前伸后延構(gòu)體系 上下貫通促思維
——以人教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”為例

車(chē)淑麗

（朝陽(yáng)市喀左縣第四小學(xué)）

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課是“數(shù)與符號(hào)的認(rèn)識(shí)”單元主題中的內(nèi)容，是在學(xué)生已經(jīng)掌握了商不變的規(guī)律、小數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。從商不變的規(guī)律到小數(shù)的性質(zhì)再到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，這些規(guī)律都是在“變與不變”中凸顯本質(zhì)特征、感悟數(shù)學(xué)思想的。因此，作為一節(jié)生長(zhǎng)課，本節(jié)課我力求從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)引入，通過(guò)數(shù)學(xué)思維方法的再現(xiàn)和遷移，將學(xué)生帶到“最近發(fā)展區(qū)”，為學(xué)生鋪設(shè)一條思維路徑。在探究過(guò)程中，我引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法歸納概括分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，并且借助圖形揭示分?jǐn)?shù)相等的秘密，引導(dǎo)學(xué)生理解規(guī)律背后的本質(zhì)特征。學(xué)生經(jīng)歷猜想、實(shí)踐、觀察、驗(yàn)證的全過(guò)程，在“變與不變”中探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步感知“等價(jià)類(lèi)”以及“無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了數(shù)感，發(fā)展了數(shù)學(xué)推理意識(shí)。這樣，能夠?yàn)閷W(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)約分、通分提供依據(jù)，為“分?jǐn)?shù)的計(jì)算”及“比的基本性質(zhì)”的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、從點(diǎn)出發(fā)，激活學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是一條線?！扒吧臁本褪桥宄R(shí)（包括數(shù)學(xué)概念、原理、方法、規(guī)則、思想、思維等）的源頭和發(fā)展脈絡(luò)，解決“從哪里來(lái)”的問(wèn)題；“后延”就是要弄清楚知識(shí)的發(fā)展趨勢(shì)，解決“到哪兒去”的問(wèn)題，兩者是統(tǒng)一的。只要從這樣的視角來(lái)備課、上課，數(shù)學(xué)課就會(huì)變得有意思、有意義。

（一）憶舊導(dǎo)新，鋪設(shè)思維路徑

江蘇省特級(jí)教師許衛(wèi)兵認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門(mén)“關(guān)系”學(xué)。如果我們從“關(guān)系”的視角來(lái)研究教材內(nèi)容和教學(xué)方法，就會(huì)使知識(shí)系統(tǒng)化，使教學(xué)結(jié)構(gòu)化，從而使學(xué)生的思維走向“自能”化?！胺?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課就是在舊知的基礎(chǔ)上延伸生長(zhǎng)而來(lái)的。學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)的性質(zhì)和商不變規(guī)律的時(shí)候已經(jīng)在不經(jīng)意間應(yīng)用到了“于變中把握不變”這一思想方法，積累了相關(guān)的思維經(jīng)驗(yàn)。因此，本節(jié)課可從商不變的規(guī)律和小數(shù)的性質(zhì)入手，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的變化特點(diǎn)，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要方法和途徑”，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的方法基礎(chǔ)。

教師可提出問(wèn)題：（1）8÷4→80÷40；（2）24÷6→12÷3。觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)每組算式中被除數(shù)和除數(shù)都變了，但是商卻沒(méi)變。

生：第一組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以10，第二組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以2。

生：我想到了商不變的規(guī)律——被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變。

師：商不變的規(guī)律就是我們從“變與不變”的大量除法算式研究中歸納發(fā)現(xiàn)的。等式0.1=（ ）你會(huì)填嗎？看看什么變了？怎樣變的？什么沒(méi)變？

生：0.1=0.10=0.100=0.1000=0.10000……可以寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)。

生：雖然小數(shù)末尾0的個(gè)數(shù)逐個(gè)增多，但小數(shù)的大小是不變的。

生：我想到的是小數(shù)的性質(zhì)——小數(shù)的末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變。

師：小數(shù)的性質(zhì)也是從大量“變與不變”的例子中研究發(fā)現(xiàn)的?？磥?lái)，研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的變化特點(diǎn)，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一個(gè)重要方法和途徑。（板書(shū)，變、怎么變、不變）

（二）溝通聯(lián)系，引發(fā)合理猜想

教師通過(guò)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生合理猜想，學(xué)生能自然地將學(xué)習(xí)內(nèi)容納入其已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系。

師：整數(shù)除法中有商不變的規(guī)律，小數(shù)中有小數(shù)的性質(zhì)。那么，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合本單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容，猜想一下，分?jǐn)?shù)中有可能存在什么規(guī)律？你的依據(jù)是什么？同桌之間互相說(shuō)一說(shuō)。

生：我認(rèn)為分?jǐn)?shù)中也存在著一定規(guī)律。根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，我們可以把“被除數(shù)”看作“分子”，把“除數(shù)”看作“分母”，把“商”看作“分?jǐn)?shù)值”，所以我認(rèn)為分?jǐn)?shù)中存在的規(guī)律與商不變的規(guī)律是基本相同的。

生：我認(rèn)為分?jǐn)?shù)中存在著一定的規(guī)律，而且這個(gè)規(guī)律也一定是在“變與不變”中發(fā)現(xiàn)的。

師：同學(xué)們，你們抓住了知識(shí)之間的聯(lián)系進(jìn)行猜想，還想到了運(yùn)用“變與不變”這一思維方法來(lái)研究，真了不起！老師為你們點(diǎn)贊?。ò鍟?shū)，猜想）

二、自主探究，理解規(guī)律本質(zhì)

（一）比較大小，形象感知相等

美國(guó)心理學(xué)家布魯納曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的生命在于探索，教師的任務(wù)是讓學(xué)生親歷探索的過(guò)程，在探索中發(fā)現(xiàn)，在探索中創(chuàng)新?！币虼耍经h(huán)節(jié)教師設(shè)計(jì)了不同層次的探究?jī)?nèi)容，通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)大小的比較，借助直觀圖形，引出一組相等分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生初步感知相等的內(nèi)涵。

師：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系來(lái)比較分?jǐn)?shù)的大小和借助圖形來(lái)說(shuō)理，都是好方法。同學(xué)們請(qǐng)看圖（如圖1）。

圖1

（二）實(shí)踐操作，嘗試尋找相等

教師要提供豐富的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，用畫(huà)一畫(huà)、折一折、擺一擺、說(shuō)一說(shuō)等方法找相等的分?jǐn)?shù)，使學(xué)生初步感受其中的“變與不變”，從而對(duì)變化規(guī)律有淺顯的、感性的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，教師還可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活找相等的分?jǐn)?shù)，或者利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系找相等的分?jǐn)?shù)，這樣能擴(kuò)大相等分?jǐn)?shù)的研究范圍。

自學(xué)提示：請(qǐng)打開(kāi)學(xué)具袋（相同的圓形、正方形、長(zhǎng)方形紙片各4張，10根小棒，線段圖，彩筆），用畫(huà)一畫(huà)、折一折、算一算、寫(xiě)一寫(xiě)等方法，嘗試找出“分子、分母不同，但大小相等”的分?jǐn)?shù)。（至少找出兩個(gè)）你也可以聯(lián)系生活實(shí)際，找一找生活中相等的分?jǐn)?shù)。把你找到的分?jǐn)?shù)寫(xiě)在練習(xí)本上，與小組內(nèi)同學(xué)交流，說(shuō)明為什么相等。

師：通過(guò)實(shí)踐操作，相信你們一定找出了很多相等的分?jǐn)?shù)，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

生：我把圓形（或正方形）的紙片對(duì)折，涂上其中的1份，就是；然后，我再對(duì)折，涂色部分就占圓形的；再對(duì)折，涂色部分就占圓形的涂色部分沒(méi)變，所以分?jǐn)?shù)的大小相等，也就是

考古學(xué)文化是隨著考古學(xué)研究發(fā)展到一定時(shí)期和水平出現(xiàn)的概念。德國(guó)考古學(xué)家古斯塔夫·科西納是第一個(gè)運(yùn)用考古學(xué)文化來(lái)整理考古材料的人，他認(rèn)為，從舊石器時(shí)代晚期以來(lái)，中歐的考古記錄就可以用文化和文化群來(lái)安排。他提出“文化群即民族群，文化區(qū)即民族區(qū)”，因此文化的差異就反映了民族的差異。科西納聲稱(chēng)，在地圖上標(biāo)出的一類(lèi)器物的分布代表了某一民族的分布，而文化的延續(xù)反應(yīng)了民族的延續(xù)，于是，考古學(xué)能夠根據(jù)器物確定的文化單位來(lái)追溯民族群體的分布和延續(xù)。但科西納是一個(gè)典型的種族主義者，他試圖通過(guò)考古學(xué)文化的整理尋找德意志民族的起源。

師：如果再對(duì)折一次，涂色部分就占圓形的幾分之幾？它們的大小還相等嗎？

生：我想我會(huì)得到無(wú)數(shù)個(gè)相等的分?jǐn)?shù)，因?yàn)橥可糠质冀K沒(méi)變，所以分?jǐn)?shù)的大小也不變。

（三）借圖揭秘，凸顯相等本質(zhì)

教師要抓住學(xué)生匯報(bào)中對(duì)折的方法，借助圖形直觀演示，揭示性質(zhì)背后的本質(zhì)特征，即不同分?jǐn)?shù)之間為什么相等，滲透“等價(jià)類(lèi)”的數(shù)學(xué)思想。教師通過(guò)讓學(xué)生想象“如果一直對(duì)折下去，你會(huì)找到多少相等的分?jǐn)?shù)？”滲透“無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想，這也為下面怎樣“變”才會(huì)“不變”以及規(guī)律的概括提供了有力的支撐。教師課件演示。（如圖2）

圖2

師：確實(shí)，如果我們無(wú)限地對(duì)折下去，可以得到無(wú)數(shù)個(gè)相等的分?jǐn)?shù)。借助直觀圖形，我們來(lái)觀察一下，這個(gè)圖形究竟發(fā)生了什么變化？

生：我發(fā)現(xiàn)無(wú)論怎么分，只不過(guò)是涂色部分和整體分的份數(shù)變多了，但涂色部分的大小是不變的。

生：從圖中我們可以看到，將圓形平均分成2份時(shí)，涂色部分是1份，當(dāng)將圓形平均分成4份時(shí)，涂色部分就隨之變成了2份，當(dāng)將圓形平均分成8份時(shí)，涂色部分就隨之變成了4份，分得份數(shù)變多了，也就是分子和分母同時(shí)變大了，但變化前后他們所表示涂色部分的大小是相等的。

生：因?yàn)槲覀兤骄值氖钦麄€(gè)圓，所以分子和分母是同時(shí)分的，份數(shù)多了，每一份變小了，但所表示涂色部分的大小是不變的。

師：其實(shí)，無(wú)論是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)，只要它所對(duì)應(yīng)圖形中的每一份發(fā)生了相同的變化，所得到分?jǐn)?shù)的大小就是相等的。

三、整體建構(gòu)，形成知識(shí)體系

學(xué)習(xí)的過(guò)程也是學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與新知相互協(xié)同、整體建構(gòu)的過(guò)程。課堂上，教師要將新知化歸舊知，在溝通聯(lián)系中滲透“類(lèi)比”的數(shù)學(xué)思想方法；要利用舊知解釋新知，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和內(nèi)化，形成知識(shí)體系。

師：同學(xué)們，你能根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及除法中商不變的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？

師：我們利用以前學(xué)習(xí)的商不變的規(guī)律推理、解釋了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。實(shí)際上，商不變的規(guī)律與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是可以相互轉(zhuǎn)化的，等我們到了六年級(jí)還會(huì)認(rèn)識(shí)比的基本性質(zhì)，到那時(shí)你們就會(huì)更加深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，真是“數(shù)學(xué)很奇妙，關(guān)系最重要”。

四、內(nèi)化延伸，探尋本質(zhì)特征

本課練習(xí)不能只停留在對(duì)知識(shí)和技能的掌握上，教師還要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)練習(xí)獲得一定的感悟、聯(lián)想和提升。

學(xué)生回答“是根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)找到的”之后，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)討論交流，形成如下的理解：

通過(guò)“找朋友”的游戲，讓學(xué)生找相等的分?jǐn)?shù)，加深了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解和運(yùn)用。

最后，教師可設(shè)置“寫(xiě)數(shù)”題：A、B點(diǎn)分別表示哪些數(shù)？你能寫(xiě)出多少個(gè)？

師：分別觀察A點(diǎn)和B點(diǎn)所寫(xiě)出的數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)A點(diǎn)用分?jǐn)?shù)或小數(shù)表示，都可以寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)，用整數(shù)表示只有一個(gè)；而B(niǎo)點(diǎn)不能用整數(shù)或小數(shù)表示，只能用分?jǐn)?shù)表示，也有無(wú)數(shù)個(gè)。

師：同學(xué)們真是善于觀察和總結(jié)！確實(shí)，數(shù)軸上所有的點(diǎn)（0除外）都可以用無(wú)限個(gè)分?jǐn)?shù)表示，盡管這些分?jǐn)?shù)不同，但是它們表示的是同一個(gè)點(diǎn)，所以大小是相等的。我們還發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上的點(diǎn)，有的能用整數(shù)表示，而且只有一個(gè)。有的點(diǎn)卻不能用整數(shù)表示，由此也就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。

本題將分?jǐn)?shù)和整數(shù)的重要區(qū)別直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生進(jìn)一步感悟到分?jǐn)?shù)不同于整數(shù)的重要特性之一就在于“等價(jià)性”，感受“無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步加深理解了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的意義。