有限產(chǎn)能和庫存的生產(chǎn)批量與雙模式維護聯(lián)合優(yōu)化

郭羽含，馮 玥，劉萬軍，張 宇

(遼寧工程技術(shù)大學 軟件學院，遼寧 葫蘆島 125105)

0 引言

在制造企業(yè)的運營管理活動中，生產(chǎn)計劃與維護策略是最重要的環(huán)節(jié)。由于制造系統(tǒng)中設(shè)備隨生產(chǎn)活動的進行而逐漸劣化，其可靠性及產(chǎn)品質(zhì)量隨之降低，繼而進入“故障”狀態(tài)?！肮收稀睜顟B(tài)不僅指設(shè)備停止運行，還包括其不再滿足生產(chǎn)過程中所需的質(zhì)量、產(chǎn)量和費用要求。維護策略即為針對“故障”狀態(tài)的產(chǎn)生而組織和實施的維護計劃，分為反應維護和預防維護兩種。反應維護對已產(chǎn)生故障的設(shè)備進行修復，而預防維護則指在生產(chǎn)過程中為避免“故障”狀態(tài)產(chǎn)生而進行的維護行為。選擇合理的時機對設(shè)備進行預防維護，不但可以保證產(chǎn)品質(zhì)量、降低生產(chǎn)費用，而且可以避免因設(shè)備故障而造成的損失。

預防維護可分為周期性預防維護和非周期性預防維護兩種。前者要求每個周期每臺設(shè)備至少維護一次[1]，而后者則未限制維護時間間隔[2]。周期性維護雖然可操作性較強，但容易導致維護過?；蚓S護不足的問題;非周期性維護在費用控制和維護效果上更優(yōu)，但其維護計劃的決策則更為復雜。在實際生產(chǎn)過程中，由于生產(chǎn)和維護活動無法同時進行，無論應用何種預防維護策略，均會對生產(chǎn)與庫存控制產(chǎn)生巨大的影響。單獨對生產(chǎn)批量或維護計劃進行決策難以實現(xiàn)整體最優(yōu)。為在生產(chǎn)計劃與預防維護策略間取得平衡，VAN HORENBEEK等[3]構(gòu)建了生產(chǎn)和維護活動的聯(lián)合模型以追求利潤最大化；成國慶等[4]提出了生產(chǎn)批量、質(zhì)量控制以及預知維護聯(lián)合模型；張博文等[5]構(gòu)建了以系統(tǒng)生產(chǎn)與維護總費用最小化為目標的并行機系統(tǒng)生產(chǎn)計劃與預防維護聯(lián)合決策的模型；冷喬等[6]提出了生產(chǎn)批量計劃與設(shè)備預防維護計劃集成決策方法；李志穎等[7]以多產(chǎn)品多階段的單機系統(tǒng)為研究對象，構(gòu)建了對設(shè)備預防維護和生產(chǎn)調(diào)度聯(lián)合優(yōu)化模型；HAJEJ等[8]提出了多機批量生產(chǎn)和維護的集成模型，考慮了能源消耗，旨在減少生產(chǎn)費用、能源費用和維護費用；XIAO等[9]構(gòu)建了預防維護與生產(chǎn)調(diào)度聯(lián)合模型，對生產(chǎn)費用、預防維護費用、故障維修費用和誤工費用進行了優(yōu)化；方玲珍等[10]為提高維護資源的利用效率，提出了多目標周期性預防維護模型；趙濟威[11]為實現(xiàn)總利潤率最大化，引入了單機生產(chǎn)系統(tǒng)的非等周期不完美預防維護與生產(chǎn)的聯(lián)合優(yōu)化策略；張博文等[12]建立了以生產(chǎn)與維護總成本最小化為目標的生產(chǎn)計劃與預防維護聯(lián)合決策模型；LU等[13]構(gòu)建了具有多個加工階段的維護策略和質(zhì)量損失模型；AGHEZZAF等[14]提出了并行機生產(chǎn)計劃和預防維護數(shù)學模型，簡化成單機模型來進行求解；NOURELFATH等[15]研究了多產(chǎn)品生產(chǎn)系統(tǒng)生產(chǎn)計劃和周期性預防維護計劃的聯(lián)合優(yōu)化。

雖然上述研究證明了聯(lián)合優(yōu)化的優(yōu)越性，但其模型未完整考慮制造企業(yè)生產(chǎn)過程中的限定因素，如文獻[5]未考慮庫存上限，文獻[4]未考慮產(chǎn)能上限等。而在實際生產(chǎn)活動中，受費用、工時、場地限制，設(shè)備生產(chǎn)能力和企業(yè)倉儲能力均存在極限。當優(yōu)化結(jié)果超出其能力上限時，會導致產(chǎn)品數(shù)量無法達到預期，影響解決方案的準確度和可行性。此外，現(xiàn)存研究未將缺貨費用納入決策范圍，如文獻[5]和文獻[11]均未考慮由于產(chǎn)品數(shù)量不足，無法及時滿足客戶需求而引起的違約賠償費用。該費用與生產(chǎn)費用、庫存費用之間相互矛盾、相互制約，未考慮缺貨損失會導致模型在成本較高的周期進行生產(chǎn)，大大降低了模型的實用性。另外，現(xiàn)存研究中的聯(lián)合優(yōu)化模型[7,10-11]均主要針對單設(shè)備系統(tǒng)。目前，針對多周期、多產(chǎn)品種類、多設(shè)備并聯(lián)的生產(chǎn)系統(tǒng)，同時將產(chǎn)能和庫存上限、缺貨費用等因素進行聯(lián)合優(yōu)化的研究仍然較為缺乏。

在求解算法方面，僅單純優(yōu)化生產(chǎn)計劃已很難在可接受時間內(nèi)處理大規(guī)模算例，而聯(lián)合優(yōu)化還會顯著增大模型的復雜度，從而進一步提高求解難度。更重要的是，由于設(shè)備劣化率和生產(chǎn)批量之間存在非線性關(guān)系，常用的數(shù)學規(guī)劃求解軟件無法直接處理，因此需設(shè)計有效的近似或啟發(fā)式算法。XIAO等[9]使用遺傳算法對預防維護與生產(chǎn)調(diào)度聯(lián)合模型進行求解；BERGERON等[16]設(shè)計了基于禁忌搜索和分散搜索算法相結(jié)合的啟發(fā)式算法；趙世雄等[17]采用了基于循環(huán)迭代框架的求解算法；PEREIRA等[18]提出了利用粒子群優(yōu)化算法評估費用和可靠性模型；FITOUHI等[19]提出模擬退火算法，以確定系統(tǒng)的最佳整合批量和預防性維修策略。但現(xiàn)存研究在求解大規(guī)模算例時效率和準確度仍需進一步提升。

本文針對多周期、多產(chǎn)品種類、多設(shè)備并聯(lián)的生產(chǎn)系統(tǒng)，提出基于設(shè)備劣化率的保養(yǎng)維護和預防維護雙維護模式，并以產(chǎn)能和庫存約束、生產(chǎn)啟動費用、生產(chǎn)費用、庫存持有費用、缺貨費用、維護費用為決策依據(jù)，對生產(chǎn)批量和非周期性維護計劃進行聯(lián)合建模。在此基礎(chǔ)上，為了對模型進行高效近似求解，設(shè)計了任務單元規(guī)劃和多鄰域下降復合算法。最后，通過求解多個算例驗證了模型和算法的有效性，并對實驗結(jié)果進行了分析。

本文的主要貢獻包括以下兩點：

(1)提出生產(chǎn)批量與維護計劃的聯(lián)合決策模型，同時考慮了產(chǎn)能和庫存上限、缺貨費用、多設(shè)備并聯(lián)、符合S型衰變的成品率和伽瑪分布的設(shè)備劣化率等因素。

(2)根據(jù)模型提出了任務單元規(guī)劃和多鄰域下降復合算法，該算法能夠解決多周期、多產(chǎn)品種類、多設(shè)備并聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)批量和維護計劃聯(lián)合優(yōu)化問題，并且具有較好的時間效率和求解準確度，在求解大規(guī)模算例時表現(xiàn)突出。

1 數(shù)學模型

1.1 生產(chǎn)系統(tǒng)

本文考慮一個多周期、多產(chǎn)品種類、多設(shè)備并聯(lián)的生產(chǎn)系統(tǒng)，每個周期有多臺設(shè)備同時生產(chǎn)產(chǎn)品以平衡生產(chǎn)線產(chǎn)能，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。涉及的概念闡述如下：

(1)周期。周期t={1,2,…,T}，即從第t個生產(chǎn)批量開始到第t個批量結(jié)束之間的時間長度。

(2)產(chǎn)品。產(chǎn)品p={1,2,…,P}，即生產(chǎn)系統(tǒng)可生產(chǎn)P種產(chǎn)品。

t=1,…,T,p=1,…,P。

(1)

1.2 生產(chǎn)與維護策略

本文為M臺設(shè)備并聯(lián)的生產(chǎn)系統(tǒng)，需在T個周期內(nèi)安排設(shè)備生產(chǎn)P類產(chǎn)品。為實現(xiàn)產(chǎn)品的預期數(shù)量和出產(chǎn)期限目標，需考慮產(chǎn)量、庫存和生產(chǎn)費用等因素。此外，為保證產(chǎn)品質(zhì)量，需對設(shè)備進行維護。如圖1所示，設(shè)備在周期t生產(chǎn)完產(chǎn)品后，為維持設(shè)備的正常使用而進行不影響生產(chǎn)活動的保養(yǎng)維護；隨著設(shè)備使用周期的增加，設(shè)備劣化率不斷升高，發(fā)生故障的可能性增大，為將設(shè)備恢復至初始狀態(tài)，應進行影響生產(chǎn)活動的非周期性預防維護。涉及的概念闡述如下：

(2)成品率。由于制造系統(tǒng)中設(shè)備隨生產(chǎn)活動的進行而逐漸劣化，其產(chǎn)品質(zhì)量隨之降低。本文以成品率表示合格產(chǎn)品的概率，合格產(chǎn)品的概率隨設(shè)備m的劣化而呈S型衰變，即

(2)

t=1,…,T,p=1,…,P。

(3)

(4)

m=1,…,M,t=1,…,T,

t′=1,…,T,α≥0。

(5)

則系統(tǒng)設(shè)備m的平均劣化率為

(6)

1.3 模型建立

本文以多周期、多產(chǎn)品種類、多設(shè)備并聯(lián)的生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象，參照企業(yè)真實環(huán)境和行業(yè)實際，及相關(guān)文獻[6]、文獻[9]和文獻[17]，以周期t內(nèi)設(shè)備m生產(chǎn)產(chǎn)品p的生產(chǎn)啟動費用、生產(chǎn)費用、缺貨費用、庫存持有費用、保養(yǎng)維護費用、非周期性預防維護費用的總和來確定優(yōu)化目標，建立聯(lián)合模型。模型涉及生產(chǎn)費用和維護費用兩部分。

1.3.1 生產(chǎn)費用

(7)

(8)

(9)

(10)

因此，所有周期產(chǎn)品p的庫存持有費用可表示為

(11)

1.3.2 維護費用

(12)

(13)

因為在周期t內(nèi)設(shè)備m生產(chǎn)與非周期性預防性維護無法同時進行，所以生產(chǎn)狀態(tài)滿足式(14)條件是設(shè)備能否進行非周期性預防維護的前提。

m=1,…,M,t=1,…,T。

(14)

至此，本模型可歸結(jié)為

s.t.

t=1,…,T,p=1,…,P；

t=1,…,T,p=1,…,P；

t=1,…,T,p=1,…,P；

t=1,…,T,p=1,…,P；

根據(jù)關(guān)注區(qū)域所有注視點持續(xù)時間總和數(shù)據(jù)(TFD)，頁面12的電路符號區(qū)域(“Rectangle2”)的TFD平均值最大，標題區(qū)域(“Rectangle”)的TFD平均值最小。頁面13的卡通小人區(qū)域TFD平均值最長，而電路符號、電器元件三維圖區(qū)域(電器零件2、電器零件1)TFD平均值小得多。頁面12的TFD數(shù)據(jù)說明學生時間主要花在學習重、難點內(nèi)容，而頁面13的TFD數(shù)據(jù)說明學生被趣味性內(nèi)容(卡通形象吸引)，沒有花更多時間學習重、難點內(nèi)容。從提升課件學習效率看，頁面12的簡潔設(shè)計更好。但適當?shù)夭迦肴の缎缘膬?nèi)容，可以提高學生的學習興趣。

(15)

2 任務單元規(guī)劃和多鄰域下降復合算法

針對該模型，本文提出任務單元規(guī)劃和多鄰域下降復合算法。其中，任務單元規(guī)劃算法用于制定周期性生產(chǎn)計劃，而多鄰域下降算法用于搜索二元變量鄰域空間，以獲取最優(yōu)維護策略。

2.1 任務單元規(guī)劃算法

本文歸納以下4條準則，基于這些準則，設(shè)計任務單元規(guī)劃算法。

(16)

假設(shè)當前決策周期為t，產(chǎn)品p的需求劃分給某一任務單元，該任務單元由周期k(k

(17)

在任務單元的分配決策中，生產(chǎn)費用與生產(chǎn)啟動費用和庫存持有費用有關(guān)。該任務單元的生產(chǎn)費用總和可表示為

(18)

該任務執(zhí)行生產(chǎn)的前提條件為生產(chǎn)費用低于缺貨費用，即

(19)

等價于

(20)

(21)

(22)

(23)

任務單元規(guī)劃算法詳細流程如圖2所示。

首先，遍歷所有產(chǎn)品和所有周期，對于當前決策產(chǎn)品p和決策周期t，構(gòu)造任務單元序列并根據(jù)該序列計劃生產(chǎn)活動，每個任務單元由式(23)表示。

其次，計算在周期1～周期T內(nèi)各任務單元的平均生產(chǎn)單價。分為兩類情況：

(24)

(25)

2)若該設(shè)備未投入生產(chǎn)，則按照式(22)計算。

然后，考慮每個生產(chǎn)任務單元的生產(chǎn)數(shù)量。對于當前決策的任務單元的生產(chǎn)數(shù)量，分為以下幾種情況：

(2)被確定的生產(chǎn)數(shù)量總和達到需求數(shù)量(或剩余需求為0)，則需求被滿足，決策完畢。

(3)對于當前任務單元的生產(chǎn)周期k到?jīng)Q策周期t之前的任意周期中，若庫存數(shù)量已達上限，則停止對以該周期之前為生產(chǎn)周期的任務單元的遍歷，直接從以該周期之后的周期作為生產(chǎn)周期的任務單元繼續(xù)遍歷。

(4)否則對該任務單元進行生產(chǎn)，生產(chǎn)數(shù)量由式(17)計算，并由式(26)～式(29)更新生產(chǎn)數(shù)量、庫存數(shù)量、剩余需求和剩余產(chǎn)能上限。

(26)

(27)

(28)

(29)

2.2 多鄰域下降算法

多鄰域下降為一種基于變鄰域搜索的啟發(fā)式算法，通過定義不同的鄰域算子來搜索不同的鄰域，從而擴大解的搜索范圍，進而得到全局較優(yōu)解，可有效解決大規(guī)模算例和一些傳統(tǒng)算法無法解決的問題。本節(jié)使用多鄰域下降算法求解維護計劃變量，生產(chǎn)計劃及其他變量采用2.1節(jié)算法求解。

2.2.1 算法主要結(jié)構(gòu)

首先，隨機生成二進制數(shù)組作為初始解，并使用任務單元規(guī)劃算法計算初始解的總費用。隨后，多鄰域下降算法從第一個算子開始，循環(huán)使用各個算子進行一定次數(shù)的迭代來搜索鄰域找到新解，并使用任務單元規(guī)劃算法計算新解的總費用。若新解的總費用比當前解的更低，則將新解視為算法的當前解，直至滿足終止條件。算法設(shè)置兩個終止條件，分別為全局迭代閾值λtotal和單算子迭代閾值λopt。當總迭代次數(shù)達到全局迭代閾值時，迭代過程終止。另外，在算法的優(yōu)化過程中，每兩次得到更低費用解的間隔的迭代次數(shù)稱為單算子迭代次數(shù)，當單算子迭代次數(shù)達到單算子迭代閾值時，說明已經(jīng)長時間未收斂，迭代過程終止。多鄰域下降算法詳細流程如圖3所示。

2.2.2 鄰域算子

(1)取反算子。隨機選取數(shù)組中一個位置，對該位置的值進行取反操作。若新解為可行解，則使用新解替換當前解。

(2)點交換算子。隨機選取數(shù)組中不重復的兩個位置，將其值進行交換。若新解為可行解，則使用新解替換當前解。

(3)行交換算子。隨機選取數(shù)組中不重復的兩行進行交換。若新解為可行解，則使用新解替換當前解。

(4)逆序算子。隨機選取數(shù)組同一行或同一列中不重復的兩個位置，將兩點之間序列的值逆序賦回。若新解為可行解，則使用新解替換當前解。

3 實驗結(jié)果與分析

本文實驗環(huán)境如表1所示。

表1 實驗環(huán)境

3.1 算例求解示例

本節(jié)給出算例生產(chǎn)批量和預防維護方案的求解細節(jié)，算例考慮3臺設(shè)備(M=3)、10個時間周期(T=10)和2種產(chǎn)品(P=2)。算法參數(shù)設(shè)置、生產(chǎn)批量參數(shù)和維護參數(shù)分別如表2、表3和表4所示。

表2 參數(shù)設(shè)置

表3 生產(chǎn)批量參數(shù)

由表3可知，生產(chǎn)啟動費用顯著高于生產(chǎn)費用、缺貨費用、庫存費用，分別最小相差近10.9倍、9.1倍和10.9倍。產(chǎn)能和庫存上限與需求量差異較小。因此，有必要對生產(chǎn)和維護過程進行調(diào)控。

表4 維護參數(shù)

續(xù)表4

由表4可知，不同設(shè)備的保養(yǎng)維護費用取值范圍相近，分別為[1，8]、[2，10]和[1，9]。設(shè)備的非周期性預防維護費用位于[81，100]區(qū)間，與保養(yǎng)維護費用相比最小相差近8.1倍。因此，非周期性預防維護費用和保養(yǎng)維護費用相比差異性較大。

聯(lián)合優(yōu)化模型的求解結(jié)果如表5所示。

表5 聯(lián)合模型求解結(jié)果

續(xù)表5

由表5可知，產(chǎn)品1共生產(chǎn)4個周期，其中在設(shè)備1中生產(chǎn)94件，在設(shè)備2中生產(chǎn)323件。產(chǎn)品2共生產(chǎn)7個周期，其中設(shè)備1生產(chǎn)293件，設(shè)備2生產(chǎn)454件。設(shè)備2生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量多于設(shè)備1。設(shè)備2在周期7進行一次預防維護，設(shè)備1、3未進行預防維護。具體生產(chǎn)狀態(tài)和維護方案如圖4所示。

如圖4所示，設(shè)備1在周期4、周期7和周期8進行生產(chǎn)。設(shè)備2在周期1、周期3、周期4、周期5和周期9進行生產(chǎn)，并在周期7進行預防維護。設(shè)備1、設(shè)備2和設(shè)備3每個周期都進行保養(yǎng)維護。

因此，生產(chǎn)啟動費用、生產(chǎn)費用、缺貨費用和庫存持有費用共7 157元，保養(yǎng)維護費用和非周期性預防維護費用共16元，聯(lián)合優(yōu)化模型的求解結(jié)果為7 173。

3.2 對比實驗結(jié)果

本節(jié)對48個不同規(guī)模算例，分別使用本文算法與遺傳算法[9]、粒子群算法[18]和模擬退火算法[16]進行求解，并將實驗結(jié)果進行了對比。表6給出了各算法求解不同算例的費用、時間和準確度，表7對比了各算法得出解的生產(chǎn)費用和維護費用。

表6 各算法求解不同算例的費用、時間和準確度對比

續(xù)表6

表7 各算法求解不同算例的生產(chǎn)費用和維護費用對比

續(xù)表7

由表6可知，本文算法在算例規(guī)模逐漸增大時的求解質(zhì)量相較于對比算法更具優(yōu)勢，它們之間分別最大相差17.53%、16.59%和16.72%。此外，本文算法在求解時間上也明顯優(yōu)于對比算法。在求解小規(guī)模算例(1/5/1)時，時間差分別為20.17 s、2.42 s、35.28 s；在求解大規(guī)模算例(10/30/10)時，時間差分別為80 244.09 s、585.29 s、34 253.09 s，平均時間分別相差2 204.91 s、64.75 s和4 385.96 s。故本文算法可同時保證求解準確度和求解速度。由表7可知，本文算法與遺傳算法、粒子群算法和模擬退火算法相比，生產(chǎn)費用分別最大相差0.41%、0.21%、0.29%，最小相差0.08%、0.09%、0.07%；維護費用分別最大相差43.25%、25.94%、38.69%，最小無差異。

3.3 求解質(zhì)量和效率分析

將本文算法和對比算法獲得解的總費用進行對比，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，在同一算例(10/10/2)中，本文算法實驗結(jié)果更優(yōu)，相較于對比算法，總費用分別低14.21%、12.39%、15.19%。對本文算法和對比算法進行迭代時間與總費用的收斂分析，結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，在同一算例(10/10/2)中，本文算法在89.12 s時總費用為4 906元，遺傳算法在90.39 s時總費用為5 613元，粒子群算法在90.98 s時總費用為6 526元，模擬退火算法在90.80 s時總費用為8 590元。因此，本文算法收斂速度和求解質(zhì)量均優(yōu)于對比算法。

3.4 敏感性分析

選取代表性算例(3/5/2)、(5/5/2)和(10/5/2)，對本文算法的單算子迭代閾值參數(shù)和全局迭代閾值參數(shù)分別進行敏感性分析，結(jié)果如圖7～圖10所示。

如圖7所示，在全局迭代閾值不變時，分別對3個算例的單算子迭代閾值在1～190之間進行調(diào)節(jié)。算例(5/5/2)在第70代時出現(xiàn)起伏。因此，單算子迭代閾值取100代之后，求解質(zhì)量穩(wěn)定。

如圖8所示，在單算子迭代閾值不變時，分別對3個算例的全局迭代閾值在1～1 400之間進行調(diào)節(jié)。算例(10/5/2)在第900代時出現(xiàn)起伏。因此，全局迭代閾值取1 000代之后，求解質(zhì)量穩(wěn)定。

如圖9和圖10所示，當全局迭代閾值不變時，算例求解時間隨單算子迭代閾值的增加呈線性增長趨勢；在單算子迭代閾值不變時，算例運行時間在大規(guī)模算例上增長較顯著，在小規(guī)模算例上增長較平緩。

4 結(jié)束語

本文將基于設(shè)備劣化率的保養(yǎng)維護和預防維護策略運用到多周期、多產(chǎn)品種類、多設(shè)備并聯(lián)的生產(chǎn)系統(tǒng)，建立了生產(chǎn)批量和非周期性維護計劃聯(lián)合模型。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計了任務單元規(guī)劃和多鄰域下降復合算法，實現(xiàn)了對模型的高效近似求解。通過對大量不同規(guī)模算例進行的實驗表明，本文算法在求解質(zhì)量和求解時間上均優(yōu)于對比算法，在求解質(zhì)量上分別最大相差17.53%、16.59%和16.72%，在求解時間上分別最大相差71.25%、1.64%和84.19%。未來研究將從兩個方面對本文模型進行擴展。首先，為生產(chǎn)批量和非周期性維護設(shè)置獨立目標函數(shù)，建立多目標優(yōu)化模型;其次，在模型中加入串聯(lián)設(shè)備，研究更為復雜的多設(shè)備串并聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)。