小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的構(gòu)建

鞏子坤，程 玲，陳影杰

小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的構(gòu)建

鞏子坤1，程 玲2，陳影杰1

（1．杭州師范大學(xué) 經(jīng)亨頤教育學(xué)院，浙江 杭州 311121；2．杭州市朝暉中學(xué)，浙江 杭州 310014）

教科書編寫要按照知識(shí)的邏輯順序與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序分層次安排教學(xué)內(nèi)容，因而，厘清核心概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階尤為重要．基于文獻(xiàn)分析法構(gòu)建假設(shè)的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，并據(jù)此設(shè)計(jì)問(wèn)卷，測(cè)試630名一～六年級(jí)學(xué)生，修訂假設(shè)的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，最后得到小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型．該模型包含定性推理中兩組量的變化、定量推理中比例的數(shù)值結(jié)構(gòu)關(guān)系和數(shù)值大小關(guān)系3類進(jìn)階變量，以及對(duì)應(yīng)的7個(gè)進(jìn)階水平，其中，定性推理中“雙維、不確定”為最高水平．提出建議：增加教科書中定性推理的題型；開(kāi)展統(tǒng)整定性推理與定量推理的教學(xué)設(shè)計(jì)．

小學(xué)生；比例推理；學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

1 問(wèn)題提出

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)確立了課程內(nèi)容后，教科書編寫就要按照知識(shí)的邏輯順序與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序來(lái)分層次安排教學(xué)內(nèi)容，因此，明晰知識(shí)的內(nèi)在邏輯、學(xué)生的認(rèn)知水平變得尤為重要，這就需要厘清相關(guān)核心概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階．2004年Smith向美國(guó)國(guó)家研究理事會(huì)（National Research Council，NRC）提交的報(bào)告中首次提出“學(xué)習(xí)進(jìn)階”——“圍繞一門學(xué)科的核心概念（big ideas）與原則，基于一系列連續(xù)的、復(fù)雜程度逐步提升的思維路徑而形成的一種推理探究方法”[1]，而后，2007年NRC將“學(xué)習(xí)進(jìn)階”正式定義為“隨著時(shí)間的推進(jìn)，學(xué)生對(duì)某一學(xué)習(xí)主題的思考和認(rèn)識(shí)不斷豐富、深入的過(guò)程”[2]，這是當(dāng)下使用最為廣泛的定義．基于此，這里的“學(xué)習(xí)進(jìn)階”是指學(xué)生在較長(zhǎng)一段的時(shí)間跨度內(nèi)，學(xué)習(xí)某一核心概念（技能）時(shí)，經(jīng)歷的一個(gè)連續(xù)的、概念理解不斷深化、思維方式不斷發(fā)展的過(guò)程．國(guó)外對(duì)于“學(xué)習(xí)進(jìn)階”的研究起步較早，現(xiàn)研究的重點(diǎn)聚焦于“將學(xué)習(xí)進(jìn)階作為一種教育評(píng)價(jià)模型”[3]．構(gòu)建學(xué)習(xí)進(jìn)階能幫助教師更好地認(rèn)識(shí)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更高層次的理解[4]．

比例推理貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)的始終，與核心概念“分?jǐn)?shù)”緊密相關(guān)[5]，學(xué)生在沒(méi)有正式入學(xué)前，就開(kāi)始潛移默化地學(xué)習(xí)比例推理．比如“一個(gè)小朋友有2個(gè)蘋果，3個(gè)小朋友共有幾個(gè)蘋果”．比例推理是基于比和比例知識(shí)進(jìn)行推理的一種能力[6]，也是根據(jù)已知信息和比例的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行判斷和計(jì)算的思維過(guò)程[5]，需要基于具體情境把握其中數(shù)量關(guān)系的變化[7–8]．國(guó)內(nèi)較早的研究者苗丹民基于Noelting的4～14歲兒童比例推理認(rèn)知發(fā)展的研究成果，從心理學(xué)角度將兒童比例推理能力的發(fā)展分為7個(gè)階段[9]．而國(guó)外關(guān)于比例推理的研究主要聚焦于探究學(xué)生應(yīng)用比例推理的現(xiàn)狀，分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生難以區(qū)分問(wèn)題情境中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是不是比例關(guān)系[10]；無(wú)法理解現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的比例關(guān)系，進(jìn)而不能正確使用比例推理解決問(wèn)題[11]；對(duì)“比”和“比例”的理解過(guò)程較為困難[12]等．

目前關(guān)于比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階相關(guān)研究較少，北卡羅來(lái)納大學(xué)的Confrey團(tuán)隊(duì)研究較具代表性．其構(gòu)建的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型聚焦于解決如何幫助學(xué)生更好地理解比例推理中量之間的關(guān)系和解題策略的問(wèn)題，列舉了比例推理的常見(jiàn)問(wèn)題類型，并詳細(xì)例說(shuō)了如何更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比例推理學(xué)習(xí)．但該研究更偏向于教學(xué)，而非指向?qū)W生比例推理的學(xué)習(xí)進(jìn)階過(guò)程．比例推理可以被視為是最為復(fù)雜的乘法思維形式[13]，Callingham等人對(duì)乘法思維，其中包括比例推理展開(kāi)學(xué)習(xí)路徑的相關(guān)研究，利用真實(shí)的生活情景創(chuàng)設(shè)評(píng)估項(xiàng)目，并借助Rasch模型分析項(xiàng)目有效性，進(jìn)而確立最終的乘法思維量表[14]．而該研究更大程度上指向乘法思維，而非直接針對(duì)比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階．李眾展以“內(nèi)在比”和“相間比”為進(jìn)階變量，直接計(jì)算一～六年級(jí)學(xué)生在進(jìn)階水平上的得分，基于數(shù)據(jù)進(jìn)行修訂和驗(yàn)證，進(jìn)而得到最終的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階[15]．但該研究對(duì)進(jìn)階變量的選取并未細(xì)化，且數(shù)據(jù)分析方法較為單?。?/p>

根據(jù)已有研究存在的問(wèn)題，圍繞小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的構(gòu)建，提出以下3個(gè)研究問(wèn)題．（1）假設(shè)的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型是什么？（2）如何修訂和驗(yàn)證假設(shè)的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型？（3）小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型是什么？

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象

在杭州市兩所普通公辦小學(xué)（以下簡(jiǎn)稱A校、B校）一～六年級(jí)中，從A校每個(gè)年級(jí)各隨機(jī)選取兩個(gè)班，B校每個(gè)年級(jí)各隨機(jī)選取一個(gè)班進(jìn)行測(cè)試．共發(fā)放問(wèn)卷630份，回收有效問(wèn)卷630份．

2.2 研究方法

首先利用文獻(xiàn)分析法構(gòu)建假設(shè)的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，然后根據(jù)假設(shè)的進(jìn)階模型編制相應(yīng)問(wèn)卷，最后利用問(wèn)卷調(diào)查法對(duì)假設(shè)的進(jìn)階模型進(jìn)行修訂及檢驗(yàn)，進(jìn)而構(gòu)建小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型．

2.3 研究過(guò)程

研究分為4個(gè)階段，具體研究流程如圖1．

圖1 研究流程

基于已有研究，構(gòu)建假設(shè)的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型．基于假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，開(kāi)發(fā)相應(yīng)的測(cè)試問(wèn)卷．實(shí)施問(wèn)卷測(cè)試，基于問(wèn)卷數(shù)據(jù)，采用Rasch模型，對(duì)假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型進(jìn)行修訂，得到實(shí)證的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型．對(duì)實(shí)證的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型進(jìn)行檢驗(yàn)，得到小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型．

2.4 數(shù)據(jù)編碼及計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)

基于對(duì)比例推理的劃分，將問(wèn)卷分為“定性推理”與“定量推理”兩部分，設(shè)置12個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平．其中，定性推理包含假設(shè)的進(jìn)階水平1—4，定量推理包含假設(shè)的進(jìn)階水平5—12，共33道題目．部分題目見(jiàn)下文．

“定性推理”部分設(shè)置為選擇題，題目編碼為“1.1—1.9”．每題均有且僅有唯一正確的答案，選擇正確計(jì)為1分，選擇錯(cuò)誤或沒(méi)選擇計(jì)為0分．“定量推理”部分設(shè)置為簡(jiǎn)答題，題目編碼為“2.1—2.24”．每題均有且僅有唯一正確的答案，解答正確計(jì)為1分，解答錯(cuò)誤或沒(méi)有解答計(jì)為0分．

問(wèn)卷的Cronbach’s系數(shù)為0.96，表明該問(wèn)卷具有較高的信度．

3 研究結(jié)果

3.1 構(gòu)建假設(shè)的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

3.1.1 選取進(jìn)階變量

進(jìn)階變量是構(gòu)成學(xué)習(xí)進(jìn)階的主要成分之一，是對(duì)學(xué)生概念理解程度的刻畫與度量，也可以理解為對(duì)學(xué)生概念理解的影響因素，包括知識(shí)、能力等方面．

根據(jù)是否需要精確計(jì)算，將比例推理分為定性推理與定量推理兩類．利用問(wèn)題中兩組量之間的比例關(guān)系，直接解決問(wèn)題，而不需要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，即為定性推理；相應(yīng)地，需要利用具體數(shù)值計(jì)算才能解決問(wèn)題，即為定量推理．

（1）定性推理中兩組量的變化．

第一個(gè)進(jìn)階變量是定性推理中兩組量的變化：如果只有一組量變化，稱為“單維”；如果兩組量都變化，稱為“雙維”．而兩組量的變化情況可以細(xì)分為“變大”“不變”“變小”．如在“平均分蛋糕”的問(wèn)題情境下，其中蛋糕大小和人數(shù)的變化情況均存在3種可能，兩兩組合共有9種情況，具體變化情況如表1．

表1 定性推理的9種變化情況

將定性推理中的9種變化情況劃分為4個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平，從低到高排列如表2．

表2 定性推理的4個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平

（2）定量推理中比例的數(shù)值結(jié)構(gòu)關(guān)系．

表3 定量推理中比例的數(shù)值結(jié)構(gòu)關(guān)系的4個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平

（3）定量推理中比例的數(shù)值大小關(guān)系．

最終得到假設(shè)的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的3個(gè)進(jìn)階變量：定性推理中兩組量的變化、定量推理中比例的數(shù)值結(jié)構(gòu)關(guān)系和定量推理中比例的數(shù)值大小關(guān)系．

表4 定量推理中比例的數(shù)值大小關(guān)系的兩個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平

3.1.2 構(gòu)建假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

定性推理部分有4個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平．定量推理部分有兩個(gè)進(jìn)階變量，組合得到8個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平．假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型共有12個(gè)水平．對(duì)假設(shè)的進(jìn)階水平進(jìn)行編碼，定性推理表示為“D1”，定量推理表示為“D2”；每個(gè)類型中對(duì)應(yīng)的進(jìn)階水平難度由低到高記為“L1”“L2”，以此類推如表5．

表5 假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

3.2 開(kāi)發(fā)比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階問(wèn)卷

根據(jù)假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型編制的問(wèn)卷包括兩個(gè)部分：考察定性推理的選擇題和考察定量推理的簡(jiǎn)答題．

定性推理部分采用如例題1所示的選擇題進(jìn)行測(cè)試．這一部分的題目不涉及具體的數(shù)值計(jì)算，其中的變化僅為任務(wù)中兩組數(shù)值（蛋糕、人數(shù)）的變化，且變化情況均為“變大”“不變”“變小”3種，兩組數(shù)值共得到9種變化情況，據(jù)此組合成9道測(cè)試題．

例題1 一個(gè)蛋糕平均分給8個(gè)小朋友，每人得到一塊蛋糕．如果這只蛋糕變大，小朋友的人數(shù)不變，那么每個(gè)人分到的這塊蛋糕與原來(lái)得到的相比（ ）．

A. 變大 B. 變小 C. 不變 D. 不確定

定量推理部分采用如例題2所示的簡(jiǎn)答題進(jìn)行測(cè)試，兩個(gè)進(jìn)階變量共構(gòu)成8個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平，每個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平對(duì)應(yīng)3道題目，共24道測(cè)試題．

例題2 小明在大玻璃杯中加入1小杯水和3勺蜂蜜，小紅在大玻璃杯中加入2小杯水，要使小紅與小明的蜂蜜水一樣甜，小紅需要加入幾勺蜂蜜？

3.3 比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的修訂

根據(jù)比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階問(wèn)卷施測(cè)后得到的數(shù)據(jù)分析結(jié)果，對(duì)假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型進(jìn)行以下兩步修訂．

3.3.1 假設(shè)的進(jìn)階水平難度的重新排序

利用Winsteps得到每個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平難度的平均Rasch得分．Rasch得分越高，說(shuō)明題目難度越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)的進(jìn)階水平越高．根據(jù)各假設(shè)的進(jìn)階水平的平均Rasch得分重新排列各進(jìn)階水平，得到修訂后的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型如表6．

相較于表5、表6中修訂后的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型存在兩處修訂．第一，定性推理中的第4個(gè)進(jìn)階水平D1L4，即“雙維、不確定”是難度最大的一個(gè)水平，應(yīng)排在最高的進(jìn)階水平．第二，定量推理中的第5個(gè)進(jìn)階水平D2L5的難度應(yīng)該排在D2L2之后，D2L3之前．

3.3.2 合并無(wú)顯著性差異的假設(shè)進(jìn)階水平

觀察各假設(shè)的進(jìn)階水平的Rasch得分，D1L2和D1L3相差較小，D2L5、D2L3、D2L4、D2L6相差較小，D2L7、D2L8相差較?。魞蓚€(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平的Rasch得分相差較小，說(shuō)明學(xué)生在這兩個(gè)水平上的表現(xiàn)比較一致．因此，對(duì)Rasch得分相差較小的進(jìn)階水平做差異性檢驗(yàn)，分析學(xué)生在此類進(jìn)階水平中是否處于同一水平，若學(xué)生在進(jìn)階水平上的得分無(wú)顯著性差異，則將其合并為一個(gè)進(jìn)階水平．

（1）假設(shè)的進(jìn)階水平D1L2和D1L3的修訂．

對(duì)學(xué)生在假設(shè)的進(jìn)階水平D1L2和D1L3的Rasch得分進(jìn)行配對(duì)樣本檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)D1L2和D1L3無(wú)顯著性差異（(629)=0.332，=0.740），因此，將假設(shè)的進(jìn)階水平D1L2和D1L3合并為同一進(jìn)階水平．

（2）假設(shè)的進(jìn)階水平D2L5、D2L3、D2L4、D2L6的修訂．

對(duì)學(xué)生在假設(shè)的進(jìn)階水平D2L5、D2L3、D2L4、D2L6的Rasch得分進(jìn)行單因素方差分析，結(jié)果顯示學(xué)生在這4個(gè)水平的得分主效應(yīng)不顯著（(3, 626)=0.80，=0.494）．通過(guò)多重比較發(fā)現(xiàn)，4個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平兩兩間均無(wú)顯著性差異（值均大于0.05）．因此，將假設(shè)的進(jìn)階水平D2L5、D2L3、D2L4、D2L6合并為同一進(jìn)階水平．

（3）假設(shè)的進(jìn)階水平D2L7、D2L8的修訂．

對(duì)學(xué)生在假設(shè)的進(jìn)階水平D2L7和D2L8的Rasch得分進(jìn)行配對(duì)樣本檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在D2L7和D2L8上得分無(wú)顯著性差異（(629)=6.377，=0.315），因此，將假設(shè)的進(jìn)階水平D2L7、D2L8合并為同一進(jìn)階水平．

3.3.3 實(shí)證的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

通過(guò)對(duì)假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的難度排序和進(jìn)階水平的修訂，得到實(shí)證的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型如表7．

表7 實(shí)證的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

3.4 比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的驗(yàn)證

3.4.1 學(xué)生在不同進(jìn)階水平上得分的差異性檢驗(yàn)

對(duì)學(xué)生在修訂后7個(gè)進(jìn)階水平上的原始平均得分做單因素方差分析發(fā)現(xiàn)，主效應(yīng)顯著（(3, 626)=202.18，<0.05）．進(jìn)一步多重比較發(fā)現(xiàn)，各進(jìn)階水平兩兩之間均存在顯著性差異（<0.05）．因此，構(gòu)建的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的水平劃分是合理的．

3.4.2 學(xué)生在不同進(jìn)階水平上得分率的變化趨勢(shì)

學(xué)習(xí)進(jìn)階模型需要符合進(jìn)階水平越高的題目難度越高，即學(xué)生的得分率越低的規(guī)律．因此計(jì)算學(xué)生在每個(gè)進(jìn)階水平上的原始平均得分率，觀察得分率的變化趨勢(shì)如圖2．

由圖2可知，學(xué)生在不同進(jìn)階水平上的得分率符合進(jìn)階水平越高得分率越低的規(guī)律，因此所構(gòu)建的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型是合理的．

圖2 小學(xué)生在不同進(jìn)階水平上的得分率

3.4.3 不同年級(jí)學(xué)生在進(jìn)階水平上的得分率變化趨勢(shì)

學(xué)習(xí)進(jìn)階模型需要符合學(xué)生的年級(jí)越高，能力越高，即在每個(gè)進(jìn)階水平上的得分率越高的趨勢(shì)．計(jì)算不同年級(jí)學(xué)生在不同進(jìn)階水平上的原始平均得分率，觀察每個(gè)進(jìn)階水平在不同年級(jí)上的平均得分率如圖3．

由圖3可知，在每一個(gè)進(jìn)階水平中均符合學(xué)生的年級(jí)越高，其在該進(jìn)階水平上的得分率越高．因此，研究構(gòu)建的比例推理的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型是合理的．

圖3 不同年級(jí)學(xué)生在進(jìn)階水平上的得分率

3.5 小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

通過(guò)對(duì)假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型進(jìn)行修訂和檢驗(yàn)，得到實(shí)證的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，基于對(duì)實(shí)證的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的驗(yàn)證，得到了小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，共包含7個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)階水平，每個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)階水平對(duì)應(yīng)學(xué)生具體的學(xué)習(xí)表現(xiàn)見(jiàn)圖4．

圖4 小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

4 分析與討論

4.1 創(chuàng)新

相對(duì)已有研究[4，11，14–15]，這里對(duì)研究方法和數(shù)據(jù)分析進(jìn)行了創(chuàng)新．一方面，選取定性推理中兩組量的變化、定量推理中比例的數(shù)值結(jié)構(gòu)關(guān)系和定量推理中比例的數(shù)值大小關(guān)系作為3類進(jìn)階變量，構(gòu)建小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型．并利用Rasch模型對(duì)假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型進(jìn)行修訂和驗(yàn)證，使得數(shù)據(jù)分析更為客觀、嚴(yán)謹(jǐn)．另一方面，利用進(jìn)階模型的特點(diǎn)及方差分析對(duì)優(yōu)化后實(shí)證的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而說(shuō)明這里所構(gòu)建的進(jìn)階模型符合學(xué)生的認(rèn)知，更具有說(shuō)服力．最終得到與已有研究不同的小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型和用于測(cè)試小學(xué)生比例推理水平的問(wèn)卷．

4.2 定性推理中“雙維和不確定”為何是最高水平

在構(gòu)建假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型時(shí)，由于定性推理不需要具體的數(shù)值計(jì)算，主觀地認(rèn)為其涵蓋的各個(gè)水平應(yīng)低于定量推理，但在實(shí)際測(cè)試后發(fā)現(xiàn)，定性推理中“雙維、不確定”這一水平的難度最高，對(duì)學(xué)生思維水平要求較高．該水平要求學(xué)生對(duì)比例式中兩組量變化的3種情況進(jìn)行分類討論，進(jìn)而得到最終答案．根據(jù)學(xué)生在問(wèn)卷中的回答可知，大多學(xué)生在遇到此類問(wèn)題時(shí)僅考慮了其中一種變化情況，并不能完整地將3種變化情況一一討論，綜合得到“不確定”這一答案，因此，定性推理中“雙維、不確定”為最高水平．

4.3 假設(shè)的進(jìn)階水平合并的原因

在假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的修訂過(guò)程中，對(duì)3組假設(shè)的進(jìn)階水平進(jìn)行了合并．其中，定性推理中的兩個(gè)水平雖然變化的情況不同，但均可以通過(guò)相同的分析方法得到結(jié)果，因此要求學(xué)生所要掌握的知識(shí)點(diǎn)在本質(zhì)上是相同的．對(duì)于第二組的合并，學(xué)生均是通過(guò)尋找已知條件中的倍數(shù)關(guān)系，然后計(jì)算得出答案．對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，倍數(shù)關(guān)系存在于內(nèi)在比還是相間比之間、數(shù)值是由大推小還是小推大，都是一樣的．定量推理中最高的兩個(gè)假設(shè)的進(jìn)階水平在學(xué)生的解題過(guò)程中比較一致，均是先將已知比化簡(jiǎn)得到最簡(jiǎn)比，然后利用相間比得到答案，與數(shù)值的大小關(guān)系無(wú)關(guān)．

5 研究結(jié)論與建議

5.1 結(jié)論

5.1.1 比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階問(wèn)卷

研究過(guò)程中開(kāi)發(fā)了一套一～六年級(jí)學(xué)生比例推理能力問(wèn)卷，可以用于評(píng)測(cè)小學(xué)生具體處于哪一個(gè)比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階水平．

5.1.2 小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

研究過(guò)程中構(gòu)建的小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，包含2種題目類型，7個(gè)進(jìn)階水平，各水平的學(xué)習(xí)表現(xiàn)和進(jìn)階變量如圖4．

5.2 建議

現(xiàn)有教科書中關(guān)于“比例推理”的內(nèi)容較少，主要集中在“定量推理”；課程目標(biāo)較為籠統(tǒng)，缺乏操作性，這就給教師的教學(xué)提出了挑戰(zhàn)．人教版教科書中有關(guān)比例的問(wèn)題題型主要集中于比例計(jì)算、化簡(jiǎn)已知比和解比例，幾乎沒(méi)有涉及定性推理[14–15]．學(xué)生在六年級(jí)學(xué)習(xí)“比例的基本性質(zhì)”后，解決比例問(wèn)題時(shí)直接列式計(jì)算，缺少進(jìn)行比例推理的過(guò)程．而定性推理可以幫助學(xué)生脫離數(shù)值計(jì)算，歷經(jīng)并理解比例推理的全過(guò)程，提升邏輯思維和分類討論的能力．考慮到學(xué)生的接受能力，低年級(jí)時(shí)可以增加進(jìn)階水平1及進(jìn)階水平2中對(duì)應(yīng)的定性推理的題目，六年級(jí)增加進(jìn)階水平7中對(duì)應(yīng)的定性推理題目．教師應(yīng)根據(jù)不同的比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階水平與學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，設(shè)計(jì)有針對(duì)性的課堂教學(xué)活動(dòng)．

6 不足與展望

因?yàn)檠芯繛闄M向調(diào)查，被試不同，所以不能有效控制無(wú)關(guān)變量對(duì)研究結(jié)論的影響．如果采用縱向追蹤調(diào)查，可以更全面、真實(shí)地了解學(xué)生比例推理的發(fā)展歷程，精確界定學(xué)生比例推理的進(jìn)階模型．當(dāng)然，一個(gè)更加理想的做法是開(kāi)展個(gè)案診斷訪談、教學(xué)實(shí)驗(yàn)，以探查在較為自然狀態(tài)下學(xué)生比例推理的發(fā)展歷程．

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[18] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)[M]．北京：人民教育出版社，2014：40–67．

Construction of the Learning Progression Model of Proportional Reasoning for Elementary School Students

GONG Zi-kun1, CHENG Ling2, CHEN Ying-jie1

(1. Hangzhou Normal University Jing Hengyi School of Education, Zhejiang Hangzhou 311121, China;2. Hangzhou Zhaohui Junior High School, Zhejiang Hangzhou 310014, China)

Textbook compilation needs to arrange the teaching contents hierarchically according to the logical order of knowledge and the cognitive development order of students. Therefore, it is particularly important to clarify the learning progression of core concepts. This study constructs the hypothetical learning progression model of proportional reasoning through literature analysis, designs a questionnaire, and surveys 630 students in grades one to six. Based on the questionnaire data, the hypothetical learning progression model of proportional reasoning was revised and validated, and the learning progression model of proportional reasoning for elementary school students was proposed. The model includes three types of variables and the corresponding seven levels. The variables are as follows: the change of two groups of quantities in qualitative reasoning, the numerical structure relationship of proportion and the numerical size relationship in quantitative reasoning. Among the seven levels, “two dimensions and uncertain” is the highest level in qualitative reasoning. The following suggestions are put forward: increasing the types of questions for qualitative reasoning in textbooks; carrying out the teaching design of integrating qualitative reasoning and quantitative reasoning.

elementary school students; proportional reasoning; the model of learning progression

G622

A

1004–9894（2022）05–0048–06

鞏子坤，程玲，陳影杰．小學(xué)生比例推理學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的構(gòu)建[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（5）：48-53．

2022–08–10

浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題——基于認(rèn)知發(fā)展模型的義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升研究

鞏子坤（1966—），男，山東滕州人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育心理研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]