利用磁流變彈性體對(duì)超材料梁進(jìn)行帶隙調(diào)控

張垚， 李金強(qiáng)， 宋智廣， 李鳳明

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

隨著技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代裝備的服役環(huán)境日趨復(fù)雜，對(duì)其力學(xué)性能的要求不斷提升，尤其是在航空航天、高速列車及艦船潛艇等領(lǐng)域的振動(dòng)與噪聲問(wèn)題異常嚴(yán)峻。而振動(dòng)與噪聲對(duì)這些裝備的服役安全性、可靠性以及操作人員的舒適性具有嚴(yán)重的影響。目前，結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主被動(dòng)控制已被廣泛地研究和應(yīng)用[1-3]。

近年來(lái)聲子晶體和聲學(xué)超材料領(lǐng)域[4-7]的興起，提供了一種在特定頻率范圍內(nèi)精確隔離結(jié)構(gòu)振動(dòng)的新方法。聲子晶體和聲學(xué)超材料是一類人工制造的具有特殊周期結(jié)構(gòu)的復(fù)合功能材料，其具有獨(dú)特的頻帶結(jié)構(gòu)即通帶與禁帶。處于通帶范圍內(nèi)的彈性波可以在結(jié)構(gòu)中無(wú)損耗傳播，而處于禁帶范圍內(nèi)的彈性波無(wú)法在結(jié)構(gòu)中傳播。聲學(xué)超材料所具有的這種獨(dú)特的頻帶結(jié)構(gòu)推動(dòng)了聲學(xué)隱身[8]、噪聲控制[9]、波陣面操控[10]等領(lǐng)域的理論與技術(shù)革新[11-13]。

當(dāng)結(jié)構(gòu)振源的頻率范圍變化時(shí)，被動(dòng)控制方案將不再適用。為了使聲學(xué)超材料的功能具有更好的靈活性，研究者們使用了氣壓調(diào)節(jié)[14]、溫度調(diào)節(jié)[15]、介質(zhì)體積比[16]等物理方法來(lái)改變結(jié)構(gòu)參數(shù)，進(jìn)而改變結(jié)構(gòu)的頻帶結(jié)構(gòu)。除此之外，智能材料也已被用于解決各種復(fù)雜裝備的振動(dòng)問(wèn)題。不同的智能材料如壓電材料、電流變材料、磁流變材料、形狀記憶合金等[17-22]，具有在力、電、熱、磁等的作用下改變其形狀和特性的能力。此類材料通過(guò)直接嵌入或粘接到結(jié)構(gòu)表面的方式設(shè)計(jì)成結(jié)構(gòu)，從而用作執(zhí)行器、傳感器和反饋控制器。如 Shen等[23]和Dong等[24]通過(guò)壓電回路來(lái)調(diào)控聲學(xué)超材料中的等效質(zhì)量密度和等效剛度等參數(shù)，Luo等[25]將壓電聚合物薄膜粘貼到聲學(xué)超材料表面來(lái)調(diào)控結(jié)構(gòu)的頻帶特性。Li等[26]利用壓電材料和反饋控制策略所設(shè)計(jì)的聲學(xué)超材料板具有零頻帶隙特性，通過(guò)主動(dòng)調(diào)節(jié)可以獲得優(yōu)良的帶隙特性。劉少剛等[27]利用外加磁場(chǎng)來(lái)調(diào)控以磁流變彈性體作為單、雙包覆層的聲學(xué)超材料的帶隙特性。溫舒瑞等[28]將基于磁流變彈性體的局域共振單元應(yīng)用于超材料梁的設(shè)計(jì)并獲得理想的低頻寬頻帶隙。聞?shì)W凡等[29]利用基于磁流變薄膜的磁固耦合聲學(xué)超材料實(shí)現(xiàn)了聲學(xué)超材料等效參數(shù)的非接觸式主動(dòng)控制?；谝陨涎芯浚疚脑O(shè)計(jì)了一種基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)帶隙特性與減振特性的非接觸式控制。在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步研究了幾何參數(shù)對(duì)主動(dòng)超材料梁結(jié)構(gòu)帶隙特性的影響，發(fā)現(xiàn)通過(guò)改變振子拆分?jǐn)?shù)量、振子大小及振子的位置偏移量可以實(shí)現(xiàn)對(duì)超材料梁帶隙的有效調(diào)節(jié)。本文所提出的結(jié)構(gòu)及研究?jī)?nèi)容豐富了主動(dòng)聲學(xué)超材料梁在低頻減振領(lǐng)域的研究。

1 模型和方法

圖1(a)為基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)示意圖。磁流變彈性體可通過(guò)外界磁場(chǎng)調(diào)節(jié)控制其剪切模量。圖1(b)中周期晶格常數(shù)L=40 mm,質(zhì)量塊的邊長(zhǎng)Lm=20 mm，質(zhì)量塊與框架之間填充磁流變彈性體材料。

圖1 基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)及其單胞結(jié)構(gòu)Fig.1 Schematic diagram of metamaterial beam based on magnetorheological elastomer

本文的計(jì)算采用有限元法，該方法已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算，在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)具有特殊的優(yōu)勢(shì)。在本文計(jì)算中所使用質(zhì)量塊及框架的材質(zhì)為金屬鋁，其密度為2 680 kg/m3，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.33。

關(guān)于磁流變彈性體MREs,本文采用磁偶極子模型[30-31]，其中鐵顆粒的密度為7 890 kg/m3，橡膠密度為1 200 kg/m3。磁流變彈性體MREs的拉伸性能與剪切性能相似，其泊松比為0.47。外磁場(chǎng)的變化對(duì)剪切模量的改變?yōu)椋?/p>

ΔG=36φμfμ0β2H2(R/d)3

(1)

式中：φ為鐵顆粒在橡膠基體中的體積比；R為鐵顆粒的顆粒半徑；d為鏈中2個(gè)鐵顆粒之間的間距；μ0為真空磁導(dǎo)率；H為外部磁場(chǎng)強(qiáng)度；μf=1為相對(duì)磁導(dǎo)率。在這里，假設(shè)d/R=2.5，ζ=1.202，β=1，體積分?jǐn)?shù)φ= 0.27，無(wú)磁場(chǎng)的剪切模量G0=0.4 MPa。

2 計(jì)算結(jié)果和討論

2.1 傳輸特性分析

基于COMSOL Multiphysics多物理場(chǎng)耦合仿真軟件的固體力學(xué)模塊，采用有限元方法對(duì)基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)的帶隙與減振特性進(jìn)行了分析與討論。在仿真分析中，對(duì)基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)的所有組件均采用實(shí)體單元進(jìn)行建模，并在1 000 Hz范圍內(nèi)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了足夠精細(xì)的網(wǎng)格劃分。所劃分網(wǎng)格的總數(shù)為54 756。如圖2所示，在梁的窄邊邊界處采用固定約束，而其他兩側(cè)的長(zhǎng)邊邊界設(shè)置為自由邊界條件。在圖2所示的激勵(lì)點(diǎn)施加垂直于面板的加速度ain，在加速度信號(hào)拾取點(diǎn)收集加速度響應(yīng)信號(hào)aout?；诖帕髯儚椥泽w的超材料梁結(jié)構(gòu)的透射率T，對(duì)數(shù)據(jù)做進(jìn)一步的處理可以獲得基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)的傳輸特性：

(2)

圖2 10×1周期基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)及激勵(lì)點(diǎn)及采集點(diǎn)設(shè)置Fig.2 Positions of excitation and measurement for the magnetorheological metamaterial beam with 10×1 periods

如圖3中所示為基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)在0～1 000 Hz內(nèi)的傳輸曲線。通過(guò)觀察圖中的曲線，不難發(fā)現(xiàn)，圖3中的曲線有一段急速衰減的區(qū)域，這表明彈性波在該頻率范圍內(nèi)被有效地抑制。而在其他頻率范圍內(nèi)，曲線沒(méi)有明顯的衰減，彈性波的傳播未受到明顯的抑制作用。由此，可以得出結(jié)論，本文所設(shè)計(jì)的基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)能夠在一定的頻率范圍內(nèi)精確地隔離振動(dòng)，該結(jié)構(gòu)成功地打開(kāi)了低頻局域共振帶隙。

圖3 基于磁流變彈性體的超材料梁的傳輸曲線Fig.3 Transmission spectra of the magnetorheological metamaterial beam

2.2 結(jié)構(gòu)帶隙的主動(dòng)調(diào)控

由于磁流變彈性體具有特殊的磁流變特性，即在外磁場(chǎng)作用下可大幅改變自身的剪切模量?；谶@一特性，本文通過(guò)研究不同外磁場(chǎng)作用下的傳輸特征和振動(dòng)特征來(lái)探討基于磁流變彈性體超材料梁的帶隙結(jié)構(gòu)的主動(dòng)調(diào)控。

為了更加直觀地說(shuō)明圖3中傳輸曲線所示的帶隙產(chǎn)生及減振機(jī)理，分別繪制了不同激勵(lì)頻率下基于磁流變彈性體的超材料梁及內(nèi)部諧振器的振動(dòng)模態(tài)，如圖4(a)、(b)所示。所選取的激勵(lì)頻率460 Hz位于帶隙范圍內(nèi)，觀察發(fā)現(xiàn)激勵(lì)點(diǎn)周圍面板的振動(dòng)位移明顯大于其他位置，振動(dòng)在周期結(jié)構(gòu)的幾個(gè)單元內(nèi)有效衰減，彈性波的傳播被抑制。此外，觀察到由磁流變彈性體和振子所組成的諧振器的振動(dòng)情況還可以發(fā)現(xiàn)，靠近激勵(lì)源的諧振器的相對(duì)位移明顯大于其他諧振器，即離振源較近的諧振器起著更重要的作用。所選取的激勵(lì)頻率620 Hz位于帶隙范圍外，不難發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)幾乎沒(méi)有衰減的在整個(gè)梁中傳播。這些現(xiàn)象揭示了局域共振帶隙的減振機(jī)理，即帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波在沿著基于磁流變彈性體的超材料梁的傳播過(guò)程中，由于磁流變彈性體與振子所組成的諧振器共振模式被激活，振動(dòng)能量被局域在諧振器上，面板的振動(dòng)被成功地衰減和抑制。

圖4 基于磁流變彈性體的超材料梁在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度及不同激勵(lì)頻率下的振動(dòng)模態(tài)Fig.4 Vibration modes of the magnetorheological metamaterial beam under different magnetic flux density and excitation

圖5展示了本文所設(shè)計(jì)的基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)在在施加不同強(qiáng)度的磁場(chǎng)后，結(jié)構(gòu)傳輸曲線的變化。由圖5可以發(fā)現(xiàn)，隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增大，該結(jié)構(gòu)的帶隙逐漸由低頻向高頻移動(dòng)，帶隙的范圍也逐漸增大，彈性波的衰減幅值未發(fā)生明顯變化。實(shí)際上，這是因?yàn)殡S著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增大，磁流變彈性體的剪切模量也隨之增大，這會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的固有頻率向高頻移動(dòng)。為了便于直觀比較，進(jìn)一步繪制了磁場(chǎng)強(qiáng)度為0.8 T時(shí)超材料梁在不同激勵(lì)頻率下的振動(dòng)模態(tài)，如圖4(c)、(d)所示。觀察并比較圖4(a)、(c)以及圖4(b)、(d)，發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)調(diào)節(jié)外界的磁場(chǎng)強(qiáng)度，有效地抑制不同激勵(lì)頻率下基體梁的振動(dòng)。

圖5 基于磁流變彈性體的超材料梁在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下的傳輸曲線Fig.5 Transmission spectra of the magnetorheological metamaterial beam under different magnetic flux density

如圖6所示，為了更直觀地展示主動(dòng)聲學(xué)超材料梁在帶隙拓寬與調(diào)控方面的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步計(jì)算了基于磁流變彈性體的超材料梁?jiǎn)伟Y(jié)構(gòu)在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下的固有頻率，預(yù)測(cè)了其帶隙變化范圍[7]：

(3)

式中：f1與f2分別表示帶隙的起始與終止頻率；ω表示基于磁流變彈性體的超材料梁?jiǎn)伟Ｐ偷墓逃蓄l率；m1、m2、m3分別表示單胞模型中磁流變彈性體、振子及基體框架的質(zhì)量。由圖6可以更加直觀地發(fā)現(xiàn)，隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，帶隙的上下邊界頻率均隨之上升。

綜上，通過(guò)對(duì)本文所設(shè)計(jì)的基于磁流變彈性體的超材料梁施加磁場(chǎng)后可以實(shí)現(xiàn)低頻范圍內(nèi)帶隙的可控調(diào)節(jié)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)低頻振動(dòng)的非接觸式主動(dòng)控制，可以拓寬超材料梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)用范圍。

2.3 幾何參數(shù)對(duì)主動(dòng)超材料梁結(jié)構(gòu)帶隙特性的影響

基于磁流變彈性體的超材料梁的單胞結(jié)構(gòu)由支撐框架、磁流變彈性體填充層以及振子3部分組成，而這些部分具有獨(dú)立的幾何與材料參數(shù)，這些參數(shù)的選擇會(huì)直接影響到所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的減振性能。因此，本節(jié)針對(duì)一些主要的幾何參數(shù)進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)基于磁流變彈性體的超材料梁的傳輸曲線進(jìn)行分析，研究這些參數(shù)對(duì)帶隙特性的調(diào)控規(guī)律。

圖6 基于磁流變彈性體的超材料梁的帶隙區(qū)間隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化Fig.6 Band-gap bound frequencies of the magnetorheological metamaterial beam vs. magnetic flux density

在上文的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了振子數(shù)量及排布對(duì)基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)的帶隙特性的影響。在保持振子的總質(zhì)量不變的條件下，本文將振子分別拆分為2塊和4塊，其單胞結(jié)構(gòu)模型如圖7所示。需要說(shuō)明的是，振子拆分后的單胞的結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)不發(fā)生變化。圖7(a)中振子的長(zhǎng)度和寬度分別為20和10 mm，圖7(b)中振子的邊長(zhǎng)為10 mm。

圖7 不同數(shù)量振子超材料梁?jiǎn)伟Ｐ虵ig.7 Multi-mass cell models of the magnetorheological metamaterial beam

圖8顯示了不同數(shù)量振子超材料梁的傳輸曲線。可以發(fā)現(xiàn)，隨著單胞中振子拆分?jǐn)?shù)量的增加，基于磁流變彈性體的超材料梁的帶隙范圍逐漸向低頻移動(dòng)，帶隙范圍變窄。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的衰減幅值也隨著拆分?jǐn)?shù)量的增多而變小。圖9展示了振子數(shù)量為4的超材料梁結(jié)構(gòu)在不同場(chǎng)強(qiáng)下的傳輸曲線。觀察發(fā)現(xiàn)，隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增大，超材料梁的帶隙區(qū)間逐漸向高頻移動(dòng)，這表明擁有多振子的超材料梁的帶隙特性也可以通過(guò)外界磁場(chǎng)進(jìn)行有效調(diào)控。進(jìn)一步將圖9與圖5相比較，可以發(fā)現(xiàn)外界磁場(chǎng)對(duì)多振子超材料梁的帶隙調(diào)控作用減弱。綜上，在振子總質(zhì)量不變的情況下，振子數(shù)量的增加更容易獲得更低頻的帶隙，但帶隙的范圍和衰減幅值會(huì)一定程度的減少，外界磁場(chǎng)對(duì)帶隙的調(diào)控作用也會(huì)減弱。

圖8 不同數(shù)量振子超材料梁的傳輸曲線Fig.8 Transmission spectra of the magnetorheological metamaterial beam composed of multi-mass cell

圖9 振子數(shù)量為4的超材料梁在不同場(chǎng)強(qiáng)下的傳輸曲線Fig.9 Transmission spectra of the magnetorheological metamaterial beam composed of 4-mass cell under different magnetic flux density

質(zhì)量塊的大小對(duì)超材料梁結(jié)構(gòu)的帶隙特性具有重要影響，以下研究了質(zhì)量塊大小的影響。保持振子的其他參數(shù)不變，改變振子的尺寸，取其高度分別為6 mm和8 mm。計(jì)算基于磁流變彈性體的超材料梁的傳輸曲線隨振子大小的變化如圖10所示。由圖中可以看出，隨著振子高度的增加，質(zhì)量塊的質(zhì)量隨之增加，超材料梁結(jié)構(gòu)的帶隙范圍向低頻區(qū)域移動(dòng)。這是因?yàn)?，隨著振子質(zhì)量的增加，磁流變彈性體與振子所組成的諧振器系統(tǒng)的固有頻率變小，所產(chǎn)生的局域共振型帶隙的范圍也向低頻移動(dòng)。因此，可以通過(guò)改變振子的尺寸實(shí)現(xiàn)更低頻率的振動(dòng)控制。

同樣，保持振子的其他參數(shù)不變，改變振子的位置，分別偏移 1 mm和2 mm。圖11繪制了基于磁流變彈性體的超材料梁結(jié)構(gòu)在振子位置居中與偏移后的傳輸曲線。通過(guò)對(duì)圖11中傳輸曲線的觀察與對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，振子位置偏移之后，第1階帶隙的起始頻率未發(fā)生明顯的改變，但終止頻率隨著偏移距離的增加而逐漸向低頻移動(dòng)，第1階帶隙的范圍逐漸變窄。值得注意的是，振子的位置偏移之后，產(chǎn)生了新的帶隙。并且?guī)兜膶挾入S著偏移量的增加而增大。此外，計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，振子偏移之后，總的帶隙寬度會(huì)一定程度增大。因此，可以通過(guò)調(diào)節(jié)振子位置的偏移量，產(chǎn)生更加豐富的帶隙以及拓寬帶隙的范圍。

圖10 超材料梁結(jié)構(gòu)的傳輸曲線隨振子大小的變化Fig.10 Transmission spectra of the magnetorheological metamaterial beam under different thickness of resonator

圖11 超材料梁結(jié)構(gòu)的傳輸曲線隨振子位置偏移時(shí)的變化Fig.11 Transmission spectra of the magnetorheological metamaterial beam under different mass position offsets

3 結(jié)論

1) 將磁流變彈性體與振子組成的諧振器嵌入基體梁結(jié)構(gòu)后，可以打開(kāi)十分明顯的局域共振型帶隙，基體梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)在帶隙范圍內(nèi)被顯著衰減。

2)對(duì)本文所設(shè)計(jì)的基于磁流變彈性體的超材料梁施加磁場(chǎng)后可以實(shí)現(xiàn)低頻范圍內(nèi)帶隙的可控調(diào)節(jié)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)低頻振動(dòng)的非接觸式主動(dòng)控制，拓寬了超材料梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)用范圍。

3) 本文研究了幾何參數(shù)對(duì)主動(dòng)超材料梁結(jié)構(gòu)帶隙特性的影響，發(fā)現(xiàn)通過(guò)改變振子拆分?jǐn)?shù)量、質(zhì)量塊的大小及位置偏移量可以實(shí)現(xiàn)對(duì)超材料梁帶隙特性的有效調(diào)節(jié)。