Helmholtz聲學超材料帶隙特性分析

鐘可欣， 孫維鵬， 趙道利， 劉園園， 馬薇， 譚婷

(1.西安理工大學 水利水電學院，陜西 西安 710048； 2.上海交通大學 機械與動力工程學院， 上海 200240)

聲學超材料(acoustic metamaterials，AMs)是具有亞波長周期性的人工結(jié)構(gòu)材料[1]。彈性波在聲學材料中傳播時，受內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響，存在一種特殊的色散關系，為人為調(diào)控彈性波提供了可能[2]。

振動帶來的影響不容忽視[3]，聲學超材料的出現(xiàn)，為減振降噪等問題的解決提供了新思路[4]。Li等[5]設計了一種具有復合周期棒芯的新型彈性夾層超材料板, 利用有限元和譜元混合方法(FE-SEHM)計算了其動剛度矩陣，通過數(shù)值模擬和實驗驗證了其頻率響應曲線。Jin等[6]提出了一種由層狀蜂窩元結(jié)構(gòu)組成的隔振器，基于布拉格散射和局部共振帶隙對工程結(jié)構(gòu)的噪聲和振動問題進行了研究。Gao等[7]提出了一種具有2個諧振器的二維聲子晶體，研究了其帶隙特性。Oudich等[8]提出了一種具有復合散射體結(jié)構(gòu)的聲子晶體。Wang等[9]采用有限元方法研究了具有開口和閉口諧振腔的聲子晶體板。Guenneau等[10]設計了一種具有雙“C”諧振器的二維圓柱結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)在低頻下有很好的負折射效果。Popa等[11]提出了一種具有主動聲學超材料的體系結(jié)構(gòu)，其具有的負折射率、負有效質(zhì)量密度和顯著的非均勻性的特性可用于設計負折射率介質(zhì)和具有可調(diào)增益和吸收特性。Gardezi等[12]數(shù)值模擬了由2個疊層鋼板中互相連通的空腔組成的聲學超材料的扭轉(zhuǎn)行為。Mei等[13]提出了一種薄膜聲學超材料，選擇性完全吸收100～1 000 Hz內(nèi)的低頻聲音。Jiang等[14]設計并實現(xiàn)了一種超寬帶超材料的吸聲材料。Li等[15]提出了一種散射體為雙面階梯諧振器的超材料，通過數(shù)值分析和實驗驗證了低頻寬帶彈性波的衰減和振動抑制。

近年來，具有Helmholtz諧振腔的聲學超材料成為學者們的研究熱點之一。Helmholtz諧振器是最基本的聲學模型之一，在吸聲降噪等領域被廣泛應用。典型的Helmholtz諧振器由一個頸部和一個空腔組成。Fang等[16]設計了一種由剛性壁腔和一側(cè)開一個小孔組成的Helmholtz諧振器，在共振頻率附近具有負值的有效動模量，所研究的頻率范圍在20～50 kHz，該結(jié)構(gòu)可用于負折射和超透鏡領域。Han等[17]提出了一種具有剛性壁的新型Helmholtz型聲子晶體，該結(jié)構(gòu)由矩形腔體和“W”型空氣通道組成，當晶格常數(shù)為62 mm時，第一完全帶隙最小為12 Hz，帶寬為14.6 Hz。Zhang等[18]設計了一種由腔體、連接頸部、頂部金屬膜和穿孔板組成的Helmholtz諧振器(HHRs)，采用數(shù)值模擬的方法對聲輻射性能進行了研究。Li等[19]研究了Helmholtz諧振器嵌入流體基質(zhì)的二維(平行的剛性狹縫管)/三維(剛性球型)聲子晶體的聲傳輸特性。Hu等[20]提出了一種由二維Helmholtz諧振器陣列組成的聲子晶體，該晶體組成的聲透鏡具有較好的聚焦效果。Hu等[21]推導出流體中二維和三維Helmholtz諧振器聲學超材料的有效質(zhì)量密度和有效體積模量的解析式。Liu等[22]提出了一種由周期排列的耦合Helmholtz諧振器組成的寬帶聲能收集器，所提出的結(jié)構(gòu)可以在頻率范圍為460～680 Hz下獲得較高的輸出電壓。

以往對于Helmholtz諧振腔聲學超材料的研究，其帶隙范圍主要集中在500 Hz以下或者大于10 kHz，完全帶隙范圍在1 000～5 000 Hz的研究相對較少，因此在本文研究的完全帶隙范圍選擇在該范圍內(nèi)。提出了一種由Helmholtz諧振腔構(gòu)成的新型聲學超材料，采用有限元方法對其能帶結(jié)構(gòu)及其傳輸譜進行計算，并結(jié)合振動模態(tài)分析局域共振帶隙的產(chǎn)生機理。其次，通過對Helmholtz諧振腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行設計，實現(xiàn)對彈性波的調(diào)控，最大可將完全帶隙帶寬拓寬至316.1 Hz，頻率范圍主要在1 000～4 000 Hz，所提出的結(jié)構(gòu)對Helmholtz聲學超材料的設計與研究提供理論指導。

1 模型及計算方法

1.1 有限元模型

提出了一種由Helmholtz諧振腔和鋁板組成的聲學超材料，如圖1所示，圖1(a)為該超材料的三維單元結(jié)構(gòu)圖、圖1(b)為xoz平面上的剖面圖、圖1(c)為該單元組成的6×6有限周期超胞結(jié)構(gòu)、圖1(c)為布里淵區(qū)。單元結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)為a=10 mm，基體厚度為t=0.4 mm，Helmholtz諧振腔內(nèi)頸高度為h、半徑為r1、內(nèi)腔高度為h、半徑為r2，Helmholtz諧振腔體厚度為s。如表1為本文在計算中使用的材料參數(shù)。

表1 材料參數(shù)Table1 Material parameter

1.2 能帶結(jié)構(gòu)計算方法

對于圖1所提出的聲學超材料，其能帶結(jié)構(gòu)可以基于基爾霍夫薄板理論作為控制方程來求解，其控制方程為[23]：

(1)

fj為諧振器施加在位置rj+R上的荷載，存在：

fj(rj+R)=fj(rj)exp(-ik·R)

(2)

(3)

式中S為單胞的面積。由于彈簧振子是基于單胞的力學近似，故有：

fj(rj)=-Kj(uj-w(rj))=-ω2mjuj

(4)

式中uj、Kj和mj分別為彈簧振子在該位置的振動位移、彈性剛度和質(zhì)量。

聯(lián)合上述公式即可對聲學超材料的能帶結(jié)構(gòu)進行計算，也即：

SD[(kx+Gx)2+(ky+Gy)2]2wG+

exp[i(k+G)·rj]=Sρhω2wG

(5)

-Kj{∑G′wG′exp[-i(k+G′)·rj]-uj}=ω2mjuj

(6)

2 帶隙形成機理

為進一步說明所提出的Helmholtz聲學超材料的帶隙形成機理，使用有限元分析軟件COMSOL Multiphysics對特定的單元結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)及傳輸譜進行計算。選取結(jié)構(gòu)參數(shù)r1=2.5 mm，r2=3 mm，h=4.5 mm，s=1.4 mm的Helmholtz聲學超材料進行計算，其傳輸譜計算公式為[24]：

(7)

式中：out(solid.disp)為給定的位移激勵；in(solid.disp)為輸出的位移響應。本文考慮在x方向上存在10個單元結(jié)構(gòu)組成的有限陣列，在y方向上仍應用周期性邊界條件來表示無限個單元結(jié)構(gòu)，在陣列結(jié)構(gòu)的一端沿z方向給出一個位移激勵，得出位移響應即可獲得該結(jié)構(gòu)的傳輸譜。

如圖2為選定的Helmholtz聲學超材料的能帶結(jié)構(gòu)圖和傳輸譜，圖中陰影部分(2 449.3～2 758.4 Hz)為該結(jié)構(gòu)的完全帶隙，而方向帶隙的頻率范圍為2 269.8～2 449.3 Hz和2 758.4～3 143.2 Hz，從圖中可以看出，完全帶隙、方向帶隙和傳輸譜的頻率范圍基本吻合，在完全帶隙和方向帶隙的頻率范圍內(nèi)，輸出的位移激勵小于輸入的位移激勵，彈性波在傳播過程中受到了衰減，也即在完全帶隙頻率范圍內(nèi)可以很好地抑制彈性波。在完全帶隙的頻率范圍內(nèi)，出現(xiàn)了2條平直帶，即2 629.8 Hz和2 632 Hz。

如圖3(a)～(e)為圖2能帶結(jié)構(gòu)圖中點a～f的振動模式，a點位于完全帶隙的起始頻率上，其振動模式為Helmholtz諧振腔的扭轉(zhuǎn)模式，而基板保持靜止狀態(tài)，也即彈性波主要作用在Helmholtz諧振腔上。b點和c點是禁帶中的本征模，不同波矢幾乎對應于相同的本征頻率，從而導致平直帶的出現(xiàn)，根據(jù)聲學超材料的局域共振機制，禁帶的出現(xiàn)不僅取決于局域本征模和共振“平帶”，還取決于共振帶與基板Lamb模之間的模式耦合[15]。b點和c點在z方向振動幾乎為0，沒有和基板的Lamb模耦合，也即未對低頻帶隙造成影響。d點位于完全帶隙的截止頻率上，其Helmholtz諧振腔處于扭轉(zhuǎn)模式，而基板在z方向存在很小的振動。e點的振動模式為基板沿著z方向向上運動，內(nèi)頸沿著z方向向下運動。f點在帶隙的下邊界，對應于帶隙的固有頻率，其振動模式為沿著z方向垂直運動。

圖2 能帶結(jié)構(gòu)及傳輸譜Fig.2 Band structure and transmission spectrum

圖3 振動模式Fig.3 Mode of vibration

3 完全帶隙影響因素分析

局域共振單元可以等效為“質(zhì)量-彈簧”系統(tǒng)，帶隙的起始頻率(固有頻率)與諧振器的等效剛度和等效質(zhì)量有關；而計算帶隙的截止頻率時，局域共振單元等效為“質(zhì)量-彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)，與等效剛度和散射體與基板質(zhì)量有關[25]。故在分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對超材料能帶結(jié)構(gòu)的影響時，分別研究Helmholtz諧振腔內(nèi)頸半徑r1、內(nèi)腔半徑r2、內(nèi)頸(內(nèi)腔)高度h等結(jié)構(gòu)參數(shù)對完全帶隙的起始頻率、截止頻率和帶寬的影響。

如圖4所示，當h=4 mm，s=1 mm時，圖4(a)～(c)分別為當控制r1為3.5 mm、3 mm和2.5 mm時，完全帶隙起始頻率和截止頻率隨內(nèi)腔半徑r2的變化曲線圖，圖4(d)為帶寬隨r1、r2的變化曲線圖。從圖2(a)～(c)可以看出，當改變r1的值從1～3 mm、改變r2的值為2.5～3.5 mm時，Helmholtz聲學超材料的完全帶隙起始頻率和截止頻率均在2 000～3 000Hz內(nèi)。當r2不變時，完全帶隙的起始頻率和截止頻率隨著r1的增大而增大；當r1不變時，完全帶隙的起始頻率和截止頻率隨著r2的增大而減小。由此可得，Helmholtz聲學超材料的起始頻率和截止頻率與內(nèi)頸半徑r1呈正相關，與內(nèi)腔半徑r2呈負相關。從圖4(d)可得，Helmholtz聲學超材料帶寬隨著內(nèi)徑r1的增大而增大，隨著內(nèi)腔半徑r2的增大而減小，當r1=2 mm，r2=2.5 mm時，帶寬最大值為226.5 Hz。由此可得，當內(nèi)頸半徑r1不變時，減小內(nèi)腔半徑r2可以獲取更寬的帶隙；當內(nèi)腔半徑r2不變時，增加內(nèi)頸半徑r1可以獲取更寬的帶隙，但增加內(nèi)頸半徑r1或減小內(nèi)腔半徑r2時，完全帶隙的起始頻率和截止頻率均會增加。

圖4 r1、r2對完全帶隙的影響Fig.4 Effect ofr1 andr2 on absolute band gap

圖5為當r1=2.5，r2=3，s=1時，研究改變內(nèi)頸、內(nèi)腔高度h對完全帶隙起始頻率、截止頻率和帶寬的影響。由圖5可得，Helmholtz聲學超材料的完全帶隙起始頻率和截止頻率隨著h的增大而減小，起始頻率由3 665.9 Hz減小到1 497.8 Hz，截止頻率由3 709 Hz減小到1 674.1 Hz，而帶寬隨著h的增大而增大，當增大到5.5 mm時達到最大值(265.6 Hz)，接著隨著h的增大而減小，由此可見，內(nèi)頸和內(nèi)腔h與完全帶隙的帶寬并不呈正相關，但和完全帶隙的起始和截止頻率呈負相關，在進行結(jié)構(gòu)設計時，選取最優(yōu)的h值不僅可以節(jié)省材料，還能獲得更寬的帶隙。

圖5 h對完全帶隙的影響Fig.5 Effect ofh on absolute band gap

固定r1=2.5 mm、r2=3 mm，研究腔體厚度s對能帶結(jié)構(gòu)的影響時分為2個方案，首先是保持Helmholtz諧振腔腔體大小不變，向兩端增加s值(0.4～1.4 mm)，如圖6(a)，研究其對能帶的影響；接著保持r1+s和r2+s的值不變，改變腔體大小，也即向內(nèi)增加s的值，如圖6(b)，研究其對能帶的影響。

圖6 不同方案對比Fig.6 Comparison chart of different solutions

如圖7為方案1和方案2中s對完全帶隙的影響。從圖7(a)可知，當保持Helmholtz諧振腔的空氣腔體大小不變時，隨著腔體厚度s增大，Helmholtz聲學超材料的完全帶隙起始頻率和截止頻率增大，起始頻率從2 055 Hz增大到2 481.4 Hz，截止頻率從2 155.3 Hz增大到2 815.6 Hz，起始頻率增大的速率小于截止頻率，故而隨著s增大，帶寬也逐漸增大，當s增大到1.4 mm時，帶寬最大值為334.2 Hz。從圖7(b)可知，改變Helmholtz諧振腔的空氣腔體大小，也即隨著s的增大，Helmholtz諧振腔的空氣腔體減小，Helmholtz聲學超材料的帶隙起始頻率和截止頻率增大，其帶寬也隨之增大，起始頻率從2 071.2 Hz增大到2 403 Hz，截止頻率從2 094.8 Hz增大到2 633 Hz，當s增大到1.4 mm時，帶寬最大值為230 Hz。由此可得，隨著s的增大，方案1和方案2的完全帶隙起始頻率增加速率差不多，但方案2的完全帶隙截止頻率的增加速率小于方案1的截止頻率，因此方案1的帶寬增長速率大于方案2的增長速率。所以在Helmholtz諧振器的結(jié)構(gòu)設計中，在消耗相同的材料的情況下，選擇方案1可以獲得更寬的帶隙范圍。

圖7 腔體厚度s對完全帶隙的影響Fig.7 Effect ofs on absolute band gap

4 結(jié)論

1)單元結(jié)構(gòu)的完全帶隙的起始頻率和截止頻率與內(nèi)頸半徑和腔體厚度呈正相關，與內(nèi)腔半徑和腔體高度呈負相關；

2)單元結(jié)構(gòu)的完全帶隙頻率范圍與內(nèi)頸半徑和腔體厚度呈正相關，與內(nèi)腔半徑呈負相關，而隨著腔體高度的增加，帶隙逐漸增大，在最佳高度時帶隙寬度達到最大值。因此，在對超材料進行設計時，合理的選擇單元結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)可以調(diào)控其在不同頻率范圍下對彈性波的抑制。