電場(chǎng)背景下手征相變的臨界線

陳建興， 魏 穎， 常曉婷， 張肖陽(yáng)

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

1 NJL模型

本文采用具有三個(gè)味道的NJL模型，夸克場(chǎng)定義為ψ=(u,d,s)T，其拉格朗日密度如下：

(1)

其中，在協(xié)變導(dǎo)數(shù)Dμ=?μ-iQAμ中引入了電磁勢(shì)Aμ，取Aμ=(-Ex3,0,0,0)，得到沿z方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).Q=diag(2e/3,-e/3,-e/3)是夸克的電荷矩陣，流夸克質(zhì)量矩陣m=diagf(mu,md,ms).式(1)中的第二項(xiàng)表示標(biāo)量道相互作用和贗標(biāo)量道相互作用，λa是Gell-Mann矩陣；第三項(xiàng)是用來(lái)描述U(1)A反常的t’Hooft行列式項(xiàng).G和K為相互作用常數(shù).這里考慮流夸克質(zhì)量mu=md≠ms的情形.

在平均場(chǎng)近似下，費(fèi)米子雙線性型可以寫(xiě)成真空期望值和漲落之和，例如：

Mu=mu-4Gφu+2Kφdφs,

(2)

Md=md-4Gφd+2Kφsφu,

(3)

Ms=ms-4Gφs+2Kφuφd.

(4)

這里Mf為夸克的有效質(zhì)量，φf(shuō)為夸克凝聚，f是夸克的味道指標(biāo).顯然，在不考慮U(1)A反常時(shí)，K=0，夸克的質(zhì)量間隙方程是退耦的；正是U(1)A反常使不同味道夸克的有效質(zhì)量聯(lián)系起來(lái).味道為f的夸克凝聚定義為

(5)

iSf(p)是味道為f的夸克傳播子.電場(chǎng)背景下的傳播子寫(xiě)成Schwinger形式是方便的，其在零溫度下的表達(dá)式為

[(Mf-γ⊥·p⊥)(1-tanh(|qfE|s)γ0γ3)+γ‖·p‖(1-tanh2(|qfE|s))]，

(6)

利用夸克凝聚的定義式(5)及傳播子的Schwinger形式(6)，并對(duì)動(dòng)量進(jìn)行高斯積分，可以得到零溫度下的夸克凝聚

(7)

其中,εf=|qf|E.在引入溫度T和化學(xué)勢(shì)μ時(shí)，需做如下代換：

(8)

把夸克凝聚分解為零溫度部分和有限溫度部分是為了方便對(duì)零溫度部分進(jìn)行正規(guī)化.

2 磁化率

磁化率是研究相變系統(tǒng)的重要物理量，可用來(lái)揭示一些與相結(jié)構(gòu)相關(guān)的重要信息，例如:磁化率可以用來(lái)定義相變的臨界點(diǎn)[17-23].對(duì)于一階相變，相關(guān)磁化率會(huì)在相變臨界點(diǎn)處發(fā)生間斷，但相變點(diǎn)左右兩側(cè)的磁化率都是有限的；而對(duì)于二階相變，在相變臨界點(diǎn)處磁化率同樣會(huì)出現(xiàn)間斷，但相變點(diǎn)的左右兩側(cè)都是無(wú)窮大.通常，對(duì)于嚴(yán)格的一階或二階相變，不同的磁化率確定的臨界點(diǎn)是相同的.而對(duì)于非嚴(yán)格的相變，例如平滑過(guò)渡，不同的磁化率確定的臨界點(diǎn)可能會(huì)有所不同.

本文中使用以下3種磁化率：

(1)熱磁化率，定義為

(9)

(2)電磁化率，定義為

(10)

(3)手征磁化率，定義為

(11)

這里φ是手征凝聚，M是夸克的有效質(zhì)量.可以利用磁化率的峰值確定臨界點(diǎn).既然在NJL模型下有效質(zhì)量同樣是手征相變的重要特征量，采用了有效質(zhì)量和夸克凝聚兩種方式定義磁化率.而計(jì)算表明，兩種方式定義的磁化率給出的臨界值相同.

3 計(jì)算結(jié)果與討論

工作的重點(diǎn)是研究零化學(xué)勢(shì)下，不同磁化率確定的電場(chǎng)-溫度平面上的手征相變線的差異.在計(jì)算手征凝聚時(shí)，采用三維動(dòng)量截?cái)嗟恼?guī)化方法處理零溫度部分產(chǎn)生的紫外發(fā)散；而有限溫度部分，由于不存在發(fā)散，無(wú)需進(jìn)行正規(guī)化.為避免因電場(chǎng)的引入而引起的紅外發(fā)散，在計(jì)算中取主值積分(這里不考慮夸克的對(duì)產(chǎn)生).輸入?yún)?shù)取為[16]：三維動(dòng)量截?cái)唳?631.4 MeV，mu=md=5.5 MeV，ms=135 MeV，GΛ2=1.835，KΛ5=9.29.

首先考慮夸克的有效質(zhì)量及凝聚隨溫度、電場(chǎng)的變化.電場(chǎng)強(qiáng)度eE=0.1GeV2，eE=0.15GeV2，eE=0.2GeV2下有效質(zhì)量隨溫度的變化見(jiàn)圖1～圖3.顯然隨著溫度的升高，夸克的有效質(zhì)量不斷減小.u、d夸克的有效質(zhì)量下降較快，最終接近其流質(zhì)量.s夸克的有效質(zhì)量隨溫度的變化較為平緩，預(yù)示著高得多的相變溫度，可以與Λ～600 MeV而相比擬.這個(gè)相變溫度接近或超出NJL模型的有效能區(qū)，因此下面不再討論s夸克的相變臨界點(diǎn).u、d夸克有效質(zhì)量的變化表明，在較低溫度時(shí)，系統(tǒng)是手征對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺的，隨著溫度的升高進(jìn)入到過(guò)渡區(qū)域，最后當(dāng)有效質(zhì)量接近流質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)基本進(jìn)入手征對(duì)稱(chēng)性(部分)恢復(fù)狀態(tài).另一方面，電場(chǎng)增強(qiáng)會(huì)使相變溫度降低，說(shuō)明電場(chǎng)會(huì)削弱手征凝聚.

圖1 eE=0.1,0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的有效質(zhì)量-溫度曲線Fig.1 The effective mass-temperature curves for the u quark at eE=0.1，0.15， and 0.2GeV2

圖2 eE=0.1,0.15，0.2GeV2時(shí)d夸克的有效質(zhì)量-溫度曲線Fig.2 The effective mass-temperature curves for the d quark at eE=0.1，0.15， and 0.2GeV2

圖3 eE=0.1,0.15，0.2GeV2時(shí)s夸克的有效質(zhì)量-溫度曲線Fig.3 The effective mass-temperature curves for the s quark at eE=0.1，0.15， and 0.2GeV2

當(dāng)把eE=0.2GeV2時(shí)夸克的有效質(zhì)量隨溫度的變化進(jìn)行比較時(shí)(見(jiàn)圖4)，可以看到，u夸克的有效質(zhì)量因電場(chǎng)的存在要比d夸克小，u夸克進(jìn)入手征(部分)恢復(fù)狀態(tài)更早，既然u、d夸克的流質(zhì)量相同，它們有效質(zhì)量的差異顯然是電場(chǎng)導(dǎo)致的.圖5以u(píng)夸克為例，給出了凝聚在eE=0.1GeV2，eE=0.15GeV2，eE=0.2GeV2時(shí)隨溫度的變化情況，顯然其物理結(jié)論與對(duì)有效質(zhì)量進(jìn)行分析得到的結(jié)論是一致的.

圖4 eE=0.2GeV2時(shí)夸克的有效質(zhì)量-溫度曲線Fig.4 The effective mass-temperature curves for the quarks at eE=0.2GeV2

圖5 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的夸克凝聚-溫度曲線Fig.5 The quark condensation-temperature curves for the u quark at eE=0.1，0.15， and 0.2GeV2

圖6～圖8給出了溫度T=0.05、0.1及0.15 GeV時(shí)夸克的有效質(zhì)量隨電場(chǎng)變化的情況.與溫度的增加類(lèi)似，電場(chǎng)的增強(qiáng)同樣會(huì)導(dǎo)致夸克有效質(zhì)量的減少.電場(chǎng)的增強(qiáng)使u、d夸克從手征對(duì)稱(chēng)性破缺狀態(tài)平滑過(guò)渡到手征對(duì)稱(chēng)性(部分)恢復(fù)狀態(tài).圖9給出了T=0.05 GeV時(shí)，3種夸克有效質(zhì)量隨溫度的變化情況.因?yàn)閡、d夸克的流質(zhì)量相同，所以在不存在電場(chǎng)時(shí)，兩者具有相同的有效質(zhì)量.而隨著電場(chǎng)的增強(qiáng)，兩者的有效質(zhì)量差異首先不斷加大，這是它們帶有不同電荷的反映；接下來(lái)隨著系統(tǒng)向手征對(duì)稱(chēng)性恢復(fù)相的轉(zhuǎn)變，它們的有效質(zhì)量的差異又開(kāi)始變小，最后達(dá)到相同流夸克質(zhì)量的簡(jiǎn)并狀態(tài).

圖6 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)u夸克的有效質(zhì)量-電場(chǎng)強(qiáng)度曲線Fig. 6 The effective mass-electric field strength curves for the u quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV

圖7 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)d夸克的有效質(zhì)量-電場(chǎng)強(qiáng)度曲線Fig.7 The effective mass-electric field strength curves for the d quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV

圖8 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)s夸克的有效質(zhì)量-電場(chǎng)強(qiáng)度曲線Fig.8 The effective mass-electric field strength curves for the s quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV

圖9 T=0.05 GeV時(shí)夸克的有效質(zhì)量-電場(chǎng)強(qiáng)度曲線Fig.9 The effective mass-electric field strength curves for the quarks at T=0.05 GeV

下面采用式(9)～式(11)定義的磁化率討論(偽)臨界點(diǎn)，進(jìn)而給出相變線.如前所述，從磁化率不僅可以給出(偽)臨界點(diǎn)，還能夠確定相變的階.可以從后面的結(jié)果看到，對(duì)于采用的電場(chǎng)及溫度范圍，相變既不是一階相變也不是二階相變，而是平滑過(guò)渡.

圖10和圖11是不同電場(chǎng)強(qiáng)度下u、d夸克的熱磁化率隨溫度變化的情況，這里的磁化率是用夸克的有效質(zhì)量定義的.為了對(duì)比，在圖12中也給出了由夸克凝聚定義的熱磁化率的情況，顯然兩者確定的臨界溫度是相同的.對(duì)確定的電場(chǎng)值可以畫(huà)出磁化率隨溫度變化的曲線，其峰值對(duì)應(yīng)的溫度，就是該電場(chǎng)強(qiáng)度下的臨界溫度.讓電場(chǎng)強(qiáng)度從0開(kāi)始不斷增大，就得到了由熱磁化率確定的E-T平面上的臨界線(圖20中的χT).

圖10 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的熱磁化率-溫度曲線,這里的熱磁化率由有效質(zhì)量定義Fig. 10 The thermal susceptibility-temperature curves for the u quark at eE=0.1，0.15，and 0.2GeV2，here the thermal susceptibility is defined by the effective mass

圖11 eE=0.1,0.15，0.2GeV2時(shí)d夸克的熱磁化率-溫度曲線,這里的熱磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.11 The thermal susceptibility-temperature curves for the d quark at eE=0.1，0.15, and 0.2GeV2，here the thermal susceptibility is defined by the effective mass

圖12 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的熱磁化率-溫度曲線,這里的熱磁化率由夸克凝聚定義Fig.12 The thermal susceptibility-temperature curves for the u quark at eE=0.1，0.15，and 0.2GeV2，here the thermal susceptibility is defined by the quark condensation

類(lèi)似地，可以通過(guò)計(jì)算電磁化率得到由電磁化率確定的E-T平面上的臨界線(圖20中的χE).例如，圖13是不同溫度下，由有效質(zhì)量定義的u夸克的電磁化率隨電場(chǎng)的變化情況，其峰值對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的臨界電場(chǎng)值.

圖13 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)u夸克的電磁化率-電場(chǎng)強(qiáng)度曲線，這里電磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.13 The electric susceptibility-electric field strength curves at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV，here the thermal susceptibility is defined by the effective mass

利用手征磁化率確定相變的臨界線存在兩種方式.一種是在給定的電場(chǎng)強(qiáng)度下，考察手征磁化率峰值對(duì)溫度變化的情況(圖20中的χST)；另一種方式是在給定的溫度下，考察手征磁化率隨電場(chǎng)強(qiáng)度變化的情況(圖20中的χSE).這兩種方式給出的臨界值有所不同.圖14、圖15是不同電場(chǎng)強(qiáng)度下由有效質(zhì)量定義的u、d夸克的手征磁化率隨溫度的變化情況，在圖16、圖17展示了利用夸克凝聚定義的結(jié)果，顯然確定的臨界值是相同的.類(lèi)似的，不同溫度下手征磁化率隨電場(chǎng)的變化情況見(jiàn)圖18和圖19.

圖14 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的手征磁化率-溫度曲線，這里的手征磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.14 The chiral susceptibility-temperature curves for the u quark at eE=0.1， 0.15, and 0.2GeV2，here the chiral susceptibility is defined by the effective mass

圖15 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)d夸克的手征磁化率-溫度曲線，這里的手征磁化率由有效質(zhì)量定義Fig. 15 The chiral susceptibility-temperature curves for the d quark at eE=0.1， 0.15, and 0.2GeV2，here the chiral susceptibility is defined by the effective mass

圖16 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的手征磁化率-溫度曲線，這里的手征磁化率由夸克凝聚定義Fig.16 The chiral susceptibility-temperature curves for the u quark at eE=0.1， 0.15, and 0.2GeV2，here the chiral susceptibility is defined by the quark condensation

圖17 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)d夸克的手征磁化率-溫度曲線，這里的手征磁化率由手征凝聚定義Fig.17 The chiral susceptibility-temperature curves for the d quark at eE=0.1， 0.15, and 0.2GeV2，here the chiral susceptibility is defined by the quark condensation

圖18 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)u夸克的手征磁化率-電場(chǎng)強(qiáng)度曲線，這里的手征磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.18 The chiral susceptibility-electric field strength curves for the u quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV，here the chiral susceptibility is defined by the effective mass

圖19 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)d夸克的手征磁化率-電場(chǎng)強(qiáng)度曲線，這里的手征磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.19 The chiral susceptibility-electric field strength curves for the d quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV，here the chiral susceptibility is defined by the effective mass

利用上述方法，采用熱磁化率、電磁化率及手征磁化率(確定臨界點(diǎn)有兩種不同方式)確定了化學(xué)勢(shì)為0時(shí)u夸克在E-T平面上的手征相變臨界線，見(jiàn)圖20.從前面的計(jì)算可知，d夸克的相變臨界點(diǎn)與u夸克差異不大，既然主要考察不同磁化率在確定臨界線上的差異，在此僅以u(píng)夸克為例加以說(shuō)明.不同磁化率確定的手征相變臨界線是相似的，但存在定量上的差異.在手征相變臨界線的中段，不同的磁化率確定的臨界線差異較為明顯.因此，在平滑過(guò)渡的情況下，把不同磁化率確定的臨界線綜合考慮是更合適的，比如取不同臨界線圍成的帶狀區(qū)域.

圖20 由不同磁化率確定的E-T平面相圖Fig.20 Phase diagram in the E-T plane determined by different susceptibilities

4 結(jié) 論

本文采用NJL模型對(duì)恒定電場(chǎng)背景下強(qiáng)相互作用物質(zhì)的手征相變進(jìn)行了研究.結(jié)果表明，電場(chǎng)具有破壞手征凝聚的作用，導(dǎo)致相變臨界溫度降低，而且所帶電荷的差異導(dǎo)致了u夸克的手征對(duì)稱(chēng)性恢復(fù)要比d夸克快.夸克的有效質(zhì)量(或凝聚)隨電場(chǎng)和溫度的變化表明相變?yōu)槠交^(guò)渡，磁化率曲線的連續(xù)性也證實(shí)了這一點(diǎn).采用熱磁化率、電磁化率和手征磁化率等幾種不同的磁化率確定了電場(chǎng)-溫度平面的相變臨界線，發(fā)現(xiàn)利用不同磁化率的峰值確定的相變臨界線存在差異，特別在手征相變臨界線的中段，差異較為明顯.因此，在平滑過(guò)渡的情況下，使用由不同磁化率確定的臨界線圍成的帶狀區(qū)域更為合適.此外，在NJL模型下，使用夸克有效質(zhì)量定義的磁化率與夸克凝聚定義的磁化率確定的臨界點(diǎn)是相同的.