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    一類多概率區(qū)間分布時滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)分析

    2022-10-10 04:05:02戎佳豪姜偕富張鎮(zhèn)佳
    關(guān)鍵詞:時滯準則區(qū)間

    戎佳豪,姜偕富,張鎮(zhèn)佳,趙 冰

    (杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院,浙江 杭州 310018)

    0 引 言

    網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems, NCSs)是由通信網(wǎng)絡(luò)組成閉環(huán)回路的空間分布式控制系統(tǒng)[1]。相較于傳統(tǒng)控制系統(tǒng),NCSs具有遠距離控制、布線方便、易擴展、維護方便等優(yōu)點。但是,NCSs的控制性能受到數(shù)據(jù)傳輸速率、網(wǎng)絡(luò)時延、數(shù)據(jù)丟包等網(wǎng)絡(luò)物理局限性的影響。近幾年來,針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)時延的研究取得了一定成果。文獻[2]把網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為時變時滯系統(tǒng),在L-K泛函中使用增廣矩陣,更好地利用了系統(tǒng)的時滯信息,降低了結(jié)果的保守性。文獻[3]在L-K泛函中引入四重積分,使用擴展Wirtinger不等式來界定泛函求導(dǎo)項,取得了很好的結(jié)果,但未考慮時滯的隨機性,使所得結(jié)果的保守性較大。文獻[4]研究二概率時滯區(qū)間分布的問題,構(gòu)造了一個概率區(qū)間時變時滯系統(tǒng),在L-K泛函中引入增廣矩陣和三重積分,運用Wirtinger不等式和凸組合相結(jié)合的方法來處理泛函求導(dǎo)項,降低了穩(wěn)定性條件的保守性。文獻[5]研究多概率區(qū)間時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,給出一個包含二概率區(qū)間時滯系統(tǒng)模型作為特例的三概率區(qū)間時滯系統(tǒng)模型,使用廣義Finsler引理給出了一個可以獲得更大時滯上界的穩(wěn)定性準則。本文研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的誘導(dǎo)時延問題,在三概率區(qū)間時滯系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上,構(gòu)造帶增廣矩陣和三重積分、四重積分的L-K泛函,使用Wirtinger不等式和凸組合結(jié)合的方法界定泛函求導(dǎo)項,從而得到一個保守性較小的穩(wěn)定性準則。

    1 系統(tǒng)模型

    考慮如下一類基于網(wǎng)絡(luò)控制的線性系統(tǒng):

    (1)

    式中,x(t)∈Rn和u(t)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和控制輸入;矩陣A和B為適合維數(shù)的參數(shù)矩陣。

    假設(shè)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的傳感器為時間驅(qū)動,控制器和執(zhí)行器為事件驅(qū)動。T為傳感器的采樣周期,ikT為傳感器的第k個采樣時刻。若傳感器在ikT時刻采樣到信號,那么在ikT+τk時刻執(zhí)行器收到來自控制器的命令,其中τk=τsc+τc+τca,τsc為傳感器和控制器之間的傳輸時滯,τc為控制器的計算時滯,τca為控制器與執(zhí)行器之間的傳輸時滯。

    如果系統(tǒng)(1)可控,其網(wǎng)絡(luò)控制器為:

    (2)

    (3)

    (4)

    式中,h(t)為系統(tǒng)(4)的時滯函數(shù),h為已知常量;φ(t)為系統(tǒng)在區(qū)間[-h,0]的初始狀態(tài)。

    假設(shè)存在常量h1,h2和h3,滿足0≤h1≤h2≤h3=h,h(t)在區(qū)間[0,h1],(h1,h2]和(h2,h3]上的概率分布已知,定義如下3個隨機事件:

    Ω1∶h(t)∈[0,h1];Ω2∶h(t)∈(h1,h2];Ω3∶h(t)∈(h2,h3]

    引入如下2個隨機變量:

    定義3個函數(shù)h1(t)∶R+→[0,h1];h2(t)∶R+→(h1,h2];h3(t)∶R+→(h2,h3],則有:

    顯然,δ1(t)和δ2(t)都服從伯努利分布,滿足

    Prob{δ1(t)=1}=Prob{0≤h(t)≤h1}=E{δ1(t)}=δ1,Prob{δ1(t)=0}=Prob{h1

    綜上分析,系統(tǒng)(4)改寫為:

    (5)

    當δ1=1或δ2=1或δ1+δ2=0時,系統(tǒng)時滯概率分布在1個區(qū)間上;當δ1=0,δ2∈(0,1)或δ1∈(0,1),δ2=0或δ1+δ2=1,δ1∈(0,1),δ2∈(0,1)時,系統(tǒng)時滯概率分布在2個區(qū)間上;當δ1∈(0,1),δ2∈(0,1),且δ1+δ2∈(0,1)時,系統(tǒng)時滯概率分布在3個區(qū)間上。本文主要研究三概率區(qū)間分布的情況。

    2 主要結(jié)果

    針對系統(tǒng)(5)給出如下均方穩(wěn)定性準則。

    (6)

    (7)

    (8)

    (9)

    式中,

    Ξ12=-P12+U11-U12+U21-U22,Ξ13=δ1M1Ad-2R1-U11-U12-U21-U22,Ξ15=δ2M1Ad,

    證明構(gòu)造如下形式的L-K泛函

    V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)+V5(xt)

    沿系統(tǒng)(5)的運動軌跡做弱無窮運算,可得:

    V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)+V5(xt)

    (10)

    式中,

    (11)

    xT(t-h2)Q2x(t-h2)-xT(t-h3)Q3x(t-h3)

    (12)

    (13)

    (14)

    (15)

    引入如下零等式:

    (16)

    運用引理1對式(13)中的R1相關(guān)積分項進行放縮,可得:

    (17)

    (18)

    運用引理2對式(17)和(18)進行放縮,可得:

    (19)

    同理可得:

    (20)

    (21)

    式中,

    對式(14)中Z相關(guān)積分項利用引理3可得:

    (22)

    對式(15)中W相關(guān)積分項利用引理3可得:

    (23)

    聯(lián)立式(10)—式(23),并對式(10)求數(shù)學(xué)期望,可得:

    E{V(xt)}≤E{ξT(t)Ξξ(t)}

    當滿足Ξ<0時,存在一個足夠小的常數(shù)ε>0,使得E{V(xt)}<-εE{ξT(t)ξ(t)}成立。

    采用文獻[9]中的類似方法,可以得到:

    針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(1),本文將其轉(zhuǎn)化為時滯系統(tǒng)(5)并得到穩(wěn)定性準則,從而得到網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性準則。在構(gòu)造L-K泛函時,引入了增廣矩陣和四重積分,與文獻[5]相比,使用了更多的時滯信息;對L-K泛函求導(dǎo)時,把式(13)的3個積分項進行拆分,使用Wirtinger積分不等式界定拆分后的積分項,再用凸組合引理處理界定后的積分項,充分運用了時滯信息,有效降低了穩(wěn)定性準則的保守性。

    3 數(shù)例驗證

    通過數(shù)例來驗證本文提出的三概率區(qū)間分布時滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性準則的有效性。采用MATLAB中的LMI工具箱求解線性矩陣不等式,得到確保系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最大允許時滯上界。

    使用文獻[5]中的系統(tǒng)模型:

    取h1=0.1,δ2=0.08,對不同取值的h2,δ1,分別運用文獻[5]中的定理1和本文定理得到允許的最大時滯上界值如表1所示。

    表1 不同的h2和δ1下,最大允許時滯上界h3

    從表1可以看出,與文獻[5]相比,本文定理得出的時滯上界h3更大一些,說明引入四重積分和增廣矩陣降低了結(jié)果的保守性,驗證了本文方法的有效性。

    為了更好地驗證本文定理得到的穩(wěn)定性準則,表2列舉了運用本文定理、文獻[10]定理1、文獻[11]推論2,分別在概率為0.7,0.8,0.9下求出的最大時滯上界。

    算法的復(fù)雜度主要與決策變量數(shù)以及線性矩陣的行數(shù)相關(guān),其中決策變量數(shù)對復(fù)雜度起著最主要的作用。從表2的決策變量數(shù)可以看出,本文定理算法的復(fù)雜度與文獻[10]定理1和文獻[11]推論2相比處于同一個數(shù)量級,但結(jié)果的保守性大大減小了。根據(jù)表2還可以看出,本文定理的最大時滯上界要大于文獻[10]和文獻[11],因為在界定式(13)的求導(dǎo)項時,本文使用了凸組合引理,并在L-K泛函構(gòu)造時引入了四重積分和增廣矩陣,利用了更多的時滯信息,從而得到保守性更小的均方穩(wěn)定性準則,進一步驗證了本文方法的有效性。

    4 結(jié)束語

    本文主要研究一類線性三概率區(qū)間分布時滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性問題。為了充分利用時滯信息,在L-K泛函中引入四重積分,使用Wirtinger積分不等式與凸組合結(jié)合的方法界定L-K泛函中二重積分求導(dǎo)產(chǎn)生的積分項,使用Jensen不等式界定L-K泛函中三重積分四重積分求導(dǎo)產(chǎn)生的積分項,得到保守性更小的穩(wěn)定性準則。但是,在實際應(yīng)用中,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)往往是非線性的,下一步將基于T-S模糊模型研究一類非線性多概率區(qū)間分布時滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)問題。

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