半直線上雙極等熵可壓縮Navier-Stokes-Poisson 方程組的穩(wěn)態(tài)解

王 雷 李 麗 黃紫光

（1.吉林財經(jīng)大學(xué)，吉林 長春 130000； 2.吉林省醫(yī)藥中等職業(yè)學(xué)校，吉林 長春 130000）

在半導(dǎo)體物理中，雙極等熵可壓縮Navier-Stokes-Poisson（以下簡稱NSP）方程組有著十分重要的應(yīng)用，它可以用來描述電子和空穴的輸運現(xiàn)象[1]。本文討論定義在半直線上的雙極等熵定常的NSP 系統(tǒng)：

附帶邊界條件：

并且假設(shè)：

這里電子密度ρ1、空穴密度ρ2、電子速度u1、空穴速度u2和電場E為未知函數(shù)，而p(.)代表壓力函數(shù)，服從γ律，即具體表達式為：

p(ρ)=Kργ,K＞0,γ≥1.

此外，粘性系數(shù)μ＞0，全部邊界數(shù)據(jù)均為常值。背景摻雜函數(shù)D(x)=ρ1+-ρ2+，它可以不為零。

半直線上可壓縮NSP 方程組的研究已經(jīng)取得了一些進展，Hong H 等[2]和Wang L 等[3]討論了單極等熵情形的外流問題和內(nèi)流問題，Duan R-J 等[4]研究了雙極等熵NSP 系統(tǒng)強解的整體存在性。Zhou F 等[5]給出了該強解對穩(wěn)態(tài)解的時間衰減速率。值得指出的是：上述雙極結(jié)果都是關(guān)于零摻雜情形的，其穩(wěn)態(tài)解本質(zhì)上是定常的可壓縮Navier-Stokes（簡稱NS）系統(tǒng)的解與零電場共同構(gòu)成的向量，因此無法反映重要的半導(dǎo)體電場效應(yīng)。

1 主要結(jié)果

鑒于物理上半導(dǎo)體摻雜性質(zhì)的重要性，本文討論非零常值摻雜情形下定常問題（1）-（2）的可解性。此時，定常的可壓縮NSP 方程組的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，以至于不能效仿零摻雜情形的處理方式來求解。從而不得不另尋他法：首先將其轉(zhuǎn)化成五階的自治常微分系統(tǒng)，接著應(yīng)用穩(wěn)定流形定理，提出定常問題（1）-（2）解的存在性判據(jù)，同時給出空間衰減率。為此，我們需要按照下面步驟重構(gòu)原始問題。

1.在無窮區(qū)間[x,+∞)上積分質(zhì)量方程并且使用邊界條件推導(dǎo)出：

3.經(jīng)過簡單計算，我們推導(dǎo)出與定常NSP 方程組等價的自治常微分系統(tǒng)：

為了使解具有衰減性質(zhì)，我們先驗地假設(shè)：

注1：對于雙極定常外流問題即u1b,u2b＜0，在無窮遠漸近態(tài)處，當電子和空穴均為非超音速流或非亞音速流并且δ足夠小時，定常問題（1）-（2）的解存在唯一。但是，當它們一個為超音速流另一個為亞音速流時，該問題是否存在解仍是一個研究課題。

注2：對于雙極定常內(nèi)流問題即u1b,u2b＞0，在無窮遠漸近態(tài)處，當電子和空穴均為亞音速流或者一個為亞音速流而另一個為音速流并且δ足夠小時，定常問題（1）-（2）的解存在唯一。但是，當它們皆為超音速流或者一個是超音速流而另一個是非超音速流時，該問題是否存在解仍是一個研究課題。

注3：我們只考慮了電子和空穴同為內(nèi)流或外流的情形。對于一個內(nèi)流一個外流的情形，目前不清楚：半直線上定常的NSP 系統(tǒng)是否可解？判據(jù)如何？解的性質(zhì)怎樣？

注4：這里參數(shù)δ滿足小性假設(shè)是技術(shù)性條件還是本質(zhì)要求，有待深入研究。

注5：與零摻雜情形相比，我們的穩(wěn)態(tài)解（也稱為邊界層）包含了非零電場，為數(shù)學(xué)物理中研究電場效應(yīng)提供了可能性。

2 定理的證明過程

證明：先證(i)。設(shè)u+=u1b=u2b=0，將常值向量(ρ1+,ρ2+,0,0,0)帶入到定常的可壓縮NSP方程組以及邊界條件中，容易驗證：它是定常問題（1）-（2）的平凡解。

為原點處的雅克比矩陣，而非線性項的具體形式為如公式2。

顯然，F(xiàn)是光滑的向量值函數(shù)，并且在原點處成立F(0)=0,DF(0)=0。

設(shè)矩陣I是與矩陣A同階的單位陣，則矩陣A的特征方程為：

由零值性知，D(λ)=0 至少存在一個負根。

情形2：u+,u1b,u2b＜0,并且M1+＞1,M2+≥1 或M1+≥1,M2+＞1

由韋達定理知，代數(shù)方程D(λ)=0 的所有根之和為：

注意到u+＜0，故λ1+λ2+λ3+λ4＜0，于是，該方程必有一個具負實部根。

情形3：u+,u1b,u2b＜0,M1+=M2+=1

此時，直接求解方程：

因為集合{(M1+,M2+)│M1+＜1,M2+≤1 或M1+≤1,M2+＜1 或M1+＞1,M2+≥1 或M1+≥1,M2+＞1 或M1+=M2+=1}與集合{(M1+,M2+)│(M1+-1)(M2+-1)≥0}相等，所以事實上我們已經(jīng)在(ii)的假設(shè)下嚴格證明了：常微分方程組（3）的系數(shù)矩陣A至少存在一個具負實部的特征值。這里需要指出的是：技術(shù)上之所以能夠得到如此結(jié)果，矩陣A本身的結(jié)構(gòu)起到了關(guān)鍵作用。

最后，應(yīng)用穩(wěn)定流形定理到等價自治系統(tǒng)（3）-（5），立即得到：?δ＜＜1，使得常微分系統(tǒng)（3）在原點處存在唯一局部穩(wěn)定流形Ws。若則定常問題（1）-（2）存在唯一光滑解使得：

其中c＞0,λ＞0 至此，定理得證。