基于高斯混合模型和極限狀態(tài)閾值隨機(jī)性的概率地震需求分析

賈大衛(wèi)， 吳子燕， 何 鄉(xiāng)

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 西安 710129)

隨著經(jīng)濟(jì)和城市的發(fā)展，人們的生活與建筑結(jié)構(gòu)等基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的關(guān)系越來(lái)越密切。地震具有較強(qiáng)的突發(fā)性和破壞性，會(huì)給人類(lèi)生命和建筑功能帶來(lái)巨大威脅。由于地震激勵(lì)具有較強(qiáng)的不確定性，結(jié)構(gòu)的抗震性能通常采用概率評(píng)估方法。美國(guó)太平洋地震工程研究中心(Pacific Earthquake Engineering Research Center，PEER)對(duì)此進(jìn)行了大量研究，率先提出新一代 “基于性能的地震工程”(performance based earthquake engineering, PBEE)概率決策框架，近幾年第二代PBEE理論也逐漸完善[1]。該理論的基礎(chǔ)為概率地震需求分析，主要用來(lái)計(jì)算在具體場(chǎng)地下結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)年限內(nèi)超過(guò)給定性能極限狀態(tài)的結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率。地震需求是場(chǎng)地危險(xiǎn)性與結(jié)構(gòu)地震易損性相結(jié)合的產(chǎn)物，其含義是對(duì)所有地震風(fēng)險(xiǎn)事態(tài)作用下所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)需求概率的積分。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量有關(guān)概率地震需求分析的研究，并取得了豐碩的成果。鐘劍等[2]基于全概率理論進(jìn)行了橋梁結(jié)構(gòu)的地震風(fēng)險(xiǎn)分析；Jiang等[3]考慮了不同的場(chǎng)地特征對(duì)地鐵站地震易損性的影響；Khorami等[4]計(jì)算了鋼框架結(jié)構(gòu)的易損性和地震危險(xiǎn)性曲線；Banihashemi等[5]考慮了結(jié)構(gòu)的整體性能，進(jìn)行了鋼框架的地震易損性和可靠性分析；蔣亦龐等[6]考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，建立了無(wú)筋砌體結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線，并探討了結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響；Khaloo等[7]采用橋墩柱的最大彎曲延性響應(yīng)建立了橋梁結(jié)構(gòu)的易損性曲線，并且考慮了時(shí)變損傷效應(yīng)。Jafarian等[8]基于多種地震強(qiáng)度參數(shù)建立了多參數(shù)易損性函數(shù)。但上述研究存在一些不足：其一，部分研究?jī)H基于一維工程需求參數(shù)(engineering demand parameter，EDP)進(jìn)行分析，而未考慮多種EDP的聯(lián)合作用。結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)下破壞形式比較復(fù)雜，僅考慮一種參數(shù)難以得到準(zhǔn)確的評(píng)估結(jié)果。其二，在傳統(tǒng)概率地震需求分析中，普遍采用基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定的理論分析法，即將結(jié)構(gòu)EDP視為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率隨機(jī)變量。該假定使用方便，但卻具有一定局限性。Mangalathu等[9]通過(guò)Kolmogorov-Smirnov 非參數(shù)檢驗(yàn)法，驗(yàn)證了橋梁結(jié)構(gòu)的EDP拒絕服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；Cornell等[10]認(rèn)為橋梁各構(gòu)件的易損性曲線并非全部滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定；Karamlou等[11]認(rèn)為對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定會(huì)引起結(jié)構(gòu)易損性分析結(jié)果的不準(zhǔn)確；袁萬(wàn)城等[12]認(rèn)為部分EDP和地震強(qiáng)度之間不滿足對(duì)數(shù)線性回歸的假設(shè)。上述研究表明，對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定并不完全適用于任意結(jié)構(gòu)，可能會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。其三，決大多數(shù)研究人員采用固定閾值作為結(jié)構(gòu)性能極限狀態(tài)劃分的標(biāo)志。例如Wang等[13]采用固定閾值分別定義了橋墩柱和支座的性能極限狀態(tài)；Zhang等[14]和Su等[15]同樣采用固定閾值定義了結(jié)構(gòu)的性能極限狀態(tài)。已有研究表明[16]，不同地震波作用下結(jié)構(gòu)性能極限狀態(tài)閾值會(huì)產(chǎn)生顯著差異，忽略閾值的隨機(jī)性會(huì)引起較大偏差。張鵬輝等[17]基于變異系數(shù)[17]衡量閾值的隨機(jī)性，但變異系數(shù)的選擇大多根據(jù)專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)或已有研究主觀確定，缺少理論依據(jù)。

本文在多維性能極限狀態(tài)下，提出基于高斯混合模型(Gaussian mixture model ,GMM)[18]的概率地震需求分析法。該方法不需要假定EDP和閾值的分布類(lèi)型，并且可以充分考慮閾值的隨機(jī)性。首先基于多維性能極限狀態(tài)方程衡量結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)下的損傷程度，然后不采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定，利用GMM分別擬合EDP和閾值的概率密度函數(shù)，建立概率地震需求分析的多重積分公式，最后利用MC模擬得到結(jié)構(gòu)需求的年平均超越概率。將本文所提方法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對(duì)比，突出其差異性。

1 高斯混合模型

GMM是單高斯概率密度函數(shù)的延伸。它采用有限個(gè)高斯分布的概率密度函數(shù)的線性加權(quán)組合來(lái)擬合任意形狀的概率密度分布?；贕MM的概率密度函數(shù)可以表示為

(1)

對(duì)一個(gè)M元的GMM，未知參數(shù)共有3M組，每一元高斯分布的參數(shù)為：v={πk,μk,δk} ?？赏ㄟ^(guò)期望最大化(expectation maximization,EM)算法進(jìn)行迭代估計(jì)。該算法主要思想是通過(guò)最大化目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)下限函數(shù)來(lái)間接地最大化目標(biāo)函數(shù)。假設(shè)有N組觀測(cè)數(shù)據(jù)，迭代格式如式(2)～式(5)所示

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

在GMM中，首先需要確定高斯分布的個(gè)數(shù)才能利用EM求解未知參數(shù)?？深A(yù)先隨機(jī)取高斯分布個(gè)數(shù)，利用貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian information criterion,BIC)或赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion，AIC)判斷最優(yōu)GMM。BIC值越大或AIC值越小說(shuō)明概率密度函數(shù)擬合效果越好。

2 概率地震需求分析

2.1 基本原理

概率地震需求分析包含結(jié)構(gòu)易損性和地震危險(xiǎn)性分析兩部分內(nèi)容，其意義在于：既采用概率方法計(jì)算結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震下的破壞概率，又考慮場(chǎng)地危險(xiǎn)性，將二者耦合得到年平均超越概率，如式(7)所示

(7)

式中：F為結(jié)構(gòu)年平均超越概率；R為EDP；r為閾值。P(R>r|IM)為某地震強(qiáng)度下EDP超過(guò)給定性能極限狀態(tài)閾值的概率，即地震易損性；fIM(im)為地震強(qiáng)度的概率密度函數(shù)。文獻(xiàn)[19]表明，地震易損性表示為概率地震需求模型在失效域的積分，即

(8)

式中，f(R|IM)為給定地震強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)的概率地震需求模型，即EDP的概率密度函數(shù)。

我國(guó)目前建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)防的依據(jù)為抗震設(shè)防烈度，有資料表明，采用極值Ⅲ型分布描述地震烈度的概率分布比較符合我國(guó)的實(shí)際情況[20]，分布函數(shù)如式(9)所示

(9)

式中:w為地震烈度的上限值，可取為12；ε為眾值烈度，表示年平均超越概率為0.632的地震烈度；K為形狀參數(shù)，一般采用最小二乘法確定。

將式(8)～式(9)代入式(7)，即可得到概率地震需求分析的計(jì)算公式，如式(10)所示

(10)

2.2 基于多維性能極限狀態(tài)的概率地震需求分析

多維性能極限狀態(tài)描述多種EDP聯(lián)合作用下結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)[21]，可通過(guò)多維性能極限狀態(tài)方程描述，如式(11)所示

(11)

式中：NEDP為EDP個(gè)數(shù)；Ri為EDP；ri為EDP在對(duì)應(yīng)性能極限狀態(tài)下的閾值；bi為系數(shù)，也被稱(chēng)為相互作用因子，決定了極限狀態(tài)曲面的形狀。當(dāng)L<0時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，黃小寧等[22]指出，在兩種EDP的條件下，可將一個(gè)EDP的b簡(jiǎn)化為1，如式(12)所示

L=1-(R1/r1)b-(R2/r2)

(12)

以兩種EDP為例，在多維性能極限狀態(tài)下，易損性表示為EDP的概率密度函數(shù)在失效域內(nèi)的積分，如式(13)所示

P=?L<0f(R1,R2|IM)dR1dR2

(13)

式中：IM為給定的地震強(qiáng)度；f(R1,R2|IM)為EDP的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

已有研究表明，在多維性能極限狀態(tài)下，地震需求一般通過(guò)如下三重積分公式表示

(14)

3 基于GMM和閾值隨機(jī)性的地震需求分析

與基于一維EDP的地震需求分析相比，式(14)可以考慮不同EDP作用下結(jié)構(gòu)的聯(lián)合性能極限狀態(tài)，更符合實(shí)際。但在式(14)中，結(jié)構(gòu)易損性的積分域是由多維性能極限狀態(tài)方程確定。而極限狀態(tài)方程中的隨機(jī)變量?jī)H包含EDP，因此無(wú)法考慮極限狀態(tài)閾值的隨機(jī)性。Liu等[23]提出了基于離散閾值的積分方法考慮閾值的隨機(jī)性，但該方法需要假定閾值的分布類(lèi)型，并求解數(shù)次乃至數(shù)十次三重積分，計(jì)算代價(jià)較大。

由式(13)可知，多維性能極限狀態(tài)下易損性分析的本質(zhì)，是在給定EDP概率密度函數(shù)的條件下計(jì)算性能極限狀態(tài)方程小于0的概率。因此本文將閾值同樣視為概率隨機(jī)變量從而考慮其隨機(jī)性。仍以二維EDP為例，本文暫不考慮閾值和EDP相關(guān)性，假定閾值的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(r1,r2)，將其代入式(13)，結(jié)構(gòu)易損性可以表示為

(15)

式(15)的積分域同樣由性能極限狀態(tài)方程確定。但與式(13)相比，在式(15)中取閾值為隨機(jī)變量，由二重積分拓展到四重積分，因此可以充分考慮閾值的隨機(jī)性。聯(lián)立式(14)和式(15)，多維性能極限狀態(tài)下基于閾值隨機(jī)性的地震需求可以表示為

(16)

本文所提方法的核心思想是通過(guò)GMM擬合(R1,R2|IM)和f(r1,r2)，而并非傳統(tǒng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定。由于引入了GMM，式(16)的積分十分復(fù)雜，很難得到解析解。因此引入蒙特卡洛(Monte Carlo ,MC)模擬提高計(jì)算效率。谷音等指出，若地震強(qiáng)度的分布函數(shù)已知，可通過(guò)抽樣將地震危險(xiǎn)性函數(shù)進(jìn)行離散。假定抽取的地震強(qiáng)度樣本個(gè)數(shù)為nim，則每個(gè)樣本出現(xiàn)的概率為1/nim。谷音等提出了結(jié)構(gòu)需求年均超越概率的MC法，如式(17)所示

(17)

式中：IM=imi為抽樣所得單個(gè)地震強(qiáng)度樣本；P(R>r|IM=imi)反映了在該地震強(qiáng)度樣本下結(jié)構(gòu)的破壞概率。但式(17)只考慮了一維EDP，并不適用于多個(gè)EDP的情況，因此本文將式(17)推廣到多維性能極限狀態(tài)下的概率地震需求計(jì)算。將式(17)代入式(16)，可得

(18)

采用Wang等建議的MC法求解四重積分，分別對(duì)基于GMM構(gòu)造的f(R1R2|IM)和f(r1,r2)進(jìn)行抽樣，獲得樣本(R1j,R2j,r1j,r2j)，則結(jié)構(gòu)易損性表示為

(19)

式中：nEDP為生成的樣本點(diǎn)總數(shù)；I(·)為指示函數(shù)，當(dāng)L(R1j,R2j,r1j,r2j)<0時(shí)I(·)=1，反之為0。將式(19)代入式(18)，有結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率

(20)

式(20)即為本文最終建立的基于GMM的概率地震需求分析公式。由于GMM所得概率密度函數(shù)形式比較復(fù)雜，本文采用舍選抽樣法[24]獲得f(R1,R2|IM)和f(r1,r2)樣本。算法流程如圖1所示。

圖1中：[a,b]為隨機(jī)變量的取值區(qū)間；M為概率密度函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極大值。

與傳統(tǒng)概率地震需求分析方法相比，本文所提方法優(yōu)勢(shì)在于：f(R1,R2|IM)和f(r1,r2)由GMM確定，不需要對(duì)EDP和閾值進(jìn)行對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定，也不需要人為選取閾值的變異系數(shù)，還可以充分考慮閾值的隨機(jī)性?；贕MM的概率地震需求分析流程，如圖2所示。

4 算例分析

4.1 結(jié)構(gòu)模型建立

本文基于SAP2000分別建立一個(gè)鋼筋混凝土(reinforced concrete,RC)框架-剪力墻結(jié)構(gòu)和一個(gè)RC框架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)模型如圖3和圖4所示。其中框剪結(jié)構(gòu)沿X方向共5跨，跨度均為8 m；沿Y方向共3跨，邊跨跨度6 m，中跨跨度8 m。沿Y方向主梁間設(shè)置單根次梁。該結(jié)構(gòu)共4層，各層層高均為3.6 m。抗側(cè)力體系由混凝土框架和剪力墻部分組成。剪力墻部分包括兩片單肢剪力墻及由兩個(gè)電梯井組成的核心筒，核心筒長(zhǎng)8 m，寬4 m，門(mén)洞高2.4 m，寬2 m。各構(gòu)件采用的混凝土強(qiáng)度等級(jí)均為C30，縱向受力鋼筋采用HRB400級(jí)，箍筋采用HRB335級(jí)。樓板和剪力墻均配置雙排HRB335級(jí)鋼筋。框架結(jié)構(gòu)沿X方向共5跨，跨度為4 m；沿Y方向共3跨，跨度為5 m。結(jié)構(gòu)總共8層，各層層高均為3.6 m，構(gòu)件的材料屬性與框剪結(jié)構(gòu)一致。

梁和柱均采用SAP2000中的Frame單元模擬，并在梁兩端布置P-M3鉸，柱兩端布置P-M2-M3鉸用于考慮其非線性行為，鉸采用SAP2000中默認(rèn)的鉸屬性。剪力墻采用分層殼單元[25]，在三個(gè)應(yīng)力分量上均考慮其非線性行為。混凝土樓板采用Membrane單元。此外，模型考慮了P-Δ效應(yīng)。本文采用的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系如圖5所示。

文獻(xiàn)[26]指出，最大層間位移角(maximum inter-story drift ratio，MIDR)能較好地反映結(jié)構(gòu)構(gòu)件的整體損傷大小。文獻(xiàn)[27-28]指出，在考慮非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的損傷時(shí)，主要考慮對(duì)加速度敏感的構(gòu)件，例如機(jī)械設(shè)備、內(nèi)部管道等，因而本文選擇MIDR和最大層加速度(peak floor acceleration,PFA)分別作為衡量結(jié)構(gòu)和非結(jié)構(gòu)構(gòu)件性能的EDP。

4.2 場(chǎng)地危險(xiǎn)性分析

擬定兩個(gè)結(jié)構(gòu)模型所處的場(chǎng)地土類(lèi)別為I，抗震設(shè)防烈度為7度，設(shè)計(jì)基本地震動(dòng)加速度為0.1 gal，場(chǎng)地特征周期為0.35 s，結(jié)構(gòu)的阻尼比取0.05，周期折減系數(shù)為0.9，設(shè)計(jì)基準(zhǔn)周期為50年。50年超越概率為0.632，眾值烈度約為5.45度。則有：

(21)

通過(guò)最小二乘法可得形狀參數(shù)K的值約為8.318 9，則地震烈度的分布函數(shù)為

(22)

在地震工程學(xué)中，峰值地面加速度(peak ground acceleration，PGA)是衡量地震強(qiáng)度的關(guān)鍵指標(biāo)之一。本文選擇PGA衡量地震強(qiáng)度的大小，因此需要將地震烈度換算為PGA，采用谷音等給出的換算公式，如式(23)所示

PGA=10(im·lg-0.01)

(23)

將式(23)代入式(22)，并將PGA的單位用gal表示，可得PGA的累積分布函數(shù)為

(24)

分別對(duì)式(22)和式(24)兩端求導(dǎo)，可得地震烈度和PGA的概率密度函數(shù)曲線。由于PGA累計(jì)分布函數(shù)形式比較復(fù)雜，在MC模擬中，首先根據(jù)式(22)生成nim個(gè)地震烈度樣本，然后將這些樣本根據(jù)式(23)轉(zhuǎn)化為PGA樣本。本文取nim=100 000，抽得的地震烈度和轉(zhuǎn)化后的PGA樣本分布及其概率密度函數(shù)曲線如圖6和圖7所示。由圖可知，生成的PGA樣本與概率密度函數(shù)擬合度較高，這些樣本能在考慮場(chǎng)地類(lèi)型的前提下較全面地反映設(shè)計(jì)年限內(nèi)地震強(qiáng)度的隨機(jī)性。

4.3 地震激勵(lì)不確定性

文獻(xiàn)[29]表明，在概率地震需求分析中，需要選擇多于20條地震波進(jìn)行非線性時(shí)程分析。根據(jù)場(chǎng)地特征參數(shù)，基于SAP2000提取目標(biāo)反應(yīng)譜，從PEER數(shù)據(jù)庫(kù)中選擇了25條震級(jí)6～7級(jí)、震中距15～20 km、剪切波速200～300 m/s的地震波，并基于文獻(xiàn)[30]合成了25條地震波。所得地震波的反應(yīng)譜如圖8所示。

4.4 基于增量動(dòng)力分析法的EDP計(jì)算和閾值確定

增量動(dòng)力分析(incremental dynamic analysis，IDA)法是地震需求分析中常用方法之一。它的基本思想是將地震波按一系列的地震強(qiáng)度進(jìn)行調(diào)幅，然后基于非線性時(shí)程分析得到不同地震強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)的EDP，通過(guò)樣條插值得到EDP-IM曲線，即IDA曲線。IDA法的最大優(yōu)勢(shì)在于，不僅可以獲得不同強(qiáng)度地震下EDP的值，還可以根據(jù)IDA曲線斜率判斷在不同性能極限狀態(tài)下的閾值。FEMA中規(guī)定，在IDA曲線中，坐標(biāo)軸原點(diǎn)和第一個(gè)EDP-IM點(diǎn)之間的線段斜率為K，曲線斜率出現(xiàn)較大變化的點(diǎn)定義為“立即使用”；當(dāng)曲線斜率小于0.2K時(shí)，該點(diǎn)定義為“防止倒塌”；當(dāng)曲線趨于平緩時(shí)定義為“整體失穩(wěn)”。在GB 50011—2010《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范[31]中，性能極限狀態(tài)分為“正常使用”、“輕微破壞”、“中等破壞”和“嚴(yán)重破壞”四個(gè)等級(jí)?！罢Ｊ褂谩睂?duì)應(yīng)于彈性狀態(tài)閾值，“輕微破壞”的閾值約為“中等破壞”的50%，“嚴(yán)重破壞”約為彈塑性閾值的90%。根據(jù)IDA曲線斜率，本文定義性能極限狀態(tài)分為“正常使用(NU)”、“中度損傷(MD)”、“嚴(yán)重?fù)p傷(SD)”和“發(fā)生倒塌(CO)”四個(gè)等級(jí)。NU定義為曲線斜率開(kāi)始變化的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于FEMA中的“立即使用”點(diǎn)；MD定義為曲線斜率小于0.5K的點(diǎn)；SD定義為曲線斜率小于0.2K的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于FEMA中的“防止倒塌”點(diǎn)；CO定義為曲線斜率小于0.04K的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于FEMA中的“整體失穩(wěn)”點(diǎn)。本文采用PGA衡量地震強(qiáng)度，將每條地震波的PGA分別調(diào)幅至0.1～1.0 gal，步長(zhǎng)增量取0.1 gal。本文將每條地震波的輸入方向均設(shè)置為雙向加載，加載方式為1·X+1·Y。這里給出框剪結(jié)構(gòu)的IDA曲線及定義的閾值，如圖9所示。

通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析，四種性能極限狀態(tài)下MIDR閾值的變異系數(shù)依次為0.229 0，0.272 1，0.411 6，0.498 7，PFA依次為0.163 5，0.234 6，0.473 9，0.543 7。隨著破壞程度的提高，變異系數(shù)也隨之變大。該現(xiàn)象表明：閾值隨機(jī)性會(huì)對(duì)分析結(jié)果產(chǎn)生不可忽視的影響；在不同性能極限狀態(tài)下采用相同的變異系數(shù)是不合理的。

4.5 基于GMM的EDP和閾值概率密度函數(shù)建立

正如第1章和第3章所述，本文通過(guò)GMM得到f(R1,R2|IM)和f(r1.r2)，而并非傳統(tǒng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定。利用IDA法得到的數(shù)據(jù)，分別在不同PGA和不同性能極限狀下建立EDP和閾值的概率密度函數(shù)。以框剪結(jié)構(gòu)在PGA=0.1 gal和NU性能極限狀態(tài)為例，如圖10所示。

4.6 地震需求分析

根據(jù)式(12)建立性能極限狀態(tài)方程，如式(25)所示

L=1-(MIDR/midr)b-(PFA/pfa)

(25)

在二維極限狀態(tài)方程中，本文將PFA對(duì)應(yīng)的b取為1。由于缺少框剪結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，初步擬定MIDR的b=1，后文將通過(guò)靈敏度分析討論b的值對(duì)超越概率的影響。基于4.5節(jié)建立的GMM生成f(R1,R2|IM)和f(r1,r2)樣本，分別在不同性能極限狀態(tài)下利用式(20)得到結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率。為對(duì)比GMM法和傳統(tǒng)方法的差異，同樣基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定進(jìn)行求解。Wang等和Liu等已經(jīng)分別給出了基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定的易損性和概率地震需求分析的詳細(xì)說(shuō)明，本文不再重復(fù)，結(jié)果如表1所示。

表1中λp=(Fgmm-Flog)/Flog·100%，F(xiàn)gmm和Flog分別為基于GMM和對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定的年均超越概率。λp反映了二者的相對(duì)差異。由表1可知， 在四種性能極限狀態(tài)下λp均為負(fù)，說(shuō)明基于GMM得到的年均超越概率均小于對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定的年均超越概率，這個(gè)結(jié)論對(duì)RC框架和框剪結(jié)構(gòu)均成立。同時(shí)，在NU下，兩個(gè)結(jié)構(gòu)λp的絕對(duì)值均大于15%，在MD和SD下λp的絕對(duì)值大于30%，而在CO下大于50%。該結(jié)果表明GMM得到的年均超越概率與傳統(tǒng)方法相比差異很大。由于GMM不需要人為假定參數(shù)分布類(lèi)型，因此對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定會(huì)導(dǎo)致較大誤差。

表1 年均超越概率

為更加直觀的表示GMM對(duì)年平均超越概率的影響，本文將年平均超越概率用危險(xiǎn)性曲面表示。危險(xiǎn)性曲面反映了當(dāng)EDP取不同值時(shí)的結(jié)構(gòu)需求在設(shè)計(jì)年限內(nèi)的年平均超越概率，如圖11所示。由圖11可知，基于GMM得到的危險(xiǎn)性曲面低于傳統(tǒng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定，說(shuō)明基于GMM法所得年平均超越概率較小，而基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定得到的年平均超越概率較大。因此對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定可能會(huì)低估結(jié)構(gòu)的抗震性能。

4.7 參數(shù)靈敏度分析

相互作用因子b會(huì)影響到性能極限狀態(tài)方程的非線性程度，改變失效域的大小。Wang等和劉驍驍?shù)萚32]對(duì)b與結(jié)構(gòu)失效概率的關(guān)系在對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定下進(jìn)行了大量研究。隨著b增大，結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率逐漸降低。本文利用劉驍驍?shù)炔捎玫撵`敏度分析法，探究基于GMM的危險(xiǎn)性曲面與b的關(guān)系。在4.6節(jié)基礎(chǔ)上，分別再取b=2,b=5,b=10,b=15，所得危險(xiǎn)性曲面如圖12所示。

比較不同b對(duì)應(yīng)的危險(xiǎn)性曲面可知，隨著b增大，危險(xiǎn)性曲面逐漸下移，年平均超越概率逐漸降低。與b=10相比，當(dāng)b=15時(shí)，危險(xiǎn)性曲面有所下降，但二者基本重合。這個(gè)結(jié)論對(duì)GMM和對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定均成立，均適用于RC框架和框剪結(jié)構(gòu)，且與Wang等所得結(jié)論一致。Wang等的研究表明，b的值反映了不同EDP性能極限狀態(tài)的相關(guān)性，b越大，相關(guān)性越弱，當(dāng)EDP統(tǒng)計(jì)參數(shù)相同時(shí)，所得失效概率越小。因此在基于多維性能極限狀態(tài)的地震需求分析中，忽略性能極限狀態(tài)的相關(guān)性不利于結(jié)構(gòu)安全。

5 結(jié) 論

本文考慮性能極限狀態(tài)閾值的隨機(jī)性，并且不對(duì)EDP和閾值的分布類(lèi)型進(jìn)行人為假定，提出基于GMM的概率地震需求分析法?；贗DA法確定不同PGA下EDP的值，基于IDA曲線斜率獲得閾值樣本，利用GMM擬合EDP和閾值的概率密度函數(shù)取代傳統(tǒng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定，建立了考慮閾值隨機(jī)性的概率地震需求分析的多重積分公式，通過(guò)MC法求解年均超越概率。所得結(jié)論如下：

(1)通過(guò)IDA法可知，閾值具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，并且隨機(jī)性會(huì)隨破壞程度的提高而增加。一方面，忽略閾值的隨機(jī)性會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)論的不準(zhǔn)確；另一方面在不同性能極限狀態(tài)下采用相同的變異系數(shù)描述閾值的隨機(jī)性是不合理的。

(2)與傳統(tǒng)基于多維對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定的概率地震需求分析相比，基于GMM得到的結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率偏小。該結(jié)論表明對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定可能會(huì)低估結(jié)構(gòu)的抗震性能，得到不準(zhǔn)確的評(píng)估結(jié)果。

(3)在二維性能極限狀態(tài)方程中，b越大，EDP性能極限狀態(tài)相關(guān)性越弱，當(dāng)采用相同的EDP和閾值概率密度函數(shù)后，所得年平均超越概率越小。因此忽略性能極限狀態(tài)的相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致地震需求概率偏低，不利于工程安全。

(4) 本文建立的分析模型為RC框剪和RC框架結(jié)構(gòu)，因此所得結(jié)論僅適用于該類(lèi)型的結(jié)構(gòu)模型，對(duì)其它類(lèi)型的工程結(jié)構(gòu)，GMM和閾值隨機(jī)性對(duì)年平均超越概率的影響仍需建立模型具體分析。