焊接金屬波紋管力學(xué)特性非線性仿真研究

王子涵，馬詠梅，蔡 勇，束 振，陳趙勤，王 捷，熊銀剛

（1.四川大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610065；2.中密控股股份有限公司，四川 成都 610045）

焊接金屬波紋管是一種具有橫向波紋的彈性補(bǔ)償元件，在石油化工、航空航天及冶金等領(lǐng)域有廣泛運(yùn)用，其力學(xué)性能直接決定機(jī)械密封的穩(wěn)定性和允許使用環(huán)境。工作狀態(tài)下焊接金屬波紋管的波片會產(chǎn)生撓曲變形[1]，這在力學(xué)上屬于非線性問題。目前已有學(xué)者針對焊接金屬波紋管進(jìn)行了非線性過程研究，內(nèi)容涉及應(yīng)力、變形及穩(wěn)定性等。任寧等[2]進(jìn)行了Ω型波紋管的非線性有限元分析，得到其應(yīng)力分布特點(diǎn)。韓明君等[3]用非線性大撓度彎曲理論對單圓弧膜片的非線性大變形進(jìn)行了分析，得到了膜片撓度隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律。周毅錦等[4]通過試驗(yàn)和有限元分析證明了非線性特性對于波紋管應(yīng)力應(yīng)變特性的影響。郎振華[5]借助有限元分析研究了S型波紋管的應(yīng)力特點(diǎn)，并探討了設(shè)計(jì)參數(shù)對彎曲性能的影響。Takuo Nagamachi等[6]研究了焊接金屬波紋管的應(yīng)力、應(yīng)變和疲勞失效問題，并結(jié)合試驗(yàn)及仿真得到了其在適用過程中的變化規(guī)律。

波紋管的設(shè)計(jì)和研究常用有限元軟件進(jìn)行力學(xué)特性分析。有限元軟件分析有線性和非線性兩種方式，其中非線性分析的計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確，但計(jì)算時間長；線性分析能夠節(jié)省時間，但計(jì)算結(jié)果存在一定偏差。文中主要研究在不同工況下，使用有限元軟件對焊接金屬波紋管的應(yīng)力、應(yīng)變和疲勞壽命進(jìn)行有限元分析時應(yīng)如何合理選擇線性分析或非線性分析方法，以同時滿足計(jì)算時間和結(jié)果準(zhǔn)確性的要求。

1 波紋管計(jì)算中的非線性問題

1.1 材料非線性理論及模型

材料非線性是指材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為非線性[7]，主要是彈性、塑性和黏性三者的組合。彈性材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線始終為一條直線，加載和卸載的曲線全部重合。超彈性材料的加載與卸載的曲線同樣全部重合，但不為一條直線。本文研究焊接金屬波紋管所用材料為Inconel-718，為典型的塑性金屬材料，塑性材料主要服從屈服準(zhǔn)則和硬化準(zhǔn)則[8-9]。

1.1.1 屈服準(zhǔn)則

一定變形條件下，材料中質(zhì)點(diǎn)各個方向分力滿足一定關(guān)系時，其進(jìn)入塑性狀態(tài)，此關(guān)系為屈服準(zhǔn)則[10]。Tresca屈服準(zhǔn)則與Mises屈服準(zhǔn)則是兩種運(yùn)用最廣泛的屈服準(zhǔn)則[11]。其中，Mises屈服準(zhǔn)則在金屬材料塑性研究中更為常用。

一定變形條件下，金屬材料質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力偏張量的第二不變量達(dá)到特定值時，進(jìn)入塑性狀態(tài)，若用主應(yīng)力表示Mises準(zhǔn)則，可寫為：

式中,σ1、σ2、σ3分別為 x、y、z方向的主應(yīng)力,σs為材料的屈服極限,MPa。

1.1.2 硬化準(zhǔn)則

硬化準(zhǔn)則是指材料達(dá)到塑性狀態(tài)后，屈服條件不變，重新進(jìn)入塑性狀態(tài)所需的應(yīng)力提高，即屈服極限提高。硬化準(zhǔn)則包含的塑性材料單向拉伸過程的應(yīng)力-應(yīng)變特征曲線見圖1。圖1中，σ為應(yīng)力，σp為比例極限，σ*為后繼屈服應(yīng)力點(diǎn),σb為強(qiáng)度極限，ε為應(yīng)變，εp為永久塑性變形，εe為彈性變形，E為軌跡。

圖1 塑性材料拉伸過程應(yīng)力-應(yīng)變特征曲線

σ≤σp時，材料處于線彈性區(qū)，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系近似為線性。σs＜σ＜σ*時，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系仍近似為線性，但斜率發(fā)生改變。卸載后，材料將保留永久塑性變形εp。σ≥σ*時，完全卸載，E 為直線，εe=0，εp≠0， 其中 σb為材料應(yīng)力水平能達(dá)到的最大值。重新加載后，當(dāng)σ=σ*時開始屈服，此時材料的屈服極限提高，這種變化即為冷作硬化效應(yīng)。

1.1.3 非線性材料模型

材料硬化后，遵循的屈服準(zhǔn)則會發(fā)生改變[12]。在變形過程中，每一瞬時都會出現(xiàn)一個后繼屈服點(diǎn)，后繼屈服點(diǎn)的變化規(guī)律十分復(fù)雜，與材料的硬化規(guī)律有關(guān)。

目前，有5種硬化規(guī)律受到廣泛運(yùn)用，相應(yīng)形成5種模型，包括各向同性強(qiáng)化模型、隨動強(qiáng)化模型、線性強(qiáng)化模型、冪指數(shù)強(qiáng)化模型以及理想塑性模型[13]。根據(jù)硬化準(zhǔn)則，有限元軟件中提供如下4種典型的非線性材料模型。

（1）雙線性隨動強(qiáng)化 材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為2條曲線，即彈性斜率和塑性斜率[14]，雙線性隨動強(qiáng)化模型使用包含鮑辛格效應(yīng)的隨動強(qiáng)化的Von-Mises屈服準(zhǔn)則，適用于大部分各向同性金屬材料的小應(yīng)變問題。此模塊需要輸入的數(shù)據(jù)為屈服應(yīng)力及切向斜率，最多可定義6條不同溫度下的曲線。

（2）雙線性等向強(qiáng)化 同樣使用2條應(yīng)力-應(yīng)變曲線，使用等向強(qiáng)化的Von-Mises屈服準(zhǔn)則，適用于初始各向同性材料的大變形問題。

（3）多線性隨動強(qiáng)化 當(dāng)2條應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線不能滿足要求時，該選項(xiàng)可以使用多條曲線表示應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，模擬隨動強(qiáng)化效應(yīng)。

（4）多線性等向強(qiáng)化 使用多條曲線表示材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，模擬等向強(qiáng)化效應(yīng)。該模型中至多可以規(guī)定20個不同溫度、100條應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。

1.2 幾何非線性理論及求解

1.2.1 理論基礎(chǔ)

波紋管屬于薄壁殼體結(jié)構(gòu)，通常工況下的壓縮位移遠(yuǎn)大于壁厚，是典型的大位移小應(yīng)變情況，必須要考慮幾何非線性問題。幾何非線性是指，研究對象的位移變形太大時，根據(jù)未變形結(jié)構(gòu)所列的平衡方程將不再適用，需以大變形后的結(jié)構(gòu)重新列平衡方程求解計(jì)算。幾何非線性一般包括3種情況，①大位移小應(yīng)變情況。②大位移大應(yīng)變情況。③大轉(zhuǎn)角情況。與這3種情況對應(yīng)有3種現(xiàn)象，①單元形狀改變。②單元方向改變。③法向剛度改變。

現(xiàn)階段，幾何非線性問題均以能量平衡理論[15]為基礎(chǔ)。用圖2表示物體在不同時刻的變形狀態(tài)，利用虛功原理[16]來表示tn+Δt時刻的平衡狀態(tài)。假設(shè)已知物體在 t0，t1，t2， ……，tn，tn+1時刻的變形狀態(tài)，求物體在tn+Δt時刻的變形狀態(tài)。

圖2 不同時刻物體的變形狀態(tài)

圖2中0A，1A，2A，……nA，n+1A表示物體A在時刻 t0，t1，t2，……tn，tn+1，時的變形狀態(tài)。0P，1P，2P，……，nP,n+1P表示物體上的某一質(zhì)點(diǎn)P在時刻t0，t1，t2，……，tn，tn+1時的變形狀態(tài)。

假設(shè)載荷F與變形無關(guān)，位移為δ，利用虛功原理，可推導(dǎo)出增量形式的拉格朗日方程：

式（2）～式（3）中，[KT]為切向剛度矩陣，[K0]為彈性剛度矩陣，[Kδ]為初應(yīng)力剛度矩陣，[K1]為初位移剛度矩陣[17]，[Kg]為初載荷剛度矩陣。[K0]用于表征物體常規(guī)的剛度，[Kδ]用于表征初應(yīng)力導(dǎo)致的剛度變化，[K1]用于表征大位移引起的剛度變化，[Kg]用于表征載荷隨物體形狀變化而引起的剛度變化。

1.2.2 軟件求解方法

針對大變形問題，有限元分析軟件中的大變形（Large Deflection）選項(xiàng)考慮了單元位移和變形產(chǎn)生的剛度變化。在大變形非線性計(jì)算中，剛度矩陣會在每次迭代計(jì)算結(jié)束時自動更新，用于下一次的迭代計(jì)算，使得計(jì)算更加精確。有限元分析軟件在求解非線性剛度問題時，通常使用的Newton-Raphson Method方法基本原理示意圖見圖3。

圖3 Newton-Raphson Method方法原理圖

圖3中，對總載荷Fa第一次迭代得到x1，通過位移計(jì)算得內(nèi)力F1，若 Fa≠F1，則系統(tǒng)不平衡，從而建立新剛度矩陣（斜直線斜率）進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)過反復(fù)迭代，使得殘差（Fa-F1）足夠小，則認(rèn)為系統(tǒng)收斂，求解結(jié)束。

應(yīng)用Newton-Raphson Method方法進(jìn)行迭代計(jì)算并不能保證一定收斂，如圖4～圖6所示，ustart為起始位置，u為目標(biāo)位置，虛線圓圈表示收斂半徑的范圍，只有起始位置在收斂半徑內(nèi)的迭代計(jì)算（圖4）才能收斂，起始位置在收斂半徑外的迭代計(jì)算（圖5）將發(fā)散。在實(shí)際計(jì)算中，通常會綜合考慮逐步加載將目標(biāo)移動至接近起始點(diǎn) （圖6a）和擴(kuò)大收斂半徑（圖6b）使計(jì)算收斂。

圖4 起始位置位于收斂半徑內(nèi)

圖5 起始位置位于收斂半徑外

圖6 使計(jì)算收斂的方法

2 焊接金屬波紋管力學(xué)特性有限元分析

2.1 對象參數(shù)

本文研究的95單層S型焊接金屬波紋管波形見圖7。波紋管內(nèi)徑97.5 mm，外徑114.3 mm，材料為Inconel-718，波數(shù)9，自由高度為16.47 mm。 建立波紋管三維建模，再導(dǎo)入有限元軟件進(jìn)行靜力學(xué)分析。波紋管材料Inconel-718經(jīng)過時效處理，是一種含Nb、Mu元素的沉淀強(qiáng)化鎳基高溫合金[8]，在650℃以下時具有較高的屈服強(qiáng)度，良好的抗疲勞、抗氧化、耐腐蝕及加工、焊接特性。軟件材料庫中自帶該材料，其密度為 8 240 kg/m3、彈性模量為 2×1011、泊松比為0.3（常溫20℃條件下）。

圖7 95單層波紋管波形示圖

2.2 有限元分析

在不同壓縮量和介質(zhì)壓力下，對焊接金屬波紋管的應(yīng)力、應(yīng)變及疲勞壽命分別進(jìn)行線性和非線性分析，對比二者結(jié)果。若線性分析的計(jì)算結(jié)果相對于非線性分析結(jié)果誤差小于給定值，則認(rèn)為在此工況下可采用線性分析計(jì)算；若誤差大于給定值，則認(rèn)為需采用非線性分析計(jì)算。

2.2.1 材料及邊界條件

研究波紋管的疲勞壽命需先設(shè)置材料的交替循環(huán)應(yīng)力。不同循環(huán)次數(shù)下交替循環(huán)應(yīng)力設(shè)置見圖8。

圖8 不同循環(huán)次數(shù)下材料的交替循環(huán)應(yīng)力

本文研究焊接金屬波紋管作為密封系統(tǒng)的彈性元件，兩端分別與動環(huán)、靜環(huán)連接，并受到一定壓縮量的預(yù)緊力作用，波紋管約束設(shè)置為一端固定，另一端添加豎直方向的位移約束。實(shí)際工作中，波紋管整體浸于帶有壓力的密封油中，波紋管外壁將受到介質(zhì)壓力的作用，因此在整個波紋管外壁添加pressure（壓力荷載），模擬介質(zhì)壓力的作用。

2.2.2 壓縮量對仿真結(jié)果的影響

設(shè)置外壓為0.1 MPa，從1～6 mm改變壓縮量，關(guān)閉大變形選項(xiàng)進(jìn)行線性分析，開啟大變形選項(xiàng)進(jìn)行非線性分析，求解結(jié)果見表1和表2。

表1 壓縮量對95單波紋管力學(xué)性能影響線性分析

表2 壓縮量對95單波紋管力學(xué)性能影響非線性分析

由表1和表2可以看出，無論是在線性分析或非線性分析下，波紋管的最大工作應(yīng)力和應(yīng)變均隨壓縮量的增大而增大，疲勞壽命隨壓縮量增大而減小。但非線性分析的應(yīng)力和應(yīng)變計(jì)算值比線性分析的大，相應(yīng)的疲勞壽命值比線性分析的小，且三者隨壓縮量增大而增大（減?。┑乃俣却笥诰€性分析值。

2.2.3 介質(zhì)壓力對仿真結(jié)果的影響

設(shè)置焊接金屬波紋管的壓縮量為1 mm，改變介質(zhì)壓力的大小。在實(shí)際工程中，企業(yè)使用環(huán)境介質(zhì)壓力均低于2 MPa，且每次試驗(yàn)壓力調(diào)整幅度為0.2 MPa，故將仿真介質(zhì)壓力范圍設(shè)置為0.1～0.9 MPa，壓力調(diào)節(jié)間隔設(shè)置為0.2 MPa。在求解設(shè)置中關(guān)閉大變形選項(xiàng)進(jìn)行線性分析，然后開啟大變形選項(xiàng)進(jìn)行非線性分析，求解結(jié)果見表3和表4。

表3 介質(zhì)壓力對95單波紋管力學(xué)性能影響線性分析

表4 介質(zhì)壓力對95單波紋管力學(xué)性能影響非線性分析

由表3和表4可以看出，隨著介質(zhì)壓力的增大，波紋管承受的最大應(yīng)力和最大應(yīng)變也逐漸增大，疲勞壽命逐漸減小。非線性分析下應(yīng)力和應(yīng)變的計(jì)算值大于線性分析值，疲勞壽命小于線性分析值，三者隨介質(zhì)壓力增大而增大（減?。┑乃俣却笥诰€性分析值。

2.2.4 線性與非線性計(jì)算的選擇

以非線性分析計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，定義最大應(yīng)力和最大應(yīng)變的相對誤差=(非線性分析值-線性分析值)/非線性分析值×100%，疲勞壽命誤差=(線性分析值-非線性分析值)/非線性分析值×100%，分別計(jì)算不同壓縮量和介質(zhì)壓力時的相對誤差，結(jié)果見表5和表6。

表5 不同壓縮量下的相對誤差

表6 不同介質(zhì)壓力下的相對誤差

由表5和表6可以看出，在進(jìn)行焊接金屬波紋管最大應(yīng)力、最大應(yīng)變及疲勞壽命的有限元計(jì)算時，相對誤差會隨著壓縮量和介質(zhì)壓力的增大而增大，尤其是計(jì)算疲勞壽命時，外載荷的增加對計(jì)算誤差的影響十分顯著，因此全部采用線性計(jì)算顯然不可取。

在實(shí)際運(yùn)用中，誤差低于5%通常認(rèn)為是可接受的。根據(jù)此標(biāo)準(zhǔn)并結(jié)合上述數(shù)據(jù)分析，可得到下述結(jié)論，①研究壓縮量對焊接金屬波紋管應(yīng)力、應(yīng)變的影響時，對于壓縮量不超過3 mm的工況可采用線性計(jì)算，壓縮量超過3 mm則應(yīng)該采用非線性分析；而研究壓縮量對疲勞壽命的影響時，壓縮量在2 mm以內(nèi)可采用線性分析，壓縮量超過2 mm采用非線性分析。②研究介質(zhì)壓力對焊接金屬波紋管應(yīng)力、應(yīng)變及疲勞壽命的影響時，介質(zhì)壓力在0.3MPa以下可采用線性分析，介質(zhì)壓力超過0.3MPa采用非線性分析。③非線性分析的應(yīng)力、應(yīng)變計(jì)算值均大于線性分析值，疲勞壽命計(jì)算值小于線性分析值，因此在研究焊接金屬波紋管某一工況下力學(xué)特性的極限情況，或探究其失效的臨界工況時，應(yīng)采用非線性分析。

3 結(jié)語

討論了焊接金屬波紋管力學(xué)特性分析中存在的材料非線性及幾何非線性問題，并在有限元軟件中對波紋管的應(yīng)力、應(yīng)變及疲勞壽命分別進(jìn)行了線性及非線性分析，根據(jù)相對誤差大小選擇在各個工況下應(yīng)該采用線性分析還是非線性分析。研究結(jié)果可為工程項(xiàng)目仿真在計(jì)算用時和計(jì)算精度之間進(jìn)行的綜合權(quán)衡提供參考。文中僅對95單型焊接金屬波紋管做了相關(guān)研究，其結(jié)論僅適用于該規(guī)格及相似規(guī)格的波紋管，是否具有普遍參考性還有待更進(jìn)一步研究。