一類可積系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)

王逸凡，李寶毅，張永康，隋世友

（1.天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387；2.天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300134）

1 引言和主要結(jié)果

Hamilton系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分I（h）孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)即為弱化希爾伯特第十六問(wèn)題[1-2]，是常微分方程定性理論的研究熱點(diǎn)之一.文獻(xiàn)[3-4]首先證明了I（h）的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)存在一致的上界，但并沒(méi)有得到確切的表達(dá)式.隨后關(guān)于該問(wèn)題的研究主要集中在2個(gè)方面，一方面是討論低次Hamilton系統(tǒng)在低次擾動(dòng)下I（h）的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)，另一方面是估計(jì)超橢圓Hamilton系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下I（h）的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù).

隨著研究的深入，許多學(xué)者開(kāi)始關(guān)注可積系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下的分岔現(xiàn)象.文獻(xiàn)[11]研究了可積系統(tǒng)（x˙，y˙）=（y（1+x），-x2k-（11+x））在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的分岔現(xiàn)象，得到了系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界.文獻(xiàn)[12]研究了可積系統(tǒng)（x˙，y˙）=（-y（x-a）m1（y-b）m2，x（xa）m1（y-b）m2）在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下I（h）的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中ab≠0且m1、m2∈N.文獻(xiàn)[13]研究了可積系統(tǒng)（x˙，y˙）=（-y（x2+a2）m，x（x2+a2）m）在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的極限環(huán)個(gè)數(shù)，其中a≠0且m∈N.

本文考慮擾動(dòng)的可積系統(tǒng)

其中：k∈N+，P（x，y）、Q（x，y）為n次多項(xiàng)式.系統(tǒng)（1）0存在順時(shí)針走向的周期閉軌族

設(shè)Γh與x正、負(fù)半軸交于Ah+=（ak（h），0）、Ah-=（-a（kh），0），其中

記Abel積分

的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)的上確界為Z（n，k）.

定理對(duì)于擾動(dòng)系統(tǒng)（1）ε，當(dāng)I（h）?0時(shí)，Z（n，1）=n，Z（n，2）≤n+2[n/2]+7，Z（n，k）≤n+（2k-1）·[n/2]+4k+1（k≥3）.

2 Abel積分的計(jì)算

引理1當(dāng)i、m、r∈N時(shí)，有

其中：Ck，m，r、C*k，m，0∈R+

證明由Γh關(guān)于x軸對(duì)稱可知Ii，2r（h）≡0.由首次積分可知，周期閉軌Γh對(duì)應(yīng)y=y±（x，h）=，即

因此，由Γh關(guān)于y軸對(duì)稱可知I2m+1，2r+1（h）≡0.

引理2設(shè)m∈N，則有

證明結(jié)合引理1可得

同理可得

引理證畢.

引理3

證明結(jié)合引理1可得

進(jìn)而有

由首次積分可得，在Γh上有，結(jié)合引理2可得

從而

引理證畢.

引理4當(dāng)k=1時(shí)，記則有

證明在式（3）中令k=1，則有

結(jié)合式（8）可得

引理證畢.

引理5當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（1）ε的Abel積分為

證明計(jì)算得

定義

由Γh關(guān)于x軸對(duì)稱可得，當(dāng)j為偶數(shù)時(shí)，

αn+2[n/2](k-1)-2kl（x）可表示為

α″n+2[n/2](k-1)-2kl（-1）≠0的必要條件為

α′n+2[n/2](k-1)-2kl（-1）≠0的必要條件為

則結(jié)合引理2可得

引理證畢.

將引理3的結(jié)論代入式（9）可得

對(duì)式（3）關(guān)于h求導(dǎo)可得

代入式（10）可得

3 Abel積分孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)

引理6[14]實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f（x）=cmxm+cm-1xm-1+…+c1x+c0的正零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于f（x）的系數(shù)列cm，cm-1，…，c1，c0的變號(hào)次數(shù)或者變號(hào)次數(shù)減去某個(gè)正偶數(shù).

引理7[15]設(shè)φ（ih）為）上的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)0＜h?1時(shí)，φi（h）=ηihsi+o（hsi），其中：ηi≠0，1≤i≤m且s1＜s2＜…＜sm，則存在實(shí)數(shù)e1，e2，…，em，使得在）上至少存在m-1個(gè)正變號(hào)零點(diǎn).

引理8[15]設(shè)A（h）和B（h）在開(kāi)區(qū)間（a，b）分別有u*和v*個(gè)零點(diǎn)（計(jì)重?cái)?shù)），若系統(tǒng)P（h）=B（h）滿足條件：

（1）P（h）在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）可導(dǎo).

（2）A（h）和B（h）在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，F(xiàn)（h，P）在[a，b]×[lp，Lp]連續(xù)，其中[lp，Lp]為P（h）在[a，b]的值域.

則函數(shù)P（h）在開(kāi)區(qū)間（a，b）至多有u*+v*+1個(gè)孤立零點(diǎn)（計(jì)重?cái)?shù)）.

定理的證明：

情況1當(dāng)k=1時(shí)，結(jié)合引理4和引理5可得，若n=0，則

顯然I（h）沒(méi)有孤立零點(diǎn)，即Z（0，1）=0.

若n=1，則

若n=2，則

若n≥3，則

下面說(shuō)明存在n次多項(xiàng)式P（x，y）和Q（x，y），使得（Ih）在至少有n個(gè)正變號(hào)零點(diǎn).在系統(tǒng)（1）ε中取

結(jié)合式（2）和引理4可得

利用引理7可得，存在a0，a1，…，a[(n-2)/2]，b0，b1，…，b[(n-1)/2]，λ，使得在u∈（0，1）至少有n個(gè)正變號(hào)零點(diǎn).綜上，Z（n，1）=n.

情況2當(dāng)k=2時(shí)利用式（7）和式（3）可得

同時(shí)有

利用式（6）和式（12）可得

在式（8）中令α1=x-2，利用式（6）和式（14）可得

將式（12）和式（15）代入式（9）可得

將函數(shù)T*（v）從開(kāi)區(qū)間（0，1）解析延拓到復(fù)區(qū)域

定義G=GR，r?D，D為一單連通區(qū)域，?G=C=CR，r為簡(jiǎn)單閉曲線，

其中：CRj={v∈D，|v|=R?1}且v屬于第j象限，j=1、2、3、4；Cr1，3={v∈D，|v-（±1）|=r?1}，Cr2，4={v∈D，|v-（±i）|=r?1}，L±1，3={v∈R：1+r≤|v|≤R}，L±2，4={v∈iR：1+r≤|iv|≤R}.根據(jù)文獻(xiàn)[11]有如下引理9成立.

引理9解析函數(shù)T*（v）和（v）在復(fù)區(qū)域D?C上滿足：

（2）當(dāng)v∈L±j，j=1、2、3、4時(shí)，Im（T*（v））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)[n/2]+1.

由引理9的（1）可得，當(dāng)r→0+時(shí)，T*（v）在的旋轉(zhuǎn)數(shù)不超過(guò)10-1.

由引理9的（3）可得

μ1、μ2為常數(shù)，因此有，故T*（v）在的旋轉(zhuǎn)數(shù)不超過(guò)2n+8+10-1.

綜上，T*（v）在G的邊界C上的旋轉(zhuǎn)數(shù)不超過(guò)2n+4[n/2]+16+，則T（*v）在G上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)2n+4[n/2]+16.顯然，v=0是T*（v）的零點(diǎn)，結(jié)合T*（v）在開(kāi)區(qū)間（-1，1）是關(guān)于v的奇函數(shù)，可知T*（v）在v∈（0，1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)n+2[n/2]+7，即Z（n，2）≤n+2[n/2]+7.

情況3當(dāng)k≥3時(shí)，對(duì)式（11）關(guān)于h求導(dǎo)得

對(duì)式（3）關(guān)于h求二階導(dǎo)數(shù)得

進(jìn)而有

將式（17）代入式（16）可得

另一方面，將式（17）代入式（11）可得

利用式（18）和式（19）計(jì)算得

綜上，定理證畢.