基于非接觸式電流傳感器的電力系統(tǒng)拓?fù)渥R別方法

王炳焱陳錦榮唐軍沛馮仁杰

(1.廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司佛山供電局，廣東 佛山 528000；2.東方電子股份有限公司，山東 煙臺 264670；3.哈爾濱工程大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150000)

正確的電網(wǎng)拓?fù)鋵τ谂潆娤到y(tǒng)的狀態(tài)估計、故障定位、需求響應(yīng)等至關(guān)重要。如果對拓?fù)渥R別錯誤，則系統(tǒng)的控制和運行會產(chǎn)生偏差[1]。因此，必須經(jīng)常識別網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)?。然而，由于配電網(wǎng)線路上的測量數(shù)據(jù)有限，以及獲取的開關(guān)和斷路器狀態(tài)信息往往不可靠[2-4]。在實際應(yīng)用中，拓?fù)渥R別最常見的方法是派遣電網(wǎng)運維人員檢查開關(guān)狀態(tài)，但人工成本很高，而且不能為了持續(xù)跟蹤拓?fù)涞淖兓l繁地執(zhí)行這類操作。另一種方法是使用基于測量的拓?fù)渥R別算法，該算法根據(jù)可用的傳感器數(shù)據(jù)估計開關(guān)的狀態(tài)。

一些學(xué)者提出了基于測量的拓?fù)渥R別方法[5-10]。其中一類方法利用各種現(xiàn)場測量值對每種可能的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行狀態(tài)估計，然后選擇狀態(tài)估計殘差最小的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[11]。然而，這種窮舉的方法通常在計算上很復(fù)雜。另一類方法是將拓?fù)渥R別問題集成到狀態(tài)估計問題公式中，以同時估計系統(tǒng)狀態(tài)和開關(guān)狀態(tài)[12]，這有助于提高計算效率。但是，任何涉及狀態(tài)估計的拓?fù)渥R別算法都會遇到可能沒有足夠的現(xiàn)場測量值來進(jìn)行完整狀態(tài)估計的問題。

還有一些學(xué)者提出了使用有限測量的拓?fù)渥R別方法。其中常見方法是基于電壓測量的拓?fù)渥R別[13-15]。例如，在文獻(xiàn)[16]中，作者通過對電壓測量進(jìn)行相關(guān)性分析來重建電網(wǎng)拓?fù)?。在文獻(xiàn)[17]中，采用時序信號驗證方法，利用同步電壓相量數(shù)據(jù)來識別拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。還有一些方法是使用智能電表數(shù)據(jù)進(jìn)行拓?fù)渥R別[18-21]。也有基于測量線路潮流的拓?fù)渥R別方法[22-23]。但在實際應(yīng)用中，每個測量點都需要安裝電壓互感器和電流互感器之類的儀器設(shè)備進(jìn)行功率測量，造價昂貴。

本文提出了一種新的基于非接觸式電流傳感器的拓?fù)渥R別算法。首先以混合整數(shù)非線性規(guī)劃(mixed integer nonlinear programming，MINLP)的形式提出了拓?fù)渥R別問題。然后采用重構(gòu)方法來處理非線性問題，將其表述為混合整數(shù)線性規(guī)劃(mixed integer linear programming，MILP)。此外，還對非接觸式線路電流傳感器的規(guī)劃提出了建議，以確保拓?fù)渥R別方法的性能。

文中研究內(nèi)容基于非接觸式傳感器的應(yīng)用，與傳統(tǒng)的測量電壓和功率的傳感器相比，非接觸式電流傳感器具有成本低、安裝簡單的優(yōu)點。非接觸式傳感器還可以測量電場，估計電流測量的相對相角，從而可以像微型相量測量單元(phasor measurement unit，PMU)一樣估算相量，但其只能估算電流。這類傳感器可測量大于1 mA 的電流，誤差為1%，測量相角的誤差為1.5°[24]。非接觸式電流傳感器已經(jīng)有了大量商業(yè)應(yīng)用，越來越多的電網(wǎng)公司正在考慮在其配電線路上安裝這種低成本傳感器。

在下文中，第1 節(jié)介紹了拓?fù)渥R別方法。在第2節(jié)對非接觸式電流傳感器的規(guī)劃及誤差處理進(jìn)行了分析。在第3 節(jié)以33 節(jié)點測試系統(tǒng)和位于某地的實際運行系統(tǒng)為例，對所提出的方法進(jìn)行了測試，并與其他方法進(jìn)行比較。最后在第5 節(jié)給出了結(jié)論。

1 拓?fù)渥R別方法

1.1 拓?fù)渥R別問題的非線性表達(dá)

假設(shè)所有開關(guān)都閉合，所有線路和節(jié)點都處于正常工作狀態(tài)。根據(jù)基爾霍夫電流定律(Kirchhoff’s Current Law，KCL)，注入到每個節(jié)點的電流等于連接到該節(jié)點的線路相關(guān)電流之和。

式中:Ii為注入節(jié)點i的電流變量，Ni為連接到節(jié)點i的線路集合，Iij為線路{i，j}的電流變量，N為節(jié)點集合。在兩個節(jié)點之間的線路上流動的電流取決于線路的開關(guān)狀態(tài)、兩個節(jié)點的電壓和線路的導(dǎo)納。根據(jù)基爾霍夫電壓定律(Kirchhoff’s Voltage Law，KVL)，可得:

式中:sij為線路{i，j}切換狀態(tài)的二進(jìn)制變量，Vi為節(jié)點i的電壓變量，yij為線路{i，j}導(dǎo)納。如果線路{i，j}在正常工作狀態(tài)，則sij=1，否則為0，確保Iij為0，表示該線路已停止工作。根據(jù)冪法則，節(jié)點電壓Vi與電流Ii之間的關(guān)系可表示為:

式中:bi為用于節(jié)點i切換狀態(tài)的二進(jìn)制變量。如果節(jié)點i連接到網(wǎng)絡(luò)，則bi值為1，否則為0，表示存在孤島節(jié)點。在這種情況下，拓?fù)渥R別算法可以確定停電區(qū)域。拓?fù)渥R別問題可用以下優(yōu)化問題的形式表示:

式(4)受式(1)-(3)約束，其中K表示裝有電流傳感器的線路集合。在上述優(yōu)化問題中，主要決策變量是二進(jìn)制線路切換狀態(tài)變量sij和二進(jìn)制節(jié)點切換狀態(tài)變量bi。其他變量，即線路電流Iij、節(jié)點注入電流Ii和節(jié)點電壓Vi是輔助變量。負(fù)載Si和線路電流測量為參數(shù)。優(yōu)化問題關(guān)鍵在于使得由式(1)～式(3)計算的線路電流相量與線路傳感器測量的線路電流相量相匹配。線路sij的解可得到線路開關(guān)的狀態(tài)，因此sij的解可指明拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。節(jié)點i的變量bi的解指示節(jié)點是否連接到電網(wǎng)的其余部分，bi的解指明停電區(qū)域，輔助變量的解表示對系統(tǒng)狀態(tài)的估計。

1.2 拓?fù)渥R別混合整數(shù)線性規(guī)劃表達(dá)

式(4)所示的優(yōu)化問題在其目標(biāo)函數(shù)和約束條件中都涉及幾個非線性項。以下將分析如何將這個問題轉(zhuǎn)化為MILP 形式。

步驟1 式(2)中的非線性是由于二進(jìn)制變量sij與連續(xù)變量Vi和Vj相乘所致。為了克服這種非線性，首先，用下面的線性方程代替式(2):

式中:Uij是輔助變量，相當(dāng)于sij(Vi-Vj)。如果sij=1，即線路{i，j}在工作中，則Uij=Vi-Vj，否則Uij=0。Uij、sij和Vi-Vj之間的非線性關(guān)系通過添加以下新的線性約束來處理:

上述約束式中M為大M法參數(shù)。由于Uij和Vi-Vj是復(fù)數(shù)形式，因此使用式(6)～式(7)和式(8)～式(9)分別得到Uij的預(yù)期實部和虛部。如果sij=0，則式(6)和(8)不具有約束力，且由式(7)～式(9)可得Uij=0，再根據(jù)式(5)，可得Iij=0。如果sij=1，則式(7)和(9)不具有約束力。由式(6)～式(8)，可得Uij=Vi-Vj，再考慮式(5)，可得Iij=yij(Vi-Vj)。由此可知式(5)～式(9)中的線性約束與式(2)中的非線性約束等價。

步驟2 式(4)中的非線性與式(3)中電壓相量、電流相量相乘有關(guān)，稱為潮流方程非線性。采用了文獻(xiàn)[25]中基于泰勒展開和工程近似的方法來處理此類非線性問題。為此，與傳統(tǒng)潮流公式中的實數(shù)近似不同，采用復(fù)數(shù)線性近似。假設(shè)每個節(jié)點i上的電壓以標(biāo)幺值表示，與變電站的基準(zhǔn)節(jié)點上的電壓相關(guān)。假設(shè):

通過在零附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開并忽略高階項，可得:

近似誤差的計算公式為:

圖1(a)表示復(fù)數(shù)域中的電壓相量，在圖1(a)中圓內(nèi)每個點上評估上述誤差，從而得到圖1(b)中所示的誤差指標(biāo)。在ΔV=0.1 時，近似誤差僅為1%左右。實際上，ΔV通常是0.05 或更小。因此，近似誤差僅為0.3%或更小，可以忽略。

圖1 線性化的準(zhǔn)確性驗證

接下來，將式(11)代入式(3)可得:

由于二進(jìn)制變量bi與相量變量Vi的相乘，式(13)仍然是非線性的。因此，引入一個新的輔助變量Wi，并將式(13)替換為以下線性方程:

式中:Wi=Vibi。如果bi為1，即如果節(jié)點i連接到電網(wǎng)，則Wi=Vi；否則Wi=0，表示該節(jié)點沒有連接到電網(wǎng)。上述Wi、bi和Vi之間的關(guān)系可以通過實施以下新的線性約束來實現(xiàn):

如果bi=1，則Re{Wi}=Re{Vi}；如果bi=0，則Re{Wi}=0。類似地，根據(jù)式(17)～式(18)可得到Wi的虛部。式(14)～式(18)中的線性等式與式(3)中的非線性等式約束等價。

從式(14)開始，與斷開的節(jié)點相關(guān)聯(lián)的電流注入被約束為0。然而，并未要求斷開節(jié)點的電壓也為0。還需要添加以下新的約束，以確保斷開的節(jié)點確實為零電壓:

步驟3 式(4)中的目標(biāo)函數(shù)是一個絕對值，它不是線性的?？捎靡粋€線性目標(biāo)函數(shù)和幾個線性不等式約束代替目標(biāo)函數(shù)中的絕對值約束。式(4)中的目標(biāo)函數(shù)最小化等價于最小化的實部和虛部.設(shè)Eij和Fij表示兩個輔助變量，其中｜Re{Iij-通過以下約束將輔助變量集合到問題中:

步驟4 結(jié)合步驟1 到3，將拓?fù)渥R別優(yōu)化問題以線性形式表示如下:

式(24)以式(1)、式(5)～式(9)和式(14)～式(23)為約束。拓?fù)渥R別問題已被表述為MILP 問題，可以使用各種軟件包進(jìn)行求解。

2 電流傳感器配置

2.1 可觀測性與傳感器布置

為了識別電網(wǎng)拓?fù)洌枰_定開關(guān)狀態(tài)。開關(guān)斷開的線路無電流，因此可通過估計線路電流來獲得開關(guān)的狀態(tài)，從而獲得最終的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?？捎^測性分析需要確定多少個傳感器以及安裝位置才能估計所有線路的電流。

定理1 如果在配電網(wǎng)的每個獨立回路中至少放置一個線路電流傳感器，則配電網(wǎng)的拓?fù)涫强勺R別的，即可以求解式(4)以得到正確的拓?fù)洹?/p>

證明在具有N個節(jié)點和L個支路的電路中，為了估計支路電流，需要L個獨立方程。在可用的N個電流方程中，N-1 方程是獨立的。因此，為了得到總共L個獨立方程，需要L-(N-1)個附加獨立方程，可通過測量L-(N-1)個線路電流來獲得。

回路是一條閉合路徑，它從一個節(jié)點開始，經(jīng)過一組節(jié)點，然后返回到初始起始節(jié)點，而不會多次經(jīng)過任一節(jié)點。如果一個回路本身不包含任何回路，則稱它是獨立的。在電路理論中，獨立回路產(chǎn)生獨立的KVL 方程，其個數(shù)為L-(N-1)。因此，只要使用線路電流傳感器直接測量獨立回路中L-(N-1)條線路的電流，就可以估計出所有線路電流。

在圖2 所示的獨立回路中，假設(shè)節(jié)點流入電流I1，I2，…，In已知。要計算回路中每條線路的電流I1，2，…，In-1，n。由KCL 可得:

圖2 具有n 個節(jié)點的獨立回路

其中A是n×n矩陣。矩陣A的秩為n-1，因此，線路電流存在無窮多個解。然而，如果用一個基于線路電流傳感器測量的獨立方程代替其中一行，可保證這個線性方程組具有唯一解。替代公式為Ii-1，i=，其中表示在節(jié)點i-1 和節(jié)點i之間測得的線路上的電流，得到以下新的線性系統(tǒng):

與式(25)不同，式(26)中的方程組有唯一解。因此在獨立回路中的任何位置安裝一個線路電流傳感器將提供一個獨立方程。由于網(wǎng)絡(luò)中存在L-(N-1)個獨立回路，因此在每個獨立回路上安裝L-(N-1)個線路電流傳感器就可解決線路電流估計問題。

在如圖3 所示的具有4 個節(jié)點和5 條線路的網(wǎng)絡(luò)中，回路?1和回路?2是兩個獨立的回路，節(jié)點電流I1、I2、I3、I4已知，線路電流I1，2、I1，3、I2，3、I3，4、I4，1未知。此網(wǎng)絡(luò)的KCL 方程為:

式中:矩陣A的秩為3，為了確定5 個線路電流的唯一解，需要向矩陣A再添加2 個獨立行，在兩個獨立回路?1和?2上安裝一個線路傳感器來實現(xiàn)。在傳感器安裝位置的10 種可能組合中，有8 種組合測量了兩個回路中的電流，如表1 中的組合3 到5 所示，這些結(jié)果與定理1 一致。如果兩個獨立回路共用一條線，例如圖3 中在回路?1和?2之間共用線路{1，3}，則在這種共用的線路上放置一個傳感器來提供一個新的獨立方程。采用文獻(xiàn)[26]中算法來識別獨立回路，以便在每個獨立回路上放置傳感器。

表1 圖3 中網(wǎng)絡(luò)的傳感器放置組合場景

圖3 具有4 個節(jié)點和2 個回路的網(wǎng)絡(luò)

2.2 測量誤差處理

為了處理測量誤差和偽測量誤差的影響，需要對式(24)進(jìn)行調(diào)整。將式(1)中的注入電流約束以懲罰項的形式移動到目標(biāo)函數(shù)中，可得:

采用與第1.2 節(jié)中所述步驟3 類似的方法，通過定義輔助變量Gi和Hi，并添加以下新的線性約束來處理新的非線性:

在存在測量誤差和偽測量誤差的情況下，拓?fù)渥R別問題可以表示為如下的MILP:

2.3 多周期優(yōu)化

拓?fù)渥R別算法通?；趩蝹€周期的測量值，然而在實際應(yīng)用中，線路電流測量值可能在拓?fù)涓淖兒蟮某跏紩r刻后繼續(xù)可用，即使使用了高精度的線路傳感器，但偽測量誤差依然存在，而以多周期優(yōu)化的形式運行拓?fù)渥R別算法，可減輕測量誤差和偽測量誤差的影響。T表示測量和偽測量的可用測量周期數(shù)量。[t]表示對應(yīng)于每個周期t的測量數(shù)據(jù)。Ψ[t]表示式(32)中基于周期t的數(shù)據(jù)的目標(biāo)值。多周期形式的拓?fù)渥R別問題可以表示為:

式(33)受式(5)～式(9)，式(14)～式(23)，式(29)～式(31)約束。γ[t]表示與周期t測量值相關(guān)聯(lián)的概率。式(33)中隱含的假設(shè)是所有測量值都與相同拓?fù)潢P(guān)聯(lián)，即在測量周期1 至T期間，拓?fù)洳话l(fā)生改變。一旦檢測到拓?fù)涓淖?，多周期拓?fù)渥R別算法將被重置。在文獻(xiàn)[28-29]中已經(jīng)介紹了幾種檢測拓?fù)渥兓姆椒ā?/p>

從原理上講，拓?fù)渥R別是一種估計問題，它是根據(jù)給定的測量值和輸入的偽測量值來估計開關(guān)狀態(tài)。式(33)中的每個測量周期實質(zhì)上為這樣的估計問題提供了冗余。開關(guān)的狀態(tài)從一個周期到另一個周期是固定的，然而由于每個節(jié)點上負(fù)載的隨機性，測量和偽測量中存在隨機變化。每個周期為這些隨機變量生成一個新的隨機場景，在估計開關(guān)狀態(tài)時提供冗余。如果跨不同周期的隨機性遵循均勻分布，則γ[t]=1/T，否則使用已知的非均勻概率分布。

3 案例分析

3.1 33 節(jié)點測試系統(tǒng)

將所提出的拓?fù)渥R別方法應(yīng)用于圖4 所示的33 節(jié)點測試系統(tǒng)來證明該方法的有效性，相關(guān)數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)[24]。線路4，6，7，9，10，11，12，14，15，16，17，18，26，28，30，32 開關(guān)為常閉狀態(tài)，其余線路開關(guān)為常開狀態(tài)。常開開關(guān)是用虛線表示的五條線。由于該網(wǎng)絡(luò)中有21 個開關(guān)，因此可以創(chuàng)建221 種不同的拓?fù)?，選擇其中65 種拓?fù)渑渲眠M(jìn)行測試，包括50 個放射狀拓?fù)洹?0 個環(huán)狀拓?fù)浜? 個孤島拓?fù)洹?/p>

圖4 33 節(jié)點系統(tǒng)示意圖

一旦五條聯(lián)絡(luò)線處于閉合狀態(tài)，就構(gòu)成五個回路:?1，…，?5。如在3.1 節(jié)所述，每個回路必須使用至少一個線路傳感器進(jìn)行測量，以滿足拓?fù)渥R別的要求。本案例中五個電流傳感器的位置選擇如圖4中的圓點所示。除了電流測量外，還假設(shè)所有節(jié)點上的負(fù)荷均可通過偽測量獲得。

在MATLAB 中進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)仿真和拓?fù)渥R別算法的實現(xiàn)，并用IntLinProg 函數(shù)求解了式(24)、式(32)和式(33)中的優(yōu)化問題。在測試中，測量結(jié)果如下所示:

這保證99.7%的ei值落在真實值的±ηi%內(nèi)。此外，拓?fù)渥R別算法的精確度以百分比表示:

3.1.1 線路電流測量誤差

電流傳感器通過測量電場來得到相對相角。傳感器電流大小的誤差為1%～3%，電流相角的誤差為1°～5°。表2 給出了在考慮線路電流測量誤差的情況下拓?fù)渥R別算法的結(jié)果。實驗結(jié)果表明，在幾乎所有的誤差水平下，準(zhǔn)確率都在99%以上。因此，所提出的拓?fù)渥R別算法具有較強的魯棒性。

表2 拓?fù)渥R別算法精度

3.1.2 偽測量誤差

偽測量值通常是通過智能電表數(shù)據(jù)或歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行短期負(fù)荷預(yù)測而獲得的。通過使用蒙特卡羅方法生成不同的場景來檢驗所提出的拓?fù)渥R別算法。與偽測量相關(guān)的不確定度范圍可根據(jù)可用信息而變化?？梢酝ㄟ^聚合客戶智能電表數(shù)據(jù)來獲得這些偽測量值?；蛘?，在沒有計量數(shù)據(jù)的情況下，可以僅根據(jù)負(fù)載變壓器的額定值進(jìn)行估算。還可以使用計量數(shù)據(jù)和變壓器額定值進(jìn)行組合估算。對于不同偽測量值的獲取方式，可能會帶來較大范圍的誤差，當(dāng)有智能電表數(shù)據(jù)時，誤差低至10%[30]，當(dāng)僅根據(jù)變壓器負(fù)荷分配來估計偽測量值時，誤差高達(dá)50%。為了評估所提出的拓?fù)渥R別算法在各種可能的偽測量場景下的性能，在仿真中檢驗了上述兩種誤差范圍。表3 給出了拓?fù)渥R別算法在不同偽測量誤差水平下的精確度。如果誤差被限制在30%以內(nèi)，那么幾乎可以確保正確的拓?fù)渥R別。但是，如果誤差增加到50%，那么拓?fù)渥R別準(zhǔn)確度就會顯著下降，從而使拓?fù)渥R別結(jié)果不可靠。當(dāng)然，在如此高的誤差下，失去精確性不可避免。

表3 在不同偽測量誤差水平下拓?fù)渥R別算法精度

3.1.3 多周期優(yōu)化提高精度

誤差的影響是可以通過利用測量數(shù)據(jù)的多周期優(yōu)化在偽測量中補償?shù)摹榱藴y試多周期拓?fù)渥R別算法的性能，使用文獻(xiàn)[31]中的偽測量生成方法生成周期序列，其中我們基于正態(tài)概率分布生成偽測量誤差，平均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差如下:

然后，求解式(33)中的拓?fù)渥R別多周期優(yōu)化，并且每當(dāng)有新的測量周期可用時，更新拓?fù)渥R別結(jié)果，如圖5 所示。隨著更多的測量周期的出現(xiàn)，拓?fù)渥R別的準(zhǔn)確度也會提高。即使在偽測量中有50%的誤差，其中單周期拓?fù)渥R別算法的準(zhǔn)確率為77.1%，多周期拓?fù)渥R別算法也可以在測量20 次后將準(zhǔn)確率提高到95.0%。隨著測量數(shù)量的增加，式(33)中求解多周期優(yōu)化問題的計算復(fù)雜度增加。例如，對于10 次和20 次測量，多周期拓?fù)渥R別算法分別運行約40 s 和125 s，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于表3 中提供的單周期拓?fù)渥R別運行時間。

圖5 多周期優(yōu)化算法的精度

通過一個算例比較了單周期和多周期拓?fù)渥R別算法的性能，表4 中給出了結(jié)果。每次測量分別采用單周期拓?fù)渥R別算法。僅在四次測量(6、9、11 和13)中識別了正確的拓?fù)?。?1 次測量中，單周期拓?fù)渥R別算法未正確識別拓?fù)洌@是由于負(fù)載的變化和偽測量中的較大誤差所致。

表4 單周期與多周期算法對比

相反，當(dāng)使用多周期拓?fù)渥R別算法時，一旦有足夠的測量可用，就能正確識別拓?fù)?。?dāng)多周期拓?fù)渥R別算法應(yīng)用于第一次測量時，它最初與單周期拓?fù)渥R別方法相同；然后，在第二次測量中，多周期拓?fù)渥R別算法應(yīng)用于第一和第二測量組合；在第三次測量中，多周期拓?fù)渥R別算法應(yīng)用于第一次、第二次和第三次測量組合；依此類推。隨著前六次測量之外有更多測量可用，多周期拓?fù)渥R別方法在第6 至第15 次期間則可正確識別拓?fù)洹?/p>

3.1.4 MILP 對比MINLP

MILP 和MINLP 在計算復(fù)雜性方面大致相似。然而在實際中，通常將MINLP 轉(zhuǎn)換為MILP 可取得更好的效果。目前在MILP 求解器的開發(fā)方面已取得了相當(dāng)大的進(jìn)展，相比之下，MINLP 求解器還不夠成熟，還未達(dá)到穩(wěn)定可靠。此外，通過使用分支和定界等方法，MILP 求解器可保證得到精確的最優(yōu)解。當(dāng)考慮到所提出的拓?fù)渥R別優(yōu)化問題時，式(4)中的拓?fù)渥R別問題實際上是一個非凸的MINLP。非凸MINLP 特別難求解，因為即使使用分支和定界等方法處理整數(shù)變量后，在每次迭代中要解決的仍然是一個困難的非線性非凸優(yōu)化問題。

測試了三種求解器來解決式(4)中原始MINLP 問題:NOMAD，SCIP，和BONMIN。利用NOMAD，SCIP 求解器總是找不到可行解。假設(shè)偽測量誤差為5%，BONMIN 正確識別出65 個拓?fù)渲械?0 個。對于這55個錯誤識別的拓?fù)?，BONMIN 既找不到正確的解，也找不到任何可行解。表5 給出了在不同線路斷開情況下，求解MINLP 得出的結(jié)果。只有一種情況接近最優(yōu)解。因此，將MINLP 轉(zhuǎn)化為MILP 是有必要的。

表5 MINLP 拓?fù)渥R別問題在不同情況下求解結(jié)果

3.1.5 性能對比

在本部分中，性能比較是在兩個參考文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。第一個是文獻(xiàn)[32]，其中的方法在本質(zhì)上可以支持使用線路電流傳感器，但它是基于電路連通性開發(fā)的，且不涉及潮流方程。結(jié)果如表6第三列所示。由表6 可知，文獻(xiàn)[32]中的方法對偽測量誤差高度敏感。

表6 不同拓?fù)渥R別算法的精度

第二個是文獻(xiàn)[23]，其中的方法與本研究中提出的方法本質(zhì)上是類似的，但它使用了不同的目標(biāo)函數(shù)，且進(jìn)行的是混合整數(shù)二次規(guī)劃(mixed integer quadratic programming，MIQP)，而不是MILP。結(jié)果如表6 第四列所示?？梢钥闯?，這種方法的性能也隨著偽測量誤差的增加而降低。這是因為在MIQP中，最小化平方誤差會將擬合值拉向不準(zhǔn)確的偽測量值，而不是最小化絕對誤差。此外MIQP 的計算時間要比MILP 的計算時間長得多。從成本效益分析的角度來看，文獻(xiàn)[23]中MIQP 方法需要使用10條線路的功率傳感器，實際應(yīng)用往往非常昂貴和費力，而所提出的方法使用的是5 條線路的電流傳感器，價格便宜，易于安裝，但性能幾乎相同，這體現(xiàn)了所提出的方法在成本效益方面的優(yōu)勢。

3.2 實際運行系統(tǒng)

將所提出的拓?fù)渥R別算法應(yīng)用于某地的配電網(wǎng)。這個配電網(wǎng)大約有400 個節(jié)點和37 個開關(guān)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由13 個回路組成。假設(shè)在這13 個回路上安裝13 個電流傳感器?？偣捕x了20 種不同的拓?fù)?。對配電網(wǎng)的精確模型進(jìn)行了仿真，拓?fù)渥R別算法精度的結(jié)果如表8 所示。在較低的偽測量誤差下，拓?fù)渥R別算法幾乎成功地識別出所有拓?fù)?。? 中的結(jié)果與第3 節(jié)中33 節(jié)點測試系統(tǒng)的表4結(jié)果基本一致。

表7 在實際運行系統(tǒng)中拓?fù)渥R別算法精度

4 結(jié)論

提出了一種配電網(wǎng)拓?fù)渥R別方法，該方法基于一類新興低成本非接觸式線路電流傳感器。設(shè)計出一種與上述傳感器無法測量電壓和功率這類局限性兼容的拓?fù)渥R別算法，同時算法的計算復(fù)雜度較低且易于處理，提出多周期算法對測量和偽測量中的各種誤差進(jìn)行了處理。還對確保拓?fù)渥R別算法性能所需的線路電流傳感器的數(shù)量和位置進(jìn)行了可觀測性分析。在33 節(jié)點測試系統(tǒng)和位于某地的實際運行系統(tǒng)中，對所提出的算法的性能進(jìn)行了研究。單周期和多周期拓?fù)渥R別算法都可以識別所有可能的拓?fù)洌ǚ派湫?、環(huán)型和孤島型。這擴展了拓?fù)渥R別算法的應(yīng)用范圍，可以識別開關(guān)故障并檢測停電范圍。