一類雙曲方程解的空間漸近性態(tài)

石金誠

(廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 511300)

§1 引言

1856年,Saint-Venant提出了一個(gè)著名的在數(shù)學(xué)和力學(xué)上具有廣泛應(yīng)用的原理,稱之為Saint-Venant原則.隨后Saint-Venant原則成為數(shù)學(xué)與力學(xué)領(lǐng)域最流行的研究?jī)?nèi)容之一.有關(guān)Saint-Venant原則的詳細(xì)介紹可見文獻(xiàn)[1-3].Saint-Venant型定理的一個(gè)共同特點(diǎn)是建立解的能量的指數(shù)衰減估計(jì),當(dāng)空間變量由近端向無窮遠(yuǎn)端移動(dòng)時(shí),其解的能量呈指數(shù)衰減.為了得到Saint-Venant型的解的空間指數(shù)衰減,人們總是假設(shè)解在無窮遠(yuǎn)處必須滿足一些限制條件,可是,這樣的假設(shè)在實(shí)際應(yīng)用中并不一定成立,為此,許多學(xué)者轉(zhuǎn)向研究Phragm′en-Lindel?f二擇一結(jié)果.經(jīng)典的Phragm′en-Lindel?f二擇一定理指出: 調(diào)和方程的解從圓柱面有限的一端到無窮遠(yuǎn)處必隨距離增長(zhǎng)而呈指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減.在研究Phragm′en-Lindel?f二擇一定理時(shí),不需要對(duì)解在無窮遠(yuǎn)處加任何限制條件.Payne等[4]給出了雙調(diào)和方程在三個(gè)不同區(qū)域的Phragm′en-Lindel?f二擇一結(jié)果.對(duì)于解的Saint-Venant原則或Phragm′en-Lindel?f 二擇一研究目前也取得了一些成果(見[5-9]).已有的文獻(xiàn)主要研究橢圓與拋物方程解的空間性態(tài),對(duì)雙曲方程研究較少.最近,一些新的文獻(xiàn)開始研究雙曲方程解的時(shí)間性態(tài)(見[10-13]).

解的“爆破”或“不存在”是偏微分方程一個(gè)重要的研究方向,在文獻(xiàn)[14-17]中有詳細(xì)的介紹,但大多數(shù)是關(guān)于橢圓或拋物方程的爆破研究.他們均是采用能量方法去研究解的爆破現(xiàn)象,得到一些解的爆破結(jié)果.特別的,在文獻(xiàn)[17]中,Quintalina研究了一類非線性拋物方程解的空間性態(tài),在給定的限制條件下,得到了一個(gè)類似于Phragm′en-Lindel?f二擇一的結(jié)果,該結(jié)果表明,解或者在有限空間內(nèi)爆破,或者解隨著空間變量的增長(zhǎng)而衰減.受文獻(xiàn)[17]的啟發(fā),嘗試研究雙曲方程的解的空間衰減估計(jì)與爆破,得到解的類似于Phragm′en-Lindel?f二擇一的結(jié)果: 解沿著空間趨于無窮遠(yuǎn)的過程中要么不整體存在,要么整體存在且沿著空間變量的增長(zhǎng)而指數(shù)衰減.特別指出,國內(nèi)也有一些學(xué)者開始進(jìn)行解的空間衰減估計(jì)或Phragm′en-Lindel?f二擇一的研究,文獻(xiàn)[18-24]得到一些拋物方程解的空間性質(zhì).本文主要研究雙曲型方程

的經(jīng)典解,其中q2=u,iu,i,ρ是一個(gè)函數(shù)并且γ是一個(gè)大于零的常數(shù).考慮半無限帶形區(qū)域上方程(1)的一個(gè)初邊值問題,初始條件為

其中R={(x1,x2)|0＜x2＜h,x1＞0}.邊界條件為

假設(shè)滿足(1)的經(jīng)典解是存在的.其中函數(shù)g滿足邊界條件g(0,t)=g(h,t)=0.為了方便起見,引入符號(hào)

對(duì)函數(shù)ρ,假設(shè)存在一個(gè)大于零的常數(shù)ρM滿足

本文討論了解關(guān)于空間的性態(tài),得到一個(gè)類似于Phragm′en-Lindel?f二擇一的結(jié)果.對(duì)于解的爆破現(xiàn)象的研究,現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中在解的時(shí)間爆破,除文獻(xiàn)[17] 外,尚未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)研究解的空間爆破.相對(duì)于文獻(xiàn)[17],由于考慮對(duì)象由拋物方程變?yōu)殡p曲方程,如何構(gòu)造能量函數(shù)是本文的關(guān)鍵.如何推導(dǎo)出能量函數(shù)所滿足的微分不等式以及巧妙求解的方法,是本文最大的特色.本文所得的解的點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)結(jié)果是雙曲方程所特有的.

本文采取以下符號(hào)約定,˙u表示對(duì)u關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)數(shù).用逗號(hào)表示求偏導(dǎo),用,i表示對(duì)xi求偏導(dǎo)數(shù)(i=1,2),如:u,i表示.重復(fù)指標(biāo)表示求和,如

§2 解的空間爆破或衰減

在下文中將使用如下引理.

引理2.1[16]對(duì)于光滑函數(shù)u(ξ),當(dāng)u(0)=u(h)=0時(shí),Poincar′e不等式

成立.而對(duì)于光滑函數(shù)u(ξ),當(dāng)u(0)=0或u(h)=0時(shí),Poincar′e不等式

成立,其中π是大于零的常數(shù).

引理2.2定義函數(shù)

證首先考慮

因此可得

定義函數(shù)W滿足

當(dāng)q2=0時(shí),W=0.聯(lián)合(12) 與(13)即可得到(10)的結(jié)果.

定理2.1設(shè)u是方程(1)滿足初邊值條件(2)-(4)的解,當(dāng)空間變量z趨于無窮時(shí),解的能量表達(dá)式或者滿足

該不等式表明解在有限空間內(nèi)爆破.或者解的能量表達(dá)式滿足估計(jì)

該不等式表明解的能量按照冪函數(shù)衰減,(14)式的結(jié)果與(15)式的結(jié)果有且只有一個(gè)成立.其中M6(t) 是一正函數(shù).

證(10)式兩邊同時(shí)對(duì)z求偏導(dǎo),可得

如果假設(shè)˙uf滿足

其中α是任意大于1的常數(shù).由(10)式可知

其中

由H?lder不等式和(19)式,可得

由Young不等式和(22)式,可得

其中M4(t)=M1(t).將(8)代入(25)式,可得

下面分兩種情形來討論.

情形1若假設(shè)存在一個(gè)z0＞0,使得G(z0,t)＜0,那么對(duì)于所有的z ≥z0,有G(z,t)＜0.因此得出結(jié)論

對(duì)(29)式從0到z積分,可得

不等式(30)表明,當(dāng)z →∞時(shí),-G(z,t)＜0,顯然與假設(shè)矛盾.故解在z為有限值時(shí)不存在.

情形2另一方面,如果假設(shè)G(z,t)≥0對(duì)于所有的z ≥0,得到

它描述了當(dāng)z ≥0時(shí),解是沿著空間z →∞時(shí)按照冪函數(shù)衰減.結(jié)合以上兩種情況,證明了定理2.1的結(jié)果.

§3 解的指數(shù)衰減估計(jì)

在定理2.1情形2的條件下,當(dāng)G(z,t)≥0時(shí),建立了解的漸近衰減估計(jì).下面證明該衰減至少是指數(shù)衰減.

定理3.1設(shè)u是方程(1)滿足初邊值條件(2)-(4)的解,且假設(shè)(9)式中定義的函數(shù)G(z,t)≥0,則解的能量表達(dá)式滿足空間衰減估計(jì)

如果定義一個(gè)新的能量函數(shù)

則對(duì)于所有的z ≥0滿足估計(jì)

由H?lder不等式及(7)和(9)式,可得

(37)式可變形為

求解(38)式可得

(39)式表明(15)式中的漸近衰減可以達(dá)到指數(shù)衰減,(32)式的結(jié)果得證.顯然

成立.(39)式,由L’Hospital法則可得

聯(lián)合(40)和(41)式可得

聯(lián)合(7),(33)和(41)式,由Cauchy-Schwarz不等式,可得

由(42)可得

聯(lián)合(40)和(43)式可得

§4 解的點(diǎn)點(diǎn)衰減估計(jì)

在定理2.1情形2的條件下,還可以得到u2(z,x2,t)的漸近性態(tài).

定理4.1在情形2的假設(shè)下,則

其中k和c均是大于零的常數(shù).

證在情形2中,可知

由H?lder不等式,可得

由(3)式可知

聯(lián)合(8)和(49)式可得

對(duì)(32)式應(yīng)用L’Hospital法則得: 當(dāng)z →∞時(shí)

聯(lián)合(50)和(51)式可得

下一步證明當(dāng)z →∞時(shí)

由(3)式可知

由上式有

聯(lián)合(34),(52)和(53)式可得

結(jié)合(48),(52)和(54)式可得

所以證明了定理4.1的第一部分.定義一個(gè)新的函數(shù)

采用類似于(48)-(55)式的過程,可得

其中k是一個(gè)大于零的常數(shù).所以定理4.1得證.