扭曲厄米-高斯-謝爾模光束對(duì)兩種瑞利粒子的捕獲

張超,韓亞帥,周正仙,屈軍

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,安徽 蕪湖 241001)

0 引言

光鑷是在微觀尺度下對(duì)粒子進(jìn)行捕獲和操縱的一種物理工具。1970年,Ashkin[1]通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到微米量級(jí)的粒子在激光的輻射壓力作用下被加速并困在一個(gè)穩(wěn)定的勢(shì)阱中,從而實(shí)現(xiàn)了激光對(duì)微觀粒子的捕獲,此后光鑷技術(shù)迅速發(fā)展。光鑷由于具有不直接接觸、不損傷物體的性質(zhì),已經(jīng)廣泛應(yīng)用于原子分子物理[2,3]、生物科學(xué)[4-6]、膠體科學(xué)[7]等各個(gè)領(lǐng)域。

隨著光場(chǎng)調(diào)控技術(shù)和微觀操縱技術(shù)的不斷完善與成熟,一系列具有特殊光場(chǎng)結(jié)構(gòu)的部分相干光束相繼被提出。利用這些光束作為光鑷系統(tǒng)的光源不僅能夠捕獲粒子,還能夠改進(jìn)光鑷的性能,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子的復(fù)雜操縱。如光強(qiáng)呈空心或陣列等分布的光束能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)不同折射率粒子的穩(wěn)定捕獲[8-12],自身攜帶了軌道角動(dòng)量的渦旋光束可以在與粒子作用的過(guò)程中將角動(dòng)量傳遞給粒子從而實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子的操縱等[13,14]。攜帶扭曲相位的高斯-謝爾模光束是描述激光光束最一般的模型[15],由于扭曲相位隨空間位置改變,光束自身會(huì)攜帶軌道角動(dòng)量,所以攜帶扭曲相位的高斯-謝爾模光束在光鑷技術(shù)中有著獨(dú)特的應(yīng)用前景[16,17]。Zhao等[17]研究了各向異性旋轉(zhuǎn)廣義多高斯-謝爾模光束經(jīng)過(guò)透鏡后的聚焦特性,發(fā)現(xiàn)通過(guò)減小光束的扭曲因子可以增大光束產(chǎn)生的輻射力和捕獲范圍,扭曲因子決定了光場(chǎng)分布的旋轉(zhuǎn)方向,由于軌道角動(dòng)量的存在,光束能夠旋轉(zhuǎn)被捕獲的粒子。近年來(lái)已有不少學(xué)者對(duì)厄米-高斯光束的傳輸特性和捕獲特性進(jìn)行了研究[18-21],最近,Lin等[22]從理論上提出了扭曲厄米-高斯-謝爾模(THGSM)光束,詳細(xì)研究了其在湍流中的傳輸特性,發(fā)現(xiàn)THGSM光束的光場(chǎng)分布在傳輸過(guò)程中逐漸分裂并繞著傳輸軸旋轉(zhuǎn),為了方便計(jì)算與研究,Lin提出的THGSM光束模型并不是該光束的一般形式。

由于THGSM光束自身攜帶軌道角動(dòng)量,可以應(yīng)用在光學(xué)捕獲中實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子的捕獲和旋轉(zhuǎn)。為豐富光鑷的種類(lèi),本文基于廣義惠更斯-菲涅耳原理及瑞利散射理論,推導(dǎo)了扭曲厄米-高斯-謝爾模(THGSM)光束光強(qiáng)的一般形式和輻射力的解析表達(dá)式,數(shù)值模擬了該光束經(jīng)過(guò)聚焦透鏡后對(duì)粒子的捕獲特性,此外還研究了其他光束參數(shù)和透鏡參數(shù)對(duì)輻射力的影響。通過(guò)改變合適的光學(xué)參數(shù)和透鏡參數(shù),實(shí)現(xiàn)在光強(qiáng)最小處對(duì)低折射率粒子、在光強(qiáng)最大處對(duì)高折射率粒子的穩(wěn)定捕獲,最后分析了捕獲穩(wěn)定性。

1 理論推導(dǎo)

1.1 源平面交叉譜密度的構(gòu)建

源平面上光束的統(tǒng)計(jì)特性可以用交叉譜密度函數(shù)來(lái)表征,即[23]

式中:r1、r2為源平面的兩個(gè)任意的位置矢量,E表示在該位置處的復(fù)振幅,*表示復(fù)共軛,〈〉表示系綜平均。利用源平面交叉譜密度的積分疊加形式,(1)式可改寫(xiě)為[24]

式中v≡(vx,vy)可以看作是二維的特殊頻率向量;p(v)是非負(fù)的權(quán)重函數(shù);H0(r,v)為核函數(shù),理論上可以為任意函數(shù),它的選擇決定了光束相干類(lèi)型,理論上通過(guò)選擇合適的p(v)和H0(r,v)可以產(chǎn)生不同種類(lèi)的部分相干光束。

為了產(chǎn)生矩形厄米-高斯光束,考慮權(quán)重函數(shù)為[25]

式中:m、n代表厄米多項(xiàng)式的階數(shù),α、β分別為表征光束寬度和相干寬度的正實(shí)數(shù)。

扭曲相位是一個(gè)與空間兩點(diǎn)位置關(guān)聯(lián)的函數(shù),且不能分離為獨(dú)立坐標(biāo)參量的乘積。為了產(chǎn)生扭曲相位,核函數(shù)的形式為[26]

式中σ為表征光束腰寬的一個(gè)正實(shí)數(shù),a、b為實(shí)數(shù)。

把(3)、(4)式代入(2)式中,計(jì)算得到源平面的交叉譜密度為

式中

式中w0x、w0y和δ0x、δ0y分別表示源平面在x、y方向上的光束寬度和相干長(zhǎng)度,在以上計(jì)算過(guò)程中,定義了扭曲因子

u必須滿足不等式[27]

由(6)、(7)式可以看出,通過(guò)改變實(shí)數(shù)a、b可以調(diào)整光束扭曲程度,且扭曲因子會(huì)改變?cè)雌矫娴南喔砷L(zhǎng)度與光場(chǎng)分布,這一點(diǎn)與傳統(tǒng)的扭曲高斯光束有所區(qū)別。

1.2 THGSM光束的光強(qiáng)

基于廣義惠更斯-菲涅耳原理,該場(chǎng)在任意z＞0平面中通過(guò)光學(xué)ABCD系統(tǒng)傳播的交叉譜密度函數(shù)可以表示為[28]

將(2)～(4)式代入(9)式,經(jīng)過(guò)冗長(zhǎng)的積分計(jì)算,得到

式中

本研究所利用的積分公式為[29]

THGSM光束在焦平面上的光強(qiáng)可表示為

考慮光束通過(guò)一個(gè)聚焦光學(xué)系統(tǒng),傳輸矩陣為

式中f為透鏡焦距,z為傳輸距離。

1.3 聚焦THGSM光束產(chǎn)生的輻射力

激光捕獲可以用動(dòng)量守恒的基本原理來(lái)解釋,光作用在微粒表面上會(huì)發(fā)生反射與折射,伴隨著能量和動(dòng)量的傳遞。根據(jù)動(dòng)量守恒定律,微粒會(huì)攜帶動(dòng)量,從而產(chǎn)生相應(yīng)的輻射力。輻射力分為散射力和梯度力,其中梯度力是由于光束的光強(qiáng)分布不均勻產(chǎn)生的將粒子拖向光強(qiáng)最大位置處的力;散射力是光與物質(zhì)發(fā)生散射而產(chǎn)生的與傳輸方向相同的力。當(dāng)梯度力能夠克服散射力時(shí)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子的三維捕獲。當(dāng)粒子的尺寸遠(yuǎn)小于激光波長(zhǎng)時(shí)滿足瑞利散射理論,此時(shí)可將粒子看成點(diǎn)偶極子,散射力和梯度力可以根據(jù)以下公式計(jì)算得到[30]

式中:a0為粒子半徑,ez為沿著光束傳播方向上的單位矢量,np、nm分別表示瑞利粒子和外界環(huán)境的折射率,η=np/nm表示相對(duì)折射率,c為光速。

2 數(shù)值分析

根據(jù)理論部分得到的解析表達(dá)式,數(shù)值分析聚焦THGSM光束的光強(qiáng)和作用在粒子上的輻射力。如果沒(méi)有特殊說(shuō)明,參數(shù)設(shè)定如下:選擇粒子為瑞利電介質(zhì)球,尺寸為a0=30 nm,λ=808 nm,σ=0.5 cm-2,α=1 cm2,β=2 cm2,np1=1.53(玻璃),np2=1(氣泡),nm=1.33(水),f=10 mm,光束的功率選擇為300 mW。

2.1 源平面和焦平面附近光強(qiáng)

選取不同的光束階數(shù)和扭曲因子模擬了THGSM光束在源平面光強(qiáng)的分布情況,如圖1所示。光束階數(shù)和扭曲因子對(duì)THGSM光束的光強(qiáng)分布有顯著影響,當(dāng)階數(shù)為0時(shí),光束在源平面不同方向上均為高斯分布,由于選擇參數(shù)α≠β,光束在源平面不同方向上的相干長(zhǎng)度不同;當(dāng)扭曲因子為0時(shí),光強(qiáng)在源平面不同方向上均為高斯分布,且光束在源平面不同方向上的相干長(zhǎng)度相同,滿足(6)式;隨著光束階數(shù)增大,光束逐漸分裂,如圖1(a);圖1(b)反映了光強(qiáng)隨不同扭曲因子的變化規(guī)律。當(dāng)扭曲因子增大時(shí),光強(qiáng)分布的分裂程度隨之增大;扭曲因子的正負(fù)不會(huì)改變光強(qiáng)分布。

圖1 不同光束階數(shù)和扭曲因子的THGSM光束歸一化光強(qiáng)分布圖。(a)u=0.5 cm-2;(b)m=n=2Fig.1 Contour graph of the normalized intensity distribution of THGSM beams for different beam order and twist factor.(a)u=0.5 cm-2;(b)m=n=2

為了研究光束階數(shù)和扭曲因子對(duì)聚焦后光束光強(qiáng)分布的影響,模擬了幾組不同光束階數(shù)和扭曲因子情況下焦平面附近的光強(qiáng)分布結(jié)果,如圖2所示,可以看出THGSM光束光強(qiáng)主要集中于其中兩個(gè)光斑上,在焦平面上光強(qiáng)逐漸演化為對(duì)稱(chēng)均勻的分布。由圖2(a)、(b)可知,光束的分裂程度隨著光束階數(shù)的增大而增大;圖2(b)、(c)反映了光強(qiáng)分布隨扭曲因子的變化規(guī)律,扭曲因子越大光束的分裂程度越大;由圖2(c)、(d)可以看出,沿著光傳輸?shù)姆较蚩?光束在傳播時(shí)會(huì)繞著傳輸軸旋轉(zhuǎn),扭曲因子的符號(hào)決定著光束旋轉(zhuǎn)的方向,當(dāng)扭曲因子u＞0時(shí)光束繞軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn),u＜0時(shí)光束繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

圖2 焦平面附近不同光束階數(shù)和扭曲因子的THGSM光束歸一化光強(qiáng)分布圖。(a)m=n=1,u=0.3 cm-2;(b)m=n=3,u=0.3 cm-2;(c)m=n=3,u=-0.6 cm-2;(d)m=n=3,u=-0.6 cm-2Fig.2 Contour graph of the intensity distribution of THGSM beam for different beam order and twist factor near the focal plane.(a)m=n=1,u=0.3 cm-2;(b)m=n=3,u=0.3 cm-2;(c)m=n=3,u=0.6 cm-2;(d)m=n=3,u=-0.6 cm-2

2.2 輻射力隨光束階數(shù)及扭曲因子變化規(guī)律

圖3探究了聚焦THGSM光束作用在高折射率瑞利粒子上的橫向梯度力隨光束階數(shù)和扭曲因子改變的規(guī)律,圖中力的正負(fù)代表著梯度力的方向。圖3(a)、(b)表示在y=0.2 μm處,扭曲因子u=0.5 cm-2、光束階數(shù)n=2時(shí),橫向梯度力隨階數(shù)m的改變規(guī)律,由圖可知當(dāng)m=0時(shí),在x方向上為高斯分布,此時(shí)僅能在焦點(diǎn)處捕獲一個(gè)高折射率粒子,而在y方向上為光強(qiáng)分布已經(jīng)分裂,可以在焦平面上同時(shí)捕獲兩個(gè)高折射率粒子;隨著光束階數(shù)增大,橫向梯度力與橫向捕獲穩(wěn)定范圍也不斷增大;圖3(c)、(d)表示光束階數(shù)m=n=3時(shí),在x=0.2 μm處橫向梯度力隨扭曲因子u的改變規(guī)律,從圖中可以看出,橫向梯度力和捕獲穩(wěn)定范圍隨著扭曲因子的增大而增大。

圖3 聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子上橫向梯度力隨光束階數(shù)和扭曲因子的改變規(guī)律。(a)Fgrad,x隨不同m的變化;(b)Fgrad,y隨不同m的變化;(c)Fgrad,x隨不同u的變化;(d)Fgrad,y隨不同u的變化Fig.3 Transverse gradient force of the focused THGSM beam on the high refractive index particles with different beam order and twist factor.(a)Fgrad,x with different m;(b)Fgrad,y with different m;(c)Fgrad,x with different u;(d)Fgrad,y with different u

軸向梯度力和散射力隨光束階數(shù)及扭曲因子變化的規(guī)律可由圖4得到,圖4(a)為u=0.5 cm-2、n=2時(shí),在x=y=0.2 μm處軸向梯度力隨m的改變規(guī)律,由圖可見(jiàn)梯度力隨著m的增大而增大;圖4(b)為m=n=3,在x=y=0.2 μm處軸向梯度力隨扭曲因子u的改變規(guī)律,由圖可見(jiàn)扭曲因子越大則軸向梯度力越大,但由于扭曲相位的存在,軸向梯度力的平衡點(diǎn)不在焦平面上。從圖4(c)、(d)可以看出散射力隨扭曲因子u和光束階數(shù)的增大而增大,由于沿z方向的軸向梯度力遠(yuǎn)大于散射力,所以高折射率粒子能被穩(wěn)定捕獲。

圖4 聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子上軸向梯度力和散射力隨光束階數(shù)和扭曲因子的改變規(guī)律。(a)Fgrad,z隨不同m的變化;(b)Fgrad,z隨不同u的變化;(c)Fscat,x隨不同m的變化;(d)Fscat,x隨不同u的變化Fig.4 Axial gradient force and scattering force of the focused THGSM beam on the high refractive index particles with different beam order and twist factor.(a)Fgrad,z with different m;(b)Fgrad,z with different u;(c)Fscat,x with different m;(d)Fscat,x with different u

選擇光束階數(shù)m=n=3,扭曲因子u=0.6 cm-2時(shí),聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子和低折射率粒子上的輻射力如圖5所示,圖中實(shí)線、虛線分別為作用在高、低折射率粒子上的輻射力,力的符號(hào)表示其方向。圖5(a)、(b)分別表示在焦平面上y=0.2 μm和x=0.2 μm處粒子所受到的橫向梯度力Fgrad,x和Fgrad,y,發(fā)現(xiàn)低折射率粒子能夠被穩(wěn)定捕獲在焦點(diǎn)處,而對(duì)高折射率粒子則有兩個(gè)穩(wěn)定的捕獲點(diǎn)。圖5(c)表示在x=y=0.2 μm位置處所受到的軸向梯度力,由圖可見(jiàn)高折射率粒子被穩(wěn)定捕獲在焦點(diǎn)附近,但無(wú)法捕獲低折射率粒子。圖5(d)表示焦平面上y=0.2 μm位置處粒子所受到的散射力,比較圖5(c)、(d)發(fā)現(xiàn),由于沿該方向的軸向梯度力遠(yuǎn)大于散射力,高折射率粒子能被穩(wěn)定捕獲在焦點(diǎn)附近。

圖5 聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子和低折射率粒子上的輻射力。(a)Fgrad,x;(b)Fgrad,y;(c)Fgrad,z;(d)Fscat,xFig.5 Radiation force of the focused THGSM beam acting on the particles with high refractive index and low refractive index.(a)Fgrad,x;(b)Fgrad,y;(c)Fgrad,z;(d)Fscat,x

2.3 輻射力隨透鏡焦距及其他參數(shù)變化規(guī)律

以高折射率粒子為例,分析當(dāng)光束階數(shù)m=n=3、扭曲因子u=0.6 cm-2時(shí),在y=0.2 μm位置處聚焦THGSM光束產(chǎn)生的橫向梯度力Fgrad,x隨透鏡參數(shù)和其他光束參數(shù)的變化情況,如圖6所示。從圖6(a)可以看到,Fgrad,x隨著焦距f變大而不斷減小,但捕獲穩(wěn)定范圍逐漸變大;圖6(b)分析了f=10 mm時(shí)參數(shù)σ對(duì)Fgrad,x的影響,發(fā)現(xiàn)σ越大,Fgrad,x和穩(wěn)定捕獲范圍越小;圖6(c)反映了參數(shù)α、β對(duì)橫向梯度力的影響,以α=0.5β為例,當(dāng)α增大時(shí),Fgrad,x和穩(wěn)定捕獲范圍均增大。以上分析表明,選擇合適的透鏡焦距和光束參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子的穩(wěn)定、大范圍的捕獲。

圖6 聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子上橫向梯度力隨焦距f和參數(shù)σ、α、β的變化規(guī)律。(a)Fgrad,x隨不同f的變化;(b)Fgrad,x隨不同σ的變化;(c)Fgrad,x隨不同α=0.5β的變化Fig.6 Transverse gradient force of the focused THGSM beam on the high refractive index particles with different f,σ,α,β.(a)Fgrad,x with different f;(b)Fgrad,x with different σ;(c)Fgrad,x with different α=0.5β

3 捕獲穩(wěn)定性分析

為了在瑞利近似下穩(wěn)定地捕獲粒子,必須滿足以下條件:1)軸向梯度力Fgrad,z必須大于散射力Fsact,即,R稱(chēng)為穩(wěn)定性判據(jù)。從圖4(d)可以發(fā)現(xiàn)Fsact遠(yuǎn)小于Fgrad,z,所以條件1)滿足;2)梯度力必須克服布朗力FB=(12πη0a0kBT)1/2,其中η0是水的粘度,a0是粒子的半徑,kB是玻爾茲曼常數(shù),水的粘度在溫度T=300 K時(shí)為η0=7.997×10-4Pa·s。得到布朗力的大小為FB=1.933×10-3pN,布朗力遠(yuǎn)小于梯度力;3)梯度力必須克服粒子的重力。由于瑞利粒子的重力很小,可以忽略不計(jì)[31]。因此,聚焦THGSM光束確實(shí)可以用于捕捉瑞利粒子。

4 總結(jié)與展望

從理論和數(shù)值上研究了聚焦THGSM光束對(duì)瑞利粒子的捕獲特性。結(jié)果表明,聚焦THGSM光束在傳輸過(guò)程中演化為四個(gè)光斑并繞著傳輸軸旋轉(zhuǎn);光束階數(shù)和扭曲因子對(duì)于聚焦THGSM光束作用在瑞利電介質(zhì)球上的輻射力有著顯著影響,光束的梯度力和捕獲穩(wěn)定范圍隨著光束階數(shù)和扭曲因子的增大而增大;光束在捕獲平面的不同位置處能夠穩(wěn)定地捕獲兩種不同類(lèi)型的粒子;梯度力隨著透鏡焦距f增大而不斷減小,但捕獲穩(wěn)定范圍變大。最后分析了捕獲穩(wěn)定性,通過(guò)選擇合適的光束階數(shù)和扭曲因子,能夠?qū)崿F(xiàn)在捕獲平面不同方向上同時(shí)對(duì)折射率不同的兩類(lèi)粒子的穩(wěn)定捕獲,為扭曲厄米-高斯光束在光鑷技術(shù)中的應(yīng)用提供了參考依據(jù),由于光束自身攜帶軌道角動(dòng)量,使其在焦平面附近旋轉(zhuǎn)粒子成為可能。后續(xù)研究將探究軌道角動(dòng)量的大小對(duì)粒子旋轉(zhuǎn)程度的影響。