柔性醫(yī)用機械臂末端空間定位誤差建模與分析

張 鵬,陳惠賢,裘應馳,雷武樂,李 雙

(蘭州理工大學機電工程學院,甘肅 蘭州 730050)

柔性醫(yī)用機械臂是放射治療設備中極為重要的部件,它用于支撐患者,確保醫(yī)師能夠將患者的病灶置于放射治療設備的輻射野內進行治療。醫(yī)用機械臂的運動精度與可靠性是相當重要的,但造成醫(yī)用機械臂末端空間定位精度差的原因是多方面的,如大懸臂、連桿和關節(jié)的彈性變形等,并且醫(yī)用機械臂對各軸運動的位置、軌跡和速度準確性具有極高的要求,關節(jié)傳動誤差直接影響著醫(yī)用機械臂的運動軌跡及其末端的準確性,因此解決關節(jié)傳動和連桿柔性所產生的誤差問題是當務之急[1-2]。

目前,已有大量學者對此開展了相關的研究,如單麗君等[3]對理論齒廓擺線輪和針齒,柱銷和柱銷孔受力所產生的變形進行了分析,計算出受力狀態(tài)下的回轉誤差;任軍等[4]對RV減速器中的針擺傳動建立了一種考慮擺線輪齒廓曲率半徑變化的等效扭轉嚙合剛度模型;鄭宇等[5]通過分析RV減速器的零部件的加工、裝配誤差,將LIN的平移扭轉耦合模型和質量彈簧誤差等價原理相結合,建立了RV減速器的傳動誤差模型;韓林山等[6]綜合考慮RV減速器中的非線性因素,建立了非線性動力學模型,為研究加工誤差和游隙對角傳動誤差的影響提供了理論依據;李兵等[7]采用作用線增量法分析針齒與擺線輪嚙合處的原始誤差得到多齒嚙合下的擺線輪輸出轉角誤差,并以此為基礎建立了傳動誤差分析模型;張壯[8]將柔性機械臂視為Euler-Bernoulli梁,并利用拉格朗日方程建立了柔性機械臂的動力學模型;Mohsen等[9]基于拉格朗日方程和泰勒級數對具有柔性關節(jié)的剛性機械臂進行了動力學建模;何勇[10]將空間天線伸展臂等效成雙柔性桿臂并將末端夾持器及附加裝置簡化成末端集中質量,利用拉格朗日法建立了帶有末端負載的剛柔耦合動力學模型;王斌銳等[11]綜合考慮了關節(jié)和連桿柔性,基于Lagrangian方程和轉子非線性扭簧模型,建立了柔性機械臂剛柔耦合動力學模型;Asada等[12]基于柔性機械臂的逆動力學,通過使用虛擬坐標系以簡單而緊湊的形式表示柔性臂的動態(tài)變形,提出了通過近似方法來求解逆動力學;郎英彤等[13]利用拉格朗日方程建立單柔性機械臂動力學模型,采用近似法和RBF神經網絡方法對動力學模型進行了數值仿真分析;齊俊德等[14]為了提高機器人的絕對定位精度,建立了機器人絕對定位誤差模型并進行了補償方法研究,將定位誤差分為幾何參數誤差與柔度誤差,分別建立了相應的誤差模型;焦國太[15]分析了機器人的誤差來源,將其統(tǒng)一歸結為關節(jié)變量誤差和結構參數誤差,運用MD-H方法建立了機器人的誤差模型;龔星如等[16]綜合考慮了機器人基座坐標系誤差以及機器人自身內部參數誤差,建立起基于微分變換的機器人末端定位誤差模型。對于機械臂誤差建模,前人做出了許多重要的貢獻,主要是從機械臂的結構誤差著手,研究整機的誤差標定,而關于關節(jié)傳動誤差對機械臂末端空間定位精度的影響研究較少。通過建立柔性醫(yī)用機械臂的動力學模型和關節(jié)RV減速器的等效嚙合剛度模型,分析關節(jié)傳動誤差和連桿柔性耦合作用下對機械臂末端精度的影響,建立機械臂末端空間定位誤差模型,將有助于機械臂末端空間位置誤差的補償。

1 單桿柔性醫(yī)用機械臂動力學建模

1.1 柔性機械臂物理模型以及坐標系的建立

所研究的醫(yī)用機械臂三維模型如圖1所示。取醫(yī)用機械臂的小臂為研究對象,將碳纖維床板和調整臂簡化為小臂的末端質量m,假定單杠柔性醫(yī)用機械小臂的運動和彎曲振動都在同一平面內,柔性臂桿作平面運動。柔性醫(yī)用機械臂的小臂可簡化成Euler-Bernoulli梁,只考慮臂桿的彎曲變形,不考慮臂桿的重力作用,建立小臂的物理模型如圖2所示,圖2中τ(t)為RV減速器機構施加到機械臂固定端的驅動力矩;θ(t)為機械臂在平面內轉角的角位移。

圖1 醫(yī)用機械臂三維模型

圖2 小臂的物理模型

假設柔性機械臂轉動過程中任意一點的坐標為B(X,Y),OXY表示為慣性坐標系,oxy表示為浮動坐標系。柔性機械臂t時刻任意一點B的彎曲彈性變形可以表示為

(1)

將機械臂看成一端固定、一端自由的懸臂梁,根據梁的彎曲自由振動方程和邊界條件求得陣型函數為

φi(x)=cos (βix)-cosh(βix)-

λi(sin (βix)-sinh(βix)),

(2)

其中:

1.2 拉格朗日法建模

拉格朗日方程為

(3)

減速機的動能T1為

(4)

單桿柔性機械臂自身的動能T2為

(5)

將x=l帶入可得集中質量m的速度Vm,由此可得末端集中質量的動能T3為

(6)

將式(4)～(6)聯立帶入式(3),并且考慮正交條件得到柔性機械臂的機械系統(tǒng)的總動能為

(7)

其中:

由于單桿柔性機械臂做平面旋轉運動,考慮其勢能由彈性變形所引起,則可得

(8)

拉格朗日函數L為

(9)

將式(8)和式(9)帶入式(3),并忽略耦合項和非線性項后,得到末端帶有集中質量的柔性機械臂線性化動力學方程為

(10)

2 RV減速器二級傳動擺線輪與針齒理論嚙合剛度模型

理論上擺線輪與針齒是通過線接觸傳遞運動,實際情況下擺線輪在與針齒嚙合的過程中發(fā)生了彈性變形。對于擺線輪與針齒的嚙合,擺線輪與針齒的接觸可以近似看成是2個圓柱面進行接觸,假設接觸點為兩彈性體變形的直線,如圖3所示。

圖3 擺線輪與針輪接觸模型

當2個圓柱體接觸時,根據赫茲公式可得到接觸面的半寬為

(11)

ρ2為針齒的曲率半徑且為確定值rrp,由文獻[17]可知擺線輪的理論曲率半徑為

(12)

如果ρ1為正值,擺線輪的輪廓曲線向內凹,擺線輪與針齒凹凸接觸,曲率求和為負號;如果ρ1為負值,擺線輪的輪廓曲線向外凸,擺線輪與針齒凸凸接觸,曲率求和為正號。

2.1 單個擺線輪齒和針齒的剛度

由圖3可知,由于C很小,可在C范圍內近似地認為是一段圓弧,則可得

(13)

其中:hc為擺線輪齒徑向擠壓變形量。

(14)

計算得到單個擺線輪齒剛度為

(15)

當ρ1j<0時:

(16)

其中:S=1+K12-2K1cosφj;T=K1(1+zp)·cosφj-(1+zpK12);φj為第j個針齒對于轉臂的轉角。

當ρ1j>0時:

(17)

同理可得單個針齒的剛度,當ρ1<0時,取數值|ρ|計算;當ρ1>0時,將ρj帶入式(17)中可得

(18)

2.2 單對擺線輪齒與針齒接觸剛度模型

接觸剛度模型為

(19)

將kcj、krj代入式(19)化簡,并當ρ1<0時,得

(20)

當ρ1>0時:

(21)

根據式(20)、式(21)可知,當ρ1<0時,擺線輪齒與針齒的嚙合剛度為定值。

2.3 擺線針輪嚙合剛度模型

擺線針輪接觸模型見圖3。顯然各單齒嚙合剛度對擺線針輪整體剛度的貢獻是角度的函數,不能簡單的相加。因此先將各單齒嚙合剛度轉化為等效的扭轉剛度,然后再進行疊加求出擺線針輪整體嚙合的等效扭轉剛度。

第j對擺線輪齒和針齒的公法線到擺線輪中心的距離lj為

(22)

當擺線輪和針齒嚙合時,第j對齒產生的扭轉嚙合剛度計算公式為

(23)

擺線輪和針齒理論嚙合傳動的等效嚙合剛度模型為

(24)

3 柔性機械臂末端定位誤差模型

由于機械臂是一個柔性臂,自身存在著彈性變形,同時RV減速器擺線輪與針齒傳動所產生的誤差也會影響到機械臂的定位精度。所以,機械臂末端定位誤差ΔX由兩部分組成:RV減速器傳動誤差和機械臂自身的彈性變形引起的定位誤差。

3.1 RV減速器擺線輪與針齒嚙合的動態(tài)傳動誤差模型

根據式(22)可以看出,當φ=φ0=arccosK1時,力臂最大為lmax=aza;根據變形關系,針齒的接觸力Fj與力臂lj呈正比,可得

(25)

由文獻[3]所述可得

(26)

將式(22)、式(25)帶入式(26),并轉化為積分近似計算形式,得到動態(tài)傳動誤差為

(27)

3.2 柔性醫(yī)用機械臂末端定位誤差模型

末端定位誤差模型為

(28)

4 數值仿真

4.1 醫(yī)用柔性機械臂逆動力學數值求解

采用近似的方法對醫(yī)用柔性機械臂動力學模型進行逆動力學數值仿真求解,機械臂的幾何結構參數如表1所列。

表1 機械臂的幾何結構參數

端輸出驅動力矩和模態(tài)坐標q1、q2、q3與時間的關系曲線,并利用Origin對其進行最小二乘法擬合,得到驅動力矩和模態(tài)響應函數如圖4所示。

圖4 驅動力矩函數曲線和模態(tài)響應函數曲線

擬合得到的驅動力矩和模態(tài)響應函數為

(29)

4.2 柔性醫(yī)用機械臂末端定位誤差數值仿真分析

考慮關節(jié)減速器時變嚙合剛度，分別對比分析不同型號RV減速器和不同階數模態(tài)下對柔性醫(yī)用機械臂末端定位誤差的影響規(guī)律。分別取柔性醫(yī)用機械臂關節(jié)減速器為RVSHPR-110E、RV320E、RV40E，其中不同型號RV減速器的基本結構參數如表2所列。根據RV減速器的基本結構參數通過Matlab數值仿真軟件編寫求解算法進行數值仿真求解分析。

表2 RV減速器的基本結構參數

利用Matlab取0～100 s進行數值仿真求解分析得到不同型號RV減速器和不同階數模態(tài)的柔性醫(yī)用機械臂末端定位誤差如圖5所示，圖5中(a)、(b)、(c)分別表示在相同RV減速器下不同階數模態(tài)的柔性醫(yī)用機械臂末端定位誤差;而圖5中(d)、(e)、(f)分別表示在相同階數模態(tài)下不同RV減速器的柔性醫(yī)用機械臂末端定位誤差。

通過對比分析圖5中(a)、(b)、(c)得到，當取不同RV減速器時，柔性醫(yī)用機械臂的末端定位誤差都處于一種動態(tài)增長的狀態(tài)，其中一階模態(tài)下機械臂末端定位誤差的動態(tài)波動不明顯，但是隨著模態(tài)階數的增加其機械臂末端定位誤差的動態(tài)波動更加明顯，從而表明模態(tài)階數越高機械臂末端定位誤差的動態(tài)波動越劇烈。

通過對比分析圖5中(d)、(e)、(f)得到，不同階數模態(tài)下減速器型號為RVSHPR-110E、RV320E、RV40E，在100 s時柔性醫(yī)用機械臂末端所產生的定位誤差分別為10.74 mm、13.21 mm和29.28 mm，并且根據表2可知這3個減速器的彈性模量逐漸遞減，從而說明關節(jié)減速器的彈性模量越大則剛度越強,其彈性變形也就越小，所產生的關節(jié)傳動誤差也就越小。

5 結論

以醫(yī)用機械臂小臂為研究對象將小臂簡化成Evler-Bernoulli梁并且基于拉格朗日法建立機械臂的動力學模型,同時建立關節(jié)RV減速器二級傳動擺線輪與針齒時變嚙合剛度模型,最后通過連桿柔性與關節(jié)傳動誤差的耦合建立醫(yī)用機械臂末端動態(tài)定位誤差模型。通過對模型的仿真分析得到以下結論:

(1) 通過對醫(yī)用柔性機械臂動力學模型的逆向求解得到擬合度較好的驅動力矩、模態(tài)響應函數公式。

(2) 通過仿真分析得到模態(tài)階數越高機械臂末端定位誤差的動態(tài)波動越劇烈;關節(jié)減速器二級傳動部分的彈性模量越大產生的關節(jié)傳動誤差越小。

(3) 關節(jié)處微小的轉角變化,經臂桿放大后會造成機械臂末端較大的運動誤差,在滿足機械臂驅動力矩的要求時,應盡量選取剛度大的RV減速器以減小關節(jié)傳動誤差。

(4) 今后可對醫(yī)用機械臂整體進行建模分析,并對關節(jié)RV減速器的一級傳動和二級傳動建立RV減速器整體的嚙合剛度模型來分析關節(jié)傳動誤差,從而建立醫(yī)用機械臂整機末端空間動態(tài)誤差模型。