含動(dòng)態(tài)元件的一般電路分析

曲仕齊， 胥 諾， 高昕悅

（西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，西安 710049）

0 引 言

采用結(jié)點(diǎn)電壓法和拉普拉斯變換求解復(fù)雜電路時(shí)，通常因方程過于復(fù)雜，很難手工完成計(jì)算，利用Matlab等數(shù)學(xué)軟件，計(jì)算機(jī)通過編程求解方程，可以大大減少人們的計(jì)算量［1-3］，同時(shí)利用Matlab等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行GUI界面設(shè)計(jì)使得電路中各結(jié)點(diǎn)電壓波形可視化，可方便、直觀地得到電路中各元件的電壓［4-6］。

1 模型原理

1.1 結(jié)點(diǎn)電壓法

結(jié)點(diǎn)電壓是指電路中任意結(jié)點(diǎn)與參考結(jié)點(diǎn)之間的電位差，若電路可分為n個(gè)結(jié)點(diǎn)，任選一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為參考點(diǎn)，令其電位為零，其余結(jié)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的電位就是結(jié)點(diǎn)電壓。以電路中結(jié)點(diǎn)電壓為未知量，根據(jù)KCL寫出獨(dú)立結(jié)點(diǎn)電流方程，聯(lián)立求解出各結(jié)點(diǎn)電壓的方法為結(jié)點(diǎn)電壓法［7-9］。

1.2 復(fù)頻域分析法

采用經(jīng)典的時(shí)域分析法分析計(jì)算高階動(dòng)態(tài)電路時(shí)，其初始條件和積分常數(shù)的計(jì)算非常復(fù)雜，使用復(fù)頻域分析法則可以簡(jiǎn)化分析。其基本方法是將時(shí)域電路描述動(dòng)態(tài)過程的常系數(shù)微分方程經(jīng)拉氏變換轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域的代數(shù)方程并求解，得到待求量的復(fù)頻域函數(shù)，再經(jīng)過拉氏反變換得到所求的時(shí)域響應(yīng)［10-11］。

拉氏變換公式如下：

式中：t為時(shí)域變量；s為其拉氏變換后的復(fù)頻域變量。

當(dāng)電路為零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，有：

式中：uL為電感元件的電壓；iL為電感元件的電流；uC為電容元件的電壓；iC為電容元件的電流；uR為電阻元件的電壓；iR為電阻元件的電流。

電路定理的形式變?yōu)椋?/p>

若電路中電感、電容的初始值為0，則導(dǎo)納Y變?yōu)椋?/p>

1.3 電路結(jié)構(gòu)參數(shù)的存儲(chǔ)

為實(shí)現(xiàn)電路的智能分析與計(jì)算，需要確定電路的結(jié)構(gòu)、各元件的參數(shù)和初始條件等，列寫對(duì)任意結(jié)構(gòu)電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程，最后計(jì)算輸出。

將不同電路的結(jié)構(gòu)參數(shù)輸入計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)根據(jù)輸入?yún)?shù)自動(dòng)列寫結(jié)點(diǎn)電壓方程。仔細(xì)研究手動(dòng)列寫結(jié)點(diǎn)電壓方程的過程發(fā)現(xiàn)，結(jié)點(diǎn)電壓方程與元件的類型、連接的起止結(jié)點(diǎn)及元件參數(shù)相關(guān)。

本程序能夠進(jìn)行智能分析的電路結(jié)構(gòu)中的元件只涉及電阻、電流源、電壓源、電感和電容5種（見表1）。其中電阻、電感、電容的編程思想類似，可作為一類元件，其參數(shù)有node1、node2、parameter，分別表示元件連接結(jié)點(diǎn)1、連接結(jié)點(diǎn)2、元件有效值，并將其拉氏變換形式存入導(dǎo)納矩陣G（node1，node2）。電壓源的參數(shù)有node1、node2、parameter、b、x，元件連接結(jié)點(diǎn)1、連接結(jié)點(diǎn)2、電壓源幅值、電源頻率、電壓源初相，并將其拉氏變換后存入電壓源矩陣U（node1，node2）。電流源的參數(shù)有node1、node2、parameter、b、x，元件連接結(jié)點(diǎn)1、連接結(jié)點(diǎn)2、電流源幅值、電流源頻率、電流源初相，并將其拉氏變換后存入電流源矩陣I（node1，node2）。

表1 元件參數(shù)表

通過人機(jī)交互界面獲取不同元件參數(shù)，并列寫出不同結(jié)點(diǎn)的電路方程。以圖1所示電路圖為例說明過程。

圖1 示例電路圖

各結(jié)點(diǎn)方程可簡(jiǎn)記為：

式中：A為系數(shù)矩陣；U為結(jié)點(diǎn)電壓列向量；B為右端列向量。

當(dāng)a，b兩結(jié)點(diǎn)間為電阻、電感或電容時(shí)，有：

當(dāng)a、b兩結(jié)點(diǎn)是電壓源時(shí)，將這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)合并成一個(gè)單獨(dú)的“超級(jí)結(jié)點(diǎn)”，將流入、流出這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的電流按照KCL一起處理，同時(shí)加上一個(gè)電壓方程，寫出這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的電壓關(guān)系。核心代碼為：

當(dāng)a，b兩結(jié)點(diǎn)是電流源時(shí)，

通過以上步驟可得：

對(duì)于上例中通過人機(jī)交互界面輸入得到的矩陣有5個(gè)結(jié)點(diǎn)，將結(jié)點(diǎn)1列為參考結(jié)點(diǎn)，刪除矩陣A的首行、首列，矩陣B的首行。并將A、B兩矩陣聯(lián)立，最終解出各結(jié)點(diǎn)電壓U并作出波形圖。

2 求解步驟

分析電路時(shí)采用結(jié)點(diǎn)電壓法與復(fù)頻域分析法相結(jié)合，其基本步驟如下：

步驟1確定電路結(jié)構(gòu)、參考結(jié)點(diǎn)，輸入總結(jié)點(diǎn)數(shù)，電源頻率，輸入各結(jié)點(diǎn)的元件參數(shù)，構(gòu)建結(jié)點(diǎn)方程。

步驟2將各結(jié)點(diǎn)及增補(bǔ)的電壓方程組合成矩陣形式，通過Matlab解出相應(yīng)結(jié)點(diǎn)電壓的復(fù)頻域解，再經(jīng)過拉式反變換得到所求時(shí)域響應(yīng)。

步驟3輸出所求時(shí)域響應(yīng)并繪出圖像。模型流程如圖2所示。

圖2 模型流程圖

界面由3個(gè)模板部分組成，如圖3所示。上方的初始量部分需輸入電路的總結(jié)點(diǎn)數(shù)和電源頻率，下方的元件部分可以根據(jù)電路結(jié)構(gòu)進(jìn)行元件的選擇和輸入相關(guān)物理量的大小，每當(dāng)選擇一個(gè)元件，輸入相關(guān)的物理量大小后，點(diǎn)擊“輸入”按鈕，元件會(huì)在右側(cè)的顯示部分出現(xiàn)，當(dāng)添加完所有電路元件后，點(diǎn)擊“計(jì)算”按鈕，則出現(xiàn)各結(jié)點(diǎn)電壓的表達(dá)式和圖像。

圖3 輸入界面圖

3 算例分析

3.1 算例求解

利用結(jié)點(diǎn)電壓法給電路中各結(jié)點(diǎn)標(biāo)序號(hào)以方便輸入Matlab程序中，以圖4所示電路為例。

圖4 算例電路原理圖

根據(jù)結(jié)點(diǎn)電壓法可給出各結(jié)點(diǎn)的方程，其中設(shè)結(jié)點(diǎn)1為參考結(jié)點(diǎn)，對(duì)結(jié)點(diǎn)2～結(jié)點(diǎn)6利用基爾霍夫電流定律（KCL）和拉氏變換可推導(dǎo)出各結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)電壓方程。

圖5 輸入界面

畫出各結(jié)點(diǎn)電壓的波形如圖6所示。

圖6 測(cè)試電路各結(jié)點(diǎn)電壓示意圖

3.2 Simulink仿真模擬驗(yàn)證

Matlab中的Simulink具有強(qiáng)大的建模與分析功能，用Simulink建模驗(yàn)證較為方便［12-15］。本文用Simulink建立檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，并通過示波器來檢查各結(jié)點(diǎn)電壓的波形，通過對(duì)比分別檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，建立的模型如圖4所示，用示波器顯示結(jié)點(diǎn)3的電壓，電壓波形如圖8所示。

圖7 結(jié)點(diǎn)3電壓示意圖

圖8 結(jié)點(diǎn)3電壓波形對(duì)比圖

從兩者的對(duì)比圖中可以看出，通過模型計(jì)算繪出的波形與仿真的結(jié)果基本吻合，可以判斷出模型的正確性。

4 結(jié) 語

對(duì)于復(fù)雜的含儲(chǔ)能元件的一般電路分析，其暫態(tài)分析用復(fù)頻域運(yùn)算法較為方便，避免了高階微分方程的求解；使用結(jié)點(diǎn)電壓法和拉氏變換，便于解決復(fù)頻域的分析問題。再利用Matlab的編程繪制功能計(jì)算并繪制各結(jié)點(diǎn)的電壓波形即可。