變系數(shù)時(shí)滯脈沖方程周期解的指數(shù)穩(wěn)定性研究

雷 婷， 朱 雙

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 610031)

0 前 言

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，因其能夠描述各種真實(shí)的系統(tǒng)而受到了大量學(xué)者研究，從Gohe和Grossberg提出Gohe-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)以來，穩(wěn)定性一直是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的重要問題，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常用微分方程進(jìn)行建模，而Halanay不等式是研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要不等式。

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是多樣性的，研究其穩(wěn)定性或者同步性時(shí)，采用的不等式存在差異。傳統(tǒng)的Halanay不等式已不能滿足需求，許多學(xué)者對(duì)Halanay不等式及其廣義形式[1-5]進(jìn)行了研究，得到了許多有用的結(jié)論[6-9]。

則存在γ>0，K>0使得

f(t)≤Ke-γ(t-t0)，t≥t0

傳統(tǒng)的Halanay不等式系數(shù)為常數(shù)，要求衰減因子必須時(shí)刻大于增長(zhǎng)因子，Liu Bo在文獻(xiàn)[4]將其系數(shù)推廣為變量

D+表示Dini導(dǎo)數(shù)，a(t),b(t)是一般標(biāo)量函數(shù)，當(dāng)τ較小時(shí)，可以從時(shí)間平均函數(shù)條件導(dǎo)出其解漸進(jìn)穩(wěn)定性，不用時(shí)刻滿足衰減因子大于增長(zhǎng)因子。

Lin Yusen在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上加入脈沖因素[10]

得到的不等式可以用于不連續(xù)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。上述工作最后的結(jié)論均與時(shí)滯的取值大小有關(guān)系。

由于信息傳播時(shí)存在多種路徑，沿著這些傳播路徑會(huì)產(chǎn)生不同的現(xiàn)象，時(shí)滯不能用瞬時(shí)或者離散來描述，因此出現(xiàn)了一種更為合適的時(shí)滯類型——連續(xù)的分布時(shí)滯[11]。同時(shí)，在物理，電子學(xué)，信息科學(xué)等領(lǐng)域中，信息的傳遞會(huì)在某一時(shí)刻由于環(huán)境或者其他因素突然發(fā)生變化，導(dǎo)致系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化，產(chǎn)生脈沖效應(yīng)[12]。文章均沒有研究不等式同時(shí)含有變系數(shù)，脈沖以及分布時(shí)滯型的情形，故將Halanay不等式的時(shí)滯推廣為分布時(shí)滯，常系數(shù)推廣為變系數(shù)，并加入脈沖因素，研究了脈沖分布時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性問題。

考慮如下脈沖分布時(shí)滯微分不等式形式

利用常數(shù)變異法對(duì)不等式進(jìn)行證明，證明不等式的關(guān)鍵在于確定適當(dāng)?shù)闹笖?shù)。由于影響因素包含分布時(shí)滯，脈沖，變系數(shù)，不便使用傳統(tǒng)的反證法，故文章將指數(shù)的取值和系數(shù)周期性結(jié)合起來。分布時(shí)滯，脈沖，變系數(shù)滿足下文假設(shè)A(1)，得到的指數(shù)和時(shí)滯脈沖，變系數(shù)均有關(guān)系。不分別考慮每一個(gè)因素的影響，而是考慮整體的影響。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是多樣性的，研究其穩(wěn)定性或同步性時(shí)，采用的方式存在差異。文獻(xiàn)[14]利用微分積分型不等式證明了時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[15]利用含有離散時(shí)滯和脈沖類型的不等式證明了轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，均利用不等式證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。使用新建立的含有分布時(shí)滯和脈沖的變系數(shù)廣義Halanay不等式證明脈沖時(shí)滯方程的指數(shù)穩(wěn)定性，利用廣義Halanay不等式和Banach不動(dòng)點(diǎn)理論，建立簡(jiǎn)單的Lyapunov函數(shù)，得到了使脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)周期解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

1 預(yù)備知識(shí)

在這一節(jié)中，為了證明廣義的Halanay不等式，給出表示方法。

C(X,Y)表示從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的連續(xù)映射。PC(J,H)={ψ(t):J→H}，ψ(t)在可數(shù)個(gè)點(diǎn)(s∈J)外是連續(xù)的，s∈J時(shí)左右極限存在且相等。J?R是間隔的集合，H是一個(gè)完備的度量空間。特別的，PC?PC([-τ,0],Rn])。

考慮下列含有脈沖和分布時(shí)滯的微分不等式

x(t)≥0在t≥t0是連續(xù)函數(shù)，φ∈PC,α(t),β(t)≥0 是周期為T的周期函數(shù)，對(duì)于任意的k∈N，存在q使得tk+q=tk+T，pk+q=pk，pk是正常數(shù)。

2 主要結(jié)果

給出下列假設(shè)

接下來，提出引理1并對(duì)引理1進(jìn)行證明。

引理1 對(duì)于任意0<ε<1，x(t)是下列微分方程的一個(gè)解

(1)

x(t)≤K1([φ]τ+ε)eλ(t-t0)+εG1

證明采用常數(shù)變異法，當(dāng)t>t*≥t0時(shí)

x(t)=W1(t,t*)x(t*)+

因?yàn)閤(t)≥0,β(t)≥0,t≥t0

當(dāng)t>t*≥t0時(shí)，x(t)≥W1(t*,t)x(t*)

當(dāng)t≥t0+τ時(shí)，x(t)≥W1(t-τ,t)x(t-τ)

則x(t)≤W1-1(t-τ,t)x(t-τ)

從式(1)可知

利用Grownwall不等式，當(dāng)t≥t0+τ

(2)

其中

由式(2)可知

結(jié)合式(2)當(dāng)t≥t0+τ

x(t)≤MW2(t0,t)([φ]τ+ε)+

(3)

其中

τ)(β(s)+1)ds

對(duì)于t∈[t0+nT,t0+(n+1)T],n=0,1,2,…

由式(3)結(jié)合式A(1)可得：

x(t)≤M([φ]τ+ε)[W2(t0,t0+T)]nW2(t0+nT,t)+

x(t)≤M([φ]τ+ε)enλTW2(t0,t-nT)+

M([φ]τ+ε)enλTeλ(t-t0-nT)e-λTW2(t0,t-nT)+

(4)

當(dāng)t∈[t0+τ+nT,t0+τ+(n+1)T],n=0,1,2,… 時(shí)

(ηn-1+ηn-2+…+η+2)(B+1)2θT:=G1<∞

(5)

當(dāng)t≥t0+τ時(shí)

x(t)≤K([φ]τ+ε)eλ(t-t0)+εG1

表明存在正數(shù)K1,G1，獨(dú)立于ε，當(dāng)t≥t0

x(t)≤K1([φ]τ+ε)eλ(t-t0)+εG1

證畢。

u(t),v(t)∈PC[[-τ,∞],]滿足

且

則

u(t)≤v(t),t0-τ≤t≤t0

即

u(t)≤v(t),t≥t0。

x(t)≤K([φ]τ+ε)eλ(t-t0)

x(t)≤K1([φ]τ+ε)eλ(t-t0)+εG1

當(dāng)ε→0時(shí)

x(t)≤K([φ]τ+ε)eλ(t-t0)

則結(jié)論成立。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的指數(shù)穩(wěn)定性

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)范疇，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以描述各種真實(shí)的系統(tǒng)，如生態(tài)系統(tǒng)，互聯(lián)網(wǎng)，生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)，生物分子網(wǎng)絡(luò)等[16-18]，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性是研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要問題，因此大量學(xué)者研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[19-20]，常用的方法分為兩大類：構(gòu)造Lyapunov泛函法(Lyapunov直接法,Lyapunov-krasovskii方法, Lyapunov-Razumikhin方法)、矩陣及不等式法(Laselle不變集、線性矩陣不等式、微分不等式、積分不等式)。文章采用的是不等式法，避免了構(gòu)造復(fù)雜的Lyapunov函數(shù)，只需構(gòu)造簡(jiǎn)單Lyapunov函數(shù)即可。研究以下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期解的指數(shù)穩(wěn)定性問題：

(6)

φ(t)=[φ1(s),…,φn(s)]T∈PC。

通過(t0,φ)的解為y(t,t0,φ)或yt(t0,φ)，其中

yt(t0,φ)=y(t+s,t0,φ),-τ≤s≤0,t≥t0。易知，系統(tǒng)式(6)有唯一解y(t,t0,φ)。則系統(tǒng)式(6)可以被稱為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。下面考慮這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期解的存在惟一性，在此之前給出下列引理。

引理3 式(1)有周期解當(dāng)且僅當(dāng)存在φ∈PC滿足

yt+T(t0,φ)=φ

定理2假設(shè)存在非負(fù)常數(shù)Fj,Gj,j=1,…,n使得

|fj(x)-fj(y)|≤Fj|x-y|

|gj(x)-gj(y)|≤Gj|x-y|,?x,y∈R

η(t),ξ(t)滿足

則式(6)有惟一全局穩(wěn)定周期解。

證明令φ，φ∈PC，x(t),y(t)是上述系統(tǒng)通過初值(t0,φ)和(t0,φ)的解，則有

當(dāng)t=tk時(shí)

由引理1、引理2和定理1可得

u(t)≤Keλ(t-t0)，t≥t0，λ<0

定義算子F：PCt0→PCt0+T有Fφ=yt0+T,φ∈PCt0

由周期性可知PCt0=PCt0+T，即F將PCt0映射到自身。進(jìn)一步可知，式(6)的存在惟一解

F*φ=xt0+kT(t,φ)，k∈

由于u(t)≤Keλ(t-t0)，t≥t0則

||Fmφ-Fmφ||=||yt0+mT(t0,φ)-xt0+mT(t0,φ)||

其中，m∈N,0

結(jié)合引理3可得式(6)的一個(gè)全局指數(shù)穩(wěn)定周期解x(t,t0,φ*)，證畢。

4 結(jié)束語

建立了一個(gè)新的具有脈沖和分布時(shí)滯的變系數(shù)廣義Halanay不等式，分析了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)式(1)的穩(wěn)定性，由分析結(jié)果可知式(1)的周期解指數(shù)穩(wěn)定。分布時(shí)滯在應(yīng)用中十分廣泛，例如生態(tài)系統(tǒng)中捕食者和被捕食者的關(guān)系不僅跟過去某一時(shí)刻有關(guān)系，而且跟過去某一段時(shí)間有關(guān)系，分布時(shí)滯可以很好描述這一現(xiàn)象。此外，將常系數(shù)改為變系數(shù)克服了系數(shù)為常量時(shí)衰減因子必須時(shí)刻大于增長(zhǎng)因子的弊端。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可以描述各種真實(shí)的系統(tǒng)。例如：生態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，互聯(lián)網(wǎng)，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)等等。而系統(tǒng)的穩(wěn)定性關(guān)系到一個(gè)系統(tǒng)性能的好壞，建立廣義Halanay不等式可以用于各種系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。各類廣義Halanay不等式最后的結(jié)論都依賴于時(shí)滯，若能證明Halanay不等式最后的結(jié)論不依賴于時(shí)滯，則將是一個(gè)更優(yōu)的結(jié)論。