依空隨機(jī)環(huán)境中的更新過程

池夏夏，呂 平

(杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 311121)

0 引言

20世紀(jì)80年代初, Cogburn[1-2]首次在馬爾可夫鏈的影響因素中添入新的環(huán)境因素,并給出了隨機(jī)環(huán)境中馬爾可夫鏈隨機(jī)模型的一般表達(dá)式,研究了其遍歷理論以及有限不變測(cè)度存在的條件，使已有的經(jīng)典馬爾可夫鏈理論及其完整體系更加豐富. Hu[3-4]進(jìn)一步對(duì)隨機(jī)環(huán)境中馬爾可夫過程進(jìn)行推廣和整理,形成目前完整隨機(jī)環(huán)境中馬爾可夫過程的理論體系，為后續(xù)了解并研究隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫過程提供了理論依據(jù). Li[5]研究了引入“初始時(shí)間”馬爾可夫鏈的弱遍歷性、一致弱遍歷性、強(qiáng)遍歷性和一致強(qiáng)遍歷性等. Lü等[6]在給定條件下,給出了隨機(jī)環(huán)境中某種擴(kuò)散的重對(duì)數(shù)律. Hu[7]系統(tǒng)介紹了隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫過程,為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ).本文在前人研究基礎(chǔ)上,通過定義隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率構(gòu)建隨機(jī)環(huán)境中的更新過程模型,給出其初達(dá)轉(zhuǎn)移概率以及隨機(jī)不變測(cè)度，進(jìn)一步豐富了隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫鏈理論.

1 符號(hào)及定義

附注2規(guī)定qjθj≡1,當(dāng)j=-1時(shí)，如不加以說明,該規(guī)定適用于全文.

Cogburn在文獻(xiàn)[1-2]中分析了馬爾可夫鏈與隨機(jī)環(huán)境之間的關(guān)系,證明了隨機(jī)環(huán)境中馬爾可夫鏈的馬氏性,探討了其遍歷理論,給出了有限不變測(cè)度存在的條件.最后討論了狀態(tài)分類以及連通性特性.本文研究依空隨機(jī)環(huán)境中更新過程的馬氏性、遍歷理論以及隨機(jī)不變測(cè)度的相關(guān)問題.下面給出依空隨機(jī)環(huán)境中更新過程馬氏性的直接結(jié)果.

定理1依空隨機(jī)環(huán)境中的更新過程是隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫鏈.

證明由依空隨機(jī)環(huán)境中更新過程的定義以及Hu[7]對(duì)隨機(jī)環(huán)境中馬爾可夫鏈的定義易知,定理顯然成立.

進(jìn)一步研究依空隨機(jī)環(huán)境中更新過程的遍歷理論、不變測(cè)度,并得出其有關(guān)結(jié)論.

2 遍歷理論

從隨機(jī)環(huán)境中初達(dá)概率的定義出發(fā),給出依空隨機(jī)環(huán)境中更新過程初達(dá)概率的具體表達(dá)式,進(jìn)而探究其遍歷性質(zhì).

(1)

證明當(dāng)x≥n時(shí)，式(1)顯然成立. 故剩證x

首先考慮x=0，

q0θ0q1θ1…qn-2θn-2(1-qn-1θn-1)=

其次考慮x≠0，此時(shí)有

qxθxqx+1θx+1…qn-2θn-2(1-qn-1θn-1)q0θ0…qx-1θx-1=

證畢.

為了進(jìn)一步考慮依空隨機(jī)環(huán)境中更新過程的遍歷性,先探討其在狀態(tài)x=0處的常返性,了解關(guān)于狀態(tài)可達(dá)以及狀態(tài)互通的相關(guān)定義.

由依空隨機(jī)環(huán)境中更新過程的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率的定義易知,各狀態(tài)之間都是互通的.

而

因此該依空隨機(jī)環(huán)境中的更新過程在狀態(tài)x=0處具有常返性,顯然它是非周期的.故此時(shí)0是遍歷狀態(tài).對(duì)其他任意狀態(tài)y∈X,由于y?0.因而y也是遍歷狀態(tài).

證明先考慮更新次數(shù)k=1的情況,此時(shí)更新間隔為m1.由已知隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率可知,

p(θ0;0,1)p(θ1;1,2)…p(θn-m1-1;n-m1-1,n-m1)=

qxθx…qx+m1-2θx+m1-2(1-qx+m1-1θx+m1-1)q0θ0q1θ1…qn-m1-1θn-m1-1=

故k=1時(shí),等式成立.

其次,當(dāng)更新次數(shù)k≥2時(shí),此時(shí)更新間隔分別為m1,m2,…,mk.

qxθx…qx+m1-2θx+m1-2(1-qx+m1-1θx+m1-1)q0θ0…qm2-2θm2-2(1-qm2-1θm2-1)…

綜上，證畢.

3 不變測(cè)度

對(duì)不變測(cè)度進(jìn)行研究,從隨機(jī)不變測(cè)度的定義出發(fā),得出依空隨機(jī)環(huán)境中更新過程的隨機(jī)不變測(cè)度.

(2)

由文獻(xiàn)[2]可知, Δ1表示的是所有滿足φ(X×·)=π環(huán)境的集合.

證明先證不變測(cè)度的存在性.

本文已證明依空隨機(jī)環(huán)境中的更新過程是馬爾可夫鏈,再由文獻(xiàn)[1]中定理3.1(2)可知,不變測(cè)度存在.

(3)

其次考慮x=0的情況,此時(shí)

q-1θ-1(1-q0θ0)+q0θ0(1-q1θ1)+q0θ0q1θ1(1-q2θ2)+…=

1-q0θ0+q0θ0-q0θ0q1θ1+q0θ0q1θ1-q0θ0q1θ1q2θ2+…=

而

因此滿足式(3).

最后考慮其他情況,即x≠0且x≠y+1.此時(shí)

要使

恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

綜上所述,證畢.