基于量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的圖像識(shí)別新模型

范興奎，劉廣哲，王浩文，馬鴻洋，李 偉，王淑梅*

(1. 青島理工大學(xué)理學(xué)院 山東 青島 266520；2. 青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院 山東 青島 266520)

在過去幾年中，機(jī)器學(xué)習(xí)作為一個(gè)跨學(xué)科領(lǐng)域迅速發(fā)展。機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)也成功應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)挖掘等多個(gè)領(lǐng)域[1-5]。20 世紀(jì)初葉，物理學(xué)家對(duì)原子和輻射原理的逐漸了解，推動(dòng)了量子力學(xué)現(xiàn)代理論的誕生。量子力學(xué)的出現(xiàn)成為科學(xué)中不可缺少的一部分，其中包括原子結(jié)構(gòu)、恒星核聚變、超導(dǎo)體、DNA 結(jié)構(gòu)和自然界基本粒子等。量子計(jì)算是基于量子力學(xué)而非經(jīng)典物理學(xué)的思想進(jìn)行計(jì)算，比經(jīng)典計(jì)算更強(qiáng)大。20世紀(jì)后，量子物理和機(jī)器學(xué)習(xí)的結(jié)合，提出了一個(gè)新穎、實(shí)用的概念?量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(quantum neural network, QNN)。在量子計(jì)算機(jī)上，量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種有用的學(xué)習(xí)工具，量子計(jì)算機(jī)能夠?qū)α孔討B(tài)的疊加進(jìn)行大規(guī)模并行計(jì)算，提供潛在的指數(shù)加速，以較低的成本提取最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)框架[6-11]。量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提高了網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確性、泛化性和魯棒性等性能[12-14]，這得到了學(xué)界的深度重視。早在1995 年，文獻(xiàn)[15]最先提出了量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概念。之后，國(guó)內(nèi)外研究人員開始對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行進(jìn)一步的研究。2003 年，文獻(xiàn)[16]提出一種簡(jiǎn)單的量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及其訓(xùn)練方法，證明了量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與經(jīng)典的學(xué)習(xí)算法相比具有一些優(yōu)勢(shì)。之后，研究更加深入，學(xué)者們開始著重探索QNN 模型。2005 年，文獻(xiàn)[17]利用QNN 和CNN(convolution neural network)對(duì)倒立擺的擺動(dòng)和穩(wěn)定控制進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)具有很強(qiáng)的非線性關(guān)系，需要快速的識(shí)別能力。仿真結(jié)果表明，與CNN 相比，QNN 能夠更有效地控制運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，是一種利用神經(jīng)計(jì)算提高非完整對(duì)象控制能力的有效方法。2013 年，文獻(xiàn)[18]結(jié)合薛定諤波動(dòng)方程，提出了一種新的神經(jīng)信息處理體系結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)稱為遞歸量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(recurrent quantum neural network, RQNN)。RQNN 可以將非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)描述為時(shí)變的波包，文獻(xiàn)[18]使用簡(jiǎn)單信號(hào)對(duì)RQNN 進(jìn)行評(píng)估，結(jié)果表明RQNN 在對(duì)含有3 種不同噪聲水平的直流信號(hào)進(jìn)行濾波時(shí)，效果明顯優(yōu)于卡爾曼濾波。2014 年，文獻(xiàn)[19]介紹了一種系統(tǒng)的QNN 研究方法，將神經(jīng)計(jì)算的非線性耗散動(dòng)力學(xué)與量子計(jì)算的線性統(tǒng)一動(dòng)力學(xué)結(jié)合起來，充分利用了基于耗散量子計(jì)算的開放量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)思想。2018 年，文獻(xiàn)[20]證明了對(duì)于一大類合理的參數(shù)化量子電路，沿任何合理方向的梯度從非零到某一固定精度的概率是量子比特?cái)?shù)的指數(shù)函數(shù)。2021 年，文獻(xiàn)[21]將費(fèi)希爾信息譜與貧瘠高原聯(lián)系起來，首次證明，設(shè)計(jì)良好的量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比經(jīng)典神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更高的有效維數(shù)和更快的訓(xùn)練能力。多年來，量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)取得了非凡的發(fā)展，這對(duì)更快的計(jì)算需求產(chǎn)生了巨大影響，為解決經(jīng)典計(jì)算機(jī)無法解決的問題提供了前所未有的可能性。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究始于20 世紀(jì)80～90 年代。1987 年，文獻(xiàn)[22]提出了第一個(gè)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)?時(shí) 間 延 遲 網(wǎng) 絡(luò)(time delay neural network,TDNN)，TDNN 使用BP 框架進(jìn)行學(xué)習(xí)，實(shí)驗(yàn)證明，在同等條件下TDNN 的性能超過了當(dāng)時(shí)的主流算法?隱馬爾可夫模型(hidden markov model,HMM)。1995 年，文獻(xiàn)[23]開發(fā)了幾種用于醫(yī)學(xué)圖像模式識(shí)別的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練方法。為了提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能，還提出了一種利用旋轉(zhuǎn)和平移不變性的非常規(guī)方法。該人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過反向傳播訓(xùn)練形成卷積核的權(quán)值，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可作為最終的檢測(cè)分類器來確定可疑圖像區(qū)域上是否顯示了疾病模式。性能研究表明，該技術(shù)在臨床環(huán)境中具有潛在的應(yīng)用前景。隨著深度學(xué)習(xí)的發(fā)展，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開始進(jìn)入人們的視線。相應(yīng)地，互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的到來，信息量呈爆炸式增長(zhǎng)，對(duì)內(nèi)存和時(shí)間效率的要求越來越高，這成為了一個(gè)難以解決的問題。量子計(jì)算由于其固有的疊加和糾纏特性，不僅使得量子計(jì)算范式優(yōu)于傳統(tǒng)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，而且量子計(jì)算機(jī)可以同時(shí)存儲(chǔ)更多的比特信息，其存儲(chǔ)單元是經(jīng)典計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)單元的指數(shù)倍，這為解決卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)存不足的問題提供了方向。一方面，量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從量子物理學(xué)的角度出發(fā)，利用量子計(jì)算的高并行性，在處理海量數(shù)據(jù)方面時(shí)，顯著提高了傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)的運(yùn)算效率，實(shí)現(xiàn)了高效的信息提取和分類[24]；另一方面，在量子卷積層中，單個(gè)量子門僅對(duì)相鄰的量子比特施加運(yùn)算，并且在同一個(gè)量子卷積層內(nèi)，所有量子門具有相同的可調(diào)參數(shù)，保留了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中局部連接和權(quán)值共享的特性。這兩個(gè)特性使得量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠有效地提取圖像特征，降低網(wǎng)絡(luò)模型復(fù)雜度，顯著提升模型的運(yùn)算效率。正是由于這種優(yōu)勢(shì)，為未來量子機(jī)器學(xué)習(xí)帶來更廣泛的應(yīng)用能力[25-26]。然而，如何設(shè)計(jì)更高效的量子態(tài)編碼方式，如何構(gòu)造更通用的量子電路模型體現(xiàn)卷積的特性，如何實(shí)現(xiàn)更有效的優(yōu)化算法等問題仍待進(jìn)一步研究。面向經(jīng)典圖像數(shù)據(jù)處理任務(wù)。

本文在前人工作的基礎(chǔ)上提出了一種基于參數(shù)化量子電路的量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。首先，對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，包括下采樣和歸一化處理。預(yù)處理后，對(duì)圖像采用量子比特編碼的方式，編碼為量子態(tài)。接著構(gòu)建參數(shù)化量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，簡(jiǎn)單來說，是量子卷積層、量子池化層、量子全連接層的組合。最后，固定測(cè)量指定量子比特位，對(duì)輸出結(jié)果采用隨機(jī)梯度下降(stochastic gradient descent, SGD)方法優(yōu)化模型參數(shù)，促使輸出結(jié)果接近期望值。

本文的突出貢獻(xiàn)主要表現(xiàn)在設(shè)計(jì)了一種全新的具有強(qiáng)糾纏特性的參數(shù)化量子線路，該量子線路能夠高效地提取出圖像的高維特征信息，并對(duì)特征信息進(jìn)行較為準(zhǔn)確的分類。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過和其他研究者提出的模型進(jìn)行對(duì)比，該量子線路在包含較少的量子參數(shù)前提下，量子線路仍具有很高的分類準(zhǔn)確率和較快的收斂速度。不僅簡(jiǎn)化了量子線路的深度和復(fù)雜度，而且提高了量子參數(shù)的利用率，為以后對(duì)量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究打下了基礎(chǔ)。

1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種包含卷積計(jì)算的深層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是深度學(xué)習(xí)的代表算法之一[27-28]。該網(wǎng)絡(luò)算法尤其適用于處理具有網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的圖像數(shù)據(jù)[29-30]，是目前圖像處理領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的模型之一。CNN的成功與人類大腦視覺原理的研究息息相關(guān)，人類視覺通過逐層分級(jí)對(duì)物體認(rèn)知，從瞳孔攝入像素開始，首先通過大腦皮層做一些提取特征的初步處理，接著對(duì)特征進(jìn)行高級(jí)提取，并組合成相應(yīng)圖像，最終大腦達(dá)到區(qū)分物體的效果。CNN 的靈感來源于人類視覺原理的這個(gè)特點(diǎn)。

常見的CNN 模型由5 個(gè)基本模塊組成：輸入層、卷積層、池化層、全連接層和輸出層。在圖像分類中，輸入層需要對(duì)輸入的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理操作，其中包括：像素歸一化、像素中心化、像素標(biāo)準(zhǔn)化、PCA/SVD 降維等；對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)作為卷積層的輸入，卷積層的主要功能是利用卷積運(yùn)算從輸入數(shù)據(jù)中提取矩形特征圖，其中每一次卷積運(yùn)算都與卷積核的大小、步長(zhǎng)、個(gè)數(shù)有關(guān)。卷積核具有局部感受野的特性，用來提取圖像數(shù)據(jù)的局部特征，組成這一層卷積層的特征圖；特征圖作為池化層的輸入，進(jìn)行特征選擇和信息過濾。為了降低數(shù)據(jù)維度，采用池化操作，進(jìn)行下采樣。下采樣的方法分為最大值下采樣(max-pooling)與平均值下采樣(mean-pooling)；卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的全連接層位于隱含層的最后部分，全連接層的作用則是對(duì)提取的特征進(jìn)行非線性組合以得到輸出，利用現(xiàn)有的高階特征完成學(xué)習(xí)目標(biāo)；對(duì)于圖像分類問題，由輸出層使用邏輯函數(shù)或歸一化指數(shù)函數(shù)輸出分類標(biāo)簽。CNN 包括多重卷積層和池化層，它們結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過多重非線性變換對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，在計(jì)算機(jī)視覺中表現(xiàn)出非常高的性能，取得了超越傳統(tǒng)算法的效果。經(jīng)典卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過程示意圖如圖1所示。

圖1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流程圖

2 經(jīng)典圖像預(yù)處理和量子數(shù)據(jù)編碼

為了盡可能地提取圖像的特征信息。預(yù)處理包括圖像下采樣和圖像歸一化。圖像下采樣不但可以保留圖像的大部分特征信息，而且可以降低對(duì)量子比特位數(shù)的需求。圖像歸一化影響網(wǎng)絡(luò)反向傳播的梯度，具有防止梯度消失和梯度爆炸的作用，同時(shí)也加快了網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練和收斂的速度。圖像預(yù)處理完成后，采用量子比特?cái)?shù)據(jù)編碼的方式對(duì)特征信息量子化，將量子態(tài)信息輸入提出的新模型中。

2.1 經(jīng)典圖像的預(yù)處理

2.1.1 圖像下采樣

在 NISQ (noisy intermediate-scale quantum)時(shí)代，量子計(jì)算機(jī)受到量子比特位數(shù)和量子電路深度的限制，使得量子分類變得困難，目前還無法構(gòu)建出不受限制的量子計(jì)算機(jī)。簡(jiǎn)單來說，圖像的大小決定量子比特的位數(shù)，圖像的大小對(duì)于當(dāng)前的量子計(jì)算機(jī)會(huì)有一定的限制。為了減輕量子比特位數(shù)的限制，采用高斯金字塔下采樣的方式[31]，高斯金字塔示意圖如圖2 所示。將原始圖像進(jìn)行高斯濾波操作，設(shè)Gl作為高斯金字塔的第l層，原始圖像為G0，則有：

式中，i和j表示高斯金字塔第l層圖像中像素點(diǎn)的坐標(biāo)；w(m,n)是一個(gè)二維的5×5 高斯濾波器，表達(dá)式為：

濾波操作完成后，刪除原始圖像信息的偶數(shù)行和偶數(shù)列，原始圖像的大小尺寸變成了原先的一半。按照上述步驟生成的G0,G1,···,GN構(gòu)成了圖像的高斯金字塔，其中G0為 金字塔底層，GN為金字塔頂層。圖2 簡(jiǎn)要概括了高斯金字塔的采樣過程，其中G0為8×8 像素的金字塔底層，經(jīng)過高斯低通濾波后，轉(zhuǎn)換為4×4 像素的G1層，完成了數(shù)據(jù)的一次下采樣。該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集為28×28 大小的MNIST 數(shù)據(jù)集，經(jīng)過3 次高斯金字塔下采樣后，原始圖像大小尺寸變?yōu)?×4 像素的灰度圖像，保留了原始圖像的部分特征信息。

圖2 高斯金字塔采樣過程

2.1.2 圖像歸一化

對(duì)于圖像數(shù)據(jù)來說，圖像的像素值是介于0～255 之間的整數(shù)。在深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練進(jìn)行擬合時(shí)，一般使用較小的權(quán)重值，如果當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的值較大時(shí)，可能會(huì)減慢模型訓(xùn)練的過程，因此，對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行像素歸一化是有必要的。本文采用Min-max 歸一化，目的在于去除圖像數(shù)據(jù)的像素單位，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為無量綱的純數(shù)值，具體來說，像素歸一化后將圖像像素值縮放到[0,1]之間，Minmax 歸一化可由下式得出：

式中，p(i,j)為 在像素位置 (i,j)的 像素值；pmax和pmin分別為圖像像素值的最大值和最小值；pnew(i,j)為像素歸一化后像素位置 (i,j)的新像素值。歸一化后，圖像的特征信息在數(shù)值上有了一定的比較性，大大提高了分類器的準(zhǔn)確性。

2.2 量子數(shù)據(jù)編碼

圖像數(shù)據(jù)經(jīng)過預(yù)處理后，利用量子旋轉(zhuǎn)門Rx(θ)對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行量子態(tài)編碼轉(zhuǎn)換為量子態(tài)信息，量子態(tài)信息作為量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入，經(jīng)過一系列變換后完成圖像的分類。本文采用量子比特編碼的方式，將像素值信息映射為量子態(tài)，圖像像素值信息pnew(i,j) 與 量子旋轉(zhuǎn)門Rx(θ)的旋轉(zhuǎn)角度θ 具有如下關(guān)系[32]：

θ(i,j)=pnew(i,j)×π

圖像的特征信息被轉(zhuǎn)換為量子旋轉(zhuǎn)門的角度，每一個(gè)像素值都為量子旋轉(zhuǎn)門Rx(θ)提供了相應(yīng)的參數(shù)，不同的量子旋轉(zhuǎn)門Rx(θ)作用在相應(yīng)的量子位初始態(tài) |0?上，特征信息保留在量子態(tài)中，完成了圖像數(shù)據(jù)的量子態(tài)制備，量子態(tài)信息即可作為量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入。數(shù)據(jù)的量子態(tài)制備示意圖如圖3 所示。

圖3 數(shù)據(jù)的量子態(tài)制備

3 量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架

本節(jié)詳細(xì)介紹該網(wǎng)絡(luò)的量子卷積層、量子池化層、量子全連接層的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

3.1 量子卷積層的電路介紹

量子卷積層由多個(gè)參數(shù)化量子濾波器組成，量子濾波器類似于經(jīng)典卷積層中的卷積核，量子卷積層使用參數(shù)化量子濾波器對(duì)數(shù)據(jù)的局部空間所有量子位進(jìn)行特征提取(特征圖)。對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型起到了提取量子位復(fù)雜特征信息的重要作用。量子濾波器包含多種類的量子比特門，其中包括單量子比特門和雙量子比特門，它們可以對(duì)相應(yīng)的量子比特位進(jìn)行幺正變換，雙量子比特門作用于相鄰的量子比特上，實(shí)現(xiàn)了相鄰量子比特的量子糾纏。該網(wǎng)絡(luò)既融入了量子力學(xué)中的獨(dú)有特性，也保留了卷積核權(quán)值共享的特點(diǎn)。本文采用類似于文獻(xiàn)[33]提出的量子線路，該量子線路由CNOT 門、Rx(θ)旋轉(zhuǎn)門和旋轉(zhuǎn)門組成，如圖4 所示，卷積核U具有7 個(gè)可調(diào)整的參數(shù)。

圖4 量子卷積層的線路結(jié)構(gòu)

3.2 量子池化層的電路介紹

量子池化層和經(jīng)典池化層相似，為了對(duì)量子卷積層所提取的特征進(jìn)行降維，該網(wǎng)絡(luò)使用量子池化層，對(duì)量子態(tài)特征進(jìn)行量子池化操作，去除了冗余信息、簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度。同時(shí)量子池化層提取到了復(fù)雜的特征信息，提高了模型的準(zhǔn)確精度。量子池化層包含多個(gè)量子測(cè)量操作和經(jīng)典受控量子門，其中經(jīng)典受控量子門依據(jù)測(cè)量結(jié)果，對(duì)所作用的量子位施加不同的幺正變換。本文精心設(shè)計(jì)了量子池化層的電路結(jié)構(gòu)，如圖5 所示。在量子線路中加入CNOT 門、Ry(θ)旋 轉(zhuǎn)門和Rz(θ)旋轉(zhuǎn)門，參數(shù)化量子門施加于相鄰量子比特上，完成對(duì)量子態(tài)局部概率幅進(jìn)行特征融合的同時(shí)作降維采樣處理。其中，R?z(θ)表 示Rz(θ)的共軛轉(zhuǎn)置量子門，有6 個(gè)可調(diào)參數(shù)。

圖5 量子池化層的線路結(jié)構(gòu)

3.3 量子全連接層的電路介紹

量子全連接層和經(jīng)典全連接層相似，出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)模型的末尾。經(jīng)過量子池化層降維運(yùn)算，量子系統(tǒng)中相干量子比特的數(shù)量減少。當(dāng)數(shù)量足夠少時(shí)，對(duì)剩余量子比特施加量子全連接層，將特征映射到樣本標(biāo)記空間，量子全連接層起到了分類器的作用。本文采用強(qiáng)糾纏量子線路作為全連接層，它由多個(gè)通用單量子比特門和CNOT 門組成。量子全連接層內(nèi)部各個(gè)量子門的參數(shù)相互獨(dú)立，并且強(qiáng)糾纏電路具有線路效率高、計(jì)算量少的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[34]已經(jīng)證明，強(qiáng)糾纏低深度線路被視為一種強(qiáng)大的分類器。量子全連接層線路結(jié)構(gòu)如圖6 所示。共包含12 個(gè)可訓(xùn)練的參數(shù)。所提取的特征信息仍保留在輸出量子比特的量子態(tài)中，需要通過量子測(cè)量進(jìn)行提取利用，固定選取一個(gè)量子比特進(jìn)行測(cè)量，并將測(cè)量結(jié)果映射為量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的判別結(jié)果。其中，量子測(cè)量的原理是對(duì)該量子態(tài)進(jìn)行測(cè)量，使疊加態(tài)波包塌縮到一個(gè)基態(tài)，對(duì)量子系統(tǒng)的輸出執(zhí)行Z 基測(cè)量，得到量子系統(tǒng)的輸出。即：

圖6 量子全連接層的線路結(jié)構(gòu)

式中， | φ?in為 輸入圖像的量子態(tài)；U(θ1)為網(wǎng)絡(luò)卷積層中具有訓(xùn)練參數(shù)的酉算子的乘積；V(θ2)、F(θ3)為網(wǎng)絡(luò)池化層、全連接層中具有訓(xùn)練參數(shù)的酉算子。

考慮到量子測(cè)量的概率性，為減少量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸出方差，實(shí)驗(yàn)選取多次測(cè)量結(jié)果的均值作為單個(gè)量子比特的輸出值。

4 模擬仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果對(duì)比

仿真實(shí)驗(yàn)使用TensorFlow Quantum 量子計(jì)算框架[35]作為模型搭建平臺(tái)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都是在配備11th Gen Intel(R) Core(TM) i7-11800H 和16 GB RAM的筆記本電腦上收集的。本文展示了一種在MNIST數(shù)據(jù)集上的圖像識(shí)別任務(wù)，通過結(jié)果分析來驗(yàn)證量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力。該實(shí)驗(yàn)?zāi)M了圖像的預(yù)處理、圖像量子態(tài)的制備、完整的量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。模型由量子卷積層、量子池化層和量子全連接層組合而成。對(duì)比不同層數(shù)的QCNN 模型的學(xué)習(xí)能力，即一個(gè)具有三層量子卷積層和三層量子池化層結(jié)構(gòu)的模型；另一個(gè)有兩層量子卷積層和兩層量子池化層結(jié)構(gòu)的模型。兩種QCNN 模型分別對(duì)兩類灰度圖像識(shí)別任務(wù){(diào)0,1}、{2,7}進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，采用控制變量法，兩種模型使用相同的預(yù)處理方法、量子態(tài)制備方法、損失函數(shù)、梯度下降函數(shù)、數(shù)據(jù)集、測(cè)試集。隨機(jī)選取{0,1}、{2,7}兩類數(shù)據(jù)集組成訓(xùn)練集和測(cè)試集，訓(xùn)練集包括1 000個(gè)訓(xùn)練樣本，分別包含500 張數(shù)字0 和1 的樣本，測(cè)試集包括250 個(gè)測(cè)試樣本，分別包含125 張數(shù)字0 和1 的樣本，{2,7}數(shù)據(jù)集樣本分布和{0,1}相同。

4.1 不同量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的性能分析

本文將28×28 像素的手寫數(shù)字樣本采用高斯金字塔下采樣的方式，將手寫數(shù)字樣本下采樣為4×4 像素的灰度圖像?；叶葓D像通過Min-max 歸一化操作和量子數(shù)據(jù)編碼后，會(huì)有16 個(gè)輸入量子比特作為QCNN 的輸入，每經(jīng)過一層量子池化，量子比特的數(shù)量縮減為原來的一半。由于量子卷積層和量子池化層具有權(quán)值共享的特點(diǎn)，每一層的參數(shù)數(shù)量保持不變。本文使用不同層數(shù)的量子卷積層和量子池化層做對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)a 按照兩層量子卷積層和兩層量子池化層的比例構(gòu)建模型，包含42 個(gè)可訓(xùn)練參數(shù)；實(shí)驗(yàn)b 按照三層量子卷積層和三層池化層的比例構(gòu)建模型，包含51 個(gè)可訓(xùn)練參數(shù)。實(shí)驗(yàn)a 和b 所用模型如圖7 所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)a 和實(shí)驗(yàn)b 的QCNN 網(wǎng)絡(luò)模型的線路結(jié)構(gòu)

實(shí)驗(yàn)a 的訓(xùn)練迭代次數(shù)為100；批次大小為64；學(xué)習(xí)率為0.3，損失函數(shù)定義為均方誤差(mean square error, MSE)，它是預(yù)測(cè)值f(x)與 目標(biāo)值y之間差值平方和的均值，如下式所示：

兩個(gè)數(shù)據(jù)集的損失值和準(zhǔn)確率曲線如圖8 所示。分析曲線分布可以明顯地看出，實(shí)驗(yàn)b 相比實(shí)驗(yàn)a 有更高的分類準(zhǔn)確率和更穩(wěn)定的損失函數(shù)。其中，{0,1}分類中實(shí)驗(yàn)a 的準(zhǔn)確率為96%，實(shí)驗(yàn)b 的準(zhǔn)確率100%；{2,7}分類中實(shí)驗(yàn)a 的準(zhǔn)確率為96%，實(shí)驗(yàn)b 的準(zhǔn)確率100%。三層網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)對(duì){0,1}，{2,7}分類效果顯著，準(zhǔn)確率達(dá)到了100%，并且損失函數(shù)收斂的速度更快。三層網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)相比于兩層網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)，三層網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)具有更強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力和泛化性能。增加模型層數(shù)和模型參數(shù)對(duì)分類效果的提升較大，提高了模型的分類準(zhǔn)確率和泛化能力。

圖8 不同QCNN 模型的分類準(zhǔn)確率函數(shù)和損失函數(shù)

4.2 基于QCNN 的二元分類

所提出的三層網(wǎng)絡(luò)模型的QCNN 結(jié)構(gòu)在{0,1}分類和{2,7}分類中，準(zhǔn)確率可達(dá)到100%。為了提高量子線路的特征提取率和分辨率，更好地適應(yīng)其他二分類任務(wù)，本文改變數(shù)據(jù)集樣本的下采樣方法，采用平均池化下采樣策略，對(duì)圖像預(yù)處理進(jìn)行進(jìn)一步的改善。2022 年，文獻(xiàn)[36]提出了一種混合量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)據(jù)集的多分類任務(wù)，證明了平均池化下采樣策略的可行性。平均池化下采樣通過空白切割和平均池化操作，首先將28×28 像素的數(shù)據(jù)樣本空白切割為20×20 灰度圖像，丟棄每個(gè)邊界上幾乎沒有有用信息的像素塊。再對(duì)20×20 灰度圖像進(jìn)行平均池化，將20×20灰度圖像分為16 組5×5 的像素塊，計(jì)算每個(gè)5×5像素塊的平均值，得到4×4 灰度圖像。

實(shí)驗(yàn)使用經(jīng)過平均池化預(yù)處理后的4×4 像素的灰度圖像，經(jīng)過量子態(tài)制備后作為模型的輸入，執(zhí)行{0-9}中每對(duì)數(shù)字的二分類任務(wù)。該實(shí)驗(yàn)使用三層量子卷積層和三層池化層的模型，包含51 個(gè)可訓(xùn)練參數(shù)。實(shí)驗(yàn)批次大小為8；學(xué)習(xí)率為0.1；損失函數(shù)定義為交叉熵函數(shù)，公式如下所示：

通過分析圖9，除了{(lán)0,1}分類和{2,7}分類外，三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的QCNN 對(duì)數(shù)字0 和數(shù)字2 的分類準(zhǔn)確率最高，達(dá)到了99.68%。對(duì)數(shù)字4 和數(shù)字9 的分類準(zhǔn)確率最低，但也達(dá)到了93.22%。經(jīng)過平均池化策略后的數(shù)字4 和數(shù)字9 視覺觀察效果相似，提取的特征相似度大，相比于其他數(shù)字，模型的識(shí)別難度會(huì)增大許多。但是，該模型是基于16 位量子比特的輸入，當(dāng)量子位可以不再受到嚴(yán)格的限制時(shí)，模型對(duì)量子態(tài)特征的提取將會(huì)更加全面，相信這個(gè)問題在不久的將來會(huì)得到一個(gè)合理的解決。

圖9 MNIST 數(shù)據(jù)集的45 個(gè)二分類結(jié)果

此外，將本文提出的三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與其他方法進(jìn)行了比較。文獻(xiàn)[37]訓(xùn)練了一個(gè)張量網(wǎng)絡(luò)，該模型可以減少處理高維數(shù)據(jù)所需的量子比特?cái)?shù)，共包含1 008 個(gè)參數(shù)。文獻(xiàn)[37]使用MNIST數(shù)據(jù)集執(zhí)行二分類任務(wù)，得到了45 個(gè)分類任務(wù)的結(jié)果，其中該模型對(duì){0,1}、{0,4}、{1,9}分類準(zhǔn)確率最高，對(duì){3,5}、{4,9}、{7,9}分類準(zhǔn)確率最低。文獻(xiàn)[38]使用Tree Tensor Network (TTN)、Multiscale Entanglement Renormalization Ansatz (MERA)和一個(gè)經(jīng)過TTN 預(yù)訓(xùn)練的MERA 來處理4 個(gè)二分類任務(wù)，包括{0,1}、{2,7}和奇偶數(shù)，是否大于4 進(jìn)行分類。在相同的任務(wù)上，該實(shí)驗(yàn)使用三層結(jié)構(gòu)的QCNN 網(wǎng)絡(luò)模型，下采樣采用平均池化策略，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1 所示?？梢钥闯?，本文的網(wǎng)絡(luò)模型和張量網(wǎng)絡(luò)模型相比，在6 個(gè)分類任務(wù)中，分類準(zhǔn)確率更突出，模型性能更穩(wěn)定，對(duì)MNIST 數(shù)據(jù)集適用性更高。另外，本文模型包含51 個(gè)參數(shù)，參數(shù)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[37]提出的張量網(wǎng)絡(luò)模型，充分發(fā)揮了量子卷積層和量子池化層的特征提取的作用，減少了計(jì)算復(fù)雜度。QCNN模型和文獻(xiàn)[38]提出的模型相比，在對(duì)數(shù)字{0,1}和{2,7}和對(duì)大于4 的數(shù)分類任務(wù)中，本文網(wǎng)絡(luò)模型準(zhǔn)確率超過了文獻(xiàn)[38]提出的模型，但在奇偶分類任務(wù)中，準(zhǔn)確率并不突出，但準(zhǔn)確率也達(dá)到了81.35%。QCNN 模型的性能在多數(shù)方面超過了它們，但在奇偶分類中還需要網(wǎng)絡(luò)模型的進(jìn)一步完善，表明了QCNN 對(duì)這些任務(wù)有一定的處理能力，并且還可以通過完善模型線路，使模型分類準(zhǔn)確率進(jìn)一步提升。

表1 本文與其他模型的性能分析

5 結(jié) 束 語

本文提出了一種面向圖像識(shí)別的強(qiáng)糾纏參數(shù)化量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，詳細(xì)闡述了網(wǎng)絡(luò)模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)，該網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)MNIST 數(shù)據(jù)集進(jìn)行多種二分類任務(wù)。通過對(duì)參數(shù)個(gè)數(shù)為51 的三層網(wǎng)絡(luò)模型和參數(shù)個(gè)數(shù)為42 的兩層網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行對(duì)比，三層網(wǎng)絡(luò)的QCNN 模型在{0,1}和{2,7}分類中，性能表現(xiàn)更加出色，具有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，分類準(zhǔn)確率均達(dá)到了100%，并且損失函數(shù)收斂速度更快。為了進(jìn)一步提高模型的泛化能力，同時(shí)考慮到NISQ 設(shè)備中可用的量子位數(shù)量的有限性，本文采用平均池化策略對(duì)原始圖像進(jìn)行下采樣處理。與傳統(tǒng)方法相比，它保留了更多的數(shù)據(jù)特征。對(duì)采用平均池化策略的模型模擬了一個(gè)相對(duì)全面的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，與其他方法進(jìn)行比較，本文提出的QCNN 模型在MNIST 數(shù)據(jù)集識(shí)別方面有效地完成了圖像的二分類任務(wù)，顯示出了競(jìng)爭(zhēng)性的識(shí)別結(jié)果，并且在學(xué)習(xí)時(shí)具有穩(wěn)定的量子機(jī)器性能。與經(jīng)典CNN 相比，利用量子力學(xué)的量子態(tài)疊加和量子態(tài)糾纏特性，解決了模型對(duì)內(nèi)存和時(shí)間問題，證明了QCNN在圖像分類任務(wù)中具有良好的應(yīng)用前景。但在奇偶分類方面，還需要研究更高效、學(xué)習(xí)性能更好的QCNN 模型來提高奇偶分類的準(zhǔn)確率。接下來，計(jì)劃將QCNN 模型應(yīng)用于更復(fù)雜的數(shù)據(jù)分類任務(wù)，這些問題將是未來的研究重點(diǎn)。相信隨著大規(guī)模量子設(shè)備的出現(xiàn)，量子位數(shù)量的有限性將會(huì)得到合理解決，從而可以最大限度地提取原始圖像的特征信息，達(dá)到優(yōu)化模型的學(xué)習(xí)能力和適應(yīng)能力的效果。