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      基于黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制的阿基米德優(yōu)化算法

      2022-09-25 08:42:44何慶李守玉
      計(jì)算機(jī)應(yīng)用 2022年9期
      關(guān)鍵詞:萊維阿基米德適應(yīng)度

      陳 俊,何慶,李守玉

      (貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院,貴陽 550025)

      0 引言

      近年來隨著科學(xué)技術(shù),特別是電子信息技術(shù)的飛速發(fā)展,全局優(yōu)化方法在電力調(diào)度[1]、控制工程[2]、圖像處理[3]、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理[4]等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛;然而對(duì)于非線性以及目標(biāo)函數(shù)不可導(dǎo)的全局優(yōu)化問題,傳統(tǒng)的優(yōu)化方法很難在合理時(shí)間內(nèi)解決。利用類似仿生學(xué)原理,將自然、動(dòng)物的一些現(xiàn)象抽象成的算法——元啟發(fā)算法[5-13]為解決復(fù)雜全局優(yōu)化問題提供了一種新途徑。該類方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)性質(zhì)要求低、容易實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)定性好,受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。

      阿基米德優(yōu)化算法(Archimedes Optimization Algorithm,AOA)是2020 年由Hashim 等[14]提出的一種新型啟發(fā)式智能優(yōu)化算法。該算法靈感來源于浸入流體中的物體與物體所受浮力的關(guān)系,個(gè)體通過不斷調(diào)整自身密度和體積,使物體達(dá)到平衡狀態(tài),其中調(diào)整的過程即是種群尋優(yōu)過程,達(dá)到平衡狀態(tài)的個(gè)體即是全局最優(yōu)解。相較于其他算法,AOA 局部搜索能力強(qiáng)、收斂速度快,但是仍存在很多不足:首先在迭代中后期算法不斷圍繞著全局最優(yōu)位置的尋優(yōu)方式,導(dǎo)致算法容易陷入局部最優(yōu),且全局搜索能力差;其次在搜索過程中,算法很難從個(gè)體信息上獲取收益。

      針對(duì)上述存在問題,本文提出了一種多策略阿基米德優(yōu)化算法(Multi-Strategy improved AOA,MSAOA)。首先,利用變區(qū)間初始化策略來過濾搜索空間中冗余信息,以保證初始解的質(zhì)量;其次,提出黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制,擴(kuò)大個(gè)體在迭代后期的搜索范圍,以提高算法跳出局部最優(yōu)的能力;最后,根據(jù)個(gè)體自身適應(yīng)度值動(dòng)態(tài)調(diào)整搜尋半徑,在密度下降因子中引入自適應(yīng)波長(zhǎng)算子,提高AOA 的收斂速度。20 個(gè)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)和Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)測(cè)試的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,所提算法性能優(yōu)于原始算法,并通過4 個(gè)機(jī)械設(shè)計(jì)實(shí)例證實(shí)了所提算法可行性和有效性。

      本文主要工作包括以下3 點(diǎn):

      1)提出了變區(qū)間初始化策略,提取和過濾搜索空間中的有用信息以保證初始種群向全局最優(yōu)解靠近。

      2)提出了黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制,有效提高了種群多樣性,增強(qiáng)了算法跳出局部的能力。

      3)提出了自適應(yīng)波長(zhǎng)算子,并將其融入密度因子中,有效增強(qiáng)了個(gè)體的學(xué)習(xí)效率,以提高算法的尋優(yōu)精度。

      1 阿基米德優(yōu)化算法

      阿基米德優(yōu)化算法(AOA)是一種基于種群的優(yōu)化算法,設(shè)計(jì)靈感來自阿基米德定理。該原理指出,當(dāng)物體完全或部分浸入流體中時(shí),流體給物體施加的浮力大小與排出液體的質(zhì)量(體積)成正比[15]:若物體受到的浮力等于排出液體質(zhì)量時(shí),視為該物體處于平衡狀態(tài),如式(1)所示。假設(shè)許多物體浸沒在同一種流體中。每個(gè)物體都試圖達(dá)到平衡狀態(tài)。浸沒的物體有不同的密度p和體積v,從而導(dǎo)致不同的加速度a。

      其中:b 表示為流體,o 表示為物體個(gè)體。根據(jù)式(1)可將物體的加速度公式表示為式(2):

      假如物體o 與另一個(gè)鄰近物體r 的碰撞,導(dǎo)致當(dāng)前物體的平衡狀態(tài)將受到鄰近物體的影響,則當(dāng)前物體的平衡狀態(tài)將為:

      與其他的元啟發(fā)式算法一樣,AOA 以隨機(jī)初始化物體的密度、體積和加速度開始搜索。在評(píng)估了初始種群的適應(yīng)度后,AOA 進(jìn)行迭代更新,直到終止條件滿足。在每次迭代中,AOA 會(huì)根據(jù)個(gè)體與其他鄰近個(gè)體是否發(fā)生碰撞選擇位置方式,并更新個(gè)體自身屬性。更新后的密度、體積、加速度決定了下一代個(gè)體的新位置。以下是AOA 步驟的詳細(xì)數(shù)學(xué)表達(dá)式。

      在初始化階段,AOA 會(huì)隨機(jī)初始化每個(gè)對(duì)象的體積(vol)、密度(den)、加速度(acc)。在此過程中,AOA 將評(píng)估初始種群,選取當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體(xbest)、最優(yōu)個(gè)體的密度(denbest)、體積(volbest)、加速度(accbest),用于其他個(gè)體密度、體積和加速度的更新。

      式中:和為在t代中第i個(gè)和i+1 個(gè)體的密度和為在第t代中第i個(gè)和i+1 個(gè)個(gè)體的體積;rand∈(0,1)的隨機(jī)數(shù)。

      根據(jù)浸透在液體中的物體是否發(fā)生碰撞,AOA 將其分為全局探索和局部搜索階段。若未發(fā)生碰撞,AOA 進(jìn)行全局探索階段;反之,進(jìn)行局部開發(fā)階段。通過設(shè)置遷移算子(Transfer Factor,TF),用于對(duì)兩個(gè)階段的切換,其定義如下:

      式中:t和tmax分別表示當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)。

      不同階段對(duì)應(yīng)不同加速度更新公式。當(dāng)TF≤0.5,AOA進(jìn)行全局搜索,個(gè)體的加速度進(jìn)行更新方式為式(6):

      當(dāng)TF>0.5,AOA 進(jìn)行局部開發(fā)。個(gè)體的加速度進(jìn)行更新方式為式(7):

      為了規(guī)范個(gè)體的更新步長(zhǎng)范圍,AOA 將對(duì)個(gè)體的加速度進(jìn)行歸一化操作,如式(8)所示:

      在全局搜索階段,個(gè)體位置根據(jù)式(9)進(jìn)行位置更新:

      在局部開發(fā)階段,個(gè)體位置根據(jù)式(11)進(jìn)行位置更新:

      式中:C2為固定常數(shù);F為方向因子,用于決定迭代的位置更新方向,其定義為:

      其 中:P=2rand-C4,C4為固定常 數(shù);T=C3×TF,且T∈[0.3C3,1],C3為固定常數(shù)。

      2 多策略阿基米德優(yōu)化算法

      2.1 變區(qū)間初始化策略

      初始化種群的好壞一定程度上決定了算法的性能,初始種群在解空間中的細(xì)微不同,都可能影響算法進(jìn)化方向。AOA 的初始種群在搜索空間中隨機(jī)產(chǎn)生,導(dǎo)致初始種群分布不均勻,搜索范圍有限。為了解決以上問題,獲得好的初始種群,本文利用變區(qū)間初始化策略來提取搜索空間中有用信息以保證種群向全局最優(yōu)解靠近。

      對(duì)于優(yōu)化問題:

      式中:LB(Lower Bound)表示搜索空間中的搜索下限;UB(Upper Bound)表示搜索空間中的搜索上限。變區(qū)間初始化策略對(duì)就是通過不斷縮短[LB,UB],將初始種群逼近到式(13)中近似最優(yōu)解的附近。

      首先在中間取一個(gè)中點(diǎn)l。

      生成兩個(gè)個(gè)體:

      式中a和b分別為:

      計(jì)算f(x1)和f(x2)并比較它們大小,若f(x1)>f(x2),則有x*∈[l,UB],從而將潛在的最優(yōu)解位置收縮到[l,UB]內(nèi);然后依次迭代,不斷縮短搜索區(qū)間,并將搜索空間[LB,UB]分割成n-1 個(gè)子區(qū)間,把初始種群聚集到問題(13)的最優(yōu)解附近。具體步驟參見算法1。

      算法1 變區(qū)間初始化策略偽代碼。

      2.2 黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制

      在AOA 中,當(dāng)遷移算子TF<0.5 時(shí),AOA 進(jìn)入全局開發(fā)階段。由遷移算子定義可知TF∈(0.36,1],并且遷移算子會(huì)隨迭代次數(shù)線性增長(zhǎng)。該現(xiàn)象導(dǎo)致絕大部分迭代圍繞著最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行位置更新,引導(dǎo)個(gè)體朝向最優(yōu)個(gè)體方向移動(dòng);然而當(dāng)最優(yōu)個(gè)體陷入局部最優(yōu)時(shí),很容易導(dǎo)致算法出現(xiàn)搜索停止的現(xiàn)象。為了加強(qiáng)AOA 跳出局部最優(yōu)的能力,本文提出黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制。

      在凸優(yōu)化理論中,AOA 收斂的關(guān)鍵之一是其步長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)滿足適定性[16],即:步長(zhǎng)較大會(huì)使得算法搜索精度低且收斂后期出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象;步長(zhǎng)較小會(huì)導(dǎo)致搜索速度低,且不易跳出局部最優(yōu)。萊維步長(zhǎng)[17]是一種服從萊維分布的隨機(jī)游動(dòng),其短距離與較長(zhǎng)距離步長(zhǎng)相間的特性,使得在未知范圍內(nèi)搜索時(shí),能夠達(dá)到更大范圍,從而有助于算法跳出局部最優(yōu)。步長(zhǎng)s的計(jì)算公式為:

      其中μ和ν服從正態(tài)分布:μ~N(0,σ2μ),ν~N(0,σ2ν)。

      式中:σν通常取1;Γ(β)是Gamma 函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知,β取值影響萊維飛行步長(zhǎng)軌跡,β取值越大,局部開發(fā)能力越強(qiáng)。

      其次,本文引入正弦函數(shù)與單位圓之間的關(guān)系[19],使得種群能遍歷正弦函數(shù)上的所有點(diǎn),即單位圓上的所有點(diǎn)。個(gè)體位置更新公式為:

      式中:R1∈[0,2π]的隨機(jī)數(shù),R1和萊維步長(zhǎng)s共同決定搜索半徑;R2∈[0,π]的隨機(jī)數(shù),決定個(gè)體的位置更新方向;θ1和θ2是引入的黃金分割系數(shù)τ,其目的是縮小搜索空間,使得算法在每次迭代都會(huì)對(duì)能產(chǎn)生優(yōu)秀解的區(qū)域進(jìn)行充分搜索,從而加快了算法收斂速度。公式中具體參數(shù)表達(dá)式如下所示:

      最后,雖然對(duì)目標(biāo)個(gè)體使用黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制,能讓算法跳出局部最優(yōu),但并不能保證新的個(gè)體位置優(yōu)于原目標(biāo)個(gè)體位置,因此在引導(dǎo)機(jī)制后加入貪婪機(jī)制,通過比較個(gè)體位置更新前后個(gè)體適應(yīng)度后再?zèng)Q定是否更新目標(biāo)位置,以保留適應(yīng)度較好的個(gè)體。貪婪機(jī)制具體操作表達(dá)式如下:

      2.3 自適應(yīng)波長(zhǎng)算子

      受到浸泡在液體中運(yùn)動(dòng)物體會(huì)導(dǎo)致水平面發(fā)生波動(dòng)現(xiàn)象啟發(fā),本文提出了自適應(yīng)波長(zhǎng)算子:達(dá)到自身平衡(適應(yīng)度較好)的個(gè)體,引起波動(dòng)較小,從而具有較長(zhǎng)的波長(zhǎng);還遠(yuǎn)未達(dá)到自身平衡(適應(yīng)度較差)的個(gè)體運(yùn)動(dòng)會(huì)引起的較大波動(dòng),從而具有較短的波長(zhǎng)。

      在AOA 中,由于缺乏多樣性的操作,當(dāng)AOA 進(jìn)化到一定的程度時(shí),導(dǎo)致AOA 很難從自身適應(yīng)度獲取收益。因此結(jié)合浸泡在液體中運(yùn)動(dòng)物體的物理現(xiàn)象,本文提出自適應(yīng)波長(zhǎng)算子增強(qiáng)個(gè)體學(xué)習(xí)效率,提高算法尋優(yōu)精度。

      式中:λi表示第i個(gè)體運(yùn)動(dòng)引起的波長(zhǎng)系數(shù);f(Xi)表示當(dāng)前迭代中第i個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值;fmin和fmax分別表示當(dāng)前迭代中最優(yōu)適應(yīng)度值和最差適應(yīng)度值;α為衰減因子,ε為一個(gè)非常小的有理數(shù),以防止分母為0 的情況。最后將自適應(yīng)波長(zhǎng)系數(shù)融合到密度因子,得到新密度因子更新公式為:

      式中表示在t+1 代中第i個(gè)個(gè)體的密度因子。新的密度因子的大小會(huì)根據(jù)個(gè)體自身適應(yīng)度動(dòng)態(tài)變化:適應(yīng)度接近最優(yōu)適應(yīng)度的個(gè)體,AOA 保持原來的密度因子的性質(zhì);而適應(yīng)度較差的個(gè)體,密度因子接近最大值,使當(dāng)前個(gè)體擁有較長(zhǎng)的步長(zhǎng),快速向最優(yōu)解靠近。

      2.4 MSAOA時(shí)間復(fù)雜度

      時(shí)間復(fù)雜度從理論上反映算法的收斂速度,在AOA 中,假設(shè)參數(shù)初始化(最大迭代次數(shù)為M,種群規(guī)模為n,空間維度d等參數(shù)),求解目標(biāo)的適應(yīng)度函數(shù)時(shí)間為f(d),由文獻(xiàn)[14]可知,AOA 時(shí)間復(fù)雜度為O(M(n×f(d))),MSAOA 的時(shí)間復(fù)雜度與AOA 相同,分析如下。

      初始化階段 假設(shè)種群初始化參數(shù)比之前多x1,且變區(qū)間初始化策略時(shí)間復(fù)雜度O(n×f(d)),則MSAOA 種群初始階段的時(shí)間復(fù)雜度為:

      黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制階段 假設(shè)每一維度計(jì)算levy(λ)需要的時(shí)間為x2;生成隨機(jī)數(shù)需要的時(shí)間為x3;根據(jù)式(19)需要的時(shí)間復(fù)雜度為O(2f(d)),則該策略需要的時(shí)間復(fù)雜度為:

      引入自適應(yīng)波長(zhǎng)算子后的時(shí)間復(fù)雜度與AOA 基本相同。綜上MSAOA 的時(shí)間復(fù)雜度為:

      2.5 AOA的實(shí)現(xiàn)流程

      本文所提算法MSAOA 的流程如圖1 所示。

      圖1 MSAOA流程Fig.1 Flowchart of MSAOA

      3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

      為了全面驗(yàn)證本文改進(jìn)策略的有效性和魯棒性,以及改進(jìn)后算法的性能。本文驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)分為3 個(gè)部分進(jìn)行。

      1)將MSAOA 與不同改進(jìn)策略進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證改進(jìn)策略的有效性;

      2)將MSAOA 與其他群智能算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),再次驗(yàn)證MSAOA 的有效性;

      3)通過Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)驗(yàn)證本文算法與其他對(duì)比算法之間的差異顯著性。

      實(shí)驗(yàn)引入20 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù),分為3 類:第1 類為單峰基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù),表1 中F1~F7 所示;第2 類為多峰基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù),如表1 中的F8~F14 所示;第3 類為固定維度的多峰基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù),如表1 中的F15~F20 所示。

      表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Tab.1 Benchmark test functions

      算法的基本參數(shù):種群規(guī)模為30,最大迭代次數(shù)為1 000,算法內(nèi)參數(shù)如表2 所示。

      表2 算法內(nèi)參數(shù)Tab.2 Parameters in algorithms

      3.1 與不同的改進(jìn)策略對(duì)比

      為了驗(yàn)證本文所提算法和每個(gè)改進(jìn)點(diǎn)的效果,將多策略阿基米德優(yōu)化算法(MSAOA)與阿基米德優(yōu)化算法(AOA)、僅加入變區(qū)間初始化策略的阿基米德優(yōu)化算法(AOA1)、僅加入自適應(yīng)波長(zhǎng)算子的阿基米德優(yōu)化算法(AOA2)以及僅加入黃金萊維飛行引導(dǎo)機(jī)制的阿基米德優(yōu)化算法(AOA3),同時(shí)在20 個(gè)經(jīng)典基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)下對(duì)比實(shí)驗(yàn),進(jìn)而客觀地反映算法改進(jìn)的有效性。

      首先,為了體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性能,圖2 所示的6 個(gè)測(cè)試函數(shù)運(yùn)行30 次的平均收斂曲線,其中縱坐標(biāo)取10 為底的對(duì)數(shù)。通常采用單峰值函數(shù)(F1、F3、F6)來評(píng)價(jià)算法的開發(fā)能力,多峰值函數(shù)(F8、F10、F11)來評(píng)價(jià)算法的全局探索能力。由于加入黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制,AOA 更容易跳出局部最優(yōu),所以MSAOA 的收斂速度和收斂精度上都優(yōu)于其他算法,進(jìn)而驗(yàn)證了改進(jìn)策略的有效性。

      圖2 基準(zhǔn)函數(shù)的平均收斂曲線Fig.2 Average convergence curves of benchmark functions

      其次,表3 中最優(yōu)值和標(biāo)準(zhǔn)差分別反映算法的尋優(yōu)能力以及穩(wěn)定性和魯棒性。

      表3 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的測(cè)試結(jié)果Tab.3 Test results on benchmark test functions

      從表3 縱向來看,在除去F12 外的單峰值函數(shù),MSAOA均能找到理論最優(yōu)值,且標(biāo)準(zhǔn)差最小。對(duì)于函數(shù)F7,MSAOA雖然沒有達(dá)到理論最優(yōu)值,但是MSAOA 的性能指標(biāo)均優(yōu)于其他算法。對(duì)于7 個(gè)多峰值函數(shù),算法的求解精度相較于單峰值函數(shù)有所下降。MSAOA 在求解多峰值函數(shù)時(shí),其中F8、F10、F11 達(dá)到理論最優(yōu)值,且穩(wěn)定性最好。對(duì)于其余多峰值函數(shù),MSAOA 尋優(yōu)精度以及穩(wěn)定性上都優(yōu)于AOA,客觀說明MSAOA 能有效幫助算法跳出局部最優(yōu),擁有更強(qiáng)的全局搜索能力。對(duì)于固定維度函數(shù),MSAOA 的平均值更接近理論最優(yōu)值,同時(shí)MSAOA 的標(biāo)準(zhǔn)差明顯優(yōu)于AOA??v向來說,3個(gè)改進(jìn)策略對(duì)算法性能都有一定程度上的提升,其中僅加入黃金萊維飛行策略的阿基米德優(yōu)化算法(AOA3)表現(xiàn)最為突出,引入自適應(yīng)波長(zhǎng)算子的阿基米德優(yōu)化算法(AOA2)其次,結(jié)合變區(qū)間初始化策略的阿基米德優(yōu)化算法(AOA1)次之。綜合MSAOA 在表3、4 以及圖2 上的表現(xiàn),證明MSAOA 在多種基準(zhǔn)函數(shù)上的求解效果,具有較強(qiáng)的尋優(yōu)能力。

      3.2 與其他群智能算法進(jìn)行比較

      將MSAOA 與粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法、灰狼優(yōu)化算法(Grey Wolf Optimizer,GWO)、正余弦算法(Sine Cosine Algorithm,SCA)和均衡器算法(Equilibrium Optimizer,EO)進(jìn)行性能比較,結(jié)果如表4 所示。對(duì)該五種算法在最大迭代次數(shù)為500、空間維度為100、種群規(guī)模為30 條件下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。由表4 可知,MSAOA在單峰基準(zhǔn)函數(shù)的表現(xiàn)均優(yōu)于其他算法,達(dá)到了顯著的優(yōu)化效果。在多峰函數(shù)中,對(duì)于尋優(yōu)難度較大的F12,MSAOA 穩(wěn)定性不如最新的均衡器算法(EO);然而,對(duì)于具有許多局部極小值點(diǎn)的F10 以及多模態(tài)函數(shù)F13,均達(dá)到了一定數(shù)量級(jí)的優(yōu)化效果,并且在具有強(qiáng)烈震蕩的復(fù)雜多模態(tài)函數(shù)F9 和F11 中,均取得理論最優(yōu)值。最后在固定維度函數(shù)中,F(xiàn)17~F19 優(yōu)化效果稍遜于均衡器算法(EO)。MSAOA 對(duì)于其他的固定維度測(cè)試函數(shù)上的優(yōu)化效果仍然相對(duì)較好。

      表4 所提算法與四種群智能算法結(jié)果比較Tab.4 Comparison of results of the proposed algorithm and four swarm intelligence algorithms

      綜上所述,本文提出多策略改進(jìn)的阿基米德優(yōu)化算法求解精度高、魯棒性強(qiáng)和收斂較快,取得了相對(duì)較好的優(yōu)化效果,提高了原始阿基米德優(yōu)化算法的優(yōu)化效率。

      3.3 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

      本文采用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)驗(yàn)證MSAOA 與其他算法的顯著性差異。每次運(yùn)行結(jié)果在p=5%的顯著性水平下,當(dāng)p值小于5%時(shí),拒絕H0 假設(shè),說明兩種算法的差異性顯著,否則就是接受H0 假設(shè),說明兩種算法在整體上是相同的。由于算法不能和自身比較,所以表5 中的標(biāo)記為“NaN”表不適用,無法進(jìn)行顯著判斷;“R”為顯著性判斷結(jié)果;“+”“-”“=”分別表示MSAOA 的性能優(yōu)于、劣于和相當(dāng)于對(duì)比算法的次數(shù)。從表5 中可以觀察到大部分的p值是小于5%,因此表明該算法的性能在統(tǒng)計(jì)上是顯著的,從而表明MSAOA 比其他算法擁有更好的優(yōu)越性。

      表5 基準(zhǔn)函數(shù)上Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)p值Tab.5 p-values for Wilcoxon rank-sum test on benchmark functions

      4 機(jī)械優(yōu)化實(shí)例及結(jié)果分析

      優(yōu)化設(shè)計(jì)是20世紀(jì)60年代發(fā)展起來的一門新學(xué)科與設(shè)計(jì)方法。在實(shí)際機(jī)械設(shè)計(jì)中,某一類具體的實(shí)際問題都有其特定應(yīng)用場(chǎng)合,表現(xiàn)出其特點(diǎn)以及復(fù)雜性。絕大多數(shù)機(jī)械問題與數(shù)學(xué)模型有著緊密聯(lián)系,其中設(shè)計(jì)變量的選擇、目標(biāo)函數(shù)以及約束條件的確定是構(gòu)造優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的主要步驟。該類問題的數(shù)學(xué)模型一般可以描述為如下帶約束優(yōu)化問題[20]:

      在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中,常常會(huì)遇到這一類數(shù)值優(yōu)化問題。因此本文將提出的MSAOA 用于求解機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上,以驗(yàn)證MSAOA 在工程應(yīng)用中的有效性和可行性。選取焊接梁的設(shè)計(jì)問題[21]、壓縮彈簧的設(shè)計(jì)問題[22]、壓力管道設(shè)計(jì)問題[23]和懸臂梁設(shè)計(jì)問題[24]作為工程算例進(jìn)行分析。

      為了體現(xiàn)比較的公平性,MSAOA 與粒子群優(yōu)化(PSO)算法、引力搜索算法(Gravitational Search Algorithm,GSA)、生物地理學(xué)優(yōu)化(Biogeography-Based Optimization,BBO)算法、差分進(jìn)化(Differential Evolutionary,DE)算法、蟻群優(yōu)化(Ant Colony Optimization,ACO)算法、樽海鞘群算法(Salp Swarm Algorithm,SSA)、正余弦優(yōu)化算法(SCA)、AOA 進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)時(shí),各算法外基本參數(shù)設(shè)置相同,種群的規(guī)模N=30 和最大迭代次數(shù)M=1 000,獨(dú)立運(yùn)行30 次。

      4.1 焊接梁設(shè)計(jì)問題

      該問題以如圖3 所示的焊接梁為研究對(duì)象,優(yōu)化目標(biāo)是使制造總成本最低。

      圖3 焊接梁設(shè)計(jì)問題Fig.3 Welded beam design problem

      該問題共包含4個(gè)決策變量:焊縫寬度h、長(zhǎng)度l、橫梁寬度d、厚度b,分別表示為x1、x2、x3、x4;包含7 個(gè)約束條件如式(30)所示:剪切應(yīng)力τ、橫梁彎曲應(yīng)力σ、屈曲載荷Pc、橫梁撓度δ以及各設(shè)計(jì)變量之間尺寸約束,具體數(shù)學(xué)約束方程表示如下:

      MSAOA 與其他算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表6 所示。從表6 中可知,MSAOA 對(duì)該問題的優(yōu)化效果要優(yōu)于其他的8種算法。

      表6 九種不同算法求解焊接梁設(shè)計(jì)問題的對(duì)比Tab.6 Comparison of 9 different algorithms for solving welded beam design problem

      4.2 壓縮彈簧設(shè)計(jì)問題

      該問題以如圖4 所示的壓縮彈簧為研究對(duì)象,優(yōu)化目標(biāo)是在受到最小偏差(g1)、剪切應(yīng)力(g2)、沖擊頻率(g3)、外徑限制(g4)和設(shè)計(jì)變量的條件下,盡可能減少?gòu)椈芍亓俊?/p>

      圖4 壓縮彈簧設(shè)計(jì)問題Fig.4 Compression spring design problem

      該問題共包含3個(gè)決策變量,分別是線徑d(x1)、平均線圈直徑D(x2)及有效線圈數(shù)P(x3)。式(36)為不等式約束條件:

      其中:0.05 ≤x1≤2.00,0.25 ≤x2≤1.30,2.00 ≤x3≤15.0。

      MSAOA 與其他算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表7 所示。從表7 中可知,MSAOA 對(duì)該問題的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差最小,優(yōu)化效果優(yōu)于其他8 種算法。

      表7 九種算法求解壓縮彈簧設(shè)計(jì)問題的對(duì)比Tab.7 Comparison of 9 algorithms for solving compression spring design problem

      4.3 壓力管道設(shè)計(jì)問題

      根據(jù)壓力管道平面結(jié)構(gòu)圖5,該問題設(shè)計(jì)目標(biāo)為最小化費(fèi)用總成本。

      圖5 壓力管道設(shè)計(jì)問題Fig.5 Pressure piping design problem

      式中:x1(殼體厚度Ts)、x2(頭部厚度Th)、x3(內(nèi)半徑R)、x4(圓柱體長(zhǎng)度L)。該問題的約束方程如下所示:

      對(duì)獲取最佳解決方案的不同算法進(jìn)行比較,從表8 可知,MSAOA 與其他算法相比,平均值優(yōu)于其他8 種算法,其次標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)小于其他8 種算法,表現(xiàn)出極強(qiáng)的穩(wěn)定性。

      表8 九種算法求解壓力管道設(shè)計(jì)問題的對(duì)比Tab.8 Comparison of 9 algorithms for solving pressure piping design problem

      4.4 懸臂梁設(shè)計(jì)問題

      根據(jù)懸臂梁平面結(jié)構(gòu)(圖6),該問題受到不同單元梁高度或?qū)挾鹊募s束,設(shè)計(jì)目標(biāo)為盡可能減小懸臂梁矩形截面的重量。其數(shù)學(xué)模型如下:

      圖6 懸臂梁設(shè)計(jì)問題Fig.6 Cantilever beam design problem

      式中:f(x)為最小化懸臂梁矩形截面的重量,設(shè)計(jì)變量xi表示5 個(gè)不同單元梁的高度或?qū)挾取?/p>

      表9 是MSAOA 與其他算法獲取最優(yōu)解的對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

      表9 九種算法求解懸臂梁設(shè)計(jì)問題的對(duì)比Tab.9 Comparison of 9 algorithms for cantilever beam design problem

      從表9 中可以明顯地看出,MSAOA 獲取的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都小于對(duì)比算法,具有較高的收斂精度和較強(qiáng)的魯棒性。

      5 結(jié)語

      為了解決AOA 存在的問題,本文提出了一種多策略阿基米德優(yōu)化算法(MSAOA)。首先,提出了變區(qū)間初始化策略,為算法的迭代奠定良好基礎(chǔ);其次,提出了黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制,加強(qiáng)了AOA 跳出局部最優(yōu)的能力;最后,提出自適應(yīng)波長(zhǎng)算子,提高個(gè)體學(xué)習(xí)效率。將本文算法與主流算法在20 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)以及部分CEC2014 函數(shù)上進(jìn)行比較,使用數(shù)值分析、收斂性分析、Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行評(píng)估。評(píng)估結(jié)果表明,本文算法有效,具有更高的尋優(yōu)精度和收斂速度,與對(duì)比算法差異性顯著;將本文算法應(yīng)用于4 個(gè)機(jī)械設(shè)計(jì)實(shí)例中,再次驗(yàn)證了MSAOA 的有效性和優(yōu)越性。下一步工作可圍繞著兩個(gè)方面進(jìn)行:將本文算法改進(jìn)思想應(yīng)用在其他元啟發(fā)式算法中,驗(yàn)證本文改進(jìn)策略的泛化能力以及有效性;將MSAOA 應(yīng)用在機(jī)器學(xué)習(xí)參數(shù)優(yōu)化和智能電網(wǎng)參數(shù)優(yōu)化當(dāng)中,為解決參數(shù)優(yōu)化問題提供一個(gè)新途徑。

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