一維隨機(jī)Landau-Lifshitz-Bloch方程的平均化原理

尹修偉 ，申廣君，吳獎(jiǎng)倫

(1.安徽師范大學(xué)統(tǒng)計(jì)系，安徽 蕪湖 241000;2.斯旺西大學(xué)數(shù)學(xué)系，英國(guó) 斯旺西 SA1 8EN)

1 引言

物質(zhì)的磁化是物理學(xué)中的一個(gè)重要現(xiàn)象.當(dāng)溫度低于臨界溫度時(shí)，物質(zhì)將會(huì)發(fā)生磁化現(xiàn)象，可以用 Landau-Lifshitz-Gilbert方程來(lái)描述這種磁化現(xiàn)象，參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].但是對(duì)于較高的溫度來(lái)說(shuō)，必須用一個(gè)更合適的模型例如Landau-Lifshitz-Bloch方程來(lái)替代[2-3].Landau-Lifshitz-Bloch方程的一般形式為

其中u=u(t)=u(t，x)∈R3，x∈D?R，且|·|與×分別表示 R3中的歐幾里得范數(shù)和向量的叉積.此外，

表示有效磁場(chǎng)，其中ξ為縱向磁化率.本文只考慮T＞Tc和L1=L2=:ν1的情形.利用恒等式a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b)可以將方程(1)改寫(xiě)為

本文主要考慮一維隨機(jī)Landau-Lifshitz-Bloch方程的平均化原理，即研究下述隨機(jī)系統(tǒng)當(dāng)ε→0時(shí)的漸近行為:

其中為邊界?D的單位外法向量，W為無(wú)窮維的 Wiener過(guò)程，G∈L2(H0;H1)為Hilbert-Schmidt算子(詳見(jiàn)第二部分).由Krylov與Bogolyubov建立的平均化原理是研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)的有效工具.與此同時(shí)，Khasminskii[10]建立了隨機(jī)平均化原理.隨后大量的文獻(xiàn)研究了有限維或無(wú)窮維隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的平均化原理，參見(jiàn)文獻(xiàn)[11-16]等.

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文的主旨是建立隨機(jī)系統(tǒng)(3)的平均化原理.本文結(jié)構(gòu)安排如下，第二部分簡(jiǎn)要回顧本文需要的一些基本事實(shí)，第三部分?jǐn)⑹霾⒆C明本文的主要結(jié)論.

2 準(zhǔn)備知識(shí)

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，用C表示非負(fù)常數(shù)，它在不同位置的取值可以不同，當(dāng)強(qiáng)調(diào)C依賴于參數(shù)時(shí)，有時(shí)也將依賴性表示出來(lái).假定D?R為具有光滑邊界的有界區(qū)域.Lp(D)=Lp(D;R3)，p≥1 為向量值的Lp空間，并賦予范數(shù)‖·‖Lp.令〈·，·〉L2為空間L2(D)的內(nèi)積.給定非負(fù)整數(shù)m≥0，令Hm為D通常的Sobolev空間，并賦予范數(shù)和內(nèi)積〈·，·〉Hm.約定H:=H0=L2(D).

設(shè)(Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P)為給定的帶域流概率空間并且滿足通常條件，{ek，k∈N}為H的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且Q為H上對(duì)稱，正定的跡類算子并且滿足Qek=μkek，k∈N.設(shè)W(·)為H值的Q-Wiener過(guò)程，W(·)可以表示為

3 主要結(jié)論