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    基于耦合純無網(wǎng)格方法時間分?jǐn)?shù)階下孤立子波碰撞過程的數(shù)值模擬研究*

    2022-10-12 03:28:40蔣戎戎
    關(guān)鍵詞:子波二階導(dǎo)數(shù)

    李 悅,蔣戎戎,蔣 濤

    (揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

    (我刊編委趙景軍推薦)

    引 言

    非線性耦合偏微分系統(tǒng)在流體力學(xué)、固體物理等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值,其中耦合非線性Schr?dinger 系統(tǒng)(CNLS)[1-4]常用來系統(tǒng)描述兩個相互作用非線性孤立子波的碰撞過程.近年來,受分?jǐn)?shù)階算子[5-8]影響的耦合非線性Schr?dinger 系統(tǒng)受到廣泛關(guān)注,其與整數(shù)階情況下的物理現(xiàn)象截然不同,比如受分?jǐn)?shù)階影響出現(xiàn)了孤立波的塌縮現(xiàn)象[9].

    關(guān)于分?jǐn)?shù)階CNLS的數(shù)值研究,由于受非線性Schr?dinger 方程中非線性項以及分?jǐn)?shù)階的影響,很難通過解析的手段得到其理論解.因此關(guān)于分?jǐn)?shù)階的數(shù)值模擬方法[10-13]成為了重要的研究手段,其中大部分是基于網(wǎng)格類的,如有限元法[10]、有限差分法[11]、無單元Galerkin 法[12]等,這類基于網(wǎng)格的方法在處理局部加密以及非均勻分布時較為復(fù)雜,很難實現(xiàn),而無網(wǎng)格方法[13]能彌補(bǔ)上述缺點(diǎn),但對無網(wǎng)格方法的研究尤為罕見.

    基于上述分析,本文針對TF-CNLS 方程給出一種耦合純無網(wǎng)格有限點(diǎn)集法(CFPM)[14-15].該方法的基本思想是:首先,基于Caputo 分?jǐn)?shù)階高精度差分格式對時間分?jǐn)?shù)階項進(jìn)行離散;其次,基于Taylor 展開和加權(quán)最小二乘思想,并引入雙曲余弦核函數(shù)對空間項進(jìn)行離散求解,從而得到一種能夠準(zhǔn)確數(shù)值預(yù)測TF-CNLS 方程的CFPM.數(shù)值研究結(jié)果展示了本文提出的CFPM 能夠準(zhǔn)確地求解一維TF-CNLS 方程且具有近似二階收斂精度,并將其數(shù)值模擬結(jié)果與有限差分結(jié)果作對比,表明CFPM 能夠有效預(yù)測TF-CNLS 方程的孤立子波非彈性碰撞過程波的復(fù)雜傳播現(xiàn)象.

    1 時間分?jǐn)?shù)階耦合非線性Schr?dinger (TF-CNLS)方程

    耦合非線性Schr?dinger (CNLS)方程[3]常被用來模擬離散保守系統(tǒng)中兩個相互作用的非線性波包.本文考慮一維情況下時間分?jǐn)?shù)階耦合非線性Schr?dinger 方程:

    初始條件為

    邊界條件通常為周期邊界或如下邊界條件:

    其中uk(k=1,2)是兩個極振中的復(fù)值波振幅,i=是虛數(shù)單位,η是線性雙折射的歸一化強(qiáng)度,參數(shù) λ描述了群速度色散,β是跨相位調(diào)制.

    分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[16]的定義有很多種,其中Riemann-Liouville 和 Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是近年來最常用的兩種分?jǐn)?shù)階微積分方法,本文主要采用Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

    定義1設(shè) α是一個正實數(shù),令q-1<α<q,q為一個正整數(shù).函數(shù)f(t)定 義在區(qū)間 [a,b]上,其 α階Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)形式為

    其中t∈[a,b].易知

    其中算子 Γ(·)是Gamma 函數(shù),即為廣義的階乘,且允許取非整數(shù)及復(fù)數(shù)值.

    2 CFPM 離散格式

    本文針對TF-CNLS 方程的模擬研究,基于Caputo 分?jǐn)?shù)階高精度差分格式與FPM 離散格式進(jìn)行耦合,給出一種具有較高精度和穩(wěn)定性的CFPM 來模擬TF-CNLS 方程.其思想是:首先,應(yīng)用3 -α精度的Caputo 導(dǎo)數(shù)形式對時間項進(jìn)行處理;其次,采用具有較好穩(wěn)定性的雙曲余弦核函數(shù)[17]推廣應(yīng)用FPM 對空間導(dǎo)數(shù)項進(jìn)行二階顯式離散.

    2.1 基于Caputo 導(dǎo)數(shù)時間分?jǐn)?shù)階離散格式

    根據(jù)文獻(xiàn)[18-19],目前針對基于Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的差分格式常見的有:“2-α”(L1 型)和“3-α”(L1-2 型).本文采用精度較高的L1-2 型格式,并與顯式FPM 耦合求解TF-CNLS 方程.在本小節(jié)中,引入時間項誤差為O(Δt3-α)的L1-2 型格式.

    設(shè)tn=nΔt,tn+1/2=(tn+1+tn)/2,其中n=0,1,2,···,Δt是時間步長.定義差商算子:

    u(t)∈C1[0,tn](n≥0) α(0<α<1)

    假設(shè),根據(jù)定義可知,對于任意的有

    設(shè)插值函數(shù)Π1,ju(t)=由線性插值理論可知

    對于函數(shù)u(t),我們可以得到一個新的α (0<α<1)階Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值近似,形式如下:

    其中系數(shù)

    引理1[19]對于任意α (0<α<1),設(shè)

    近似格式(7)可以寫成

    其中

    系數(shù){}滿足以下性質(zhì).

    引理2[19]對于任意 α(0<α<1),式(15) 中(0≤j≤n-1,n≥3),則

    2.2 空間導(dǎo)數(shù)FPM 離散格式

    FPM 常被用來求解方程(1),直接應(yīng)用基于Taylor 展開和加權(quán)最小二乘思想[18-19]的顯式FPM 對一、二階空間導(dǎo)數(shù)項進(jìn)行離散求解.設(shè)未知函數(shù)為u(x),求解區(qū)域為? ?Rd(d=1),區(qū)域內(nèi)的任意節(jié)點(diǎn)為xi(i=1,2,···,N)(N為節(jié)點(diǎn)總數(shù)),引入加權(quán)最小二乘對函數(shù)在x處的一、二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散近似.加權(quán)最小二乘中選取雙曲余弦核函數(shù)[17],其形式如下:

    其中q=rij/h,rij=|||xi-xj|||,αd是正常數(shù),一維情況下αd=1/(6kh),h為光滑長度,此處取h≈0.95×d0(d0為初始距離),支持域范圍是以2.5h為半徑的圓.

    考慮支持域內(nèi)相鄰節(jié)點(diǎn)xi(i=1,2,···,m)在x處Taylor 展開,可得

    其中ei是Taylor 展開式的誤差余項.式(17)可化為

    其中

    dxi分別表示xi-x(i=1,2,···,m).

    通過誤差ei加權(quán)最小二乘法對未知函數(shù)u的一、二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解,可得

    J=(Ma-b)TW(Ma-b)Ww1w2···,wm

    式(19)可以寫成,其中為對角矩陣,對角線元素為,,.

    根據(jù)J的極小值原理,得到

    式(20)涉及2×2 局部系數(shù)矩陣,函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)值可通過其近似求得.

    為保證數(shù)值方法的穩(wěn)定性,本文選取的時間步長 Δt≤0.1d02(d0為節(jié)點(diǎn)初始距離)通常滿足限制性條件(見文獻(xiàn)[15,20]).

    由此可得方程(1)的CFPM 離散格式為

    注1在CFPM 離散過程中,空間層采用Taylor 展開以及加權(quán)最小二乘思想,其截斷誤差具有近似二階精度[14];時間層采用精度較高的Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)L1-2 型格式,具有3 -α階精度[15].

    3 數(shù)值收斂性分析

    本節(jié)采用帶解析解的一維二分量時間分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger 方程,對本文提出的CFPM 求解TFCNLS 方程的數(shù)值精度和收斂性進(jìn)行了分析討論.

    定義均方根誤差(ERMS)和收斂階(Cr)為

    其中ui,Ui分別為第i個節(jié)點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果和解析解,d1,d2為不同節(jié)點(diǎn)的初始間距.

    考慮區(qū)域?=[0,2π]上具有周期邊界的非齊次TF-CNLS 方程[21],對應(yīng)的方程為

    iDαt u(x,t)+iux+uxx+u+v+2(|u|2+|v|2)u=f1(x,t),

    iDαt v(x,t)-ivx+vxx+u-v+4(|u|2+|v|2)v=f2(x,t),

    初值條件為u(x,0)=0,v(x,0)=0,相應(yīng)的強(qiáng)制性項為

    對應(yīng)該方程的解析解為

    u(x,t)=t2(cos(x)+isin(x)),v(x,t)=t2(cos(x)+isin(x)).

    通過對算例的模擬,圖1和表1~3 體現(xiàn)了本文給出的CFPM 模擬TF-CNLS 方程的數(shù)值收斂速度以及靈活可靠性.圖1展示了 α=0.7,均勻分布情況下,時間步長為Δt=10-3,不同時刻下CFPM的數(shù)值模擬結(jié)果,并與解析解作對比,可以看出CFPM的數(shù)值模擬結(jié)果與解析解一致.表1和表2分別列出了不同α(α=0.9,0.7),t=1.0 時刻不同節(jié)點(diǎn)數(shù)情況下,三個不同物理量的RMS 誤差和收斂階.從表1和表2可以看出,所給的CFPM 數(shù)值模擬TF-CNLS 方程是趨于二階精度收斂的.

    圖1 α=0.7,不同時刻下Re(u),Im(u)的解析解與數(shù)值解Fig.1 The exact and numerical solutions of Re(u) and Im(u) with α=0.7 at different moments

    表1 α=0.9,t=1.0 時刻下的RMS 誤差和收斂階Table 1 The RMS errors and convergence rates with α=0.9 at t=1.0

    表2 α=0.7,t=1.0 時刻下的RMS 誤差和收斂階Table 2 The RMS errors and convergence rates with α=0.7 at t=1.0

    在[0,π/5],[9π/5,2π]處節(jié)點(diǎn)局部加密,使得該區(qū)域的空間步長為粗節(jié)點(diǎn)分布處的一半,其余區(qū)域仍采用節(jié)點(diǎn)均勻分布方式,時間步長為Δt=10-4,兩種分布方式的臨界點(diǎn)光滑長度為h≈0.5×(0.95×d1+0.95×d2).表3列出了 α=0.7時,部分時刻下均勻分布與局部加密分布情況下的RMS 誤差.由表3可知,節(jié)點(diǎn)均勻分布的誤差稍大于局部加密時的誤差.因此,給出的CFPM 易推廣到局部加密情況,具有較好的靈活推廣應(yīng)用性.

    表3 α=0.7 時,不同時刻下均勻分布與局部加密情況下的RMS 誤差Table 3 The RMS errors of uniform distribution and local refinement with α=0.7 at different moments

    4 時間分?jǐn)?shù)階下孤立波非彈性碰撞過程數(shù)值預(yù)測

    本節(jié)主要研究了兩種不同邊界條件下(周期邊界和Dirichlet 邊界),無解析解TF-CNLS 方程描述孤立子波的非彈性碰撞過程,對其進(jìn)行了數(shù)值預(yù)測,并與有限差分方法(FDM)進(jìn)行對比,以驗證數(shù)值預(yù)測的可靠性.所采用的有限差分方法具有二階精度(詳見文獻(xiàn)[22]).

    4.1 周期邊界下TF-CNLS 方程

    考慮區(qū)域?=[-40,40]上的TF-CNLS 方程[2],其對應(yīng)的方程為

    iDαt u+βuxx+[λ1|u|2+(λ1+2λ2)|v|2]u+γu+Γv=0,

    iDαt v+βvxx+[λ1|v|2+(λ1+2λ2)|u|2]v+γv+Γu=0,

    初值條件為

    其中系數(shù) β=1,λ1=1,λ2=2,γ=Γ=0,r1=r2=1,D0=20,V0=1.周期邊界條件為u(x,t)=u(x+80,t),v(x,t)=v(x+80,t).

    本小節(jié)運(yùn)用CFPM 對該算例進(jìn)行了數(shù)值預(yù)測,圖2給出了t=30時,不同α下,CFPM 和FDM的數(shù)值模擬結(jié)果.從圖2可以看出,分?jǐn)?shù)階情況下的孤立子波的峰值減小并變寬,且CFPM 與FDM的數(shù)值結(jié)果擬合.因此,給出的CFPM 能夠準(zhǔn)確模擬預(yù)測TF-CNLS 方程.

    圖2 t=30 時孤立波函數(shù)|u|的數(shù)值結(jié)果對比: (a) α=1.0;(b) α=0.9;(c) α=0.7Fig.2 Comparisons of the numerical results of isolated wave function |u| at t=30: (a) α=1.0; (b) α=0.9; (c) α=0.7

    圖3給出了CFPM的數(shù)值模擬結(jié)果,時間步長為Δt=10-6,其中圖3(a)是整數(shù)階情況下的數(shù)值結(jié)果,圖3(b)、圖3(c)分別是α=0.9,α=0.7時的CFPM 數(shù)值模擬結(jié)果.由圖3所有數(shù)值結(jié)果可以看出,時間整數(shù)階下在碰撞之后出現(xiàn)了四個孤立波,分?jǐn)?shù)階情況下的孤立子波在非彈性碰撞過程中出現(xiàn)了復(fù)雜的傳播現(xiàn)象,該現(xiàn)象與文獻(xiàn)[9]中波的塌縮現(xiàn)象類似,且與整數(shù)階現(xiàn)象截然不同.

    圖3 CFPM 對孤立波函數(shù)|u|的數(shù)值結(jié)果:(a) α=1.0;(b) α=0.9;(c) α=0.7Fig.3 Numerical results of the CFPM for isolated wave function |u|: (a) α=1.0; (b) α=0.9; (c) α=0.7

    4.2 Dirichlet 邊界下TF-CNLS 方程

    為體現(xiàn)提出的CFPM 求解帶Dirichlet 邊界TF-CNLS 方程的準(zhǔn)確性,本小節(jié)考慮區(qū)域?=[-40,40]的一維二分量TF-CNLS 方程,其對應(yīng)的方程[3]為

    初值條件為

    其中 η=0,λ=1,β=2/3,V0=1.3,D0=25,r1=r2=1.

    本小節(jié)采用提出的方法對該算例進(jìn)行了數(shù)值預(yù)測,圖4給出了不同α下,t=30時,CFPM 和FDM 對孤立波函數(shù) |u1|的數(shù)值模擬結(jié)果.從圖4可以看出,CFPM 與FDM的數(shù)值結(jié)果一致,由此表明本文的數(shù)值研究是可靠的.

    圖4 t=30 時刻下,孤立波函數(shù)|u1|的數(shù)值結(jié)果對比: (a) α=1.0;(b) α=0.9;(c) α=0.7Fig.4 Comparisons of the numerical results of isolated wave function |u1| at t=30: (a) α=1.0; (b) α=0.9; (c) α=0.7

    圖5和圖6給出了CFPM的數(shù)值模擬結(jié)果,時間步長為Δt=10-6,其中圖5是不同α 下孤立波函數(shù) |u1|的數(shù)值預(yù)測結(jié)果,圖6是不同α下孤立波函數(shù) |u2|的數(shù)值預(yù)測結(jié)果.圖5和圖6展示了整數(shù)階和時間分?jǐn)?shù)階TFCNLS 方程的孤立波傳播現(xiàn)象,可以看出兩種情況下的現(xiàn)象是顯然不同的,整數(shù)階下波在碰撞后出現(xiàn)了兩個孤立波,而時間分?jǐn)?shù)階下出現(xiàn)了波的塌縮現(xiàn)象,其現(xiàn)象相較于整數(shù)階更為復(fù)雜.

    圖5 CFPM 對孤立波函數(shù)|u1|的數(shù)值結(jié)果:(a) α=1.0;(b) α=0.9;(c) α=0.7Fig.5 Numerical results of the CFPM for isolated wave function |u1|: (a) α=1.0; (b) α=0.9; (c) α=0.7

    圖6 CFPM 對孤立波函數(shù)|u2|的數(shù)值結(jié)果:(a) α=1.0;(b) α=0.9;(c) α=0.7Fig.6 Numerical results of the CFPM for isolated wave function |u2|: (a) α=1.0; (b) α=0.9; (c) α=0.7

    由此可見,耦合非線性Schr?dinger 方程在時間分?jǐn)?shù)階下出現(xiàn)了波的塌縮現(xiàn)象,整數(shù)階下出現(xiàn)了多波現(xiàn)象,這兩種現(xiàn)象截然不同;且CFPM 模擬預(yù)測TF-CNLS 方程的現(xiàn)象與有限差分結(jié)果相吻合.因此,給出的CFPM 模擬預(yù)測TF-CNLS 方程是準(zhǔn)確的.

    5 結(jié) 論

    本文針對時間分?jǐn)?shù)階耦合非線性Schr?dinger 方程的數(shù)值預(yù)測,首次將Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一種高精度差分格式和FPM 離散格式進(jìn)行耦合,提出了一種能夠準(zhǔn)確預(yù)測TF-CNLS 方程下孤立子波非彈性碰撞過程的純無網(wǎng)格方法(CFPM).數(shù)值研究中,首先對提出的CFPM的數(shù)值收斂速度進(jìn)行了驗證和分析,并體現(xiàn)了該方法在非均勻分布情況下易實施的優(yōu)點(diǎn).然后,對受時間記憶效應(yīng)影響的孤立子波非彈性碰撞過程進(jìn)行了數(shù)值預(yù)測,并與FDM 結(jié)果作對比.通過數(shù)值模擬可知:

    1) 給出的CFPM 對一維TF-CNLS 方程的求解具有近似二階精度;

    2) 對局部加密與均勻分布兩種情況下的數(shù)值誤差進(jìn)行了討論,表明所提出的純無網(wǎng)格方法在區(qū)域離散上具有靈活推廣應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn);

    3) CFPM 預(yù)測時間分?jǐn)?shù)階下孤立子波非彈性碰撞過程出現(xiàn)的波塌縮現(xiàn)象與時間整數(shù)階下截然不同,并與FPM 結(jié)果比較,表明本文的數(shù)值預(yù)測結(jié)果是可靠的.

    因此,本文所提出的CFPM 能夠準(zhǔn)確、可靠地預(yù)測TF-CNLS 方程下孤立子波非彈性碰撞過程中的復(fù)雜傳播現(xiàn)象,也為時間記憶效應(yīng)下孤立子波非彈性碰撞過程的純無網(wǎng)格法模擬提供了依據(jù).

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