基于偏好序的高鐵票價與售票時間窗聯(lián)合優(yōu)化

閆振英，王宇，韓寶明，李曉娟*

(1.內(nèi)蒙古大學，交通學院，呼和浩特 010020；2.北京交通大學，交通運輸學院，北京 100044）

0 引言

經(jīng)過大規(guī)模建設，我國高鐵運營里程已達4 萬km。高鐵建設成本和運營成本較高，改善高鐵收益是實現(xiàn)高鐵可持續(xù)發(fā)展的重要保障。自2016年高鐵定價權(quán)下放，國鐵集團不斷探索“一車一價”“一日一價”等靈活定價方式，以調(diào)節(jié)客流需求，平衡運力資源，提升客票收益。研究有效的靈活定價與售票控制機制，是改善高鐵收益的重要途徑。

收益管理技術(shù)大致可分為存量控制(Inventory Control)與動態(tài)定價兩大類。近年來，收益管理理論研究聚焦在考慮旅客選擇行為的網(wǎng)絡收益管理(Choice-Based Network Revenue Management,CNRM)上[1]。其中，存量控制多用于獨立需求的研究中，而在CNRM 中常用到可售控制(Availability Control)；動態(tài)定價可分為連續(xù)價格和離散價格。

鐵路運輸領域積極探索收益管理的應用研究。動態(tài)定價由史峰等[2]最早引入我國鐵路運輸領域，采用馬氏純滅過程得到離散價格的最優(yōu)策略和實用策略。張小強等[3]針對單列車多停站服務網(wǎng)絡，使用最大凹向包絡法縮小離散價格備選集規(guī)模，提升求解速度。后續(xù)研究拓展到多列車多停站動態(tài)定價問題，例如，蔡鑒明等[4]基于多項Logit 模型優(yōu)化各時段的連續(xù)價格。存量控制方面重點研究多列車多停站的網(wǎng)絡售票控制問題。WANG等[5]在單一票價下基于多項Logit 模型優(yōu)化不同類型列車的票額分配；駱泳吉等[6]提出設置通售席位的票額分配模型；YAN 等[7]放松容量約束，設置多等級票價，提出基于靈活編組的票額分配模型?？紤]到票價和售票控制分別影響著需求和供給，兩者的聯(lián)合優(yōu)化能夠有效改善收益。趙翔等[8]將高鐵列車差別定價和票額分配聯(lián)合優(yōu)化，采用人工蟻群算法求解；秦進等[9]將動態(tài)定價與票額分配協(xié)同優(yōu)化，并設計分布求解算法；XU 等[10]將該協(xié)同優(yōu)化模型重構(gòu)線性化后，通過迭代求解獲得全局最優(yōu)解。既有聯(lián)合優(yōu)化的研究多采用多項Logit模型刻畫旅客選擇行為。該模型方便嵌入收益管理模型，獲得較高效的近似控制策略，但確定概率函數(shù)需精確識別屬性和標定大量參數(shù)，且受IIA (Independent of Irrelevant Alternatives)特性影響，需求估計易出現(xiàn)偏差。

基于偏好序的無參數(shù)選擇模型不假定任何概率形式，由大量歷史數(shù)據(jù)驅(qū)動，對需求的刻畫更精確[11]。偏好序模型逐漸在收益管理中應用，例如，HOSSEINALIFAM等[12]提出存量控制模型，并設計列生成求解算法；BARBIER 等[13]提出可高效求解的可售控制模型，但缺乏對票價與售票控制聯(lián)合優(yōu)化的探索。

本文采用偏好序模型研究高鐵票價與售票控制聯(lián)合優(yōu)化的方法，針對多列車多停站的服務網(wǎng)絡，建立票價與售票時間窗的聯(lián)合優(yōu)化模型。考慮運營企業(yè)的售票要求將客票進行排序，設計粒子群與線性規(guī)劃模型求解相結(jié)合的算法快速求解模型。結(jié)果可為高鐵列車客票定價和制定售票控制策略提供決策支持。

1 模型構(gòu)建

1.1 問題描述

針對多列車和多停站的高鐵服務網(wǎng)絡，為每列車每個OD的相同類型座位(例如二等座)設置若干客票等級，各等級票價允許在一定范圍內(nèi)波動。按照列車、OD和票價等級設置客票產(chǎn)品j，J表示所有客票產(chǎn)品集合。將每列車在每個區(qū)段上的座位資源表示為i，資源集合為I?？推碑a(chǎn)品與列車席位資源的占用關(guān)系用矩陣A=表示，其中，客票產(chǎn)品j占用列車區(qū)段資源i時，aij=1；否則，aij=0。rj表示客票產(chǎn)品j的票價，設置票價上限及下限保證票價優(yōu)化不改變其客票等級。將客票銷售期劃分為τ個時段，t=0，售票開始；t=τ結(jié)束時，售票結(jié)束。一般來說，低價客票需提前開售，而高價客票提前開售也有利于增加收益，因此，將售票開始時間均設在t=0，通過優(yōu)化停售時間設定售票時間窗進行售票控制。Tj表示客票產(chǎn)品j的停售時間，Tj∈[ ]0,τ。售票時間窗為[0,Tj]，即客票產(chǎn)品j在該時間段內(nèi)可售，由于所有客票產(chǎn)品售票開始時間均設為0，售票時間窗也可直接表示為Tj。考慮旅客購買偏好的差異，l∈L表示購買行為相似的一類旅客，L為旅客類別集合，λl表示每個時段l類旅客的平均到達率。旅客購票需求具有價格彈性，票價可調(diào)節(jié)購票需求。售票時間窗則用來控制客票產(chǎn)品的供給狀態(tài)。鐵路運營企業(yè)通過決策每個客票產(chǎn)品j的最優(yōu)票價rj和對應的停售時間Tj，同時調(diào)節(jié)旅客需求和客票產(chǎn)品供給，促進供需精細匹配，實現(xiàn)客票期望總收益最大。不考慮列車超員或超售的情況，也不考慮旅客的退票和改簽行為。

1.2 偏好序模型

采用偏好序描述旅客的購票選擇行為。將具有相同購買行為的旅客歸為一類，該類旅客l的可選客票產(chǎn)品集合相同，為Cl，該集合中有nl個產(chǎn)品。Cl中客票產(chǎn)品排序反映了旅客的購買偏好順序。當排名靠前的客票產(chǎn)品可售時，直接購買；否則，將以一定概率轉(zhuǎn)移購買后續(xù)客票產(chǎn)品，依此類推，直到旅客購買某種客票或離開。用?l,j表示產(chǎn)品j在Cl中的排序，若j∈Cl，?l,j∈[1,nl]；若j?Cl，?l,j=0。θ(lk-1,k)表示l類別旅客在前一個客票不可售時轉(zhuǎn)移購買后一個客票的概率，方便起見，設定θ(l0,1)=1。子集C[lk]?Cl(k∈[1,nl])表示Cl中排在前k位的客票集。用S表示當前可售客票集合，旅客類別l面臨可售客票集合S時，選擇客票產(chǎn)品j的概率Pl(j|S)為

根據(jù)式(1)，旅客購買產(chǎn)品j的概率為Cl中排序在該產(chǎn)品之前的所有產(chǎn)品的轉(zhuǎn)移概率的乘積。可將l類別旅客購買客票產(chǎn)品j的概率表示為Pl(j|{j})。轉(zhuǎn)移概率的估計可參考文獻[11]。

1.3 彈性需求

旅客購票需求相對價格具有一定彈性。各類旅客的平均到達率λl受到其偏好產(chǎn)品的價格影響。將l類旅客購買各偏好客票產(chǎn)品的概率Pl(j|{j})作為權(quán)重，近似得到l類旅客偏好客票產(chǎn)品的平均票價為

式中：為l類旅客偏好客票產(chǎn)品的平均票價。假設l類旅客的到達率受其偏好客票產(chǎn)品的平均票價影響，則l類旅客的彈性需求函數(shù)[9]為

式中：η為彈性系數(shù)；為根據(jù)歷史售票數(shù)據(jù)推測得到的基準到達率；為根據(jù)歷史銷售情況推測得到的基準平均票價。

1.4 售票時間窗

客票產(chǎn)品j的售票時間窗可表示為Tj。依據(jù)偏好序購買邏輯，當排序靠前的客票產(chǎn)品可售時，旅客便不會購買排序靠后的客票產(chǎn)品，所以，售票時間窗并不是各類旅客實際購買客票產(chǎn)品j的持續(xù)時間段。為了計算客票銷售量，需要根據(jù)售票時間窗Tj計算旅客購買客票產(chǎn)品的實際時間段。定義和分別表示各類別旅客購買各類客票的時間窗和客票停售時間。定義ψ(lk)∈Cl表示旅客類別l的偏好集合中第k個客票。定義γ∈[1,k-1]表示在偏好集合中客票排序在k之前。要使旅客類別l選擇第k個客票，就需要設置第k個客票的停售時間晚于排序更靠前的客票。因此，類別l旅客購買產(chǎn)品k的時間窗為

1.5 票價與售票時間窗聯(lián)合優(yōu)化模型

旅客到達服從泊松過程，動態(tài)定價下的旅客平均到達率為λl，票價優(yōu)化后產(chǎn)品j的售票量為

式中：為l類旅客可選集合中產(chǎn)品j的售票時間窗；λl依據(jù)彈性需求函數(shù)式(3)計算。

根據(jù)上述假設，以客票收益最大化為目標函數(shù)，以票價rj和停售時間Tj為決策變量，構(gòu)建聯(lián)合優(yōu)化模型為

式中：Q為由Qj組成的向量；ci為各列車在各區(qū)段的席位資源i的最大席位數(shù)；c為由ci組成的向量。

式(7)以期望客票收益最大為目標函數(shù)；式(8)為列車容量約束；式(9)為各類旅客購買各客票產(chǎn)品的時間窗與停售時間的關(guān)系；式(10)為各類旅客任意前k個客票產(chǎn)品最晚停售時間；式(11)為客票產(chǎn)品停售時間的取值范圍，由售票期決定；式(12)為票價的上下限約束，使票價波動不足以改變產(chǎn)品排序。

在停售時間控制中，可以用客票產(chǎn)品停售時間排序滿足嵌套銷售的需求。定義客票產(chǎn)品排序H={Hj}j∈J，如果對于客票產(chǎn)品?u,v∈J,Tu ＞Tv，則Hu ＞Hv；若Tu=Tv，則Hu=Hv。一般來說，可按照運營企業(yè)的需要進行排序，例如，客票價格，價格除以資源數(shù)及單位里程價格等。當給定排序H時，模型中的非線性約束條件式(10)可以轉(zhuǎn)化為

然后，上述聯(lián)合優(yōu)化模型可轉(zhuǎn)換為以式(7)為目標函數(shù)，約束條件為式(8)，式(9)，式(11)～式(13)的等價模型。

2 求解算法

本文提出的聯(lián)合優(yōu)化模型為非線性規(guī)劃，該類模型難以精確求解。價格需求彈性的引入使模型變得更為復雜，因此，本文構(gòu)造粒子群與線性規(guī)劃嵌套的求解算法。

外層采用粒子群迭代優(yōu)化票價。將粒子位置定義為票價。迭代中，粒子按照一定速度更新位置。粒子速度更新規(guī)則為

式中：sg(m)為第g個粒子第m次迭代時的速度；Pg(m)為第m次迭代時自身最優(yōu)位置；O(m)為第m次迭代時全局最優(yōu)位置；rg(m)為第g個粒子第m次迭代時的位置；θ1和θ2為在區(qū)間(0,1)內(nèi)的隨機數(shù)；ω為慣性因子；c1為自身學習因子；c2為全局學習因子，通常取ω=c1=c2=0.5。粒子位置更新為

式中：μ=0.01。

內(nèi)層調(diào)用CPLEX 求解線性規(guī)劃，計算適應度函數(shù)。將適應度函數(shù)定義為期望總收益R，即式(7)目標函數(shù)。將粒子產(chǎn)生的票價方案輸入式(3)，計算彈性客流需求。此時，等價模型轉(zhuǎn)化為決策變量僅為售票時間窗的線性規(guī)劃模型，調(diào)用CPLEX求解。將得到的適應度函數(shù)值返回到外層迭代，找到滿意的票價和售票時間窗。

算法步驟如下。

Step 1 參數(shù)初始化。設定最大迭代次數(shù)M，粒子群規(guī)模G，在各客票允許的票價優(yōu)化范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生初始粒子位置矩陣r(0)，置粒子的初始速度矩陣s(0)=0，迭 代次數(shù)m=0，粒 子序號g=0，O(m)=0。

Step 2 置g=g+1，將rg(0)帶入式(3)計算λ；將λ與rg(0)輸入式(8)，式(9)，式(11)～式(13)，調(diào)用CPLEX 得到停售時間矩陣Tg(0)和期望總收益Rg(0)；置Pg(0)=rg(0)，粒子g最優(yōu)位置對應的適應度函數(shù)(0)；重復Step 2，直到g=G。

Step 4 置m=m+1，g=1，根據(jù)式(14)和式(15)更新粒子的速度sg(m)和位置rg(m)。

Step 5 判斷當前粒子票價矩陣rg(m)中的各元素是否滿足約束條件式(11)，若全部滿足，則轉(zhuǎn)至Step 6；否則，將置其適應度函數(shù)Rg(m)=0。

Step 6 將rg(m)輸入式(3)更新λ；將λ與rg(m)輸入式(8)，式(9)，式(11)～式(13)，調(diào)用CPLEX求解，得到適應度函數(shù)Rg(m)和停售時間矩陣Tg(m)。

Step 7 若Rg(m)，置Pg(m)=rg(m)，(m)；否則，置Pg(m)=Pg(m-1)。 若Rg(m)，置Og(m)=rg(m)，(m)；否則，置Og(m)=Og(m-1)。

Step 8 若g≤G，置g=g+1，返回Step 5。

Step 9 若m≤M，返回Step 4；否則，輸出最優(yōu)票價方案O(M)、期望總收益R(opt)和對應的最佳客票停售時間T*。

3 算例分析

3.1 基礎數(shù)據(jù)

選擇京滬高鐵4趟列車的二等座進行實驗，服務網(wǎng)絡如圖1[9]所示。

圖1 列車服務網(wǎng)絡Fig.1 Train service network

客票產(chǎn)品由列車、OD和票價等級來區(qū)分，將現(xiàn)狀客票全價和8 折作為基準票價設置兩個票價等級，并將各OD 的客票按照價格和運行時間排序，如表1所示。

表1 客票產(chǎn)品與票價Table 1 Ticket products and fares

在基準票價上下浮動10%的范圍內(nèi)優(yōu)化票價。各OD旅客類別、基準票價下的平均到達率和偏好產(chǎn)品集合如表2所示。

表2 各OD旅客類別、平均到達率和偏好產(chǎn)品集合Table 2 Collection of each OD passenger category,average arrival rate and preferred products

將預售期劃分為30 個時段。為計算方便，各產(chǎn)品間的轉(zhuǎn)移概率取相同的值，即各車次座位容量為1120個。價格彈性系數(shù)η=2。

3.2 實驗結(jié)果

為對比本文模型的收益效果，將票價固定僅優(yōu)化售票時間窗的方案作為對比方案。前者稱為聯(lián)合優(yōu)化方案，后者稱為固定票價方案。固定票價下，售票時間窗優(yōu)化模型為線性規(guī)劃模型，使用CPLEX求解。取最大迭代次數(shù)M=100，粒子群規(guī)模G=30，算法收斂如圖2所示。

圖2 迭代優(yōu)化過程Fig.2 Iterative optimization process

結(jié)果表明，聯(lián)合優(yōu)化方案總收益為2315554.07元，較固定票價方案提升收益約4.54%。最優(yōu)售票時間窗和票價如表3所示。

表3 客票產(chǎn)品售票時間窗及票價Table 3 Ticket time window and price of ticket products

模型通過價格彈性將票價與購票需求聯(lián)動，利用售票時間窗調(diào)節(jié)席位資源在不同客票產(chǎn)品間優(yōu)化分配，優(yōu)化后的票價有升有降。

3.3 討論

(1)不同旅客平均到達率的情況

保持供給不變，將基準價格下的平均到達率乘以一定倍數(shù)，計算不同需求規(guī)模下的客票收益情況如圖3所示。

由圖3可知，聯(lián)合優(yōu)化方案的客票收益均優(yōu)于固定票價方案，收益提升4.32%～8.49%。需求規(guī)模較小時，收益增加比例更大，應重視票價優(yōu)化改善收益。當需求達到一定規(guī)模，受列車席位容量和票價上限的約束，優(yōu)化票價對提升收益的貢獻趨于平穩(wěn)。

圖3 不同到達率下的客票收益情況Fig.3 Ticket revenue under different arrival rates

需求變化時，截取OD(1,8)的客票產(chǎn)品觀察票價和售票時間窗的變化，如圖4和圖5所示。

圖4 不同需求下部分客票產(chǎn)品的票價Fig.4 Ticket prices of some ticket products under different demand

圖5 不同需求下部分客票產(chǎn)品的售票時間窗Fig.5 Ticket time window of some ticket products under different demand

在不同需求下，客票產(chǎn)品票價出現(xiàn)一定差異。隨著需求的增大，部分客票產(chǎn)品售票時間窗縮小。由于需求增加后提前停售部分偏好序排名靠前的低價產(chǎn)品，能夠為排名靠后的高價產(chǎn)品預留更多席位資源。計算不同需求水平下的列車客座率如表4所示。

表4 客座率對比Table 4 Comparation of passenger load factors

相比固定票價方案，聯(lián)合優(yōu)化方案總體上提升了客座率，有利于滿足更多旅客的出行需求。

(2)不同轉(zhuǎn)移概率的情況

轉(zhuǎn)移概率越高，客票產(chǎn)品被轉(zhuǎn)移購買的可能性越大，增加了排序靠后的客票產(chǎn)品需求。保持其他數(shù)據(jù)不變，僅改變轉(zhuǎn)移概率，計算聯(lián)合優(yōu)化方案和固定票價方案的總收益變化情況如表5和圖6所示。

圖6 不同轉(zhuǎn)移概率下的客票收益情況Fig.6 Ticket revenue under different transfer probabilities

表5 不同轉(zhuǎn)移概率下的客票收益增加情況Table 5 Increase of ticket revenue under different transfer probabilities

轉(zhuǎn)移概率越大，期望客票總收益越大，且聯(lián)合優(yōu)化方案的期望總收益均高于固定票價方案。實際運營中應重視轉(zhuǎn)移概率的估計精度。

選取OD(1,8)的客票產(chǎn)品觀察不同轉(zhuǎn)移概率下票價和時間窗的變化，如圖7和圖8所示。

圖7 不同轉(zhuǎn)移概率下部分客票產(chǎn)品的票價Fig.7 Ticket prices of some ticket products under different transfer probabilities

圖8 不同轉(zhuǎn)移概率下部分客票產(chǎn)品的售票時間窗Fig.8 Ticket time window of some ticket products under different transfer probabilities

隨著轉(zhuǎn)移概率增加，偏好序排名靠后的高價產(chǎn)品需求增加，票價的浮動有利于調(diào)整供需適配關(guān)系，偏好序中排名靠前的客票產(chǎn)品停售時間提前，為高價產(chǎn)品保留更多席位資源。

4 結(jié)論

(1)本文基于偏好序選擇行為構(gòu)建了高鐵票價和售票時間窗的聯(lián)合優(yōu)化模型。綜合考慮多趟高鐵列車，通過價格調(diào)節(jié)彈性需求，采用售票時間窗調(diào)節(jié)席位資源在各OD 和各等級客票間的優(yōu)化分配，尋求供給和需求的最佳匹配，實現(xiàn)運營企業(yè)收益最大化。根據(jù)模型特點，設計粒子群算法分層求解。外層由粒子群隨機產(chǎn)生票價，內(nèi)層已知票價后引入客票銷售排序，將模型轉(zhuǎn)化為等價的線性規(guī)劃模型，調(diào)用CPLEX求解，通過迭代比選獲得模型的滿意解。

(2)與已知固定票價優(yōu)化售票時間窗的方案相比，本文提出的聯(lián)合優(yōu)化模型能夠根據(jù)彈性客流需求為每個客票產(chǎn)品確定最佳的票價和售票時間窗，從而提升總體客票收益。數(shù)值實驗表明：不同需求水平下，聯(lián)合優(yōu)化方案能夠提升期望總收益4.32%～8.49%。

(3)偏好序模型中的轉(zhuǎn)移概率對期望總收益具有顯著影響，但聯(lián)合優(yōu)化方案總是優(yōu)于固定票價方案。轉(zhuǎn)移概率越大，偏好序列表中排名靠后的高價客票產(chǎn)品被購買的概率越大。數(shù)值實驗表明：隨著轉(zhuǎn)移概率增加，期望總收益增加，且期望總收益增加比例在16.09%～4.08%變化。實際應用中運營企業(yè)應重視旅客轉(zhuǎn)移概率的估計精度。