利用“蝴蝶法”求解一次函數(shù)自變量取值范圍

?甘肅省武威市涼州區(qū)謝河鎮(zhèn)九年制學(xué)校 他維武

無論是在單純的函數(shù)問題，還是應(yīng)用題中，一次函數(shù)中自變量的取值范圍始終是重要內(nèi)容，同時也是學(xué)生難以突破的一個考點[1].基于此，本文中首先介紹平面直角坐標(biāo)系中一條直線對應(yīng)的函數(shù)的自變量取值范圍，然后拓展到兩條相交直線中利用“蝴蝶法”討論自變量的取值范圍，希望在幫助教師教學(xué)的同時也能幫助學(xué)生突破難點.

1 引例分析

例1已知函數(shù)y=2x-4，要使y>0，那么x的取值范圍是______.

分析：這是一道一次函數(shù)與不等式結(jié)合的題目，比較常見且難度不大，有兩種不同的解法.解法一，由y>0得到2x-4>0，解出不等式后即得x的取值范圍.解法二，畫出函數(shù)y=2x-4的圖象，借助圖象分析出x的取值范圍.

解：用兩點法作出函數(shù)y=2x-4的圖象，如圖1所示.

圖1中，x=2時，y=0.直線y=2x-4被點(2，0)分成上下兩部分.如圖2所示，在直線上半部分中取若干各點，分別找出這些點對應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)x大于2時，y都大于0，于是有“x>2時，y>0”.

圖1

圖2

接下來，在直線下半部分中取若干個點，分別找出這些點對應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)x小于2時，y都小于0，于是有“x<2時，y<0”.

所以，y>0時x的取值范圍是x>2.

點評：通過函數(shù)圖象分析自變量的取值范圍大致分為以下幾個步驟.(1)找圖象與x軸的交點，確定y=0；(2)將直線分為上下兩部分，取若干點討論x，y；(3)比較大小.當(dāng)然，還可以通過觀察圖象直接得到直線上半部分中的點相應(yīng)的y值都大于0，直線下半部分直線中的點相應(yīng)的y值都小于0，即“上大下小”[2].

2 例析“蝴蝶法”

所謂“蝴蝶法”，是根據(jù)同一坐標(biāo)系中兩條直線形成的圖形而產(chǎn)生的方法，其基礎(chǔ)是例1中的方法，只不過是將一條直線換成了兩條直線.下面通過例2說明如何用“蝴蝶法”解決一次函數(shù)自變量的取值范圍.

例2已知函數(shù)y1=x-1和y2=2x-3，當(dāng)y1>y2時，x的取值范圍是______.

分析：本題可采用兩種方法解答.法1可以直接根據(jù)y1>y2得到不等式x-1>2x-3，解之即可得到x的取值范圍.法2采用圖象法，即先畫出函數(shù)圖象，然后根據(jù)“蝴蝶法”分析.

解：首先，畫出兩函數(shù)圖象，如圖3所示.

圖3

即當(dāng)x=2時，y1=y2.

再次，找“蝴蝶”.兩條直線將整個平面直角坐標(biāo)系分成了四部分，利用“引垂法”找到垂線與兩直線的交點，交點所在直線之間部分(如圖4所示)即為所找“蝴蝶”.

圖4

最后，由圖可以發(fā)現(xiàn)y1>y2部分主要在交點左邊部分“蝴蝶”，而這部分的橫坐標(biāo)全部小于2.于是，得到了當(dāng)x<2時，y1>y2.那么交點右邊部分的“蝴蝶”的橫坐標(biāo)全部大于2.于是，得到了當(dāng)x>2時，y1

綜上，應(yīng)填答案：x<2.

例3圖5表示一艘輪船和一艘快艇沿著相同路線從甲港出發(fā)到乙港行駛過程中路程隨時間變化的圖象.根據(jù)圖象解答下列問題：

圖5

(1)在輪船和快艇中，哪一個的速度較大？

(2)當(dāng)時間x在什么范圍內(nèi)時，快艇在輪船的后面？當(dāng)時間x在什么范圍內(nèi)時，快艇在輪船的前面？

分析：第(2)問是本文研究的對象，主要方法是求出兩條直線交點，然后利用“引垂法”找到“蝴蝶”，再用“蝴蝶法”找到自變量的取值范圍.

解：(1)在輪船快艇中，快艇的速度更大，快艇的速度為40 km/h.

(2)兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為4.當(dāng)x<4時，輪船在快艇的前面；當(dāng)x>4時，快艇在輪船的前面.

點評：在運用“蝴蝶法”求自變量取值范圍的過程中，用“引垂法”找準(zhǔn)“蝴蝶”非常關(guān)鍵.若不掌握此法，學(xué)生極易出現(xiàn)選左右兩個部分的錯誤，繼而無法準(zhǔn)確找出y1>y2或y1

3 總結(jié)與反思

用“蝴蝶法”求一次函數(shù)自變量取值范圍的步驟如下：

(1)畫圖象.根據(jù)題目需要，利用“兩點法”快速畫出函數(shù)圖象.

(2)求交點.聯(lián)立一次函數(shù)解析式，解之即可求出直線交點坐標(biāo).此時，要透徹理解交點的意義.以例2中的交點坐標(biāo)(2，1)為例，其意義為當(dāng)x=2時，y1=y2.

(3)找“蝴蝶”.為了避免找錯“蝴蝶”，通常利用“引垂法”，如例2解題過程中所寫.

(4)比大小.這里的比大小，一方面要比較x的大小，另一方面要比較y的大小.首先，欲找到x的取值范圍，只需將x與交點橫坐標(biāo)比較.其次，欲找到y(tǒng)1>y2或y1y2；如果與直線y2的交點在上方，則y1

使用“蝴蝶法”時，還需注意以下兩個方面：

(1)正確畫出函數(shù)圖象是關(guān)鍵，所以學(xué)生要牢固掌握“兩點法”.

(2)“引垂法”的關(guān)鍵在于找到直線上一個點后，分別作出它與x，y軸的垂線，其垂足之處對應(yīng)的數(shù)字的絕對值就是該點到坐標(biāo)軸的距離.

4 結(jié)語

“蝴蝶法”作為一次函數(shù)自變量取值范圍問題的解決方法，其適用范圍非常廣，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象或一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象等都可以利用.另外，在利用該法解決問題時，教師要注重學(xué)生圖象觀察能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中體會數(shù)學(xué)的魅力，進(jìn)而掌握這類問題的解決方法[4].