基于曲線通過(guò)性能的地鐵車輛動(dòng)剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)參數(shù)優(yōu)化

祁亞運(yùn)， 戴煥云， ?；⑻疲?干 鋒

(1. 重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院, 重慶 400074;2. 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都 610031)

地鐵車輛由于自身線路的原因，小半徑曲線眾多，造成車輛曲線通過(guò)性能較差，車輪磨耗嚴(yán)重[1-2]。但由于軌道車輛轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)定位參數(shù)的影響，其直線穩(wěn)定性和曲線通過(guò)性能是一對(duì)矛盾點(diǎn)。轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)參數(shù)對(duì)于車輛動(dòng)力學(xué)性能和輪軌磨耗都有重要的影響，因此，轉(zhuǎn)臂定位節(jié)點(diǎn)參數(shù)優(yōu)化能夠?qū)Φ罔F車輛運(yùn)行性能提升具有重要意義。

變剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)是一種能夠提高車輛曲線通過(guò)性能和直線穩(wěn)定性的節(jié)點(diǎn)，何灼馀[3]對(duì)于高速動(dòng)車組的頻變的特性對(duì)于動(dòng)力學(xué)的影響進(jìn)行分析。張隸新等[4]采用變剛度轉(zhuǎn)臂定位節(jié)點(diǎn)應(yīng)用于城際動(dòng)車組，有效提高了其動(dòng)力學(xué)性能。祁亞運(yùn)等[5]采用Poynting-Thomson(PT)模型仿真變剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)的頻變特性，將其用于地鐵車輛的變剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)定位節(jié)點(diǎn)，并仿真其對(duì)于磨耗性能的影響。但這些模型中采用的PT模型參數(shù)都是廠家給出的特定值，并未對(duì)地鐵車輛的參數(shù)進(jìn)行匹配設(shè)計(jì)，在用于地鐵車輛時(shí)，需要進(jìn)一步優(yōu)化其變剛度轉(zhuǎn)臂點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，得到適用于地鐵車輛的PT模型參數(shù)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過(guò)對(duì)軌道車輛懸掛系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，主要是提高動(dòng)力學(xué)性能和減小輪軌磨耗。Mousavi Bideleh等[6-7]采用半主動(dòng)控制策略對(duì)于一系懸掛系統(tǒng)控制提高車輛動(dòng)力性能。 Nejlaoui等[8]通過(guò)建立車輛動(dòng)力學(xué)模型，利用遺傳算法和蒙特卡洛算法進(jìn)行懸掛參數(shù)優(yōu)化提升車輛通過(guò)小曲線的舒適度和安全性系數(shù)。 Johnsson等[9]利用建立多體動(dòng)力學(xué)模型優(yōu)化轉(zhuǎn)向架懸掛參數(shù)來(lái)提高動(dòng)力學(xué)性能和舒適度。Mousavi Bideleh等[10]通過(guò)遺傳算法優(yōu)化轉(zhuǎn)向架懸掛參數(shù)的帕累托解以減小車輪磨耗和提升旅客舒適度，結(jié)果表明，使用非對(duì)稱懸掛系統(tǒng)，車輛在曲線上的的性能可以得到明顯的改善。He等[11]通過(guò)建立一個(gè)21自由度的車輛動(dòng)力學(xué)模型，利用遺傳算法優(yōu)化了軌道車輛曲線通過(guò)性能，數(shù)值結(jié)果表明，與懸掛和慣性參數(shù)集相比，幾何參數(shù)集對(duì)曲線通過(guò)性能的影響最為顯著。隨后采用多目標(biāo)優(yōu)化策略進(jìn)一步提升車輛動(dòng)力學(xué)性能[12]。Gong等[13]分析了由于輪軌磨耗引起的抖車問(wèn)題，并通過(guò)測(cè)試和仿真分析了鋼軌打磨對(duì)于高速動(dòng)車組抖振現(xiàn)象的抑制，利用懸掛參數(shù)優(yōu)化有效減小了車體抖振。解歡等[14]采用混合代理模型，并以穩(wěn)定性、安全性和平穩(wěn)性指標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行懸掛參數(shù)優(yōu)化。廖英英等[15]通過(guò)對(duì)高速車輛一系和二系懸掛參數(shù)優(yōu)化以提高其動(dòng)力學(xué)性能。王蔚等[16]采用小生境的遺傳算法，優(yōu)化目標(biāo)設(shè)置時(shí)考慮了低錐度和高錐度下動(dòng)力學(xué)性能，優(yōu)化后懸掛參數(shù)進(jìn)一步提高了高速動(dòng)車組的穩(wěn)定性。以上模型都通過(guò)懸掛參數(shù)優(yōu)化和控制來(lái)提升車輛動(dòng)力學(xué)性能，但并未對(duì)變剛度動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，提升其動(dòng)力學(xué)模型和運(yùn)行性能，采用KSM-PSO(Kriging surrogate model-particle swarm optimization)算法可以有效地提高優(yōu)化效率。

本文首先建立基于動(dòng)剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)的地鐵車輛動(dòng)力學(xué)模型，然后建立動(dòng)剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)模型，并采用KSM-PSO算法對(duì)動(dòng)剛度節(jié)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化。最后對(duì)優(yōu)化前后的節(jié)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和車輪磨耗分析，驗(yàn)證優(yōu)化后動(dòng)剛度節(jié)點(diǎn)參數(shù)的性能。

1 變剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)地鐵車輛動(dòng)力學(xué)模型

1.1 變剛度轉(zhuǎn)臂定位節(jié)點(diǎn)建模

轉(zhuǎn)臂定位節(jié)點(diǎn)通常是由橡膠件組成，具有較大剛度，起到連接構(gòu)架和輪對(duì)的作用，對(duì)于直線穩(wěn)定性和曲線通過(guò)性能具有重要影響。地鐵車輛轉(zhuǎn)臂定位裝置如圖1所示。德國(guó)Freudenberg Schwab公司開(kāi)發(fā)了具有變剛度特性的轉(zhuǎn)臂定位節(jié)點(diǎn)，變剛度轉(zhuǎn)臂定位節(jié)點(diǎn)模型考慮了其頻變特性，在直線軌道上表現(xiàn)為硬特性；在曲線上表現(xiàn)為軟特性，實(shí)現(xiàn)了剛度的自適應(yīng)調(diào)節(jié)功能。本節(jié)采用PT模型模擬該變剛度定位節(jié)點(diǎn)的非線性特性，PT模型如圖2所示。圖2中：kc和c分別為串聯(lián)剛度和串聯(lián)阻尼；ks為并聯(lián)剛度；x0和xc分別為位移。模型的具體參數(shù)如表1所示。

變量數(shù)值并聯(lián)剛度ks/(MN·m-1)4串聯(lián)剛度kc/(MN·m-1)36串阻尼系數(shù)c/(kN·s·m-1)2 350

PT模型中，x0=Asin(ωt)，A為激擾幅值，ω為激擾頻率。由于慣性力很小，可以忽略不計(jì)，且右側(cè)為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，故有彈簧力大小等于阻尼力大小，即有

(1)

可解得

(2)

進(jìn)而可得右側(cè)結(jié)構(gòu)受力為

(3)

左側(cè)串聯(lián)結(jié)構(gòu)的受力為

F2=ksx

(4)

(5)

等效剛度

(6)

等效阻尼

(7)

圖3給出了節(jié)點(diǎn)參數(shù)對(duì)其動(dòng)態(tài)剛度的影響關(guān)系：阻尼c與頻變特性最為相關(guān)，隨著阻尼的增大，剛度值會(huì)隨頻率增大越快收斂于剛度上限值，換言之，阻尼越大動(dòng)態(tài)剛度對(duì)頻率變化越敏感；并聯(lián)剛度ks和串聯(lián)剛度kc決定了動(dòng)態(tài)剛度的限值，變化范圍為[ks,ks+kc]。

1.2 車輛模型建立

建立我國(guó)地鐵車輛的動(dòng)力學(xué)模型，采用LM踏面，轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)采用考慮變剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)，利用SIMPACK中86號(hào)力元。主要選取1個(gè)車體，2個(gè)構(gòu)架、4個(gè)輪對(duì)與8個(gè)軸箱構(gòu)成車輛模型?？紤]輪對(duì)和轉(zhuǎn)向架之間的一系鋼彈簧和一系垂向減振器作用，二系懸掛主要考慮空氣彈簧、橫向止擋等的作用，橫止擋力學(xué)特性如圖4(a)所示，建立地鐵車輛動(dòng)力學(xué)模型如圖4(b)所示?？紤]輪軌非線性的接觸關(guān)系和車輛懸掛系統(tǒng)，車輛系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程表示為

(8)

參數(shù)數(shù)值車體質(zhì)量Mc/kg21 500轉(zhuǎn)向架質(zhì)量Mb/kg4 420輪對(duì)質(zhì)量Mw/kg1 520車輪直徑d/m0.42車輛定距Lc/m13.4軸距Lw/m2.2車體重心高度Hc/m2.13車體側(cè)滾慣量Icx/(kg·m2)58 800車體點(diǎn)頭慣量Icy/(kg·m2)1 135 000車體搖頭慣量Icz/(kg·m2)1 077 800構(gòu)架側(cè)滾慣量Ibx/(kg·m2)1 576構(gòu)架點(diǎn)頭慣量Iby/(kg·m2)4 902構(gòu)架搖頭慣量Ibz/(kg·m2)3 551輪對(duì)側(cè)滾慣量Iwx/(kg·m2)102輪對(duì)點(diǎn)頭慣量Iwy/(kg·m2)599輪對(duì)搖頭慣量Iwz/(kg·m2)576

2 動(dòng)剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)參數(shù)優(yōu)化算法

2.1 KSM

KSM具有精度高，計(jì)算量小，計(jì)算速度快的特點(diǎn)，代理模型以結(jié)構(gòu)分析和變異函數(shù)為基礎(chǔ)，采用加權(quán)平均的方法對(duì)于待估點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。采用代理模型可以有效在約束條件的作用下，建立起設(shè)計(jì)參數(shù)和優(yōu)化目標(biāo)之間的關(guān)系。

假設(shè)樣本輸入?yún)?shù)X=(x1,x2,…,xn)對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)為Y=(y1,y2,…,yn)。則獨(dú)立輸入變量與響應(yīng)值得關(guān)系式為

y(x)=fT(x)β+Z(x)

(9)

式中：y(x)為預(yù)測(cè)響應(yīng)值；fT(x)通過(guò)已知變量建立的壓縮模型；β為一個(gè)未確定系數(shù)；Z(x)為高斯隨機(jī)分布，均值為零，方差為σ2，協(xié)方差可以表示為

(10)

當(dāng)輸入的樣本值確定后，響應(yīng)值就可以根據(jù)通過(guò)式(11)計(jì)算

(11)

式中，r為待測(cè)樣本點(diǎn)和每個(gè)已知樣本點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)，r(x)=[R(θ,x1,x),R(θ,x2,x),…,R(θ,xn,x)]。

2.2 PSO算法流程

PSO算法的是基于鳥類群體行為進(jìn)行建模和仿真。其主要思路是利用個(gè)體的信息共享使得整個(gè)群體運(yùn)動(dòng)從無(wú)序到有序，進(jìn)而在問(wèn)題求解時(shí)找到最優(yōu)解。相對(duì)其他算法，粒子群算法的可調(diào)參數(shù)較少。粒子具有兩個(gè)屬性：速度和位置(算法的兩個(gè)核心要素)。在找到這兩個(gè)最優(yōu)值后，粒子通過(guò)式(13)不斷更新自己的速度和位置。速度表示粒子下一步迭代時(shí)移動(dòng)的方向和距離，位置是所求解問(wèn)題的一個(gè)解。

主要計(jì)算流程如下：

步驟1初始化基本參數(shù)，初始化每個(gè)粒子；

步驟2評(píng)估每個(gè)粒子的全局最優(yōu)值；

步驟3判斷是否滿足最優(yōu)值，滿足終止，若不滿足則進(jìn)行以下步驟；

步驟4更新每個(gè)粒子的位置和速度；

步驟5更新每個(gè)粒子的函數(shù)適應(yīng)度值和其他參數(shù)，返回步驟3。

vij(t+1)=ωt+1vij(t)+c1r1j(t)[pij-xij(t)]+c2r2j(t)[pgj-xij(t)]

(12)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(13)

3 多目標(biāo)優(yōu)化

3.1 優(yōu)化問(wèn)題建立

設(shè)計(jì)變量的選擇:由于動(dòng)剛度模型中只有三個(gè)參數(shù)，為了進(jìn)一步優(yōu)化出適用于地鐵車輛小曲線通過(guò)時(shí)的動(dòng)剛度模型參數(shù)值，優(yōu)化時(shí)選取動(dòng)剛度模型的三個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。采用超拉丁立方采樣，分別選取變剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)中的三個(gè)參數(shù)ks，kc，c分別進(jìn)行采樣取值，三個(gè)參數(shù)的取值范圍如表3所示，最后的取值數(shù)據(jù)集如圖5所示。

表3 剛度和阻尼參數(shù)范圍Tab.3 Range of stiffness and damping parameters

優(yōu)化目標(biāo)的設(shè)置:車輪磨耗和平穩(wěn)性指標(biāo)是地鐵車輛小曲線面臨的重要問(wèn)題，因此，對(duì)于小曲線通過(guò)時(shí)，將車輪磨耗和平穩(wěn)性指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。

(1) 車輪磨耗

左右車輪的踏面磨耗計(jì)算為

(14)

式中：Tγl為左輪車輪磨耗；Tγr為右輪車輪磨耗；t1為積分開(kāi)始時(shí)間；t2為積分結(jié)束時(shí)間。

Tγ=Fxvx+Fyvy+Mφφ

(15)

式中：Fx，vx為縱向蠕滑力和縱向蠕滑率；Fy，vy分別為橫向蠕滑力和橫向蠕滑率；Mφ，φ分別為自旋蠕滑力矩和自旋蠕滑率。

(2) 車體平穩(wěn)性指標(biāo)

平穩(wěn)性指數(shù)W主要由Sperling經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，依據(jù)GB/T 5599—2019[19]，限值為W≤2.75

(16)

式中：W為平穩(wěn)性指數(shù)；A和f分別為振動(dòng)加速度和振動(dòng)頻率；F(f)為頻率修正系數(shù)，具體修正系數(shù)見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)GB/T 5599—2019。

約束條件設(shè)置：在約束條件設(shè)置時(shí)，以常見(jiàn)的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)：輪軌橫向力，輪軌垂向力，脫軌系數(shù)，輪重減載率為約束條件，依據(jù)GB/T 5599—2019，限值為

(17)

3.2 優(yōu)化過(guò)程及優(yōu)化結(jié)果

為了提高地鐵車輛的曲線通過(guò)性能，由于地鐵線路小曲線眾多，優(yōu)化后的參數(shù)需要具備更好適應(yīng)小曲線線路特征，但由于現(xiàn)場(chǎng)曲線半徑工況較多，仿真分析線路條件主要采用典型的一種小曲線線路進(jìn)行，仿真線路采用半徑為400 m的小曲線半徑，進(jìn)一步優(yōu)化出適用于地鐵車輛的動(dòng)剛度模型參數(shù)，相關(guān)線路參數(shù)如圖6所示。

采用KSM-PSO算法多目標(biāo)優(yōu)化后，結(jié)果如圖7所示，最優(yōu)解為(3 450 N，1.942), 此時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)，ks，kc，c對(duì)應(yīng)的參數(shù)為62.78 MN/m, 5.37 MN/m, 2.94 kN·s/m, 此時(shí)對(duì)應(yīng)的車體橫向平穩(wěn)性指標(biāo)和平穩(wěn)性指標(biāo)都較小。

4 動(dòng)剛度節(jié)點(diǎn)參數(shù)優(yōu)化前后運(yùn)行性能對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所優(yōu)化PT模型的動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)于地鐵車輛運(yùn)行性能的影響，分析優(yōu)化后參數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)和磨耗特性。動(dòng)力學(xué)指標(biāo)主要包括臨界速度，舒適度指標(biāo)，以及脫軌系數(shù)和輪軸橫向力等。而磨耗性能主要是進(jìn)行磨耗預(yù)測(cè)分析。

4.1 動(dòng)力學(xué)指標(biāo)

動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)主要分析了對(duì)于原始定剛度參數(shù)、優(yōu)化前的動(dòng)剛度參數(shù)和優(yōu)化后動(dòng)剛度參數(shù)分別對(duì)于車輛穩(wěn)定性、舒適度和安全性的影響。臨界速度的計(jì)算采用升速法，先給300 m軌道激勵(lì)，然后去掉激勵(lì)統(tǒng)計(jì)出收斂后的輪對(duì)最大橫移量，不斷增大速度繪制分叉圖，從圖8(a)中可以看出，定剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)臨界速度為203.5 km/h，動(dòng)剛度原始參數(shù)模型為208.6 km/h，采用優(yōu)化后的模型其臨界速度為211.8 km/h，優(yōu)化后參數(shù)模型其臨界速度有了一定提升，相對(duì)于定剛度模型增大4.1%。

為了進(jìn)一步探討三種工況下對(duì)于舒適度的影響，舒適度計(jì)算采用GB/T 5599—2019計(jì)算了車體前段舒適度指標(biāo)，如圖8(b)所示，舒適度計(jì)算線路仍然采用400 m小曲線，從圖中可以看出采用優(yōu)化后參數(shù)有效提高了車體舒適度指標(biāo)，當(dāng)速度為70 km/h，舒適度參數(shù)相對(duì)于原始變剛度參數(shù)降低20%。

分析三種工況下的安全性指標(biāo)如圖9所示，主要分析脫軌系數(shù)，輪軸橫向力。從圖9中可知，采用變剛度模型的參數(shù)有效降低脫軌系數(shù)，同時(shí)優(yōu)化后參數(shù)進(jìn)一步降低。分析三種參數(shù)下的輪軸橫向力，可以看出優(yōu)化后參數(shù)輪軸橫向力較定剛度模型和原始參數(shù)模型都有所減小，輪軸橫向力進(jìn)一步減小。當(dāng)速度為70 km/h時(shí)，優(yōu)化后參數(shù)對(duì)應(yīng)的輪軸橫向力為23.8 kN，優(yōu)化前為25.7 kN，減小7.36%。

4.2 車輪磨耗預(yù)測(cè)

車輪磨耗模型采用Jendel磨耗模型[20]，該模型是在Archard磨耗模型[21]的基礎(chǔ)上，假定黏著區(qū)不發(fā)生磨耗，只在滑動(dòng)區(qū)域發(fā)生磨耗，將接觸區(qū)劃分成i×j個(gè)單元，接觸斑上的車輪磨耗體積可以描述為

(18)

式中：Vwear為磨耗材料體積；kw為磨耗系數(shù)；H為磨耗材料硬度；pz為作用在車輪接觸斑上的法向力；d為車輪與鋼軌之間的切向相對(duì)滑動(dòng)距離；As(t)為接觸斑滑動(dòng)區(qū)。

結(jié)合Hertz和FASTSIM算法計(jì)算時(shí)，通過(guò)法向力計(jì)算獲得橢圓接觸斑，把接觸斑劃分為網(wǎng)格，網(wǎng)格長(zhǎng)度分別為Δi和Δj，則可以將每一個(gè)網(wǎng)格內(nèi)磨耗量表示為

(19)

接觸單元上的法向力為

(20)

彈性滑動(dòng)速度可以表示為

(21)

式中，a，b分別為接觸斑長(zhǎng)軸、短軸一半。

磨耗深度為

d(i,j)=

(22)

磨耗系數(shù)是與接觸斑單元上法向力和滑動(dòng)速度相關(guān)的一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)，磨耗系數(shù)直接決定著磨耗量的大小。本文在磨耗系數(shù)先按圖10中的數(shù)據(jù)選取。

利用以上車輪磨耗模型，線路采用以上動(dòng)力學(xué)計(jì)算的小曲線，計(jì)算出三種工況下車體左右側(cè)車輪磨耗，如圖11所示。分別對(duì)于三種參數(shù)下對(duì)應(yīng)的車輪磨耗深度進(jìn)一步分析，可以看出，曲線外側(cè)車輪磨耗深度分別為500×10-9m， 172×10-9m， 118×10-9m，曲線外側(cè)車輪磨耗減小31.4%。曲線內(nèi)側(cè)車輪磨耗深度分別為182×10-9m，116×10-9m，90×10-9m曲線內(nèi)側(cè)車輪磨耗較優(yōu)化前減小22.4%，采用優(yōu)化后參數(shù)有效降低了小曲線內(nèi)側(cè)和外側(cè)的車輪磨耗深度。

5 結(jié) 論

本文首先建立了基于變剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)的地鐵車輛動(dòng)力學(xué)模型，然后采用KSM和PSO算法，對(duì)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并對(duì)優(yōu)化后參數(shù)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行驗(yàn)證，可以得到以下結(jié)論。

(1) 采用PT模型時(shí)，并聯(lián)剛度和串聯(lián)剛度決定了動(dòng)態(tài)剛度的限值，阻尼對(duì)于整個(gè)動(dòng)態(tài)參數(shù)影響較小，采用該模型可以實(shí)現(xiàn)隨著激勵(lì)頻率變化實(shí)現(xiàn)等效剛度和等效阻尼的變化。

(2) 采用KSM-PSO對(duì)于變剛度模型參數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化后，相對(duì)于原參數(shù)，優(yōu)化后參數(shù)模型曲線通過(guò)性能進(jìn)一步優(yōu)化，輪軸橫向力、脫軌系數(shù)進(jìn)一步減小，輪軸橫向力較優(yōu)化前減小12.7%。但同時(shí)保證了直線穩(wěn)定性，優(yōu)化后的臨界速度較定剛度模型增大4.1%，直線和曲線通過(guò)性能都得到提升。

(3) 采用優(yōu)化后的變剛度轉(zhuǎn)臂節(jié)點(diǎn)參數(shù)，輪軌磨耗進(jìn)一步減小，曲線外側(cè)車輪磨耗減小31.4%，曲線內(nèi)側(cè)車輪磨耗較優(yōu)化前參數(shù)減小22.4%?？梢钥闯?，動(dòng)剛度模型在參數(shù)優(yōu)化后，小曲線上的車輪磨耗進(jìn)一步減小。