二進制動力系統(tǒng)中乘積型動力丟番圖逼近問題研究

李 露，王修建，岳 芹

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012)

經(jīng)典的丟番圖逼近是數(shù)論的一個分支，它主要研究有理數(shù)逼近無理數(shù)的精度問題。換句話說，對任意小的正數(shù)ε>0以及任意的實數(shù)x∈R，總存在一個有理數(shù)p/q∈Q，使得|x-p/q|<ε。這也說明，任何實數(shù)都可以被有理數(shù)很好地逼近。動力丟番圖逼近最近受到廣泛關(guān)注，它主要在動力系統(tǒng)下定量地研究點的軌道的分布，讓我們更好地理解點的軌道的丟番圖性質(zhì)。設(shè)(X,T,μ)是一個測度動力系統(tǒng)，T:X→X是一個變換，μ是一個T-不變的測度，由Poincaré 常返定理可知：對任意的x0∈X以及μ-幾乎處處的x∈X，有

本質(zhì)上這只是一個定性的結(jié)果，上式并沒有清楚地表明點x的軌道將以何種速度返回到初始點x0。更精確的說，設(shè)T:X→X是一個變換，φ:N→R+是一個正函數(shù)，任意的

x0∈X

我們想知道以下集合

{x∈X:|Tnx-x0|<φ(n)對無窮對個n∈N成立}

的度量性質(zhì)。

1967年，Philipp首次證明了上述集合的Lebesgue測度滿足0-1律[1]；1995年，Hill和Velani給出了該集合的Hausdorff維數(shù)結(jié)果[2]。隨后，大量的學(xué)者開始積極地研究動力丟番圖逼近相關(guān)問題，如動力Borel-Cantelli引理[3，4]、首次返回時間[5]、收縮靶問題等[6，7]。

一維的動力丟番圖逼近問題的度量理論已經(jīng)得到了完整的刻畫，然而，對于高維情況，這方面的結(jié)果相對較少。本文主要研究二進制動力系統(tǒng)中二維的乘積型丟番圖逼近問題，給出了相應(yīng)集合Hausdorff測度的刻畫。

1 研究內(nèi)容

首先介紹二進制展式的概念，然后介紹本文所研究的問題，最后給出本文的結(jié)果。對任意的x∈[0,1)，令

T2x=2x-?2x」

其中，?ξ」表示不超過ξ的最大整數(shù)。我們?nèi)?/p>

εn(x)=?2T2n-1x」∈N

則任意的x∈[0,1)可以唯一地展成如下形式：

(1)

稱(1)式為二進制展式，這個系統(tǒng)([0,1),T2)被稱為二進制動力系統(tǒng)。很明顯，任意的k≥1，εk(x)∈{0,1}.

本文主要研究二進制展式中的乘積型動力丟番圖逼近問題，具體地說：設(shè)φ:N→R+是一個正函數(shù)，任意的x0,y0∈[0,1)，定義集合

本文證明了集合M2(T2,φ)的Hausdorff測度如下：

定理設(shè)φ:N→R+是一個正函數(shù)。則對任意的正實數(shù)s，且1

其中，Hs(·)表示為s-維的Hausdorff測度。

2 預(yù)備知識

本節(jié)主要介紹所需的基礎(chǔ)知識。首先引入Hausdorff測度的概念和性質(zhì)，然后介紹二進制展式的一些基本性質(zhì)，最后介紹后面證明所需的兩個引理。

2.1 Hausdorff測度

設(shè)X是一個度量空間，U是X的非空子集，定義U的直徑為：

|U|∶=sup{|x-y|:x,y∈U}

設(shè)E?X且δ>0，如果集合E可以被直徑不超過δ的可數(shù)集族{Ui}i≥1覆蓋，即任意的正整數(shù)i≥1，有

則稱{Ui}i≥1是集合E的一個δ-覆蓋。

設(shè)E?X，s>0，定義

其中，inf表示對E的所有δ-覆蓋取下確界。顯然，對任意0<δ1<δ2，

且Hs(E)被稱之為集合E的s-維的Hausdorff測度。

2.2 二進制展式的基本性質(zhì)

對任意的正整數(shù)n≥1，令

Σn∶={(ε1,…,εn)∈Nn:εk∈{0,1},1≤k≤n}.

因此

#Σn=2n

(2)

其中，#表示集合元素的個數(shù)。

對任意的(ε1,…,εn)∈Σn，我們定義它的n-階柱集如下：

In(ε1,…,εn)∶={x∈[0,1):εi(x)=εi,1≤i≤n}.

我們可以得到

是長度為1/2n的區(qū)間。

根據(jù)n-階柱集的定義，{In(ε1,…,εn):(ε1,…,εn)∈Σn}是[0,1)的一個劃分，即

(3)

任意的u=(ε1,…,εn)∈Σn，令

對任意的x∈In(ε1,…,εn)，根據(jù)x的二進制展式：

我們可得

(4)

2.3 覆蓋引理

下面這個覆蓋引理是由Bovey和Dodson[8]證明的，它在證明定理的收斂部分起到關(guān)鍵的作用。

引理1(覆蓋引理)設(shè)r是任意小的正數(shù)，對任意的正實數(shù)s，且1

{(x,y)∈[0,1)2:xy

存在由正方體組成的覆蓋{Ui}i≥1，且滿足：

3 定理的證明

本文定理的證明將被分成兩部分:收斂部分和發(fā)散部分。

3.1 收斂部分的證明

該部分的證明是主要找到M2(T2,φ)的一個“經(jīng)濟”的覆蓋。根據(jù)上限集的定義以及公式(2)，有

(5)

由公式(4)知，任意的(x,y)∈M2(u,v)，存在一個正方形U∈{Ui}i≥1，使得

如果令正方形

U∶=[a,a+|U|]×[b,b+|U|]

(其中a,b為任意實數(shù))

則

從而

Hs(M2(T2,φ))=0

3.2 發(fā)散部分的證明

發(fā)散部分的證明需要利用Coons, Hussain和Wang[9]一維情形的結(jié)果。對任意的x0∈[0,1)，定義集合

2016年，Coons, Hussain 和Wang證明了該集合的Hausdorff測度，具體內(nèi)容如下：

設(shè)φ:N→R+是一個正函數(shù)。則對任意的正實數(shù)t，且0

因為

M1(T2,φ)×[0，1)?M2(T2,φ)

當1

Hs(M2(T2,φ))≥Ht(M1(T2,φ))=∞

從而

Hs(M2(T2,φ))=∞

4 結(jié)論

本文主要刻畫了二進制動力系統(tǒng)中二維的乘積型丟番圖逼近問題的度量性質(zhì)。設(shè)([0,1],T2)是二進制動力系統(tǒng)，設(shè)φ:N→R+是一個正函數(shù)，任意的x0,y0∈[0,1)，定義集合

對任意的正實數(shù)s，且1