基于多維協(xié)方差矩陣和PMU動態(tài)數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計算法

楊 召 徐姣新

1(商丘工學(xué)院 河南 商丘 476000) 2(商丘學(xué)院 河南 商丘 476000)

0 引 言

相量測量單元的應(yīng)用能夠改善廣域測量系統(tǒng)的監(jiān)測、保護和控制[1-2]。智能電網(wǎng)中PMU的覆蓋率逐年上升[3-4]，增強了電力系統(tǒng)狀態(tài)估計的規(guī)模、復(fù)雜性、不確定性[5-7]。采用同步相量技術(shù)來估計電力狀態(tài)，并開發(fā)可靠的操作程序，能夠更好地管理電網(wǎng)。狀態(tài)估計方法一般可分為兩類：基于模型的估計和數(shù)據(jù)驅(qū)動下的估計。基于模型的估計是傳統(tǒng)的估計方法，文獻[8]提出了基于冪函數(shù)雅可比逆矩陣最大奇異值的統(tǒng)計狀態(tài)估計指標?；诖?，文獻[9]確定了大規(guī)模電力系統(tǒng)中潮流控制的不可行性。文獻[10]給出電力系統(tǒng)狀態(tài)估計的等效節(jié)點分析，根據(jù)特征值、特征向量和功率流雅可比矩陣預(yù)測系統(tǒng)特性。然而，這些估計難以滿足對動態(tài)變化的電力系統(tǒng)監(jiān)測的穩(wěn)定、大規(guī)模、復(fù)雜性和不可預(yù)測行為的要求。

數(shù)據(jù)驅(qū)動技術(shù)可以在電網(wǎng)參數(shù)或拓撲未知的情況下進行狀態(tài)估計[11-14]。文獻[12]提出了一種基于SVD的PMU數(shù)據(jù)功率狀態(tài)估計方法，但由于計算量大，其方法難以在大型電力系統(tǒng)中實現(xiàn)實時估計。此外，高維PMU數(shù)據(jù)的線性特征值統(tǒng)計量(Linear Eigenvalue Statistic,LES)被用于電力系統(tǒng)的態(tài)勢感知和校正分析[14]。利用高維隨機矩陣的漸近性質(zhì)，基于LES的方法利用單個窗口截斷的PMU數(shù)據(jù)提供了魯棒的功率狀態(tài)估計。本文利用PMU數(shù)據(jù)的高維統(tǒng)計特性來表示狀態(tài)估計。

同步PMU的大規(guī)模應(yīng)用使狀態(tài)估計研究需要考慮如何以電力系統(tǒng)的連續(xù)學(xué)習(xí)方式表示海量PMU數(shù)據(jù)流、如何從海量PMU數(shù)據(jù)流中估計實時狀態(tài)、如何把PMU大數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)據(jù)供實際使用、如何在不假設(shè)數(shù)據(jù)的參數(shù)分布的情況下進行狀態(tài)估計、是否存在維數(shù)大和樣本大小靈活的數(shù)據(jù)驅(qū)動狀態(tài)評價指標。文獻[15]基于似然比(Likelihood Radio，LR)檢驗提出了高維協(xié)方差矩陣檢驗。在樣本量大于數(shù)據(jù)維數(shù)的情況下，LR檢驗對正態(tài)分布數(shù)據(jù)有很好的效果。文獻[16]將LR檢驗擴展到非正態(tài)分布，文獻[17]考慮了數(shù)據(jù)維度范圍很廣的情況下LR檢驗的修正(Correction of the LR,CLR)。這些檢驗都基于樣本協(xié)方差矩陣可以直接代替總體協(xié)方差矩陣的假設(shè)，但由于基于樣本協(xié)方差矩陣的估計具有不必要的項，這些項在維數(shù)較高時大大減慢了收斂速度[18-20]。與直接估計種群協(xié)方差矩陣不同，文獻[20]提出了合理的距離來估計種群間的差異，但工作計算量大且集中在兩個子種群的差異上，不適合在海量PMU數(shù)據(jù)流中進行實時狀態(tài)估計。

本文考慮PMU數(shù)據(jù)流不同采樣周期協(xié)方差矩陣的變化，結(jié)合多維協(xié)方差矩陣檢驗，提出一種基于實時數(shù)據(jù)驅(qū)動的功率狀態(tài)估計算法。首先介紹了海量PMU數(shù)據(jù)流的數(shù)學(xué)表征方法，提出一種利用多維協(xié)方差矩陣檢驗的功率狀態(tài)估計方法。然后，通過主成分分析和冗余消除提高了計算效率。最后，通過算例研究，分析了所提狀態(tài)估計指標的性能。結(jié)果顯示本文方法可以聯(lián)合顯示系統(tǒng)事件的相對大小、持續(xù)時間(或所謂的清除時間)和位置；無須指定PMU數(shù)據(jù)的參數(shù)分布，應(yīng)用范圍廣；實現(xiàn)了高維PMU數(shù)據(jù)的漸近性質(zhì)，提高了測試統(tǒng)計量的魯棒性。

1 海量PMU數(shù)據(jù)流建模

大型電力系統(tǒng)的暫態(tài)特性可以用一組微分和代數(shù)方程來表示[21-22]：

(1)

0=g(x(t),u(t),h(t),w)

(2)

式中：x(t)∈Cm×p為功率狀態(tài)變量，如轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和動態(tài)負荷；u(t)為系統(tǒng)輸入?yún)?shù)；h(t)為代數(shù)變量，如母線電壓幅值；w為系統(tǒng)非時變參數(shù)；t∈R、m和p分別是采樣時間、系統(tǒng)變量數(shù)和節(jié)點數(shù)。基于模型的狀態(tài)估計[9]著重于非線性方程的線性化：

(3)

數(shù)據(jù)驅(qū)動的狀態(tài)估計[11-14]可以在電網(wǎng)參數(shù)或拓撲未知情況下進行狀態(tài)估計。然而，這些估計都是基于對單個窗口截斷的PMU數(shù)據(jù)的分析，本文提出一種能夠從大量的PMU數(shù)據(jù)流中連續(xù)學(xué)習(xí)的方法。首先，將大的高維PMU數(shù)據(jù)流轉(zhuǎn)化為PMU數(shù)據(jù)段。圖1為大規(guī)模PMU數(shù)據(jù)流的示意圖，其中p表示整個電網(wǎng)中可用PMU的數(shù)量，每個PMU提供m個測量值。在第i次采樣時，采集了zi等k=p×m個測量值。對于每個PMU，測量可以包含電壓大小、功率流和頻率等m種類型的變量。假設(shè)每種類型的測量是獨立的，進行PMU數(shù)據(jù)分析。假設(shè)在第i次數(shù)據(jù)采集中，在每一輪分析中，采樣頻率kHz，給定T秒的q時間周期，設(shè)ng=T×K和n分別為窗口大小和采樣數(shù)。隨機矩陣序列為：

(4)

由于電壓幅值是電力系統(tǒng)中最常用的測量值之一，此基礎(chǔ)上已有大量的研究工作，且在電力系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)未知的情況下，可以得到電壓幅值，因此，本文采用母線電壓幅值作為狀態(tài)數(shù)據(jù)。

2 電壓穩(wěn)定性估計

2.1 多維協(xié)方差矩陣檢驗

采用隨機矩陣流{Z1，Z2，…，Zq}來表示一個采樣周期內(nèi)的海量PMU數(shù)據(jù)流。本文對{Z1，Z2，…，Zq}的統(tǒng)計量進行綜合分析，而不是分析單個窗口截斷的PMU數(shù)據(jù){Zg}g=1,2,…,q。以Σi作為第i次PMU測量的協(xié)方差矩陣，檢驗假設(shè)：

H0:Σ1=Σ2=…=Σq

H1:?j,ks.t.Σj≠Σk

(5)

假設(shè)式(5)是多元統(tǒng)計分析[15]中常用的檢驗假設(shè)，通過共享一些相同分布的樣本，使用每個種群中的一個樣本來檢驗假設(shè)。樣本總體的協(xié)方差矩陣相等。

2.2 所提檢驗統(tǒng)計

LR檢驗[15]和CLR檢驗[17]是式(5)最常用的檢驗統(tǒng)計量，可以通過用樣本協(xié)方差矩陣Yg替換總體協(xié)方差矩陣Σg理解。用Yg直接替換Σg，對正態(tài)分布數(shù)據(jù)具有不變性和良好的測試性能[15]。測試統(tǒng)計量V2可能不適用于高維數(shù)據(jù)[18]。此外，當PMU數(shù)據(jù)的維數(shù)較高時，估計量V3有不必要的項，大大減慢了收斂速度[19]。此時，跟蹤準則[19]更適合于檢驗。不直接估計總體協(xié)方差矩陣，而是利用數(shù)據(jù)流{Z1，Z2，…，Zq}之間的差異定義距離度量，即Σs和Σt之間基于軌跡的距離度量是：

(6)

式中：tr(·)是跟蹤算子。

(7)

(8)

測量Σs和Σt距離的檢驗統(tǒng)計量為：

Vst=As+At-Cst

(9)

所提檢驗統(tǒng)計量可表示為：

(10)

當p,ng→∞，式(9)的漸近正態(tài)性在定理1中給出。

1) 對于任意k和l∈{s,t}，tr(ΣkΣl)→∞和tr{(ΣiΣj)(ΣkΣl)}=O{tr(ΣiΣj)tr(ΣkΣl)}；

2) 對于i=1,2,…,ng，Z(i)是獨立同分布的p維向量，具有有限的8階矩。

在上述條件下：

對于任何q≥2，當p,ng→∞時，所提出的檢驗統(tǒng)計量V1滿足：

(11)

PFAR=P(R>α|H0)=

(12)

PDR=P(R≥Q(α)|Hi)

(13)

2.3 電力系統(tǒng)的連續(xù)學(xué)習(xí)

本節(jié)在式(10)的基礎(chǔ)上，提出一種連續(xù)表示狀態(tài)估計的方法。整個訓(xùn)練周期表示為：

假定電力系統(tǒng)在Ttrn期間處于正常運行狀態(tài)。當i=1,2,…,n時，采集的PMU數(shù)據(jù)流為：

{Zi1,Zi2,…,Ziq}

連續(xù)學(xué)習(xí)步驟為：

1) 估計系統(tǒng)事件的相對大小和持續(xù)時間：使用式(10)，當系統(tǒng)事件指標滿足要求時，可以用幾個PMU數(shù)據(jù)樣本識別系統(tǒng)事件：

|V1-μ|≥γ

(14)

式中：μ、γ=3σ是系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)，可從歷史PMU數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)。系統(tǒng)事件的相對大小等于檢驗統(tǒng)計量V1。假設(shè)系統(tǒng)事件發(fā)生在采樣周期Ttest中，對于j=1,2,…,c，檢驗數(shù)據(jù)流為{Zi1，Zi2，…，Ziq}，事件的持續(xù)時間為：

(15)

式中：

(16)

式中：參數(shù)N=q×ng，k=rlogp，r是Z(j)的秩。

對于l=1,2,…,p，可以構(gòu)造兩個用于并行數(shù)據(jù)分析的展開矩陣：

(17)

將A1l和A2l數(shù)據(jù)替換為式(10)中的檢驗統(tǒng)計量，樣本時間T1內(nèi)最敏感的PMU數(shù)據(jù)(loc表示)的位置可以表示為:

(18)

3 算例分析

所提狀態(tài)估計檢驗統(tǒng)計量由IEEE 30、118節(jié)點系統(tǒng)、波蘭2383節(jié)點系統(tǒng)[23]和實際34 PMU系統(tǒng)進行估計。合成數(shù)據(jù)、導(dǎo)納矩陣和潛在的電力系統(tǒng)狀態(tài)由MATPOWER生成。測量噪聲為不相關(guān)的高斯分布或伽馬分布，電壓的每個分量的標準偏差為0.05[22]。

3.1 測量噪聲對狀態(tài)估計的影響

在穩(wěn)態(tài)條件下運行時，PMU提供高精度的測量(包括電壓、電流相量和頻率)。然而，在暫態(tài)條件時，測量中會出現(xiàn)明顯的誤差。假設(shè)電力系統(tǒng)在正常狀態(tài)下運行，首先，利用合成數(shù)據(jù)研究測量噪聲和窗口大小對狀態(tài)估計的影響。采用式(3)的線性化模型生成多維數(shù)據(jù)模型進行式(10)的檢驗。設(shè)z0為電力系統(tǒng)的初始狀態(tài)。數(shù)據(jù)波動和參數(shù)q分別設(shè)置為5%和10。對于i=1,2,…,ng，本文考慮隨機向量z(i)有兩種情況：

1)z(i)是p維正態(tài)隨機向量，具有均值z0和方差0.05z0。

p∈{30，118，2 383}，樣本窗口大小ng∈{30，100，300，1 000，2 500}。結(jié)果表明，所提出的檢驗統(tǒng)計量對數(shù)據(jù)維數(shù)與樣本大小沒有任何限制。基于1 000個獨立的蒙特卡羅模擬，所獲結(jié)果如表1、表2所示?？梢钥闯觯瑱z測率DR隨維數(shù)和樣本量的增大而增大，在高斯分布噪聲(GSN)和Gama分布噪聲(GMN)兩種情況下，檢驗統(tǒng)計量的DR都接近于1。此外，所提方法FAR很快收斂到標稱5%，GSN的FAR收斂到標稱水平的速度比GMN慢。另一方面，LR檢驗不適用于p≥ng，CLR檢驗的收斂速度慢于所提出的檢驗，該檢驗統(tǒng)計量在很寬的維數(shù)和分布范圍內(nèi)具有更高的準確度和魯棒性，而LR檢驗和CLR檢驗易受數(shù)據(jù)維數(shù)和噪聲分布變化的影響，即所提出的檢驗是漸進的和非參數(shù)的。

表1 GSN下檢驗統(tǒng)計量的DR和FAR

表2 GMN下檢驗統(tǒng)計量的DR和FAR

3.2 參數(shù)q對狀態(tài)估計的影響

考慮GSN、GMN兩種測量噪聲，圖2中Guess-30和Gama-30表示所采用的測量噪聲分別為GSN和GMN，PMU數(shù)目p=30，類似定義了Gauss-118、Gama-118、Gauss-2383和Gama-2383。將數(shù)據(jù)大小q×ng設(shè)為600，得到圖2(a)，可見DR隨q的增加而減小。將窗口大小ng設(shè)為100，得到圖2(b)，可見DR隨q的增加而增加。在其余的算例中，將參數(shù)q設(shè)為5。

圖2 參數(shù)q對狀態(tài)估計的影響

3.3 基于綜合數(shù)據(jù)的電力系統(tǒng)在線狀態(tài)估計

利用IEEE 30節(jié)點、IEEE 118節(jié)點和波蘭2383節(jié)點系統(tǒng)的仿真數(shù)據(jù)，對基于該檢驗統(tǒng)計量的電力系統(tǒng)狀態(tài)估計性能進行了估計。系統(tǒng)的具體細節(jié)參見Matpower 5.1軟件包中的case30.m、case118.m和case2383.m?？紤]了影響系統(tǒng)工作狀態(tài)的三種信號，如表3、表4、表5所示。其中ρ表示測試系統(tǒng)中的PV節(jié)點數(shù)量，是隨機選擇的。為簡化描述，主要對IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)地進行說明。

表3 信號類型I：電壓驟降

表4 信號類型II：電壓驟升

表5 信號類型III：電壓驟降和驟升

(a) 基于GSN的參數(shù)學(xué)習(xí)

(b) 基于GME的參數(shù)學(xué)習(xí)圖3 IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)的參數(shù)學(xué)習(xí)

狀態(tài)估計從第301 s開始。采集60 s的數(shù)據(jù)。63節(jié)點負荷從320 s到340 s分別發(fā)生三種系統(tǒng)事件。根據(jù)圖3和式(14)和式(15)的結(jié)果，可知事件發(fā)生在第301 s，信號的實際持續(xù)時間可以計算為tdur=1 000/(q×ng)×10=20 s?；诖?，通過式(18)確定最敏感節(jié)點的位置，結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，當測量噪聲設(shè)置為GSN或GMN時，在所有三種系統(tǒng)事件存在的情況下，第63節(jié)點是最敏感的節(jié)點。

(a) GSN下的I型信號 (b) GMN下的I型信號

(c) GSN下的II型信號 (d) GNN下的II型信號

(e) GSN下的III型信號 (f) GMN下的III型信號圖4 確定IEEE118節(jié)點系統(tǒng)最敏感節(jié)點

3.4 實際數(shù)據(jù)分析

本節(jié)將估計本文方法對實際電力系統(tǒng)狀態(tài)估計的有效性。基于2013年某地區(qū)電網(wǎng)發(fā)生的鏈式反應(yīng)故障，PMU數(shù)、采樣率和總采樣時間分別為p=34、K=50 Hz和284 s。鏈式反應(yīng)故障發(fā)生在t=65.4 s到t=73.3 s之間。圖5和圖6分別給出了穩(wěn)定狀態(tài)和故障狀態(tài)下的功率。可以看出，在穩(wěn)定狀態(tài)下，電流變化平穩(wěn)，而在故障狀態(tài)下，電流變化不規(guī)律。設(shè)q=5，ng=50，得到λ的概率密度函數(shù)，如圖7所示。圖7表明，λ的均值和方差與理論值吻合得很好。由此，事件的發(fā)生時間和實際持續(xù)時間可以分別確定為t0=65 s和tdur≈8 s。采用式(18)確定最敏感節(jié)點的位置，結(jié)果如圖8所示。結(jié)果表明，節(jié)點17、節(jié)點18上的PMU最敏感，這與實際事故情況相符。

圖5 34 PMU系統(tǒng)在正常狀態(tài)下潮流

圖6 34 PMU在故障條件下潮流

圖7 34 PMU系統(tǒng)的參數(shù)學(xué)習(xí)

圖8 確定34PMU系統(tǒng)中最敏感節(jié)點

4 結(jié) 語

針對大規(guī)模智能電網(wǎng)對大數(shù)據(jù)分析的迫切需求，基于實時數(shù)據(jù)驅(qū)動，提出一種基于多維協(xié)方差矩陣和PMU動態(tài)數(shù)據(jù)的智能電網(wǎng)狀態(tài)估計算法。首先，將PMU數(shù)據(jù)表示為隨機矩陣序列，將海量PMU數(shù)據(jù)流轉(zhuǎn)換成小的數(shù)據(jù)以供實際使用。突破原始的PMU數(shù)據(jù)或窗口截斷數(shù)據(jù)進行狀態(tài)估計的傳統(tǒng)方法，提出一種多維檢驗法綜合分析電力系統(tǒng)PMU數(shù)據(jù)流。算例研究表明，該檢驗統(tǒng)計量能夠準確地得出系統(tǒng)事件的相對大小、持續(xù)時間和位置。本文的工作為海量PMU數(shù)據(jù)流的數(shù)據(jù)分析打下基礎(chǔ)，為了更好地了解電力系統(tǒng)的狀態(tài)，后續(xù)將把電力系統(tǒng)情景分析和數(shù)據(jù)驅(qū)動方法結(jié)合起來進行進一步的研究。