簡(jiǎn)諧激勵(lì)下黏彈性非線性能量阱的研究1)

范舒銅 申永軍,?,

* (石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,石家莊 050043)

? (省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050043)

引言

黏彈性材料是一種既具有黏性又具有彈性的材料,能在很寬的頻帶內(nèi)實(shí)現(xiàn)良好的減振降噪性能且不易老化[1-2].黏彈性材料由于良好的耗能特性被廣泛應(yīng)用于航空[3-4]、土木[5-6]、機(jī)械[7-8]等領(lǐng)域,具有良好的減振效果和應(yīng)用前景.為了更好地研究黏彈性材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為,學(xué)者們將其簡(jiǎn)化成本構(gòu)模型進(jìn)行表征[9].其中,Kelvin 模型和Maxwell 模型是兩種典型的模型.在實(shí)際工程中阻尼元件本身具有一定的彈性或者彈性元件本身具有一定的黏性,故Maxwell 模型更能代表工程實(shí)踐中的黏彈性材料[10].文獻(xiàn)[11-12]將黏彈性Maxwell 器件引入到動(dòng)力吸振器中,發(fā)現(xiàn)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)并且可有效地降低振動(dòng)幅值,拓寬減振頻帶.文獻(xiàn)[13]研究了單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)下Kelvin 模型和Maxwell 模型的系統(tǒng)響應(yīng),發(fā)現(xiàn)在偏心質(zhì)量和支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)情況下Maxwell 模型在小阻尼時(shí)振動(dòng)控制效果遠(yuǎn)優(yōu)于Kelvin 模型.Dai 等[14]將Maxwell 型動(dòng)力吸振器用于橋梁渦旋減振的優(yōu)化設(shè)計(jì)中,發(fā)現(xiàn)控制效果較好且靜態(tài)拉伸較小.范舒銅等[15-16]利用推廣多尺度法和Melnikov 方法對(duì)含黏彈性Maxwell 器件的非線性動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了近似求解,并研究了該系統(tǒng)進(jìn)入Smale 馬蹄意義下混沌的必要條件.

對(duì)于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)控制,動(dòng)力吸振器發(fā)揮著重要的作用,但是線性吸振器只能在較窄的頻帶實(shí)現(xiàn)較優(yōu)的減振性能.為了解決線性吸振存在的缺陷,Roberson[17]將非線性剛度用于動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)中,發(fā)現(xiàn)增大了動(dòng)力吸振器的吸振頻帶并提高了動(dòng)力吸振器的魯棒性.之后,Vakakis 等[18-19]提出了由線性阻尼、非線性剛度和質(zhì)量塊組成的非線性能量阱(nonlinear energy sink,NES),可將振動(dòng)能量從主結(jié)構(gòu)不可逆地傳遞至耗能元件.文獻(xiàn)[20-21]研究發(fā)現(xiàn)NES 能夠在較寬的頻帶范圍內(nèi)顯著地耗散振動(dòng)能量進(jìn)而有效抑制主系統(tǒng)的振動(dòng).

由于非線性能量阱優(yōu)良的減振性能和高效的減振效率,學(xué)者們提出各種類型的NES 模型.文獻(xiàn)[22]建立沖擊減振器與非線性能量阱耦合的新型吸振模型并分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)吸振效果的影響.文獻(xiàn)[23-24]將杠桿結(jié)構(gòu)應(yīng)用于NES 中,發(fā)現(xiàn)在同等質(zhì)量及非線性剛度下,杠桿型NES 比傳統(tǒng)NES 吸振性能更優(yōu)越.文獻(xiàn)[25-26] 提出新型的慣性式NES,發(fā)現(xiàn)慣容存在最佳取值范圍且慣性式NES 比傳統(tǒng)NES 具有更小的附加質(zhì)量和更好的減振性能.另外,文獻(xiàn)[27-28]在理論和實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上分別提出了分段線性剛度NES 和封裝的非線性能量匯(E-NES)增強(qiáng)了振動(dòng)抑制效果.文獻(xiàn)[29]提出的振動(dòng)碰撞雙穩(wěn)態(tài)NES 在雙穩(wěn)態(tài)和雙邊剛性約束的雙重影響下具有很高的減振效率.由于非線性項(xiàng)的引入,系統(tǒng)出現(xiàn)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為也受到學(xué)者的關(guān)注.譚平等[30]利用復(fù)變量平均法推導(dǎo)了基底簡(jiǎn)諧激勵(lì)下NES 系統(tǒng)的慢變微分方程,并用多尺度分析了系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔邊界條件及Hopf 分岔邊界條件.李爽等[31]研究了簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值變化對(duì)非線性能量阱系統(tǒng)全局分岔特性的影響.文獻(xiàn)[32]采用諧波平衡法分析周期穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線并且研究具有非線性能量匯耦合系統(tǒng)的復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)行為.

NES 作為一種被動(dòng)阻尼技術(shù),在工程實(shí)踐也得到了廣泛的應(yīng)用.Zhou 等[33]將NES 用于超音速氣流中層壓復(fù)合材料板,有效抑制了非線性氣動(dòng)彈性響應(yīng).劉中坡等[34]將軌道型NES 用于高層結(jié)構(gòu)脈動(dòng)風(fēng)振,發(fā)現(xiàn)NES 可以同時(shí)減小結(jié)構(gòu)多個(gè)模態(tài)的振動(dòng)從而提高風(fēng)載荷下高層建筑的安全性.甄冬等[35]將立方剛度NES 和負(fù)剛度NES 用于抑制汽車(chē)車(chē)身垂向振動(dòng)有效減小車(chē)身在其固有頻率處的振動(dòng).Chen等[36]將非線性能量阱用于圓筒結(jié)構(gòu)中抑制其渦激振動(dòng),從而有效降低順流和橫流方向的振幅.Huang等[37]研究帶有非線性能量阱的基礎(chǔ)激勵(lì)黏彈性隔振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),并基于減振準(zhǔn)則和更寬的穩(wěn)定范圍對(duì)一次系統(tǒng)和非線性能量阱的最佳參數(shù)進(jìn)行了調(diào)整.

目前,不同類型的非線性能量阱模型得到廣泛研究.但是,作者尚未發(fā)現(xiàn)有研究將黏彈性Maxwell器件引入到非線性能量阱中并對(duì)該系統(tǒng)的減振性能進(jìn)行詳細(xì)分析.黏彈性材料兼具黏性和彈性,除了良好的減振降噪和耗能特性,還容易構(gòu)造可用于復(fù)雜尺寸和形狀的結(jié)構(gòu).基于黏彈性材料上述優(yōu)良特性,本文以黏彈性NES 為研究對(duì)象,采用諧波平衡法求解系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線并采用數(shù)值方法進(jìn)行驗(yàn)證.與傳統(tǒng)NES 相比,合理選擇黏彈性NES 參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)較優(yōu)的減振效果,即共振幅值降低,減振頻帶拓寬.進(jìn)一步還分析了參數(shù)對(duì)主系統(tǒng)響應(yīng)的影響以及不同質(zhì)量比下黏彈性NES 參數(shù)的最佳取值范圍.

1 黏彈性非線性能量阱模型

將黏彈性Maxwell 器件代替?zhèn)鹘y(tǒng)非線性能量阱的阻尼,提出一種新型的非線性能量阱,如圖1 所示.其中,m1為主系統(tǒng)的質(zhì)量,k1為主系統(tǒng)主彈簧的線性剛度系數(shù),c1為主系統(tǒng)的阻尼系數(shù),k2為黏彈性NES 的非線性立方剛度系數(shù),c2和k3分別為黏彈性Maxwell 器件的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù),F和ω分別為外激勵(lì)的幅值和頻率.

圖1 非線性能量阱模型Fig.1 Mechanical model of nonlinear energy sink

根據(jù)牛頓第二定律得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

引入變換

2 諧波平衡法求解和數(shù)值驗(yàn)證

為了進(jìn)一步觀察系統(tǒng)響應(yīng)隨參數(shù)的變化和黏彈性NES 的減振性能,本節(jié)運(yùn)用諧波平衡法求解系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線.基于諧波平衡法求解方程(2)的振動(dòng)響應(yīng),可以近似為一組有限諧波的疊加,即

其中,a1j和b1j(j=1,2,3)為待確定的諧波系數(shù).

將式(3)代入式(2)中,忽略高階項(xiàng),平衡cos(γτ)和 sin(γτ) 的系數(shù),得到一組非線性代數(shù)方程為

故系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)為

從式(4)可以看出,振幅之間存在非線性耦合,很難獲得解析解,故利用MATLAB 中fsolve 命令對(duì)非線性方程組(4)進(jìn)行數(shù)值求解.

利用MATLAB 中的Runge-Kutta 數(shù)值方法驗(yàn)證諧波平衡法求解的正確性.取系統(tǒng)參數(shù)m1=4 kg,m2=0.4 kg,c1=5 N·s/m,c2=5 N·s/m,k1=1×104N/m,k2=1×105N/m3,k3=1×103N/m,F=20 N,即μ=0.1,α1=10 m-2,α2=0.1,λ1=0.012 5,λ2=0.012 5,f=0.002,得到主系統(tǒng)和黏彈性NES 的幅頻響應(yīng)曲線,如圖2 所示.從圖2 可以看出,無(wú)論是主系統(tǒng)響應(yīng)還是NES響應(yīng),數(shù)值方法和諧波平衡法得到的結(jié)果吻合良好,驗(yàn)證了解析解的正確性.

圖2 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of the amplitude-frequency response curves

3 黏彈性NES 減振性能分析

黏彈性NES 是用黏彈性Maxwell 器件替換傳統(tǒng)NES 中的阻尼元件,故本節(jié)主要分析黏彈性NES的減振性能和參數(shù)對(duì)主系統(tǒng)響應(yīng)的影響.

3.1 非線性剛度比的分析

對(duì)于一個(gè)線性振子質(zhì)量m1=4 kg、線性剛度k1=1×104N/m 以及阻尼c1=5 N·s/m,根據(jù)參考文獻(xiàn)[27]可知傳統(tǒng)NES 參數(shù)取m2=0.4 kg、非線性立方剛度k2=1×105N/m3、阻尼c2=5 N·s/m 時(shí)能促進(jìn)傳統(tǒng)NES 的阻尼效應(yīng)并使系統(tǒng)具有良好的魯棒性.基于文獻(xiàn)[27]的結(jié)論,黏彈性NES 參數(shù)取m2=0.4 kg,c2=5 N·s/m,k3=1×103N/m,即μ=0.1,λ2=0.012 5,α2=0.1,分別繪制不同外部激勵(lì)下非線性剛度k2取1×103N/m3,1×105N/m3和1×107N/m3時(shí)主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線以及傳統(tǒng)非線性能量阱k2取1×105N/m3時(shí)主系統(tǒng)的響應(yīng)如圖3 所示,其中,CNES 為傳統(tǒng)非線性能量阱的簡(jiǎn)稱.從圖3 可以看出,本文提出的黏彈性NES 的非線性剛度k2=1×105N/m3即α1=10 m-2時(shí),主系統(tǒng)具有良好的魯棒性且共振幅值隨著非線性剛度的增加出現(xiàn)先減小后增大的現(xiàn)象.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),當(dāng)非線性剛度k2=1×105N/m3且阻尼比λ2較小時(shí),不同激勵(lì)下黏彈性NES 減振性能略優(yōu)于傳統(tǒng)NES.

圖3 不同F(xiàn) 和k2 下主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 The amplitude-frequency response curves of the primary system under different F and k2

因此,黏彈性NES 的非線性剛度比α1取10 m-2進(jìn)行下面的分析.

3.2 線性剛度比分析

根據(jù)3.1 的分析,選取系統(tǒng)參數(shù)μ=0.1,α1=10 m-2,λ1=0.012 5,f=0.002,在不同線性剛度比α2和阻尼比λ2下可得到一系列的幅頻響應(yīng)曲線,提取其最大幅值A(chǔ)并觀察其變化趨勢(shì)如圖4 所示,其中CNES 代表傳統(tǒng)NES,VNES 代表本文所提出的黏彈性NES.根據(jù)圖4 發(fā)現(xiàn),黏彈性NES 在大部分設(shè)計(jì)參數(shù)下比傳統(tǒng)NES 減振效果更佳.

圖4 最大幅值隨剛度比α2 的變化Fig.4 Variation of the maximum-amplitude with stiffness ratio α2

為了進(jìn)一步觀察主系統(tǒng)的振動(dòng)趨勢(shì),繪制了λ2取0.025 和0.075 時(shí)不同剛度比α2下的幅頻響應(yīng)曲線如圖5 所示,其中CNES 代表傳統(tǒng)NES.根據(jù)圖5可知,當(dāng)線性剛度比α2取0.1 時(shí),主系統(tǒng)的振動(dòng)幅值最小,減振頻帶最寬.并且從圖4 和圖5 發(fā)現(xiàn),隨著線性剛度比α2的增加,主系統(tǒng)峰值的總體趨勢(shì)先減小接著增大最后幾乎保持不變.當(dāng)阻尼比λ2小于0.2時(shí),較小剛度比α2會(huì)讓黏彈性NES 的吸振能力弱于傳統(tǒng)NES;而不管λ2取何值時(shí),α2增加到一定程度,黏彈性NES 的減振性能與傳統(tǒng)NES 的減振性能相近.

圖5 不同α2 和λ2 下的主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線Fig.5 The amplitude-frequency response curves of the primary system under different α2 and λ2

總之,對(duì)于不同的阻尼比,主系統(tǒng)在α2=0.1 附近的振動(dòng)幅值最小,故取α2=0.1.

3.3 阻尼比的分析

此時(shí),選取系統(tǒng)參數(shù)μ=0.1,α1=10 m-2,α2=0.1,λ1=0.012 5,f=0.002,主系統(tǒng)隨λ2變化的幅頻響應(yīng)曲線的三維圖和二維等高線圖如圖6 所示.從圖6可知,隨著λ2的增大,主系統(tǒng)的響應(yīng)從單峰向雙峰變化且共振區(qū)域的幅值先降低然后上升,故存在一個(gè)最優(yōu)的阻尼比λ2使主系統(tǒng)的共振幅值最小.圖7分析了傳統(tǒng)NES (CNES)和黏彈性NES (VNES)隨著λ2變化幅頻響應(yīng)曲線最大幅值A(chǔ)的變化趨勢(shì).從圖7 可以觀察出,兩種NES 均可以減小主系統(tǒng)的共振峰值,而黏彈性NES 的減振性能比傳統(tǒng)NES 更優(yōu).在一定的阻尼比范圍內(nèi),隨著阻尼比λ2的增大,兩種NES 的減振效果相差越多.圖8 為黏彈性NES在不同阻尼比λ2下的幅頻響應(yīng)曲線.根據(jù)圖7 和圖8可發(fā)現(xiàn),黏彈性NES 的共振幅值隨著阻尼比的增大先減小后增大,在λ2取0.112 5 時(shí)共振峰值達(dá)到最小.

圖6 主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線隨λ2 的變化Fig.6 The amplitude-frequency response curves of the primary system with λ2

圖7 最大幅值隨λ2 的變化Fig.7 Variation of the maximum-amplitude with λ2

圖8 不同λ2 下黏彈性NES 的幅頻響應(yīng)曲線Fig.8 The Amplitude-frequency response curves of viscoelastic NES under λ2

為了更好地分析兩種NES 減振性能,繪制了不同阻尼比下兩種NES 的幅頻響應(yīng)曲線如圖9 所示,其中CNES 代表傳統(tǒng)NES 和VNES 代表本文所提出的黏彈性NES.從圖9 可知,與傳統(tǒng)NES 相比,相同的阻尼比下黏彈性NES 不僅可使主系統(tǒng)的共振幅值更低而且減振頻帶更寬.可見(jiàn)恰當(dāng)?shù)剡x擇阻尼比可實(shí)現(xiàn)較為優(yōu)越的減振效果.

圖9 不同λ2 下兩種NES 減振性能比較Fig.9 Comparison of damping performance of two NES under different λ2

圖9 不同λ2 下兩種NES 減振性能比較(續(xù))Fig.9 Comparison of damping performance of two NES under different λ2 (continued)

4 黏彈性NES 參數(shù)的最佳取值范圍

由第3 節(jié)可知,黏彈性NES 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響已經(jīng)進(jìn)行了分析.黏彈性NES 的線性剛度比α2和質(zhì)量比μ為固定值,同時(shí)改變非線性剛度比α1和阻尼比λ2得到一組幅頻響應(yīng)曲線,提取其最大幅值A(chǔ)觀察減振效果的變化,找到最佳取值范圍.

當(dāng)質(zhì)量比μ分別取0.025,0.05,0.1,0.15 時(shí),α1和λ2同時(shí)變化,主系統(tǒng)最大響應(yīng)幅值的變化趨勢(shì)如圖10～圖13 所示.顯然,不同的質(zhì)量比下參數(shù)的最佳取值范圍是不同的,所能達(dá)到的減振效果也是有差異的.圖10 中黏彈性NES 參數(shù)在最佳取值范圍內(nèi)主系統(tǒng)的最大振幅接近0.03.當(dāng)質(zhì)量比μ增加到0.05 時(shí),最優(yōu)區(qū)間內(nèi)主系統(tǒng)的最大振幅降低到0.02,如圖11 所示.而根據(jù)圖12 和圖13,當(dāng)質(zhì)量比μ取0.1 和0.15 時(shí),主系統(tǒng)的最大振幅約為0.01.此外,從圖10～圖13 發(fā)現(xiàn),隨著質(zhì)量比的增加,非線性剛度比和阻尼比的最佳取值范圍越大;且當(dāng)非線性剛度比和阻尼比都取較小值或較大值時(shí),減振效果均較差.

圖10 主系統(tǒng)的最大幅值隨著α1 和λ2 的變化(μ=0.025)Fig.10 The maximum-amplitude of the main system varying with α1 and λ2 (μ=0.025)

圖11 主系統(tǒng)的最大幅值隨著α1 和 λ2 的變化(μ=0.05)Fig.11 The maximum-amplitude of the main system varying with α1 and λ2 (μ=0.05)

圖12 主系統(tǒng)的最大幅值隨著α1 和 λ2 的變化(μ=0.1)Fig.12 The maximum-amplitude of the main system varying with α1 and λ2 (μ=0.1)

圖13 主系統(tǒng)的最大幅值隨著α1 和 λ2 的變化(μ=0.15)Fig.13 The maximum-amplitude of the main system varying with α1 and λ2 (μ=0.15)

總之,隨著質(zhì)量比的增加,主系統(tǒng)最大振幅的最小值先降低最后趨于不變.但是,由于質(zhì)量比過(guò)大會(huì)增加系統(tǒng)的負(fù)擔(dān),故合適選擇黏彈性NES 質(zhì)量及其他最佳參數(shù)可充分發(fā)揮黏彈性NES 的減振優(yōu)勢(shì).

5 結(jié)論

本文將黏彈性Maxwell 器件引入到非線性能量阱中,提出一種新型的黏彈性非線性能量阱并研究了其在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的減振性能.采用諧波平衡法得到了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,并利用MATLAB 中的Runge-Kutta 數(shù)值方法驗(yàn)證了解析解的正確性.分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)的減振性能的影響.還研究了不同質(zhì)量比下非線性剛度比和阻尼比同時(shí)變化時(shí),主系統(tǒng)最大幅值的變化趨勢(shì),進(jìn)而得到黏彈性NES 的最佳取值范圍.具體結(jié)論如下.

(1)合適地選擇黏彈性NES 的非線性剛度比可使主系統(tǒng)在不同激勵(lì)幅值下具有良好的魯棒性.隨著非線性剛度的增加,主系統(tǒng)的共振幅值先減小后增大;當(dāng)非線性剛度相同、阻尼比較小時(shí),不同激勵(lì)下黏彈性NES 減振性能略優(yōu)于傳統(tǒng)NES.

(2) 與傳統(tǒng)非線性能量阱相比,當(dāng)線性剛度比α2過(guò)小或過(guò)大,黏彈性材料都不能發(fā)揮其優(yōu)良的減振特性.隨著阻尼比的增加,傳統(tǒng)NES 和黏彈性NES 均使主系統(tǒng)的共振幅值出現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì),但在相同的阻尼下黏彈性NES 減振效果更優(yōu),即振動(dòng)幅值減小量更大、減振頻帶更寬.

(3)隨著質(zhì)量比的增加,主系統(tǒng)的最大振幅先降低后幾乎保持不變且非線性剛度比和阻尼比的最佳取值范圍增大.但質(zhì)量比過(guò)大會(huì)增加系統(tǒng)的負(fù)擔(dān),故適中的質(zhì)量比及其他參數(shù)的恰當(dāng)選擇會(huì)使黏彈性NES 的減振性能達(dá)到最優(yōu).

總之,黏彈性NES 參數(shù)的恰當(dāng)選擇會(huì)實(shí)現(xiàn)優(yōu)于傳統(tǒng)NES 的減振性能,這些結(jié)論為以后黏彈性NES 的實(shí)踐和應(yīng)用提供了一定的理論依據(jù).