中能衍射極限環(huán)中電阻壁和高頻系統(tǒng)阻抗計(jì)算與優(yōu)化

王 猛，張文志，田順強(qiáng)，蔡傳兵，劉新忠

(1.上海大學(xué) 上海市高溫超導(dǎo)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，理學(xué)院 物理系，上海 200444； 2.中國科學(xué)院 上海應(yīng)用物理研究所，上海 201800；3.中國科學(xué)院 上海高等研究院，上海 201204)

第3代同步輻射光源作為一種具有高亮度、波長覆蓋范圍廣、高準(zhǔn)直性等特點(diǎn)的多用戶、高性能實(shí)驗(yàn)裝置，在物理、化學(xué)、材料學(xué)、生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域起到了重要的支撐作用。為了滿足眾多研究領(lǐng)域所需要的更高亮度、更高相干性的同步輻射光，世界上許多光源都在研究和發(fā)展新一代光源的升級方案。其中，衍射極限環(huán)因具有超高平均亮度、高穩(wěn)定性、高重復(fù)頻率等特點(diǎn)成為第4代同步輻射光源的一個重要發(fā)展方向[1]。目前，世界上已運(yùn)行的第4代同步輻射光源有瑞典MAX Ⅳ[2]、歐洲同步輻射光源升級裝置(ESRF-EBS)[3]，正在調(diào)試的有巴西的Sirius[4]，正在建設(shè)中的第4代同步輻射光源有中國高能同步輻射光源(HEPS)[5]、美國先進(jìn)光子源升級裝置(APS-U)[6]、美國先進(jìn)光源升級裝置(ALS-U)[7]、瑞士光子源升級裝置(SLS-Ⅱ)[8]等。

阻抗模型計(jì)算及優(yōu)化一直是加速器設(shè)計(jì)階段需要解決的技術(shù)難題。目前，電阻壁阻抗計(jì)算理論已相當(dāng)成熟。最初由Robert等[9]給出環(huán)形和矩形單層束管無限厚度的電阻壁阻抗推導(dǎo)公式，Yokoya[10]在此理論計(jì)算方法的基礎(chǔ)上給出了電阻壁單層束管無限厚度的計(jì)算機(jī)算法。但對于非圓截面的束流管道中的粒子如果受到了非相干的頻移，之前的電阻壁阻抗理論結(jié)果將變?yōu)闊o限大，因此Shobuda等[11]和Yokoya針對此研究結(jié)果，推導(dǎo)了單層有限長度的束流管道電阻壁阻抗推導(dǎo)公式。對于質(zhì)子加速器或?qū)ψ矙C(jī)而言，粒子的速度未到達(dá)光速，需要對推導(dǎo)的電阻壁阻抗理論公式進(jìn)一步修正[12]，并在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了有限厚度雙層以及多層電阻壁阻抗推導(dǎo)公式[13]。對于加速器中的元件，其阻抗計(jì)算是加速器設(shè)計(jì)以及運(yùn)行階段中必不可缺的一環(huán)，世界上大部分的第4代同步輻射光源已完成元件阻抗計(jì)算，阻抗元件包括高頻腔、三次諧波腔、BPM、Kicker等，如ESRF-EBS[14]、APS-U[15]、Sirius[16]已給出相關(guān)的阻抗分布計(jì)算。

在全環(huán)阻抗分布中，電阻壁阻抗占全環(huán)阻抗較高，且在頻率接近于0時會出現(xiàn)很尖的共振峰，對束流運(yùn)動產(chǎn)生較大影響；高頻系統(tǒng)中腔體內(nèi)的高次模是引入窄帶阻抗的重要源頭，因此在加速器設(shè)計(jì)階段，需要選擇合適材料的電阻壁，對高頻腔和三次諧波腔進(jìn)行精準(zhǔn)的建模，計(jì)算阻抗，并評估可能引起的束流不穩(wěn)定性。本文利用ImpedanceWake2D和CST完成不同材料結(jié)構(gòu)的電阻壁阻抗計(jì)算，討論不同材料結(jié)構(gòu)和內(nèi)部鍍膜厚度對電阻壁阻抗的影響，為衍射極限環(huán)的電阻壁結(jié)構(gòu)材料選擇提供理論依據(jù)；為了適用于中能衍射極限環(huán)(ME-DLSR)，利用數(shù)值模擬程序，重新對高頻腔、三次諧波腔的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行設(shè)計(jì)與優(yōu)化，并討論高頻腔和三次諧波腔的束管選擇，對束管的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化；分析可能引起的束流不穩(wěn)定性，并對可能發(fā)生的束流不穩(wěn)定性提出有效的抑制方案。

1 中能衍射極限環(huán)lattice設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)一個環(huán)長為720 m，采用ESRB-EBS類型的7BA聚焦結(jié)構(gòu)[17]，束流能量為3 GeV，束流自然發(fā)射度為48.69 pm·rad的lattice。全環(huán)共30個周期單元，每個單元長度為24 m且單元內(nèi)磁鐵排列完全一致，采用了縱向變場強(qiáng)二極磁鐵[18]和反向彎轉(zhuǎn)二極鐵[19]等技術(shù)，可有效降低儲存環(huán)束流發(fā)射度。儲存環(huán)束流光學(xué)設(shè)計(jì)中，采用目前世界上較為先進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法(MOGA)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。圖1為中能衍射極限環(huán)優(yōu)化后的束流光學(xué)函數(shù)分布和每個聚焦單元的磁鐵排列情況，其中，S為長度，β為束流光學(xué)函數(shù)，ηx為色散函數(shù)，主要包括12塊起聚焦作用的四極鐵(圖1中紅色或藍(lán)色磁鐵元件)，6塊起校正色品和優(yōu)化動力學(xué)孔徑的六極鐵(圖1中紫紅色或綠色磁鐵元件)，4塊起偏轉(zhuǎn)作用的縱向變場強(qiáng)二極鐵以及3塊起偏轉(zhuǎn)和垂直聚焦作用的組合型二極鐵(圖1中黃色磁鐵元件)。全環(huán)水平和垂直最大包絡(luò)函數(shù)分別為11.4 m和20.32 m，每個周期包含一個6.1 m長的直線節(jié)，可用于放置插入件或其他元件，全環(huán)留有部分直線節(jié)，作為后續(xù)光源升級安裝其他元件的備用空間。為了避免危害較大的非線性共振，水平和垂直工作點(diǎn)分別選取67.17和24.22，表1列出了中能衍射極限環(huán)中的主要參數(shù)。

圖1 中能衍射極限環(huán)單元的束流光學(xué)函數(shù)分布Fig.1 Beam optical function distribution of unit in medium energy diffraction limit storage ring

表1 中能衍射極限環(huán)主要參數(shù)Table 1 Main parameter of medium energy diffraction limit storage ring

2 電阻壁阻抗

2.1 電阻壁阻抗材料對比與分析

本文采用數(shù)值程序計(jì)算了不同材料結(jié)構(gòu)對電阻壁阻抗的影響。材料方面以銅、鋁、不銹鋼作為電阻壁的主要選擇材料，3種材料的物理和化學(xué)性質(zhì)列于表2。結(jié)構(gòu)方面需要考慮是否鍍膜，鍍膜主要以非蒸散型吸氣劑(NEG)薄膜[20]為主，可為加速器運(yùn)行時提供所需的真空度；應(yīng)用較多的還有不銹鋼鍍銅膜，在保留原金屬材料優(yōu)質(zhì)特性的同時，提高電阻壁的材料電導(dǎo)性，降低阻抗。世界上大部分第4代光源均已采用鍍有NEG膜的雙層材料結(jié)構(gòu)電阻壁，本文主要對雙層結(jié)構(gòu)的電阻壁的材料阻抗進(jìn)行對比和分析。束管為環(huán)形管道，半徑為15 mm，內(nèi)層鍍膜材料分別選取銅和NEG，外層管道材料選取銅、鋁和不銹鋼，共有4種電阻壁的材料結(jié)構(gòu)方案，分別為銅(鍍NEG膜)、鋁(鍍NEG膜)和不銹鋼(鍍NEG膜)以及不銹鋼鍍銅膜。利用ImpedanceWake2D[21]和CST[22]進(jìn)行模擬計(jì)算，束管長度為1 m。

表2 銅、鋁和不銹鋼的物理和化學(xué)性質(zhì)Table 2 Physical and chemistry properties of copper, aluminum and stainless steel

從管道內(nèi)部鍍膜的厚度角度進(jìn)行分析，銅內(nèi)鍍有NEG膜和不銹鋼鍍銅膜為例，外層束流管道的材料厚度為1 mm，內(nèi)層鍍膜材料厚度分別為1、5、10和100 μm，如圖2a、b所示，對于銅內(nèi)鍍有NEG膜，在低頻時，電阻壁橫、縱向阻抗與膜厚度呈正比，且膜厚度為1 μm時，橫、縱向阻抗最低；如圖2c、d所示，對于不銹鋼鍍銅膜厚度而言，鍍膜厚度與電阻壁縱向和橫向阻抗呈反比，當(dāng)銅膜厚度大于5 μm時，鍍膜厚度對電阻壁阻抗幾乎沒有影響。因此，從鍍膜的角度對電阻壁進(jìn)行優(yōu)化，對于外層金屬材料內(nèi)鍍有NEG膜的結(jié)構(gòu)而言，在滿足加速器運(yùn)行所需真空度的條件下，鍍1 μm的NEG膜時阻抗最低；對于外層金屬材料(電導(dǎo)率遠(yuǎn)小于銅電導(dǎo)率)內(nèi)鍍銅膜的結(jié)構(gòu)而言，考慮實(shí)際加速器的需求，鍍5 μm銅膜作為電阻壁的優(yōu)化方案。

圖2 鍍有NEG膜和鍍銅膜厚度對電阻壁縱向阻抗和橫向阻抗的影響Fig.2 Effect of thickness of NEG and copper coating on resistive wall longitudinal and transverse impedance

從電阻壁的材料選擇進(jìn)行分析，共選用4種(不銹鋼、鋁、銅內(nèi)鍍有NEG膜和不銹鋼鍍銅膜)材料結(jié)構(gòu)，外層金屬材料厚度為1 mm，由上述膜厚度對電阻壁阻抗影響的分析結(jié)果，優(yōu)化方案為1 μm NEG膜、5 μm銅膜。4種材料結(jié)構(gòu)中，損失因數(shù)分別為0.017 V/pC(銅+NEG膜)，0.023 V/pC(鋁+NEG膜)，0.037 V/pC(不銹鋼+NEG膜)和0.01 V/pC(不銹鋼+銅膜)，對于3種NEG膜的材料結(jié)構(gòu)中，銅內(nèi)鍍有NEG膜的阻抗、尾場勢和損失因數(shù)最小，對束流能量損耗最少，對于需要維持良好真空度的束流管道，銅內(nèi)鍍有NEG膜材料可作為降低阻抗的優(yōu)化材料；不銹鋼鍍銅膜相較于銅內(nèi)鍍有NEG膜有更低的阻抗，更高的導(dǎo)電性，同時能量損耗和熱損耗較低，材料剛度較高，在高溫下不易變形。因此，對于儲存環(huán)中需要采用分布式排氣的真空室，可考慮銅內(nèi)鍍有1 μm NEG膜為優(yōu)化材料；對于特殊真空室部件，內(nèi)部結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜無法或很難實(shí)施NEG鍍膜，或集中布置抽氣泵能滿足真空要求的，可考慮不銹鋼內(nèi)鍍有5 μm銅膜。

2.2 中能衍射極限環(huán)電阻壁阻抗計(jì)算

(1)

其中：b為束管半徑；c為光速；ω為所對應(yīng)的頻率。由電阻壁縱向阻抗計(jì)算得出橫向阻抗，橫向阻抗計(jì)算結(jié)果近似為0.13 MΩ。

世界上的同步輻射光源根據(jù)實(shí)際需求，采用了不同的真空設(shè)計(jì)方案，具體采用的結(jié)構(gòu)材料和內(nèi)部鍍膜材料厚度列于表3，單位長度下的橫向阻抗和縱向阻抗如圖3所示，中能衍射極限環(huán)單位長度的橫向阻抗和縱向阻抗在衍射極限環(huán)中處于中等趨勢，主要受真空盒半徑的影響。

表3 世界上同步輻射光源真空盒尺寸、材料和內(nèi)部鍍膜材料厚度Table 3 Size, material of vacuum box and material and thickness of inner coating of synchrotron radiation source in the world

圖3 單位長度下各光源縱向阻抗(a)和橫向阻抗(b)Fig.3 Longitudinal impedance (a) and transverse impedance (b) of unit length of synchrotron radiation source

3 高頻腔和三次諧波腔阻抗

3.1 高頻腔與三次諧波腔設(shè)計(jì)與優(yōu)化

在中能衍射極限環(huán)中，采用500 MHz高頻腔補(bǔ)充束流在運(yùn)動過程中因同步輻射等效應(yīng)的能量損失；采用1.5 GHz的三次諧波腔對束團(tuán)長度進(jìn)行有效拉伸，減小由小束團(tuán)尺寸引起的束內(nèi)散射效應(yīng)(IBS)和Touschek效應(yīng)，提高束流壽命。參考上海光源500 MHz的備用腔[32]以及TESLA腔[33]，作為本文的500 MHz和1.5 GHz腔的設(shè)計(jì)依據(jù)，重新對高頻腔和三次諧波腔的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行設(shè)計(jì)和優(yōu)化。

圖4 中間腔腔型示意圖Fig.4 Schematic of middle cell

使用Superfish確定腔的幾何參數(shù)，500 MHz高頻腔以及1.5 GHz三次諧波腔結(jié)構(gòu)如圖4所示，其中，Req為赤道半徑，R1為束孔半徑，A1、B1、A2、B2分別為腔底部橢圓和腔頂部橢圓的橫、縱半軸長度，L為半腔長度，腔底部橢圓的橢圓率為e1=A1/B1，腔頂部橢圓的橢圓率e2=A2/B2。利用CST對腔體中的結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最后調(diào)整Req的高度，使基頻模式到達(dá)腔體所需要的工作頻率。

通過CST進(jìn)行分析，高頻腔與三次諧波腔的幾何結(jié)構(gòu)尺寸列于表4，其中Ep為峰值電場，Ea為加速梯度，HP為峰值磁場。若以高純鈮腔的峰值磁場200 mT和峰值電場100 MV/m進(jìn)行計(jì)算，理論獲得高頻腔和三次諧波腔的加速梯度分別可達(dá)48.54 MV/m和47.16 MV/m，已滿足高頻腔和三次諧波腔的13 MV/m和9 MV/m的加速梯度。

表4 中間腔腔型尺寸參數(shù)Table 4 Dimension of middle cell

當(dāng)束流經(jīng)過腔體時，在多束團(tuán)的模式下會在腔體內(nèi)部激勵起電磁場，可能會產(chǎn)生高于工作頻率的諧振模式，這些諧振模式稱為高次模。有些高次模會對束流產(chǎn)生不利影響，引起束流不穩(wěn)定性。在儲存環(huán)中技術(shù)重要難題之一是如何對腔體的有害高次模進(jìn)行抑制，本文采用擴(kuò)大束流管道半徑的辦法，選擇合理的束管結(jié)構(gòu)，對腔體內(nèi)部產(chǎn)生的高次模進(jìn)行有效的傳輸。束流管道類型選擇擴(kuò)大型束管[34]和梅花型束管[35]，并對兩者對高次模的抑制效果進(jìn)行了比較。

經(jīng)綜合考慮，最終確定高頻腔束管道半徑為150 mm，三次諧波腔束管道半徑為57 mm。利用CST微波工作室對兩者的高次模傳輸進(jìn)行對比，判斷不同束管對腔體高次模引出效果，通過外載品質(zhì)因數(shù)Qext和特性阻抗R/Q的乘積與中能衍射極限環(huán)中的耦合多束團(tuán)不穩(wěn)定性的閾值進(jìn)行對比，低于閾值則不會引起縱向耦合多束團(tuán)不穩(wěn)定性。束流縱向和橫向耦合多束團(tuán)不穩(wěn)定性閾值[23]由式(2)和(3)給出：

(2)

(3)

其中：E為束流能量；e為電子能量；Qs為同步振蕩頻率工作點(diǎn)；τs為縱向輻射阻尼時間；η為滑向因子；ωHOM為高次模所在的頻率；τ⊥為橫向輻射阻尼時間；β⊥為Beta函數(shù)的平均值；ω0為回旋頻率；I為束流流強(qiáng)；Ip為峰值流強(qiáng)。

當(dāng)束流流強(qiáng)為500 mA時，經(jīng)計(jì)算，中能衍射極限環(huán)的縱向和橫向耦合多束團(tuán)不穩(wěn)定閾值分別為63 kΩ/GHz和0.106 MΩ/m。圖5為不同束流管道類型的高頻腔和三次諧波腔中高次模的QextR/Q與縱向、橫向多束團(tuán)耦合不穩(wěn)定性閾值的對比。對于高次模的傳輸，擴(kuò)大型束管中有部分高次模超過了橫向和縱向耦合多束團(tuán)不穩(wěn)定性阻抗閾值，而梅花型束管中的高次模均處于閾值以下，因此在束管長度相同的條件下，梅花型束管和擴(kuò)大型束管在對高次模的傳輸能力上，梅花型束管要略好于擴(kuò)大型束管，因而選用梅花型束管作為高頻腔和三次諧波腔的引出束管類型。

a，b——高頻腔；c，d——三次諧波腔圖5 不同束流引出管道類型的高頻腔和三次諧波腔中高次模的 QextR/Q與縱向、橫向多束團(tuán)耦合不穩(wěn)定性閾值的對比Fig.5 Comparison of longitudinal and transverse multi-bunch coupling instability thresholds with QextR/Q of higher-order modes of RF cavity and third harmonic cavity with different types of beam tubes

3.2 高頻腔和三次諧波腔阻抗計(jì)算

根據(jù)上述設(shè)計(jì)的500 MHz高頻腔和1.5 GHz三次諧波腔型，采用梅花型束管，高頻腔采用單Cell結(jié)構(gòu)，三次諧波腔采用雙Cell結(jié)構(gòu)。束團(tuán)選用高斯束團(tuán)，束團(tuán)長度為2.3 mm，計(jì)算頻率范圍為0～45 GHz，為了便于觀察計(jì)算結(jié)果，本文頻率范圍選擇0～10 GHz，CST中選用的尾場長度為3 m，單個束團(tuán)電荷量為1.5 nC，網(wǎng)格分化小于1 mm，網(wǎng)格數(shù)約為650萬，使得計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。利用CST微波工作室計(jì)算高頻腔以及三次諧波腔的阻抗，模擬計(jì)算結(jié)果如圖6所示，高頻腔和三次諧波腔損失因數(shù)分別為0.233 V/pC和1.035 V/pC，高頻腔和三次諧波腔的分路阻抗分別為598 Ω和3 231 Ω。高次模阻抗分別161 Ω和1 154 Ω，頻率分別為0.98 GHz和2.58 GHz，均屬于單極模，品質(zhì)因數(shù)分別為0.96和2.87。

a，b——高頻腔；c，d——三次諧波腔圖6 高頻腔阻抗和三次諧波腔阻抗Fig.6 Impedance of RF cavity and third harmonic cavity

4 多束團(tuán)耦合不穩(wěn)定性分析

高頻腔和三次諧波腔阻抗與縱向耦合多束團(tuán)不穩(wěn)定性閾值隨頻率的變化如圖7所示。高頻腔和三次諧波腔采用梅花型束管，可有效地對腔內(nèi)激勵起的高次模進(jìn)行傳輸，腔體內(nèi)的高次模阻抗未超過縱向多束團(tuán)耦合不穩(wěn)定性閾值，因此不會引起縱向多束團(tuán)耦合不穩(wěn)定性。

對于橫向多束團(tuán)耦合不穩(wěn)定性的分析，主要考慮電阻壁橫向阻抗在低頻時的貢獻(xiàn)，橫向耦合束團(tuán)不穩(wěn)定性的增加率由式(4)給出，相關(guān)表達(dá)式由式(5)給出：

(4)

圖7 高頻腔(a)和三次諧波腔(b)阻抗與縱向耦合多束團(tuán)不穩(wěn)定性閾值隨頻率的變化Fig.7 Impedance vs longitudinal coupling multi-bunch instability threshold of RF cavity (a) and third harmonic cavity (b) on frequency

(5)

其中：νx,y為橫向振蕩工作點(diǎn)；Ic為束流平均流強(qiáng)；m為同步振蕩模數(shù)；Fm為形狀因子；ωp和ωq為未受擾動模的頻率；ωξ為色品頻率；h為諧波數(shù)；ξ為色品；η為動量壓縮因子；Bf為聚束因子；T0為回旋周期。

隨m的增大，hm和Fm逐漸達(dá)到飽和，當(dāng)超過一定范圍時，則與m的取值無關(guān)。電阻壁橫向阻抗引起的不穩(wěn)定性增長時間為17.4 ms，小于阻尼時間22.04 ms，因此電阻壁阻抗會嚴(yán)重影響束流的穩(wěn)定性。當(dāng)引入正色品(ξ=1)時，不穩(wěn)定性增長率隨同步振蕩模數(shù)m的變化關(guān)系如圖8所示，不穩(wěn)定性增長率均為負(fù)值，因此在正色品下不會發(fā)生橫向多束團(tuán)耦合不穩(wěn)定性。

圖8 ξ=1時不穩(wěn)定性增長率隨同步振蕩模數(shù)的變化Fig.8 Variation of instability growth rate with synchronous oscillation mode at ξ=1

5 結(jié)論

本文對中能衍射極限環(huán)采用不同材料和不同厚度內(nèi)鍍膜的電阻壁阻抗進(jìn)行了計(jì)算與對比，從鍍膜角度對電阻壁阻抗進(jìn)行優(yōu)化，可采用1 μm的NEG膜和5 μm的銅膜為優(yōu)化方案。從材料的選擇角度進(jìn)行優(yōu)化，針對于儲存環(huán)中分布式排氣的真空室，可采用銅內(nèi)鍍有NEG膜作為優(yōu)化方案；對于特殊的真空元件，內(nèi)部結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，無法或很難實(shí)施NEG鍍膜或采用集中布置抽氣泵滿足真空要求的部分，可采用不銹鋼鍍銅膜為優(yōu)化方案從而降低阻抗。電阻壁橫向阻抗會引起橫向耦合不穩(wěn)定性，引入正色品(ξ=1)可有效地對橫向耦合多束團(tuán)不穩(wěn)定性進(jìn)行抑制；利用數(shù)值模擬程序，重新設(shè)計(jì)了高頻腔和三次諧波腔腔體幾何結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上對腔體幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，滿足高頻腔和三次諧波腔腔壓的設(shè)計(jì)要求，采用梅花型束管可有效地傳輸高頻腔、三次諧波腔內(nèi)產(chǎn)生的高次模，高頻腔和三次諧波腔中的高次模式不會引起縱向耦合不穩(wěn)定性，因此高頻腔和三次諧波腔中的高次模不會成為中能衍射極限環(huán)后續(xù)升級中提升束流流強(qiáng)的限制因素。