一類多概率區(qū)間分布時滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)分析

戎佳豪，姜偕富，張鎮(zhèn)佳，趙 冰

(杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems, NCSs)是由通信網(wǎng)絡(luò)組成閉環(huán)回路的空間分布式控制系統(tǒng)[1]。相較于傳統(tǒng)控制系統(tǒng)，NCSs具有遠距離控制、布線方便、易擴展、維護方便等優(yōu)點。但是，NCSs的控制性能受到數(shù)據(jù)傳輸速率、網(wǎng)絡(luò)時延、數(shù)據(jù)丟包等網(wǎng)絡(luò)物理局限性的影響。近幾年來，針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)時延的研究取得了一定成果。文獻[2]把網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為時變時滯系統(tǒng)，在L-K泛函中使用增廣矩陣，更好地利用了系統(tǒng)的時滯信息，降低了結(jié)果的保守性。文獻[3]在L-K泛函中引入四重積分，使用擴展Wirtinger不等式來界定泛函求導(dǎo)項，取得了很好的結(jié)果，但未考慮時滯的隨機性，使所得結(jié)果的保守性較大。文獻[4]研究二概率時滯區(qū)間分布的問題，構(gòu)造了一個概率區(qū)間時變時滯系統(tǒng)，在L-K泛函中引入增廣矩陣和三重積分，運用Wirtinger不等式和凸組合相結(jié)合的方法來處理泛函求導(dǎo)項，降低了穩(wěn)定性條件的保守性。文獻[5]研究多概率區(qū)間時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，給出一個包含二概率區(qū)間時滯系統(tǒng)模型作為特例的三概率區(qū)間時滯系統(tǒng)模型，使用廣義Finsler引理給出了一個可以獲得更大時滯上界的穩(wěn)定性準則。本文研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的誘導(dǎo)時延問題，在三概率區(qū)間時滯系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)造帶增廣矩陣和三重積分、四重積分的L-K泛函，使用Wirtinger不等式和凸組合結(jié)合的方法界定泛函求導(dǎo)項，從而得到一個保守性較小的穩(wěn)定性準則。

1 系統(tǒng)模型

考慮如下一類基于網(wǎng)絡(luò)控制的線性系統(tǒng)：

(1)

式中，x(t)∈Rn和u(t)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和控制輸入；矩陣A和B為適合維數(shù)的參數(shù)矩陣。

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的傳感器為時間驅(qū)動，控制器和執(zhí)行器為事件驅(qū)動。T為傳感器的采樣周期，ikT為傳感器的第k個采樣時刻。若傳感器在ikT時刻采樣到信號，那么在ikT+τk時刻執(zhí)行器收到來自控制器的命令，其中τk=τsc+τc+τca，τsc為傳感器和控制器之間的傳輸時滯，τc為控制器的計算時滯,τca為控制器與執(zhí)行器之間的傳輸時滯。

如果系統(tǒng)(1)可控，其網(wǎng)絡(luò)控制器為：

(2)

(3)

(4)

式中，h(t)為系統(tǒng)(4)的時滯函數(shù)，h為已知常量；φ(t)為系統(tǒng)在區(qū)間[-h,0]的初始狀態(tài)。

假設(shè)存在常量h1，h2和h3,滿足0≤h1≤h2≤h3=h，h(t)在區(qū)間[0,h1]，(h1,h2]和(h2,h3]上的概率分布已知，定義如下3個隨機事件：

Ω1∶h(t)∈[0,h1];Ω2∶h(t)∈(h1,h2];Ω3∶h(t)∈(h2,h3]

引入如下2個隨機變量：

定義3個函數(shù)h1(t)∶R+→[0,h1];h2(t)∶R+→(h1,h2];h3(t)∶R+→(h2,h3]，則有：

顯然，δ1(t)和δ2(t)都服從伯努利分布，滿足

Prob{δ1(t)=1}=Prob{0≤h(t)≤h1}=E{δ1(t)}=δ1，Prob{δ1(t)=0}=Prob{h1

綜上分析，系統(tǒng)(4)改寫為：

(5)

當δ1=1或δ2=1或δ1+δ2=0時，系統(tǒng)時滯概率分布在1個區(qū)間上；當δ1=0，δ2∈(0,1)或δ1∈(0,1)，δ2=0或δ1+δ2=1，δ1∈(0,1)，δ2∈(0,1)時，系統(tǒng)時滯概率分布在2個區(qū)間上；當δ1∈(0,1)，δ2∈(0,1)，且δ1+δ2∈(0,1)時，系統(tǒng)時滯概率分布在3個區(qū)間上。本文主要研究三概率區(qū)間分布的情況。

2 主要結(jié)果

針對系統(tǒng)(5)給出如下均方穩(wěn)定性準則。

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，

Ξ12=-P12+U11-U12+U21-U22,Ξ13=δ1M1Ad-2R1-U11-U12-U21-U22,Ξ15=δ2M1Ad,

證明構(gòu)造如下形式的L-K泛函

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)+V5(xt)

沿系統(tǒng)(5)的運動軌跡做弱無窮運算，可得：

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)+V5(xt)

(10)

式中，

(11)

xT(t-h2)Q2x(t-h2)-xT(t-h3)Q3x(t-h3)

(12)

(13)

(14)

(15)

引入如下零等式：

(16)

運用引理1對式(13)中的R1相關(guān)積分項進行放縮，可得：

(17)

(18)

運用引理2對式(17)和(18)進行放縮，可得：

(19)

同理可得：

(20)

(21)

式中，

對式(14)中Z相關(guān)積分項利用引理3可得：

(22)

對式(15)中W相關(guān)積分項利用引理3可得：

(23)

聯(lián)立式(10)—式(23)，并對式(10)求數(shù)學(xué)期望，可得：

E{V(xt)}≤E{ξT(t)Ξξ(t)}

當滿足Ξ<0時，存在一個足夠小的常數(shù)ε>0，使得E{V(xt)}<-εE{ξT(t)ξ(t)}成立。

采用文獻[9]中的類似方法，可以得到：

針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(1)，本文將其轉(zhuǎn)化為時滯系統(tǒng)(5)并得到穩(wěn)定性準則，從而得到網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性準則。在構(gòu)造L-K泛函時，引入了增廣矩陣和四重積分，與文獻[5]相比，使用了更多的時滯信息；對L-K泛函求導(dǎo)時，把式(13)的3個積分項進行拆分，使用Wirtinger積分不等式界定拆分后的積分項，再用凸組合引理處理界定后的積分項，充分運用了時滯信息，有效降低了穩(wěn)定性準則的保守性。

3 數(shù)例驗證

通過數(shù)例來驗證本文提出的三概率區(qū)間分布時滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性準則的有效性。采用MATLAB中的LMI工具箱求解線性矩陣不等式，得到確保系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最大允許時滯上界。

使用文獻[5]中的系統(tǒng)模型:

取h1=0.1,δ2=0.08，對不同取值的h2,δ1，分別運用文獻[5]中的定理1和本文定理得到允許的最大時滯上界值如表1所示。

表1 不同的h2和δ1下，最大允許時滯上界h3

從表1可以看出，與文獻[5]相比，本文定理得出的時滯上界h3更大一些，說明引入四重積分和增廣矩陣降低了結(jié)果的保守性，驗證了本文方法的有效性。

為了更好地驗證本文定理得到的穩(wěn)定性準則，表2列舉了運用本文定理、文獻[10]定理1、文獻[11]推論2，分別在概率為0.7,0.8,0.9下求出的最大時滯上界。

算法的復(fù)雜度主要與決策變量數(shù)以及線性矩陣的行數(shù)相關(guān)，其中決策變量數(shù)對復(fù)雜度起著最主要的作用。從表2的決策變量數(shù)可以看出，本文定理算法的復(fù)雜度與文獻[10]定理1和文獻[11]推論2相比處于同一個數(shù)量級，但結(jié)果的保守性大大減小了。根據(jù)表2還可以看出，本文定理的最大時滯上界要大于文獻[10]和文獻[11]，因為在界定式(13)的求導(dǎo)項時，本文使用了凸組合引理，并在L-K泛函構(gòu)造時引入了四重積分和增廣矩陣，利用了更多的時滯信息，從而得到保守性更小的均方穩(wěn)定性準則，進一步驗證了本文方法的有效性。

4 結(jié)束語

本文主要研究一類線性三概率區(qū)間分布時滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性問題。為了充分利用時滯信息，在L-K泛函中引入四重積分，使用Wirtinger積分不等式與凸組合結(jié)合的方法界定L-K泛函中二重積分求導(dǎo)產(chǎn)生的積分項，使用Jensen不等式界定L-K泛函中三重積分四重積分求導(dǎo)產(chǎn)生的積分項，得到保守性更小的穩(wěn)定性準則。但是，在實際應(yīng)用中，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)往往是非線性的，下一步將基于T-S模糊模型研究一類非線性多概率區(qū)間分布時滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)問題。