論動能定理在單自由度系統(tǒng)靜力學中的應用

張居敏，李文成

（華中農(nóng)業(yè)大學工學院，湖北 武漢 430070）

動能定理作為動力學的一條重要定理，有關該定理在動力學中的具體應用已經(jīng)有比較全面的論述［1-3］. 實際上動能定理也可以求解靜力學問題，但這方面的報道鮮為人知. 筆者研究了該定理在單自由度系統(tǒng)靜力學問題求解中的具體應用，研究結(jié)果有助于消除古典力學和現(xiàn)代分析力學之間的兩張皮感覺［4］.

靜力學主要研究物體靜止平衡的力學條件，可以把此類靜止平衡問題看作：系統(tǒng)從靜止開始運動時，初始加速度剛好為零的動力學問題. 本文所謂的靜止是系統(tǒng)相對于某個慣性坐標系而言，所謂的物體系統(tǒng)是指剛體系統(tǒng)而言. 系統(tǒng)從靜止開始運動，如果初始加速度零，則系統(tǒng)將會因為“動不起來”而繼續(xù)保持靜止狀態(tài). 運動狀態(tài)不變，說明受力平衡. 在動力學中有關求解系統(tǒng)從靜止開始運動時的初始加速度問題比較常見，屬于常規(guī)性動力學題目.

例1 圖1a中輪1、桿2都是勻質(zhì)物體，質(zhì)量分別為m1，m2. 輪1半徑為r，可沿水平面自由純滾動，不計滾阻力偶. 桿2 長度為L，一端鉸接于輪心，另一端靠在光滑墻壁上. 系統(tǒng)在豎直平面內(nèi)，輪1 受到矩為M的力偶作用，1）求系統(tǒng)從θ=30°位置由靜止開始運動時桿2的初始加速度；2）如果系統(tǒng)在θ=30°位置靜止且受力平衡，求力偶M的大小.

圖1 動力學與靜力學之間的內(nèi)在聯(lián)系

分析 先對系統(tǒng)列動能定理方程，動能表達式包含速度項，動能定理方程對時間求導數(shù)即得加速度.

解 1）設輪1順時針純滾動、桿2逆時針轉(zhuǎn)動. 以θ角為系統(tǒng)參數(shù)，桿2瞬心在P2點處，νB=Lcosθ·ω2，vB方向：水平向右，系統(tǒng)動能

例1 第2）問明顯屬于靜力學問題范疇，但用動力學理論求解出了該靜力學問題. 為驗證求解結(jié)果即式（2）的正確性，再用靜力學理論重新求解例1第2）問所示問題.

系統(tǒng)靜止且受力平衡，桿2及輪1各自的平衡力系分別如圖1b和c所示.

對AB桿平衡力系（如圖1b所示）

對圓輪平衡力系（如圖1c所示）

式（2）和（3）中變量M的值相同，說明例1 第2）問所示靜力學問題用動力學理論求出的結(jié)果是正確的. 由于動能定理只涉及做功的力，而其他所有不做功的力，即理想約束力全部被過濾掉了，所以用動能定理導數(shù)形式方程求解靜力學問題相對比較簡單：涉及到的未知數(shù)最少. 但是對系統(tǒng)整體只能列一個動能定理方程式，所以對靜止系統(tǒng)用初始加速度等于零的方式來求解靜力學問題時，只能求解一個未知數(shù)，或者此方法對單自由度系統(tǒng)最有效.

1 用動能定理確定單自由度物體系統(tǒng)的靜止平衡條件

對于靜止狀態(tài)的單自由度物體系統(tǒng)，設系統(tǒng)參數(shù)為q，q具有角度或長度單位. 設系統(tǒng)從初始qo位置由靜止開始運動，求初始加速度.

利用動能定理導數(shù)形式方程求加速度. 系統(tǒng)從靜止開始運動，初始動能為零，運動過程中系統(tǒng)的動能可記作T=f(q)·q?2，其中函數(shù)f(q)是由系統(tǒng)結(jié)構決定的系統(tǒng)參數(shù)q的一元函數(shù)，q?是系統(tǒng)參數(shù)q對時間的導數(shù)，表示速度，可能是角速度，也可能是線速度. 運動過程中系統(tǒng)所受力系做的功可記作W=w（q），功函數(shù)w（q）由系統(tǒng)結(jié)構及所受力系等共同決定. 力對物體做的功可能還與物體運動軌跡有關，但是單自由度系統(tǒng)中各物體的運動軌跡完全由系統(tǒng)參數(shù)q的起始、終止值決定，軌跡是既定的、唯一的. 因此，單自由度物體系統(tǒng)運動過程中力系做的功可以表示為系統(tǒng)參數(shù)q的一元函數(shù). 對系統(tǒng)列動能定理方程得w(q)=f(q)·q?2，該方程兩邊同時對時間參數(shù)t求導數(shù)得

式（4）求導過程說明：功函數(shù)w（q）對時間求導數(shù)時按數(shù)學上復合函數(shù)求導法則進行：先對系統(tǒng)參數(shù)q求導數(shù)，然后q再對時間求導數(shù)；動能表達式T=f(q)·q?2中q和q?可能都隨時間參數(shù)t的變化而變化，所以動能對時間求導數(shù)時按數(shù)學上兩函數(shù)乘積求導法則進行，即：乘積的導數(shù)等于第一項的導數(shù)乘以第二項，再加上第一項乘以第二項的導數(shù)，其中第一項f（q）對時間求導數(shù)時按復合函數(shù)求導法則進行：先對系統(tǒng)參數(shù)q求導數(shù)，q再對時間的導數(shù).

系統(tǒng)從靜止狀態(tài)開始運動，如果初始加速度為零，則系統(tǒng)將永遠保持靜止狀態(tài). 運動狀態(tài)不變，說明受力平衡. 于是由式（6）得出以下結(jié)論：

定理1 對于靜止狀態(tài)的單自由度物體系統(tǒng)，其處于受力平衡狀態(tài)的充要條件是：假設系統(tǒng)從靜止開始運動，運動過程中系統(tǒng)所受力系做的功是系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)（稱為功函數(shù)），則初始靜止位置必為功函數(shù)的駐點位置，或者說功函數(shù)對系統(tǒng)參數(shù)的一階導數(shù)在初始靜止位置必為零.

功函數(shù)駐點位置就是系統(tǒng)靜止時的受力平衡位置. 因為根據(jù)動能定理，功的導數(shù)等于動能的導數(shù)，所以功函數(shù)的駐點位置也是系統(tǒng)動能的駐點位置，即動能為常量的位置，也就是動能守恒位置，系統(tǒng)在該處靜止則動能為零，而且動能守恒即動能不變，會一直為零，所以系統(tǒng)將永遠保持靜止狀態(tài)，運動狀態(tài)不變，說明受力平衡. 定理1 也可理解為動能為零（即靜止）的動能守恒系統(tǒng)一定受力平衡，或者說動能守恒系統(tǒng)靜止時一定受力平衡.

質(zhì)點作曲線運動時加速度可分解為2項：切向加速度和法向向心加速度，前者反映速度大小的變化情況，后者反映速度方向的變化情況［1-2］. 式（6）是通過動能定理導數(shù)形式方程求解出的系統(tǒng)加速度，所以只含切向加速度因素而不含法向向心加速度因素. 定理1 強調(diào)系統(tǒng)靜止，因為靜止時質(zhì)點法向向心加速為零，此時如果切向加速度也為零，則全加速度必為零，即受力平衡. 定理1 亦可通俗理解為切向加速度為零的靜止系統(tǒng)一定受力平衡.

2 功函數(shù)駐點位置確定方法

2.1寫出功函數(shù)表達式，并令一階導數(shù)等于零

例2 如圖2所示，當OC桿繞軸O擺動時滑塊A沿桿滑動，帶動AB桿在豎直導槽內(nèi)移動，不計各構件自重與各處摩擦.φ=30°，機構靜止平衡，求力F1，F(xiàn)2之間的關系.

圖2 平衡力系

功是力與物體受力點微位移點乘積的積分. 功是由積分得到，積分具有累加性，所以功也有累加性.因此，系統(tǒng)運動初始位置不同時，功函數(shù)表達式相差一個常數(shù)，該常數(shù)等于系統(tǒng)從一個初始位置運動至另一個初始位置過程中力系對系統(tǒng)做的功. 于是結(jié)合定理1有：

推論1 單自由度物體系統(tǒng)運動過程中力系對系統(tǒng)做的功是系統(tǒng)參數(shù)的一元函數(shù)，該函數(shù)（即功函數(shù)）的駐點位置與系統(tǒng)運動初始位置無關，系統(tǒng)在功函數(shù)駐點位置靜止時所受力系一定是平衡力系.如對例題2，也可假設系統(tǒng)從φ=0即OC桿水平位置開始運動，則功函數(shù)

令w'(30°)=0求解即可.

例3 圖3a 結(jié)構中各桿自重都不計，AC=CE=CD=CB=DG=GE=L.G鉸處作用有豎直力F，系統(tǒng)靜止平衡，求支座B的水平約束力.

圖3 零自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單自由度系統(tǒng)

解 該系統(tǒng)自由度為零，把B鉸的水平約束用其約束力FBx替代，得到圖3b 所示單自由度系統(tǒng)，該系統(tǒng)靜止平衡. 假設系統(tǒng)從θ=0位置開始運動，在運動至圖3b所示位置過程中力系做的功

對系統(tǒng)參數(shù)θ角求導數(shù)得

令w'(θ)=0，求解得

例3說明，零自由度系統(tǒng)可以通過解除約束，即用約束力替代約束的方式改造為單自由度系統(tǒng).

2.2根據(jù)導數(shù)的數(shù)學定義確定函數(shù)駐點求功函數(shù)的導數(shù)時也可以根據(jù)導數(shù)的數(shù)學定義，先寫出系統(tǒng)參數(shù)q發(fā)生無限小改變量Δq過程中力系做的功Δw，再除以Δq即得功函數(shù)的導數(shù).

設某單自由度系統(tǒng)包含n個主動力（n為自然數(shù)，n≥1），其中第i個主動力F i作用點對應的位置矢量為ri，系統(tǒng)參數(shù)q發(fā)生無限小改變量Δq時引起位置矢量ri的該變量為Δri，則系統(tǒng)功函數(shù)的導數(shù)為

由高等數(shù)學相關理論知道［5］，設矢量a，b之間夾角為θ，則點乘積為

即2個矢量的點乘積等于兩者模的乘積再乘以其之間夾角的余弦，也等于2個矢量x軸分量乘積、y軸分量乘積、z軸分量乘積三者的和. 因此，式（7）可按以下2種形式繼續(xù)展開，即式（8）和式（9）.

式（8）中θi為力矢量Fi與位移矢量Δri之間的夾角；式（9）中Fix，F(xiàn)iy，F(xiàn)iz分別表示力矢量Fi在坐標系中x，y，z軸上的投影分量，即Fi=Fixi+Fiy j+Fizk；Δxi，Δyi，Δzi分別表示位移矢量Δri在坐標系中x，y，z軸上的投影分量，即Δri=Δxii+Δyi j+Δzik.

式（8）對應的計算方法稱為矢量分析法，式（9）對應的計算方法稱為坐標解析法.

例4 如圖4a 所示，細桿OA，AB長度都為L，OA桿上作用有矩為M的逆時針力偶，A鉸受到豎直力F1作用，滑塊B受到水平力F2作用. 不計各構件自重，系統(tǒng)在圖示θ=30°位置靜止平衡，已知力F1，F(xiàn)2，求力偶M的大小.

圖4 物體系統(tǒng)平衡問題的解法

解法1（矢量分析法） 以θ角為系統(tǒng)參數(shù)，在其發(fā)生無限小改變量Δθ過程中（設OA桿逆時針轉(zhuǎn)動，Δθ＞0），如圖4b所示，由式（8）得功函數(shù)導數(shù)為

其中，無限小位移ΔrA⊥OA，其大小為ΔrA=L·Δθ；xB=2Lcosθ（求微分）?ΔxB=-2Lsinθ·Δθ，所以無限小位移ΔrB（←）的大?。矗涸撌噶康哪＃棣B=2Lsinθ·Δθ，注意，矢量的模都是正數(shù)；M矢與Δθ矢方向都垂直紙面向上. 則由式（10）得

依題意知θ=30°時w'(θ)=0，即

解法2（坐標解析法） 如圖4b所示，在固定坐標系Oxyz（z軸垂直紙面向上、未畫出）中，

微分得

微分得

由式（9）得功函數(shù)導數(shù)為

依題意知θ=30°時w'(θ)=0，即

解法3（功函數(shù)求導法） 如圖4a所示，設系統(tǒng)從θ=0位置開始運動，在運動至圖示位置過程中力系做的功

對θ角求導數(shù)得

依題意知θ=30°時w'(θ)=0，即

設系統(tǒng)參數(shù)q發(fā)生無限小變化量Δq過程中力系對系統(tǒng)做的功為Δw，則由高等數(shù)學中函數(shù)微分理論可知［5］，Δw=w′(q)·Δq，在功函數(shù)w（q）駐點位置Δw=w′(q)·Δq=0，于是有以下結(jié)論：

推論2 靜止狀態(tài)單自由度系統(tǒng)處于受力平衡狀態(tài)的條件：系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生無限小改變量過程中，力系對系統(tǒng)做的功等于零，或者說系統(tǒng)功函數(shù)的微分等于零.

功具有累加性，系統(tǒng)在功函數(shù)駐點處的無限小區(qū)域內(nèi)運動時，其所受力系不做功（或做功和為零），所以動能不變. 此時動能一旦為零（或者無限趨近于零），系統(tǒng)將因為動能守恒而永遠保持靜止狀態(tài)，運動狀態(tài)不變，說明受力平衡. 用動能定理求解靜力學問題的本質(zhì)：動能為零的動能守恒系統(tǒng)將永遠保持靜止狀態(tài). 動能是否守恒由系統(tǒng)所受力系決定：系統(tǒng)運動過程中力系對系統(tǒng)不做功則動能守恒、做功則動能不守恒. 系統(tǒng)動能是否守恒與動能是否為零（或無限趨近于零）沒有關系. 用動能定理求解靜力學問題時，都要讓系統(tǒng)在靜止位置處輕微（無限?。﹦右幌?，看動的過程中是否動能守恒（即力系對系統(tǒng)是否做功）. 如果動能不守恒，則其動能必將改變而不可能永遠為零.

2.3 運動學理論在求解功函數(shù)導數(shù)時的應用設系統(tǒng)參數(shù)q發(fā)生無限小變化量Δq過程中力系對系統(tǒng)做的功為Δw，此無限小的功Δw等于力與力作用點無限小位移的點乘積. 根據(jù)功的定義，不論物體是否從靜止開始運動或者以多大的速度運動，只要位移相同，力對物體做的功就相同，只是功率不同而已. 因此，Δw等于力與無限小位移的點乘積，而與物體以多大的速度通過這段無限小位移沒有關系.

例5 如圖5a所示，OA桿水平，長度為r，受到矩為M的力偶作用，并通過桿件及滑塊與水平力F相平衡. 已知θ角大小，系統(tǒng)靜止平衡，不計各桿自重，求M與F之間的平衡關系.

圖5 速度分析法在靜力學問題求解中的應用

解 設OA桿逆時針勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ωOA，圖示時刻各構件速度方向如圖5b所示，在無限小時間段dt內(nèi)力系做的功

AC桿、CD桿作平面運動，OA桿、BC桿定軸轉(zhuǎn)動，νA，νC在AC桿軸線上投影相等：νAcosθ=νCcos 2θ；νC，νD在CD桿軸線上投影相等νCcos(90°-2θ)=νDcosθ. 于是有vD=vAtan 2θ=rωOAtan 2θ，帶入式（11）并令Δw=0得0=-M·ωOAdt+F·rωOAtan 2θ·dt，約掉ωOAdt得

評論1 對于例題5所示靜力學系統(tǒng)（如圖5a所示），很難寫出該系統(tǒng)的功函數(shù)表達式，直接對功函數(shù)求導數(shù)有些困難. 但是借助于運動學中的速度理論，寫出了功函數(shù)在圖示位置處對系統(tǒng)參數(shù)（即OA桿轉(zhuǎn)角）的一階導數(shù).

評論2 對于例題5，當OA桿以恒定角速度ωOA勻速轉(zhuǎn)過無限小角度Δφ過程中（Δφ=ωOAdt），滑塊D的速度vD（如圖5b所示）肯定不是勻速，必定有加速度. 力F作用點對應無限小位移的大小應該是

該式說明，當系統(tǒng)參數(shù)勻速變化時各力作用點的速度可能都不是勻速的、都有加速度，但因為時間段dt是無窮小量，所以完全可以忽略加速度因素，而認為各力作用點的速度也都是勻速，此處理方式對求解功函數(shù)的導數(shù)不產(chǎn)生任何影響.

例6 圖6a所示機構中，勻質(zhì)連桿AB重量為mg，長度為L，滑塊A，B重量不計. 整個機構在豎直平面內(nèi)φ=30°位置靜止平衡，求力FA，F(xiàn)B之間的關系.

圖6 靜力學問題的4種解法

解法1（功函數(shù)求導法） 以φ角為系統(tǒng)參數(shù)，如圖6a 所示，設系統(tǒng)從φ=0 位置開始運動，在運動至圖示位置過程中力系做的功

解法2（速度分析法） 設力FA，F(xiàn)B作用點的速度方向如圖6b所示.AB桿速度瞬心在P點，為便于計算功的無限小量，把AB桿重力作用點由中點C沿作用線滑至直線PA上D點處（力沿作用線在剛體上滑動不改變作用效果）. 在AB桿上焊接一個質(zhì)量為零的輕質(zhì)薄板，使D點在輕質(zhì)薄板上，這樣AB桿重力mg滑至D點時就不會失去著力點. 在無限小時間段dt內(nèi)，力系對系統(tǒng)做的功

在坐標系Oxy中，xB=Lcosφ，微分得ΔxB=-Lsinφ·Δφ，于是得無限小矢量ΔrB的模為ΔrB=Lsinφ·Δφ；yA=Lsinφ，微分得ΔyA=Lcosφ·Δφ，得無限小矢量ΔrA的模為ΔrA=Lcosφ·Δφ. 于是由式（13）得

3 討 論

靜止和受力平衡是2個不同又相互獨立的概念. 對物體而言，靜止說明速度為零，受力平衡說明加速度為零. 豎直上拋物體在最高點處速度為零、加速度不為零，即靜止但受力不平衡；勻速直線運動物體不靜止，但受力平衡.

系統(tǒng)在功函數(shù)駐點位置靜止時一定受力平衡，但是在功函數(shù)非駐點位置靜止時所受力系一定不是平衡力系. 因為從式（6）可以看出，系統(tǒng)在功函數(shù)非駐點位置（即w'(q)≠0 位置）從靜止開始運動時初始加速度不為零，加速度不為零受力肯定不平衡. 因此，系統(tǒng)在功函數(shù)非駐點位置靜止時所受力系一定不是平衡力系. 或者說系統(tǒng)只能在功函數(shù)駐點位置永遠保持靜止狀態(tài)，而在其他任何非駐點位置靜止時都會因為受力不平衡而“馬上離開”. 也可以理解為：靜止但動能不守恒的系統(tǒng)受力一定不平衡.

系統(tǒng)在功函數(shù)駐點位置不靜止時其所受力系不一定是平衡力系，或者不靜止但動能守恒的系統(tǒng)，其所受力系不一定是平衡力系. 因為由式（5）可以看出，系統(tǒng)不靜止即q?≠0 時候，而功函數(shù)的導數(shù)為零即w'(q)=0，但如果f'(q)≠0則系統(tǒng)加速度也不為零即q?≠0，加速度不為零肯定受力不平衡. 例如，非勻質(zhì)圓輪平躺在光滑水平面上（圓輪軸線垂直于水平面），并沿平面內(nèi)的固定道作純滾動時候，圓輪所受力系（重力、支持力、靜摩擦力等）不做功，圓輪動能守恒即w'(q)=0，但其速度瞬心與質(zhì)心之間距離不是常數(shù)，其對速度瞬心軸的轉(zhuǎn)動慣量JP不是常數(shù)，導致式（5）中f'(q)≠0，所以圓輪運動過程中角加速度不為零，圓輪受力不平衡. 因此，圓輪不靜止，動能守恒，但受力不平衡.

從式（5）可知，當w'(q)=0，f'(q)=0，q?≠0 時候，系統(tǒng)加速度q?=0，但此時系統(tǒng)受力也不一定是平衡力系. 因為有以下2種情況滿足w'(q)=0，f'(q)=0，q?≠0條件：

1）勻速定軸轉(zhuǎn)動物體. 此時如果物體質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上，則質(zhì)心有不為零的向心加速度，質(zhì)心加速度不為零，說明物體所受力系的主矢不為零，該力系肯定不是平衡力系；但如果物體質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，則其所受力系就是平衡力系.

2）勻速直線運動物體. 此時物體所受力系一定是平衡力系.

因此，系統(tǒng)在功函數(shù)駐點位置不靜止時其所受力系可能是平衡力系，也可能不是平衡力系.

4 結(jié)束語

提出了功函數(shù)概念，指出系統(tǒng)在功函數(shù)非駐點位置靜止時其所受力系一定不是平衡力系；系統(tǒng)在功函數(shù)駐點位置不靜止時其所受力系不一定是平衡力系；但如果系統(tǒng)在功函數(shù)駐點位置靜止，則其所受力系一定是平衡力系. 或者說動能守恒系統(tǒng)不一定受力平衡，但靜止時一定受力平衡. 靜止、動能守恒是系統(tǒng)受力平衡的2 個充分條件，二者缺一不可. 用動能定理求解靜力學問題時有4 種常用方法：功函數(shù)求導法、速度分析法、矢量分析法和坐標解析法，其中后3 種方法與虛位移原理有異曲同工之處. 從高等數(shù)學視角來看，虛位移原理方程就是某個函數(shù)的微分等于零方程，而此函數(shù)就是功函數(shù)，即功函數(shù)的微分等于零方程就是虛位移原理方程.

為強調(diào)靜止，可以考慮在具體解題時把系統(tǒng)參數(shù)（例如q）的無限小改變量Δq和由此引起的功函數(shù)無限小改變量Δw，分別記作δq和δw形式. 因為系統(tǒng)靜止平衡，沒有發(fā)生任何運動，所以Δq和Δw都是假想、想象出來，并不是真實發(fā)生的量. 于是用符號δq和δw表示假想發(fā)生的量，用符號Δq和Δw表示真實發(fā)生的量，能更好地兼容虛位移原理理論. 但在講課時不建議對學生一開始就用符號δq和δw，因為符號Δq和Δw與學生剛學過的高等數(shù)學中函數(shù)求導、微分等理論融合性更強，更容易接受.

有教材［1］在敘述虛位移原理時沒有提及系統(tǒng)靜止這一條件，而只是在原理證明過程中提到靜止條件，這種做法有待商榷.

零自由度靜力學系統(tǒng)可以用約束力替代約束的方式去掉一個約束而改造為單自由度系統(tǒng)，從而用動能定理理論求解. 多自由度系統(tǒng)靜止平衡時，添加零約束（即約束力為零的約束）把系統(tǒng)改造為單自由度系統(tǒng)是下一步的工作的重點.