二級圓柱斜齒輪減速器多因素優(yōu)化研究

胡 波，趙先鋒，胡小龍，湯朋飛，史紅艷

(貴州大學(xué) 機械工程學(xué)院，貴陽 550025)

0 引言

減速器是在原動機、工作機和執(zhí)行機構(gòu)之間傳遞力或力矩以及匹配轉(zhuǎn)速的設(shè)備[1,2]，重型二級斜齒圓柱齒輪減速器[3,4]具有重合度大、傳動平穩(wěn)、嚙合性能優(yōu)異的優(yōu)點，在航空航天、汽車及輸送機領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用[5～14]。

隨著小體積、輕量化、低耗能和低成本的需求，對于減速器體積的優(yōu)化是目前減速器設(shè)計的主要問題。國外學(xué)者提出了一些優(yōu)化方法。Ketan Tamboli[15]等人根據(jù)DIN標(biāo)準計算了齒輪幾何參數(shù)對齒輪尺寸和強度的影響，提出了具有導(dǎo)出目標(biāo)函數(shù)和約束條件的約束非線性多變量優(yōu)化問題的求解方法，利用粒子群算法（PSO）對重型齒輪減速器低重量、節(jié)能和低成本等問題進行了求解。A.KURAPATI和S.AZARM[16]針對減速器最小體積的優(yōu)化，提出了一種用于多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化（MDO）系統(tǒng)的MOGA-INS方法，大大的減少優(yōu)化程序，但其局限性在于只能基于遺傳算法（GA）條件下實現(xiàn)優(yōu)化。Lucian Tudose[17]等人使用兩階段演化算法對兩級斜齒輪傳動進行設(shè)計，完成對軸、軸承、外殼等的尺寸和選擇，得到了可以擴展到包括附加階段或不同布局的配置方案。ParidhiRaia[18]等人通過使用實數(shù)編碼的遺傳算法（RCGA），將輪廓偏移系數(shù)作為設(shè)計變量，同時考慮齒寬和齒數(shù)，使得減速器體積得到優(yōu)化。國內(nèi)學(xué)者用到的優(yōu)化方法包括基于傳統(tǒng)非線性規(guī)劃的直齒輪單元最小體積設(shè)計[19]、SQP法[20]、模糊穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計[21]、懲罰函數(shù)法[22]、基于層次分析法的多目標(biāo)優(yōu)化[23]、基于差分進化的優(yōu)化[24]、擺線輪齒廓修形多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法[25]、遺傳算法[26]等。就目前而言，將懲罰函數(shù)運用于減速器優(yōu)化上最多的是內(nèi)點懲罰函數(shù)法，外點懲罰函數(shù)目前沒有，而混合懲罰函數(shù)法是把內(nèi)點法和外點法結(jié)合起來，既可以優(yōu)化約束不等式條件也可以優(yōu)化等式約束條件，故具有很好的實用性[27]。

目前的這些研究，對優(yōu)化減速器的體積起到了積極地作用，但目前這些優(yōu)化方法，討論的大多數(shù)參數(shù)在第一級，對第二級考慮相對較少，因此在優(yōu)化減速器體積時，效果不是很好，因此本文采用混合懲罰函數(shù)法，綜合考慮兩級參數(shù)，對重型二級斜齒圓柱齒輪減速器進行優(yōu)化，以達到全面優(yōu)化型二級斜齒圓柱齒輪減速器體積的目標(biāo)。

1 數(shù)學(xué)模型建立

以某貨車的重型二級斜齒圓柱減速器為研究對象，減速器參數(shù)為：額定功率為Pd=15W，總傳動比為i=15。工作狀況：單班8h，壽命12年（設(shè)每年工作300天），單向運轉(zhuǎn)，載荷較平穩(wěn)。在高速級大小齒輪和低速級大齒輪的材料選擇均為45號鋼調(diào)質(zhì)處理，低速級小齒輪為40Cr鋼調(diào)質(zhì)處理，四個齒輪均屬于軟齒面，精度均為8級，符合設(shè)計規(guī)范。傳動圖如圖1所示。

圖1 圓柱齒輪傳動示意圖

從圖1的減速器傳動簡圖中可以看出，兩對圓柱齒輪傳動由共四個齒組成，齒數(shù)分別為Z1、Z2、Z3、Z4，相應(yīng)的齒數(shù)比分別是i1=Z2/Z1和i2=Z4/Z3；兩組傳動齒輪的法面模數(shù)分別設(shè)為mn1和mn2；齒輪的螺旋角為β。表1為減速器原設(shè)計齒輪參數(shù)。

表1 減速器的主要參數(shù)

設(shè)計時按要求給定總傳動比i=15，且有i=i1×i2，所以i2=i/i1。，四個齒輪的齒數(shù)只要能確定兩個即可，因此設(shè)定兩個小齒輪的齒數(shù)Z1和Z3為設(shè)計變量。其他設(shè)計變量為：i1、i2、mn1、mn2、β1和β3，共八個參數(shù)擬定為設(shè)計變量。由于齒輪中心距是影響減速器體積的最主要的影響因素，且可以直接計算，因此針對8個設(shè)計變量采用混合懲罰函數(shù)法，以中心距最小為目標(biāo)進行減速器體積優(yōu)化設(shè)計。

2 基于混合懲罰函數(shù)法的數(shù)學(xué)模型

針對本次優(yōu)化設(shè)計的八個參數(shù)擬定為設(shè)計變量Z1、Z3、u1、u2、mn1、mn2、β1和β3，即：

由于二級斜齒圓柱齒輪減速器中齒輪及軸的中心距決定減速器整體體積的主要依據(jù)，將其中心距作為目標(biāo)來進行優(yōu)化設(shè)計，按照要求使減速器的中心距A最小，將目標(biāo)函數(shù)寫成：

各參數(shù)的選擇準則如下：

1）法面模數(shù)。法面模數(shù)值過大則會使得齒輪體積的偏大，模數(shù)值偏小則會引起承載能力不足，故根據(jù)一系列的標(biāo)準模數(shù)值可取mn≥2。

2）螺旋角。因為斜齒輪有軸向力的存在，且隨螺旋角的增加而增加，故使軸承不承受過大的軸向力，應(yīng)對螺旋角有所限制，一般應(yīng)使8°≤β≤20°。

3）小齒輪齒數(shù)。為了避免發(fā)生根切，方便制造選取20≤Z≤30。

4）大小齒輪齒數(shù)比。由上面計算結(jié)果可知u1=Z1/Z2，u2=Z4/Z3，一般取(2～5)之間。

5）齒面接觸疲勞強度。對于外嚙合斜齒輪的齒面接觸疲勞強度有：

6）齒根彎曲疲勞強度：

約束條件：

將已知量代入上述各式，建立的數(shù)學(xué)模型為：

由式(9)得出：

相關(guān)參數(shù)查表可知：

表2 相關(guān)參數(shù)

將參數(shù)代入式(14)得：

由式(11)得出：

將式參數(shù)代入式(17)得：

代入式(3)得其初始方案為：

構(gòu)造懲罰函數(shù)：

由于所有的約束條件均為不等式約束，故hv(x)=0。由式(1)可知，

將已知條件代入式(18)得所構(gòu)造的混合懲罰函數(shù)為：

使用MATLAB軟件進行編程，經(jīng)迭代計算即可得出最優(yōu)解。

3 優(yōu)化及體積計算

根據(jù)前面的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)，在MATLAB中編寫其優(yōu)化程序代碼，程序在經(jīng)過迭代后得到優(yōu)化結(jié)果為：

圖2 優(yōu)化結(jié)果

即經(jīng)優(yōu)化后得到目標(biāo)函數(shù)為：

減速器箱體體積V1(x)：

式(23)中：l、b、h分別是箱體的近似長度、近似寬度和平均高度，為箱體的平均壁厚。

由式(23)、式(24)計算可得：

代入優(yōu)化結(jié)果后有：

由下式可得：

式中齒寬系數(shù)φd=1.3。

將式(25)～式(27)代入式(24)后得：

最后將上述計算結(jié)果代入式(23)得：

對比前后發(fā)現(xiàn)減速器體積從原來的6664617.6mm3減小到4808996.579mm3，體積減小了27.84%。

4 結(jié)語

通過分析斜齒圓柱齒輪減速器的優(yōu)化方法的優(yōu)劣，采用混合懲罰函數(shù)法優(yōu)化減速器的8個設(shè)計參數(shù)，以中心距為目標(biāo)函數(shù)，建立了某重型二級斜齒圓柱齒輪減速器的混合懲罰函數(shù)模型，通過MATLAB編程，得到了中心距的最優(yōu)解，進而計算了某重型減速器的體積減小量。由計算結(jié)果可以看出，二級斜齒圓柱齒輪減速器體積減小了27.84%。本方法為重型二級斜齒圓柱齒輪減速器的設(shè)計提供借鑒。