基于四階累積量的MUSIC算法性能仿真分析

李丹寧，石和平，曹繼華，任 潔

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)電子工程學(xué)院，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)汽車與交通學(xué)院，天津 300222）

陣列測(cè)向，又被稱為空間譜估計(jì)或到達(dá)角（direction of arrival，DOA）估計(jì)[1]，DOA估計(jì)主要是根據(jù)發(fā)送無(wú)線電信號(hào)，以及通過(guò)接收入射到陣列傳感器上的相位差信息，判斷在空中某一范圍內(nèi)的各個(gè)目標(biāo)信號(hào)源，從而估計(jì)相對(duì)傳感器陣列發(fā)射天線的方位角[2]。當(dāng)前DOA估計(jì)的基礎(chǔ)理論和技術(shù)正逐步走向成熟，但需要深入研究的方向仍有不少。其中，在陣列信號(hào)處理進(jìn)程中又以Schmidt[3]所提出的多重信號(hào)分類（MUSIC）子空間類算法最具代表意義，被譽(yù)為DOA空間譜估計(jì)中的里程碑。MUSIC算法需要對(duì)接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，并且需預(yù)知噪聲的特性和信源個(gè)數(shù)，這些條件在一定程度上限制了其實(shí)際應(yīng)用。隨后，Porat等[4]提出了MUSIC-Like算法，也可稱為傳統(tǒng)的四階累積量的MUSIC算法。該方法利用四階累積量與子空間方法結(jié)合，進(jìn)行陣列信號(hào)的測(cè)向研究。Dogan等[5]推導(dǎo)出了四階累積量抑制噪聲的原理。文獻(xiàn)[6-7]的研究則放寬了對(duì)信源數(shù)目的限制，驗(yàn)證了四階累積量在實(shí)際陣列中所具備的特性。文獻(xiàn)[8-10]也表明四階累積量可以有效去除矩陣中的冗余元素。近些年來(lái)，科研人員對(duì)信號(hào)測(cè)向的研究層出不窮，同時(shí)四階累積量在DOA估計(jì)中也得到越來(lái)越多的應(yīng)用[11-17]。本文基于四階累積量在陣列信號(hào)測(cè)向處理中的應(yīng)用研究，根據(jù)文獻(xiàn)[4-6]建立陣列窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)的接收模型，介紹四階累積量的MUSIC算法[4]的基本原理，分析四階累積量矩陣的處理過(guò)程，并通過(guò)擴(kuò)展陣列孔徑[18]，使接收陣元數(shù)據(jù)得到充分利用，同時(shí)測(cè)得來(lái)波方向≥陣元數(shù)的信號(hào)。在不同的參數(shù)下，對(duì)該算法進(jìn)行仿真，分析不同參數(shù)背景下該方法的估計(jì)性能。

1 窄帶信號(hào)接收模型及算法原理

1.1 信號(hào)接收模型與MUSIC算法

假設(shè)在空間里有N個(gè)傳感器構(gòu)成的均勻等距直線陣列，存在M個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶獨(dú)立信源sl（t）（l=1，2，…，M）作用到該陣列上，該陣列的第i個(gè)接收數(shù)據(jù)的信號(hào)模型可以表示為

式中：ni（t）為第i個(gè)傳感器陣元上的高斯白噪聲，其均值為0，方差為σ2；ai（θl）則為第i個(gè)傳感器陣元對(duì)第l個(gè)入射信號(hào)的空間響應(yīng)。ai（θl）的表達(dá)式為

式中：d為該均勻直線線陣陣元之間的間距；λ為中心頻率f0的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)。

將N個(gè)傳感器陣元所接收的數(shù)據(jù)構(gòu)成一組列向量，表示成矩陣形式為

式中：X（t）=[x1（t），x2（t），…，xN（t）]T為傳感器陣元接收到的N×1維的數(shù)據(jù)矢量；S（t）=[s1（t），s2（t），…，sM（t）]T則是M×1維的入射信號(hào)矢量；N（t）=[n1（t），n2（t），…，nN（t）]T為N×1的陣元上的噪聲矢量；A=[a（θ1），a（θ1），…，a（θM）]T為N×M維來(lái)波信號(hào)所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量陣列流形矩陣。

對(duì)于零均值的陣列信號(hào)入射源，其接收陣列的信號(hào)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可表示為

式中：E為數(shù)學(xué)期望的符號(hào)；RS為陣列接收入射信號(hào)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣E[S（t）S（t）H]；I為N階的單位矩陣；H為共軛轉(zhuǎn)置操作。

傳統(tǒng)MUSIC算法[3]是對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，進(jìn)而通過(guò)空間譜估計(jì)中譜峰搜索估測(cè)入射信號(hào)的來(lái)波角度。對(duì)式（4）中陣列的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解有

式中：US為信號(hào)子空間；UN為噪聲子空間。

在實(shí)際DOA估計(jì)中是以最小化優(yōu)化搜索實(shí)現(xiàn)的，故MUSIC算法的空間譜估計(jì)公式為

1.2 四階累積量

假設(shè)接收數(shù)據(jù)X（n）為N維零均值的復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，那么該信號(hào)的四階累積量需滿足：

式中：cum為求累積量；*表示共軛符號(hào)。

顯然，四階累積量cum（k1，k2，k*3，k*4）隨著k1、k2、k3、k4的變化，共有N4個(gè)值。為了方便操作，可以將該信號(hào)的四階累積量的N4個(gè)值存入下面定義的N2×N2矩陣C4。

式中：CS為入射來(lái)波信號(hào)的四階累積量矩陣；B為陣列擴(kuò)展的陣列流形矩陣，該擴(kuò)展陣列的表達(dá)式為

式中：○×為Kronecker積。

B矩陣中的每一列可表示為

式中：列向量b（θ）為擴(kuò)展的陣列流形，由上述的Kronecker的積性質(zhì)可得；b（θ）為N2×1維矢量，相對(duì)于a（θ）而言，其維數(shù)實(shí)現(xiàn)了擴(kuò)展N倍，則便可估測(cè)窄帶信源數(shù)≥陣元數(shù)的入射信號(hào)。

1.3 四階累積量MUSIC算法

四階累積量MUSIC算法[4]是通過(guò)用四階累積量矩陣C4來(lái)替代協(xié)方差矩陣RX，對(duì)矩陣C4進(jìn)行特征分解，并結(jié)合MUSIC算法，進(jìn)行譜峰搜索即可估測(cè)出來(lái)波方向，具體步驟如下：

步驟1將陣列接收的信號(hào)數(shù)據(jù)模型式（1），按照累積量矩陣的式（7），構(gòu)造四階累積量矩陣C。

步驟2將矩陣C按式（5）進(jìn)行特征分解，找到其相對(duì)應(yīng)的特征值以及特征值所對(duì)應(yīng)的特征矢量。

步驟3由矩陣C的特征值，判斷入射信號(hào)源的數(shù)目，求出四階信號(hào)子空間和噪聲子空間。

步驟4針對(duì)所得信號(hào)參數(shù)的范圍，結(jié)合MUSIC算法按式（6）進(jìn)行譜峰搜索即可測(cè)出來(lái)波方向。

2 仿真分析

2.1 算法的比較

實(shí)驗(yàn)基于四階累積量的MUSIC算法與傳統(tǒng)MUSIC算法進(jìn)行仿真，針對(duì)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)進(jìn)一步分析了2種算法的估計(jì)性能。設(shè)置10個(gè)陣元數(shù)，選取入射到傳感器陣列的角度分別為-20°和20°，信號(hào)頻率取值分別為π/4和π/6，SNR=0 dB，陣元的間距d=0.5λ，設(shè)置的快拍數(shù)為1 024，此時(shí)的噪聲為高斯白噪聲。2種算法仿真效果對(duì)比如圖1所示。

圖1 2種算法仿真效果對(duì)比

從圖1可知，四階累積量的MUSIC算法[4]譜峰更尖銳，陣列測(cè)向的角度估計(jì)性能較好。相比較于MUSIC算法[3]，由于高斯噪聲三階及以上的累積量恒為0，故能夠更好地改善MUSIC算法的性能。

2.2 多信源數(shù)對(duì)四階累積量MUSIC的影響

仿真實(shí)驗(yàn)取陣元數(shù)為4，信號(hào)源為6個(gè)獨(dú)立不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)。來(lái)波方向分別在-60°和60°之間均勻分布，信號(hào)頻率為π/6，信噪比均為0，傳感器陣元之間的間距取0.5λ，實(shí)驗(yàn)快拍數(shù)為1 024，信號(hào)為高斯白噪聲。多信號(hào)源的DOA估計(jì)如圖2所示。

從圖2可知，此實(shí)驗(yàn)中的陣元數(shù)目小于信源數(shù)，在該仿真實(shí)驗(yàn)下，四階累積量MUSIC算法在多輸入信源條件下依然能很好地分辨出信號(hào)的波達(dá)方向。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法沒(méi)有陣列孔徑的損失，并且通過(guò)陣列孔徑的擴(kuò)展，放寬了對(duì)信源數(shù)目的要求。

圖2 多信源的DOA估計(jì)

2.3 不同陣元間距對(duì)四階累積量MUSIC的影響

仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)置選取10個(gè)陣元，陣元間距分別為0.1λ、0.5λ、0.8λ。來(lái)波角度分別是-20°和20°的獨(dú)立不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，信號(hào)的頻率分別選取為π/4和π/6，SNR=10 dB，仿真實(shí)驗(yàn)的快拍數(shù)為512，噪聲為高斯白噪聲。不同陣元間距的DOA估計(jì)如圖3所示。

圖3 不同陣元間距的DOA估計(jì)

從圖3可知，當(dāng)傳感器陣元間距為0.5λ時(shí)，該算法的波達(dá)方向估計(jì)性能相對(duì)最好。當(dāng)陣元間距為0.1 λ時(shí)，該算法可以估計(jì)出來(lái)波角度，但其旁瓣部分較大，性能較之陣元間距為0.5λ有所下降。當(dāng)陣元間距為0.8λ時(shí)，空間譜出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，但是旁瓣部分的譜峰較之陣元間距為0.1λ時(shí)明顯得到抑制，更好地突出了其有效抑制高斯噪聲的特性。因此，在實(shí)際空間測(cè)向中，選取合適的陣元間距可以使算法更好地估計(jì)入射角度。

2.4 快拍數(shù)對(duì)算法精度的影響

仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)置6個(gè)陣元，傳感器陣元之間的間距取0.5λ。來(lái)波角度分別為-20°和20°的獨(dú)立不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，信號(hào)的頻率分別為π/4和π/6，SNR=10 dB，仿真實(shí)驗(yàn)的快拍數(shù)分別為10、100、1 000，噪聲為高斯白噪聲。另外，根據(jù)選取的快拍數(shù)10～1 000，對(duì)每次信號(hào)角度的估計(jì)值進(jìn)行500次蒙特卡羅仿真，DOA估計(jì)精度如圖4所示，歸一化成功概率隨快拍數(shù)變化情況如圖5所示。

圖4 不同快拍數(shù)的DOA估計(jì)

圖5 歸一化成功概率隨快拍數(shù)變化情況

從圖4可知，當(dāng)快拍數(shù)=1 000時(shí)，本文分析的四階累積量MUSIC算法估計(jì)性能較好?？炫臄?shù)=10時(shí)，其譜峰不是特別尖銳。從圖5可知，當(dāng)快拍數(shù)為100時(shí)，歸一化成功概率出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，在快拍數(shù)＞100后，隨著快拍數(shù)目越來(lái)越多，該算法的歸一化概率趨于穩(wěn)定，達(dá)到估計(jì)的理論值，但其計(jì)算量也隨之增加，因此需要在實(shí)際的估計(jì)中選擇合適的快拍數(shù)。

2.5 信噪比對(duì)算法精度的影響

仿真實(shí)驗(yàn)取陣元數(shù)為6，陣元間距為0.5λ。來(lái)波角度分別為-20°和20°的獨(dú)立不相關(guān)的窄帶信號(hào)，信號(hào)的頻率分別設(shè)置為π/4和π/6，SNR分別為-5 dB、10 dB、25 dB，快拍數(shù)為512，噪聲為高斯白噪聲。另外，信噪比設(shè)置為5個(gè)間隔單位，選取范圍為-5～25，并對(duì)每次選取的估計(jì)值進(jìn)行500次蒙特卡羅仿真，DOA估計(jì)精度如圖6所示，歸一化成功概率隨信噪比變化情況如圖7所示。

圖6 不同信噪比的DOA估計(jì)

圖7 歸一化成功概率隨信噪比變化情況

從圖6和圖7可知，該算法在低信噪比SNR=-5 dB時(shí)，依然可以分辨出來(lái)波方向。而當(dāng)信噪比≥0時(shí)，歸一化成功概率趨于理論估計(jì)值。隨著信噪比取值的增加，本文介紹的四階累積量結(jié)合MUSIC算法的陣列估計(jì)性能越來(lái)越好，并且譜峰搜索效果也很尖銳，這說(shuō)明該算法DOA估計(jì)的角分辨率效果越好。但是，當(dāng)信噪比達(dá)到一定值時(shí)，其估計(jì)性能會(huì)達(dá)到該算法的理論估計(jì)值。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文介紹了一種結(jié)合四階累積量的DOA估計(jì)技術(shù)，即四階累積量MUSIC算法。該算法充分利用了擴(kuò)展的陣列孔徑，有效地估計(jì)出多于陣元個(gè)數(shù)的入射信號(hào)源。通過(guò)對(duì)比MUSIC算法的估計(jì)性能，說(shuō)明該算法可以更好地估計(jì)來(lái)波角度，提高了陣列處理方法的分辨效率。此外，本文在不同陣元間距、快拍數(shù)和信噪比條件下，對(duì)算法的估計(jì)性能進(jìn)行了仿真分析。研究結(jié)果表明，在實(shí)際陣列設(shè)計(jì)中，為降低運(yùn)算的復(fù)雜度，應(yīng)選取合適的參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)更高的DOA估計(jì)的空間分辨率。