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    基于Thiele-連分式逼近的改進(jìn)迭代算法及收斂性分析

    2022-09-30 05:35:02葛小竹顏玉柱
    關(guān)鍵詞:迭代法單根階數(shù)

    郭 巧,楊 兵,葛小竹,顏玉柱

    (安徽職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

    0 引言

    一般地,高階非線性方程求根時(shí),參考最多的是迭代函數(shù)算法,其迭代效果也各不一樣[1-3].Newton迭代法,由于其較為簡單的迭代格式、較為快速的迭代收斂速度,一直被作為經(jīng)典迭代法運(yùn)用于非線性方程求根運(yùn)算.但是Newton迭代法收斂階數(shù)較低,本文以此為突破口,結(jié)合Thiele-連分式逼近、泰勒冪級(jí)數(shù)展開、Viscovatov算法等相關(guān)知識(shí),通過兩次迭代,推導(dǎo)出第一項(xiàng)、第二項(xiàng)和第三項(xiàng)截?cái)喽囗?xiàng)式逼近的迭代算法.通過分析其收斂性,構(gòu)造出一類基于Thiele-連分式逼近的高階收斂的迭代算法.其中,由Thiele-連分式第一項(xiàng)截?cái)嗪笸茖?dǎo)出的迭代算法(Newton迭代公式)為二階收斂,第二項(xiàng)截?cái)嗪笸茖?dǎo)出的迭代算法為三階收斂,第三項(xiàng)截?cái)嗪笸茖?dǎo)出的迭代算法為四階收斂.在給定背景下證明此改進(jìn)迭代算法的收斂階數(shù)、效率指數(shù)和收斂速度更優(yōu)于Newton迭代,最后給出了數(shù)值實(shí)例.

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義1.1[4]給定多項(xiàng)式

    (1.1)

    上述式子為Thiele-連分式.

    定義1.2[4]假定在x=x0這一點(diǎn),函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo),n=1,2,3,…,若f(x)可以展開成如下形式:

    (1.2)

    通過Viscovatov算法,則得到

    定義1.3[5]假設(shè)函數(shù)f(x)一個(gè)迭代格式為

    xk+1=φ(xk),k=0,1,2,…,

    2 迭代算法

    假定在x=x0這一點(diǎn),函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo),n=1,2,3,…,則由公式(1.2)可知:

    (1)函數(shù)f(x)的第一項(xiàng)截?cái)喽囗?xiàng)式可表示為

    令其等于0,化簡后得到

    x=x0-b0b1.

    根據(jù)定義(1.2)中的Viscovatov方法,得到b0=f(x0),b1=1/f′(x0).于是得到如下迭代格式:

    xn+1=xn-f(xn)f′(xn)-1.

    (2.1)

    (2)函數(shù)f(x)的第二項(xiàng)截?cái)喽囗?xiàng)式可表示為

    令其等于0,化簡后得到

    根據(jù)定義(1.2)中的Viscovatov方法,得到

    于是得到如下迭代格式:

    (2.2)

    (3)函數(shù)f(x)的第三項(xiàng)截?cái)喽囗?xiàng)式可表示為

    令其等于0,于是有

    (2.3)

    由于式(2.3)含有(x-xk)2項(xiàng),為簡化計(jì)算,令f(x)的第一項(xiàng)截?cái)喽囗?xiàng)式近似為零后化為

    x=x0-b0b1.

    (2.4)

    將式(2.4)代入(2.3),得到

    (2.5)

    根據(jù)定義(1.2)中的Viscovatov方法,得到

    將b0,b1,b2,b3代入式(2.5),得到

    (2.6)

    3 公式的收斂性

    以逼近非線性方程f(x)=0的單根a處的迭代法為背景,其中,f:I?R→R滿足f(a)=0,f′(a)≠0.首先需要了解以下定義[6-7]:

    |xn+1-a|≤M|xn-a|p,

    則稱{xn}為p階收斂到a,其中,n=0,1,2,….若p=1,則稱{xn}線性收斂;若p=2,或p=3,…,或p=n,則稱{xn}二次收斂,或三次收斂,…,或n次收斂.

    設(shè)en=xn-a表示n次迭代誤差,如果誤差方程可寫成:

    則由定義3.1,得到該方法為p階收斂.

    定理3.1非線性方程f(x)=0(f:I?R→R)的單根為a∈I,I為開區(qū)間,假設(shè)xn→a,則由式(2.2)定義的迭代算法收斂階數(shù)p=3,并且滿足誤差方程,則

    證明 因?yàn)閍是f(x)的單根,則由泰勒展開得到f(xn),f′(xn)在a點(diǎn)的表達(dá)式為

    于是有

    化簡計(jì)算后得到

    于是有

    所以,得到

    (3.1)

    由于en=xn-a,式(3.1)簡化為

    定理3.2非線性方程f(x)=0(f:I?R→R)的一個(gè)單根為a∈I,I為開區(qū)間,假設(shè)x0→a,則由公式(2.6)定義的迭代算法收斂階數(shù)p=3,并且滿足誤差方程:

    證明 因?yàn)閍為f的單根,則運(yùn)用泰勒展開得到f(xn),f′(xn),f″(xn),f′″(xn)在a點(diǎn)的表達(dá)式:

    經(jīng)過計(jì)算后有

    于是,

    可以得到

    兩式相除后得到

    (3.2)

    又因?yàn)?/p>

    (3.3)

    將(3.2)乘以(3.3)后得到

    (3.4)

    將en=xn-a代入(3.4),于是,

    4 數(shù)值實(shí)例

    例4.1 求方程f(x)=x5-3x+2=0的根,取初值x0=-1.反復(fù)利用公式(2.1)(2.2)(2.6)和Newton迭代法,令|xn-xn+1|≤10-5時(shí)迭代終止,通過Python軟件編程,計(jì)算結(jié)果如表1所示.

    表1 例4.1計(jì)算結(jié)果

    由表1可知,在給定條件下,Thiele-連分式逼近的第一項(xiàng)截?cái)嗟碞ewton迭代,需要迭代8次才能滿足收斂,第二項(xiàng)和第三項(xiàng)截?cái)嗟謩e迭代4次和3次即可達(dá)到收斂.

    綜上證實(shí),基于Thiele-連分式逼近的改進(jìn)迭代格式中,其截?cái)喽囗?xiàng)式的收斂速度、收斂階數(shù)、收斂效果隨n值的增大而增加.

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