基于響應(yīng)面法的斜拉橋動力模型修正方法

張立業(yè)，汪 波，王兵見，陳 可，呂竟銘

(1.交通運(yùn)輸部公路科學(xué)研究院，北京 100088；2.安徽省公路管理服務(wù)中心，安徽 合肥 230022)

0 引言

建立能夠精確反映實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)特性的基準(zhǔn)有限元模型是進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析、損傷識別和狀態(tài)評估的關(guān)鍵[1-2]。由于實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)存在隨機(jī)性和離散性，有限元模型采用的物理參數(shù)很難與實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)一致，且建模過程中往往需要對邊界條件和連續(xù)條件進(jìn)行簡化，致使橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算的特征參數(shù)與健康監(jiān)測的特征參數(shù)存在一定的差異，進(jìn)而影響橋梁結(jié)構(gòu)分析、損傷識別和狀態(tài)評估的準(zhǔn)確率。獲得能夠精確反映實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)的有限元基準(zhǔn)模型需要借助健康監(jiān)測數(shù)據(jù)和模型修正(Model Updating)技術(shù)。模型修正是通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)有限元模型的幾何物理等參數(shù)，使有限元計(jì)算的特征參數(shù)接近于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的特征參數(shù)，其核心是最優(yōu)化問題[3-4]。

常用的橋梁結(jié)構(gòu)模型修正方法包括靜力模型修正法[5-6]和動力模型修正法[7-8]。通過靜力法測得的特征參數(shù)具有準(zhǔn)確率高、抗干擾性強(qiáng)、適應(yīng)性好等優(yōu)點(diǎn)，但需要對橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行荷載試驗(yàn)，獲得靜力響應(yīng)數(shù)據(jù)，其加載方式單一,實(shí)測數(shù)據(jù)量有限,通常需要中斷交通，因此,采用靜力法進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)模型修正是比較困難的。動力模型修正法以橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)作為特征參數(shù)，因模態(tài)參數(shù)反映了橋梁結(jié)構(gòu)自身的特性，與加載方式無關(guān)，可通過環(huán)境激勵的方法測得，無須中斷交通[9],且大量研究表明：基于模態(tài)參數(shù)的損傷識別和狀態(tài)評估方法對實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)比較有效[10]。因此，動力模型修正方法更適用于實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)，在橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中具有很好的應(yīng)用前景[11-12]。

有限元模型修正的核心是最優(yōu)化問題，構(gòu)建合理的包含結(jié)構(gòu)主要響應(yīng)信息的目標(biāo)函數(shù)是有限元模型修正的關(guān)鍵問題[13-14]，目前已有不少學(xué)者基于實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)或者室內(nèi)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷撵o動力測試數(shù)據(jù)[15-16]，提出了比較有效的模型修正方法[8,17]。任偉新等[18]提出了一種基于響應(yīng)面的模型修正方法；宗周紅等[19-20]提出了一種基于響應(yīng)面模型修正的橋梁結(jié)構(gòu)識別方法，并應(yīng)用于橋梁健康監(jiān)測的有限元模型確認(rèn)中；馬印平等[21]提出了基于響應(yīng)面法的鋼管混凝土組合桁梁橋多尺度有限元模型修正方法；周林仁等[22]提出了基于徑向基函數(shù)響應(yīng)面方法的斜拉橋有限元模型修正方法；王曉光等[23]將穩(wěn)健估計(jì)法引入響應(yīng)面優(yōu)化求解過程，提高了基于響應(yīng)面模型修正的可靠性；Sanayei等[24]提出了一種基于多響應(yīng)面數(shù)據(jù)的有限元模型修正和損傷識別方法。本研究在斜拉橋健康監(jiān)測和參數(shù)化有限元分析技術(shù)的基礎(chǔ)上，基于響應(yīng)面法建立了斜拉橋動力模型修正方法，解決了斜拉橋有限元動力模型難于修正的問題，研究結(jié)果表明：修正后的有限元模型能夠精確模擬實(shí)際斜拉橋結(jié)構(gòu)，對斜拉橋的模型修正具有很好的適應(yīng)性。

1 模型修正的基本原理

為了使有限元模型能夠精確地反映實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性，除了建模過程中盡可能準(zhǔn)確地選用符合實(shí)際的結(jié)構(gòu)有限元模型參數(shù),合理地處理邊界條件和連續(xù)條件外，更重要的是要借助試驗(yàn)測試或橋梁監(jiān)測結(jié)果修正有限元模型，這是獲得高精度橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型的關(guān)鍵。

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)包括結(jié)構(gòu)位移、應(yīng)變、加速度等監(jiān)測指標(biāo)，特征參數(shù)指監(jiān)測指標(biāo)的極值、均值等時域特征，以及頻率、振型等頻域特征。由橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)獲得的1組特征參數(shù)為yi,m(i=1,2,3，…n)，由橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算得到的1組與yi,m相對應(yīng)的特征參數(shù)為yi,c(i=1,2,3，…n)。由于橋梁結(jié)構(gòu)監(jiān)測指標(biāo)是實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)的真實(shí)響應(yīng)，其特征參數(shù)反映了結(jié)構(gòu)的真實(shí)狀態(tài)，因此，可以認(rèn)為橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)獲得的特征參數(shù)yi,m是準(zhǔn)確且可靠的。模型修正的主要任務(wù)是優(yōu)化有限元模型參數(shù)xj(j=1,2,3，…,k)，使yi,m和yi,c之間的誤差最小。

橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算得到的yi,c可以看成是有限元模型參數(shù)xj的函數(shù)yi,c(xj)，可以將yi,c(xj)和yi,m之間的誤差函數(shù)作為有限元模型修正優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)。構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)的途徑有最小二乘法、Bayesian概率方法等，其中廣泛應(yīng)用的是最小二乘法。

(1)

式中，γi為各特征參數(shù)的權(quán)重，反映了各特征參數(shù)對有限元模型的影響程度，通?？梢酝ㄟ^重要度或靈敏度方法來確定。

2 動力模型修正方法

振動頻率、振型等模態(tài)參數(shù)是橋梁結(jié)構(gòu)的固有特性，反映了橋梁結(jié)構(gòu)幾何尺寸、質(zhì)量和剛度等主要幾何物理量的分布特征。這些模態(tài)參數(shù)與加載工況無關(guān)，避免了監(jiān)測過程中荷載工況差異所帶來的誤差。動力模型修正方法的一般過程包括：(1)建立待修正橋梁結(jié)構(gòu)的初始有限元模型(FEM)；(2)通過重要度或靈敏度等分析方法確定各幾何物理參數(shù)權(quán)重并選取待修正參數(shù)xj;(3)根據(jù)待修正參數(shù)的重要度或者靈敏度確定待修正參數(shù)的變化倍率；(4)進(jìn)行FEM計(jì)算,得到與實(shí)測結(jié)果對應(yīng)的特征參數(shù)；(5)采用最小二乘法等回歸算法分析FEM的計(jì)算結(jié)果,得出響應(yīng)面方程；(6)建立形如式(1)的目標(biāo)函數(shù)，確定各特征參數(shù)的權(quán)重系數(shù)；(7)采用最優(yōu)化算法得出目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解,確定待修正參數(shù)的修正值。有限元模型修正的具體流程如圖1所示。

圖1 有限元模型修正流程Fig.1 Flowchart of finite element modification

由于橋梁結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)與待修正參數(shù)通常存在著難以表達(dá)的隱性函數(shù)關(guān)系，響應(yīng)面法可以通過建立響應(yīng)面方程近似模擬這種隱性函數(shù)關(guān)系，其中，多元二次響應(yīng)面方程是常用的響應(yīng)面方程形式：

Y=AX,

(2)

其中

Y=[Y1Y2…Yi]T,

(3)

X=[1x1x2…xjx1x2x1x3…x1xj…

(4)

(5)

式中，A為響應(yīng)面特征點(diǎn)參數(shù)；Y為橋梁結(jié)構(gòu)特征參數(shù)向量；X為待修改正參數(shù)向量；Yi為橋梁結(jié)構(gòu)特征參數(shù);xj為待修正參數(shù);aik為待定系數(shù);i,j,k分別為橋梁結(jié)構(gòu)特征參數(shù)、待修正參數(shù)和多元二次響應(yīng)面方程待定系數(shù)的個數(shù)。

上述響應(yīng)面方程反映了橋梁結(jié)構(gòu)特征參數(shù)與待修正參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，待定系數(shù)需要通過最優(yōu)化方法得到，從而得出響應(yīng)面方程。結(jié)合實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)監(jiān)測的特征參數(shù)，便能夠建立起模型修正的目標(biāo)函數(shù)。

3 基于頻率監(jiān)測的斜拉橋模型修正

頻率是斜拉橋監(jiān)測的重要指標(biāo)，測試成本低且精度高,因此，基于頻率監(jiān)測指標(biāo)來修正斜拉橋有限元模型的可行性較高。這里選用東海大橋主航道斜拉橋作為研究對象，其主跨為420 m，采用雙向六車道加緊急停車帶的高速公路標(biāo)準(zhǔn)。橋?qū)?1.5 m，設(shè)計(jì)時速80 km/h。

3.1 修正參數(shù)的選取及其變化倍率

斜拉橋的主梁、橋塔和斜拉索的參數(shù)都會影響到斜拉橋的振動頻率，因此選用主梁鋼材密度、主梁鋼材彈性模量、主梁混凝土密度、主梁混凝土彈性模量、主塔彈性模量和斜拉索彈性模量6個待修正參數(shù)。相對而言，斜拉橋頻率對主梁鋼材的參數(shù)更為敏感，故主梁鋼材密度和彈性模量的變化倍率為1±0.2，其余參數(shù)的變化倍率為1±0.3，具體如表1所示。

表1 待修正參數(shù)及其變化倍率Tab.1 Parameters to be corrected and their change rates

3.2 試工況及有限元分析

采用參數(shù)化有限元分析技術(shù)，建立全橋初始有限元模型，選用Beam4單元模擬主梁混凝土，通過模態(tài)分析，得出各階振動頻率計(jì)算結(jié)果，由于低階振動頻率能夠較好地反映橋梁結(jié)構(gòu)狀態(tài)，其中豎向振動頻率影響最大，橫向和扭轉(zhuǎn)振動頻率影響次之，且現(xiàn)實(shí)工程中很少發(fā)生。因此，選用前5階振動頻率進(jìn)行修正，包括前3階豎向振動頻率，一階橫向和一階扭轉(zhuǎn)振動頻率。恰當(dāng)?shù)剡x擇頻率修正階數(shù)，可使模型修正精度既滿足工程需要，又節(jié)約計(jì)算資源。實(shí)測和修正前頻率如表2所示。

表2 實(shí)測頻率與修正前頻率Tab.2 Measured frequency and frequency before modification

有限元分析的振動頻率和振型如圖2所示。

圖2 模態(tài)分析振型圖Fig.2 Mode shapes for model analysis

為了建立響應(yīng)面方程，采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)法來設(shè)計(jì)響應(yīng)面的試驗(yàn)工況，由于待修正參數(shù)為6個，所以因子數(shù)為6，立方點(diǎn)數(shù)為64，軸向點(diǎn)數(shù)為12，α值為2.828。各代表性試驗(yàn)工況的有限元分析結(jié)果如表3所示，其中工況1～64為立方點(diǎn)，工況65～76為軸向點(diǎn)，工況77～82為中心點(diǎn)。

表3 代表性試驗(yàn)工況的有限元分析結(jié)果Tab.3 Finite element analysis result of representative test cases

由表3可以看出，各階頻率隨著修正參數(shù)的倍率變化而變化，變化倍率越大、變化參數(shù)越多，對各階頻率影響越大，計(jì)算結(jié)果用于構(gòu)建響應(yīng)面方程，包括立方點(diǎn)(工況1～64)、軸向點(diǎn)(工況65～76)和中心點(diǎn)(工況77～82)。

3.3 響應(yīng)面方程及目標(biāo)函數(shù)

(6)

利用響應(yīng)面方程的計(jì)算值與橋梁結(jié)構(gòu)的實(shí)測值，建立的目標(biāo)函數(shù)如下：

(7)

式中γi為各特征參數(shù)的權(quán)重值。

3.4 動力響應(yīng)權(quán)重系數(shù)的確定方法

由式(7)可以看出，權(quán)重系數(shù)γi是影響目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果的重要因素。本研究采用固定變量法分析各權(quán)重系數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響規(guī)律，用以選擇最佳的動力響應(yīng)權(quán)重系數(shù)，進(jìn)而得出模型修正的最優(yōu)化結(jié)果。

敏感性理論分析可知，式(7)中各動力響應(yīng)權(quán)重系數(shù)對目標(biāo)函數(shù)值的敏感性是不盡相同的，對于不同的工程應(yīng)用情況，由于動力特征不同，其最優(yōu)的權(quán)重系數(shù)也會有所不同，一個比較可行的方法是采用數(shù)值模擬的方法，具體工程具體分析。

擬定權(quán)重系數(shù)區(qū)間為0～1，采用固定變量法逐個分析γ1，γ2，γ3，γ4，γ5與振動頻率變化率的相關(guān)系數(shù)，分析結(jié)果如表4所示。

表4 權(quán)重系數(shù)與振動頻率變化率的相關(guān)系數(shù)Tab.4 Correlation coefficient between weight coefficient and vibration frequency change rate

由表4可知，權(quán)重系數(shù)與各階振動頻率的相關(guān)性存在較大差異。對于該橋梁，權(quán)重系數(shù)γ1，γ2，γ3，γ4和γ5分別與豎向二階、橫向一階、橫向一階、豎向二階和豎向三階的相關(guān)性較高，其相關(guān)系數(shù)分別為：-0.756 3，-0.358 3，-0.563 6，-0.236 7和0.190 2。選用相關(guān)系數(shù)的最大值作為權(quán)重系數(shù)可以得到均衡的全局最優(yōu)化結(jié)果，對于有特殊要求的情況，可以選擇關(guān)心階次頻率的相關(guān)系數(shù)最大值，以此保證在關(guān)心階次頻率上得出最優(yōu)化的結(jié)果。

3.5 模型修正結(jié)果對比

由前面模態(tài)分析可知，前5階模態(tài)中包含了豎向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動頻率。根據(jù)前面分析結(jié)果，這里選用相關(guān)系數(shù)的最大值[-0.756 3 -0.358 3 -0.563 6 -0.236 7 0.190 2]作為權(quán)重系數(shù)，得到均衡的全局最優(yōu)化結(jié)果。

采用最優(yōu)化方法求解目標(biāo)函數(shù)，得到的優(yōu)化結(jié)果為x1=0.923，x2=0.922，x3=0.773，x4=0.927,x5=1.384，x6=0.949。修正前與修正后的頻率對比結(jié)果如表5所示?？芍?jīng)過模型修正，有限元模型計(jì)算的振動頻率值更接近于實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)監(jiān)測的振動頻率值。

由圖3可知，通過模型修正，有限元模型計(jì)算的振動頻率值與實(shí)際監(jiān)測的振動頻率值的誤差絕對值由2.03%～7.95%變化到0.05%～1.27%，其中一階振動頻率由-4.59%變化到-0.05%，幾乎與實(shí)際監(jiān)測的振動頻率值一致。

表5 模型修正前與修正后的頻率對比Tab.5 Comparison of frequencies before and after model modification

圖3 模型修正結(jié)果Fig.3 Model modification result

4 結(jié)論

本研究建立了基于響應(yīng)面法的斜拉橋動力模型修正方法，實(shí)現(xiàn)了斜拉橋有限元模型修正和健康監(jiān)測數(shù)據(jù)快速分析。解決了響應(yīng)面方程建立、目標(biāo)函數(shù)求解和最優(yōu)化算法等斜拉橋動力模型修正的關(guān)鍵問題，得出了斜拉橋動力模型修正的一般流程。實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)算例表明：修正后有限元模型計(jì)算的振動頻率值與實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)監(jiān)測的振動頻率值的誤差由2.03%～7.95%變化到0.05%～1.27%，其中一階振動頻率由-4.59%變化到-0.05%，幾乎與實(shí)際監(jiān)測的振動頻率值一致，修正后的有限元模型能夠精確的模擬實(shí)際斜拉橋結(jié)構(gòu)，表明該方法對斜拉橋結(jié)構(gòu)的有限元模型修正具有很好的有效性。