上利用的就是這一基本原理，機(jī)構(gòu)的連桿可以形成可展曲面的形狀。

2.2 可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)類(lèi)型

由于可展機(jī)構(gòu)符合或者包含于可展曲面內(nèi)，因此預(yù)測(cè)可展機(jī)構(gòu)相對(duì)于可展曲面的參考表面運(yùn)動(dòng)是十分重要的，尤其是在一致位置時(shí)的運(yùn)動(dòng)。GREENWOOD 定義了可展機(jī)構(gòu)3 種運(yùn)動(dòng)分類(lèi)[9]：

內(nèi)移動(dòng)性：當(dāng)可展機(jī)構(gòu)從一致位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，它可以完全進(jìn)入（或保留在）參考表面內(nèi)部的能力。

外移動(dòng)性：當(dāng)可展機(jī)構(gòu)從一致位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，它可以完全進(jìn)入（或保持在）參考表面外部的能力。

跨內(nèi)外移動(dòng)性：當(dāng)可展機(jī)構(gòu)從一致位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，它可以同時(shí)進(jìn)入?yún)⒖急砻娴膬?nèi)部和外部的能力。

這種分類(lèi)的優(yōu)點(diǎn)在于可以判斷從參考表面一致位置時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，可展機(jī)構(gòu)是否完全或部分進(jìn)入可展曲面的內(nèi)部還是外部，可以預(yù)測(cè)可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)范圍，對(duì)設(shè)計(jì)可展機(jī)構(gòu)相對(duì)一致位置時(shí)是非常便利的。當(dāng)選擇的驅(qū)動(dòng)方向不同，移動(dòng)性也會(huì)發(fā)生改變，因此驅(qū)動(dòng)的選擇會(huì)實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)所需的運(yùn)動(dòng)要求。以圖4（a）所示，添加逆時(shí)針驅(qū)動(dòng)，桿件完全進(jìn)入（或保持在）參考表面的外部，實(shí)現(xiàn)了外移動(dòng)；當(dāng)選擇以圖4（b）所示的順時(shí)針驅(qū)動(dòng)方向，桿件完全進(jìn)入（或保持在）參考表面的內(nèi)部，實(shí)現(xiàn)了內(nèi)移動(dòng)。

圖4 柱面可展機(jī)構(gòu)的移動(dòng)性Fig.4 Mobility of cylindrical deployable mechanism

3 可展機(jī)構(gòu)分析方法

3.1 瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法

判斷柱面可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分類(lèi)方法有2 種，一種是陰影法，另一種為瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法。陰影法比瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法有著明顯的局限性，僅能判斷機(jī)構(gòu)是否可以完全跨內(nèi)外移動(dòng)或者是否不能內(nèi)移動(dòng)，所以陰影法并不能具體確定機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，因此需要瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法進(jìn)行具體的可展機(jī)構(gòu)分類(lèi)。瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法需要確定瞬時(shí)中心參考線(xiàn)ICRL（Instant Center Reference Line）與連桿之間的位置關(guān)系，瞬時(shí)中心IC（Instant Center）與圓心連線(xiàn)便可得到此連桿對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)中心參考線(xiàn)。如圖5所示，連桿i繞著瞬時(shí)中心IC1i旋轉(zhuǎn)，穿過(guò)柱型可展曲面的圓心和瞬時(shí)中心IC1i的連線(xiàn)就是連桿i對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)中心參考線(xiàn)ICRLi。

圖5 連桿i 的瞬時(shí)中心線(xiàn)Fig.5 ICRL of link i

3.2 瞬時(shí)中心的確定

瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法首要步驟是先找到桿件的瞬心，瞬時(shí)中心是兩個(gè)構(gòu)件在某一時(shí)刻沒(méi)有相對(duì)速度的點(diǎn)即零速點(diǎn)[15]。在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析中，瞬時(shí)中心通常用于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的速度分析，并在機(jī)構(gòu)綜合中來(lái)預(yù)測(cè)剛體機(jī)構(gòu)中連桿相對(duì)運(yùn)動(dòng)。瞬時(shí)中心的數(shù)目可由總構(gòu)件數(shù)計(jì)算確定，若機(jī)構(gòu)存在N個(gè)構(gòu)件(包含機(jī)架)，則該機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)中心的總數(shù)NIC為

對(duì)于直接接觸的兩構(gòu)件，利用觀(guān)察法便可確定瞬時(shí)中心；對(duì)于不直接接觸的兩構(gòu)件，需要利用三心定理確定其瞬心位置。

4 柱面5R 可展機(jī)構(gòu)

4.1 柱面5R 可展機(jī)構(gòu)分析

在柱面可展曲面上選取5 條直母線(xiàn)作為轉(zhuǎn)動(dòng)副，并滿(mǎn)足可展機(jī)構(gòu)的三條準(zhǔn)則，從而得到柱面5R 可展機(jī)構(gòu)。利用瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法的關(guān)鍵在于確定可展機(jī)構(gòu)的瞬心。因?yàn)殛P(guān)節(jié)軸位于相同位置并且連桿是剛性的，具有直連桿和成形連桿的機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上是完全等效的，在確定五桿可展機(jī)構(gòu)的瞬心時(shí)，通過(guò)分析直連桿代替分析成形連桿，這樣會(huì)更加簡(jiǎn)單。

根據(jù)式（1）可得瞬心總數(shù)為10 個(gè)。不直接相接觸連桿不能通過(guò)三心定理來(lái)獲得所需的瞬心，此時(shí)則需通過(guò)速度確定桿件的瞬心。應(yīng)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)圖解法求解各構(gòu)件上各指定點(diǎn)速度，求解時(shí)根據(jù)速度合成定理列出機(jī)構(gòu)各構(gòu)件上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)矢量方程，并利用一定的比例尺作出矢量多邊形，即可得到構(gòu)件指定點(diǎn)的速度和角速度[16]。無(wú)論是陰影法還是瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法進(jìn)行機(jī)構(gòu)類(lèi)型分類(lèi)，均是利用繪制線(xiàn)圖的方式，所以利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)圖解法是合理的，其概念清楚，操作分析簡(jiǎn)單。

如圖6 所示，利用直接觀(guān)察法能確定的瞬心有IC12、IC23、IC34、IC45和IC15，其余瞬心需要利用瞬心定義找到一個(gè)未知的瞬心。由于5R 機(jī)構(gòu)為2 個(gè)自由度需要2 個(gè)驅(qū)動(dòng)，在關(guān)節(jié)A與關(guān)節(jié)E處添加一定大小且順時(shí)針?lè)较虻慕撬俣圈谹和ωE，使得桿2 與桿5 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。確定桿1 與桿4 的瞬心IC14便能確定所有的瞬心。由于連桿1 為地，因此確定連桿4 的兩端點(diǎn)C與D之間的速度關(guān)系就可以確定連桿4 與1 的瞬心。利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)圖解法可得式（2）：

圖6 速度合成定理Fig.6 Speed composition theorem

其中，VB、VD的大小方向和VBC、VDC的方向可知，方向均垂直于各自連桿。使用6 個(gè)已知量求解剩余2 個(gè)未知量VBC和VDC，從而根據(jù)速度合成定理確定了VC的大小和方向，得到連桿4 兩端點(diǎn)C與D的速度，作VC和VD的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為連桿4 與連桿1 的瞬心IC14。

根據(jù)速度合成定理得到瞬心IC14，便可以進(jìn)一步通過(guò)三心定理找到所有的瞬心，瞬心的具體位置如圖7 所示。判斷連桿相對(duì)瞬時(shí)中心參考線(xiàn)的位置關(guān)系，只需要連桿1 與其余4 個(gè)連桿之間的瞬心。將直連桿轉(zhuǎn)換成弧形連桿，用直線(xiàn)將4 個(gè)瞬心與參考圓的圓心連接，得到相對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)中心參考線(xiàn)，如圖8 所示。根據(jù)連桿i與其對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)中心參考線(xiàn)IC1i的關(guān)系可得，圖8 中機(jī)構(gòu)的連桿長(zhǎng)度并未超過(guò)πR，且未接地的連桿3 對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)中心參考線(xiàn)ICRL13是未穿過(guò)連桿本身的，但未接地的連桿4 對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)中心參考線(xiàn)ICRL14是完全穿過(guò)連桿4 的，因此該機(jī)構(gòu)是屬于跨內(nèi)外運(yùn)動(dòng)類(lèi)型。

圖7 五桿機(jī)構(gòu)的瞬心Fig.7 Instant center of five-bar mechanism

圖8 五桿機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)中心參考線(xiàn)Fig.8 ICRL of five-bar mechanism

由于5R 機(jī)構(gòu)是2 個(gè)自由度需要2 個(gè)驅(qū)動(dòng)，上述分析是在關(guān)節(jié)A與E處添加了順時(shí)針?lè)较蚯掖笮∫欢ǖ慕撬俣?，在關(guān)節(jié)A與E還可以添加大小一定但逆時(shí)針?lè)较?、A順E逆、A逆E順的其余3種情況。同理，利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)圖解法找到C 點(diǎn)速度，進(jìn)一步得到瞬心IC14，再根據(jù)瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法得到運(yùn)動(dòng)類(lèi)型。剩余3 種情況中未接地的連桿4 對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)中心參考線(xiàn)ICRL14都是完全穿過(guò)連桿4 的，如圖9 所示。未接地的連桿3 對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)中心參考線(xiàn)ICRL13是否穿過(guò)連桿本身不影響判斷，都是屬于跨內(nèi)外運(yùn)動(dòng)類(lèi)型。

圖9 不同驅(qū)動(dòng)情況下的判定Fig.9 Judgment under different drivers

為驗(yàn)證瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法對(duì)二自由度的柱面5R 可展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)類(lèi)型的準(zhǔn)確性，可以通過(guò)ADAMS軟件進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，對(duì)得到的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

4.2 ADAMS 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真

利用SolidWorks 軟件建立柱面5R 可展機(jī)構(gòu)的三維模型，并導(dǎo)入到ADAMS 軟件中，模型如圖10 所示。在2 個(gè)固定鉸鏈處添加ωA=30rad/s 和ωE=50rad/s 進(jìn)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真，仿真過(guò)程中改變2個(gè)鉸鏈處角速度（不能為0），發(fā)現(xiàn)并不會(huì)影響固有的運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，只有添加的角速度方向才會(huì)影響可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)類(lèi)型判定，從而可以確定驅(qū)動(dòng)的4 種類(lèi)型分類(lèi)的正確性。4 種驅(qū)動(dòng)的情況過(guò)程如圖11所示。

圖10 可展機(jī)構(gòu)仿真模型Fig.10 Deployable mechanism simulation model

圖11 4 種驅(qū)動(dòng)方式運(yùn)動(dòng)仿真Fig.11 Four driving modes motion simulation

ADAMS 運(yùn)動(dòng)仿真的結(jié)果與瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法判斷的結(jié)果是一致的，驗(yàn)證了此模型利用瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法判斷運(yùn)動(dòng)類(lèi)型的正確性，文中提出的模型在4 種驅(qū)動(dòng)情形下都為跨內(nèi)外運(yùn)動(dòng)。同時(shí)也驗(yàn)證了將相對(duì)運(yùn)動(dòng)圖解法與瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法相結(jié)合分析方法的正確性。

5 結(jié)語(yǔ)

本文總結(jié)了直紋曲面與可展曲面的基本理論，提出了由單自由度的柱面4R 可展機(jī)構(gòu)到二自由度柱面5R 可展機(jī)構(gòu)的研究。將瞬時(shí)中心參考線(xiàn)法結(jié)合相對(duì)運(yùn)動(dòng)圖解法推廣到了二自由度柱面可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)類(lèi)型的判斷上，并且分別研究了4 種驅(qū)動(dòng)方向下柱面5R 可展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，在可展機(jī)構(gòu)的多自由度研究中奠定了運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)。通過(guò)此種分析方法可以在可展機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中預(yù)判運(yùn)動(dòng)大致位置，減少了直接三維建模設(shè)計(jì)的錯(cuò)誤并提高了效率。若將錐面可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行投影轉(zhuǎn)換，柱面可展機(jī)構(gòu)可拓展到錐面可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析和位置的預(yù)判。