基于模態(tài)試驗(yàn)的對接圓柱殼結(jié)構(gòu)有限元模型修正

魏 莎，鄭冰月，張 忠，李旭龍，陳立群

(1.上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444；2.上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；3.北京強(qiáng)度環(huán)境研究所 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076)

隨著航空航天領(lǐng)域的迅速發(fā)展，圓柱殼結(jié)構(gòu)因其特有的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢已得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。為保證實(shí)際結(jié)構(gòu)的安全可靠運(yùn)行，往往需對其進(jìn)行動力學(xué)環(huán)境試驗(yàn)?；趯?shí)際結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)預(yù)測結(jié)果真實(shí)可靠，是目前航天工程主要采用的預(yù)示方法。然而試驗(yàn)件存在制造周期長、成本費(fèi)用高、操作復(fù)雜和試驗(yàn)環(huán)境難以搭建等問題。為解決上述缺陷，研究人員利用成熟的有限元軟件進(jìn)行數(shù)值模擬仿真。通過有限元軟件進(jìn)行仿真計(jì)算，可有效提高分析效率，節(jié)約研制成本[3]。然而，采用有限元仿真軟件進(jìn)行動力學(xué)預(yù)測要求有限元模型具有很高的近似精度，可以反映實(shí)體結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。但是，仿真計(jì)算結(jié)果往往與實(shí)際試驗(yàn)數(shù)據(jù)存在一定的差異[4-6]。由于試驗(yàn)中存在的操作誤差、測量誤差和試驗(yàn)條件偏差等可通過規(guī)范試驗(yàn)人員的操作來減小，因此認(rèn)為試驗(yàn)數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確可靠的。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對有限元模型進(jìn)行修正是一類廣泛使用的模型修正方法[7]。有限元模型的誤差包括模型階次誤差、模型結(jié)構(gòu)誤差和模型參數(shù)誤差[8]。其中，前兩種誤差可通過精準(zhǔn)建模和細(xì)化單元網(wǎng)格來控制。模型參數(shù)誤差是模型修正主要考慮的因素。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對有限元模型參數(shù)進(jìn)行修正以縮小仿真和試驗(yàn)結(jié)果的偏差。基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)修正后的有限元仿真模型具有較高的精度，可以代替實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析計(jì)算和響應(yīng)預(yù)測[9]。

根據(jù)不同的修正目標(biāo)，有限元模型修正方法可分為基于靜力試驗(yàn)、基于模態(tài)試驗(yàn)以及基于頻響試驗(yàn)三種方法。其中，基于模態(tài)參數(shù)的修正方法將試驗(yàn)測試與仿真計(jì)算的模態(tài)參數(shù)之差作為目標(biāo)函數(shù)對模型進(jìn)行修正，是一類廣泛使用的模型修正方法[10]。例如，蘇忠亭等[11]基于模態(tài)試驗(yàn)和支持向量機(jī)響應(yīng)面修正方法對火炮身管組件有限元模型進(jìn)行修正。徐張明等[12]基于試驗(yàn)測試和預(yù)測的有限元模型得到系統(tǒng)頻響函數(shù)，進(jìn)而提出了一種改進(jìn)的基于頻響函數(shù)的模型修正方法。陳德朋[13]以某緊湊型轎車白車身為研究對象，采用響應(yīng)面法對白車身有限元模型進(jìn)行替代，并結(jié)合模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行修正，結(jié)果表明修正后的有限元模型精度明顯提高，可用于后期的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

另一方面，根據(jù)修正算法的不同，有限元模型修正方法可分為基于有限元模型的靈敏度分析法以及基于數(shù)學(xué)模型的響應(yīng)面法。基于靈敏度分析的方法將模態(tài)參數(shù)對修正參數(shù)的靈敏度表示為一階泰勒級數(shù)展開的形式，進(jìn)而構(gòu)造特征量殘差目標(biāo)函數(shù)并采用優(yōu)化算法對有限元模型進(jìn)行修正。這種方法實(shí)際上是基于有限元軟件不斷迭代直至達(dá)到精度要求。對于復(fù)雜模型多次調(diào)用有限元計(jì)算會使效率大大降低。響應(yīng)面法則是以顯式的響應(yīng)面函數(shù)來擬合結(jié)構(gòu)特征量與修正參數(shù)之間的復(fù)雜隱式關(guān)系，通過建立一個替代有限元模型的代理模型進(jìn)行優(yōu)化迭代過程。這種方式可以避免多次調(diào)用有限元軟件進(jìn)行計(jì)算，從而保證精度的同時有效提高修正效率。麻越垠等[14]采用響應(yīng)面法對葉柵擺動裝置進(jìn)行模型修正，修正后的前三階模態(tài)頻率誤差均在1%以內(nèi)。秦仙蓉等[15]分別采用二次多項(xiàng)式響應(yīng)面和高斯徑向基函數(shù)響應(yīng)面模型對塔式起重機(jī)有限元模型進(jìn)行修正，結(jié)果表明對于塔機(jī)結(jié)構(gòu)，二次多項(xiàng)式響應(yīng)面的擬合精度和修正效果比高斯徑向基函數(shù)響應(yīng)面更好。鮑諾等[16]采用響應(yīng)面法對GARTRUR飛機(jī)有限元模型進(jìn)行模型修正，結(jié)果表明修正后的模型在測試和預(yù)測頻段具有良好的復(fù)現(xiàn)和預(yù)測能力。

本文以對接圓柱殼結(jié)構(gòu)為研究對象，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)獲取模態(tài)參數(shù)并建立其對應(yīng)的有限元模型，構(gòu)建其二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，并利用構(gòu)建的響應(yīng)面函數(shù)替代有限元模型，實(shí)現(xiàn)對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的有限元模型修正。

1 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)

1.1 模態(tài)試驗(yàn)方案

試驗(yàn)所研究對接圓柱殼結(jié)構(gòu)如圖1所示，其基本參數(shù)如表1所示，采用6061鋁合金進(jìn)行加工制作。該結(jié)構(gòu)由兩個對稱圓柱殼體連接在法蘭基盤兩側(cè)，圓柱殼體與法蘭盤在連接處采用焊接形式連接。法蘭圓盤周向等距分布8個直徑為12.5 mm的圓孔，圓孔在試驗(yàn)過程中用以螺栓連接兩個帶法蘭圓柱殼。

(a) 主視圖

試驗(yàn)測試儀器選用LMS數(shù)據(jù)采集儀、B&K沖擊錘和B&K三軸加速度傳感器。模態(tài)試驗(yàn)過程采用單點(diǎn)激勵多點(diǎn)響應(yīng)的形式[17]，利用沖擊力錘所施加的脈沖激勵，采集各測點(diǎn)的響應(yīng)信號，結(jié)合輸入、輸出信號進(jìn)行曲線擬合，進(jìn)而識別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，模態(tài)試驗(yàn)測試系統(tǒng)如圖2所示。本次試驗(yàn)采用彈性繩進(jìn)行貫穿方式懸掛，以實(shí)現(xiàn)自由邊界條件下的模態(tài)測試，懸掛方式如圖3所示。模態(tài)試驗(yàn)中傳感器測點(diǎn)的布置，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)結(jié)合預(yù)分析結(jié)果進(jìn)行。在LMS Test.Lab軟件中，總共劃分112個測點(diǎn)，依次對測點(diǎn)進(jìn)行x方向激勵并進(jìn)行5次有效平均，以保證能夠激勵出盡量多的模態(tài)。

圖2 模態(tài)試驗(yàn)測試系統(tǒng)Fig.2 Schematic diagram of experimental modal test system

圖3 模態(tài)試驗(yàn)方案及懸掛方式Fig.3 Modal test scheme and suspension mode of system

1.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

基于上述試驗(yàn)測試方案，計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的前14階模態(tài)頻率與振型，結(jié)果如表2所示。模態(tài)階次通過mode(m,n)描述，其中m表示軸向的節(jié)點(diǎn)數(shù)，n表示周向節(jié)點(diǎn)數(shù)，“*”表示結(jié)構(gòu)振型呈軸對稱分布。由表2可知，對于周向節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的模態(tài)，模態(tài)頻率有多組。此外，周向的半波數(shù)和軸向波數(shù)隨著模態(tài)階數(shù)的增加而增加，表現(xiàn)出圓柱殼結(jié)構(gòu)的一般振動特性。但由于結(jié)構(gòu)為對接形式，振型呈現(xiàn)出以法蘭面為分界的對稱振動和非對稱振動。

表2 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)前14階模態(tài)參數(shù)Tab.2 The first 14 order modal parameters of butted cylindrical shell structure

為了評價(jià)模態(tài)測試結(jié)果的正確性，通過模態(tài)置信度(model assurance criterion,MAC)進(jìn)行評價(jià)。它是一種評價(jià)試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型相關(guān)性的重要指標(biāo)[18]，可以表示為

(1)

式中,φi、φj為模態(tài)振型向量。

MAC的取值范圍為0～1，多數(shù)情況采用百分?jǐn)?shù)表示。MAC值越接近于0，表示兩個振型向量之間越不相關(guān)；MAC值越接近于1，則表示兩個振型向量之間相似度越高。對于模態(tài)置信度矩陣而言，矩陣非對角線元素越小，各階模態(tài)振型的獨(dú)立性越好。圖4給出了本次模態(tài)試驗(yàn)的MAC矩陣結(jié)果。由圖4可知，MAC矩陣對角線元素接近于1，非對角線上元素都接近于0。這說明各階模態(tài)振型均相互獨(dú)立，試驗(yàn)?zāi)B(tài)測點(diǎn)選擇和布置合理，試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到的模態(tài)并無虛假模態(tài)。

圖4 試驗(yàn)?zāi)B(tài)的MAC值矩陣Fig.4 MAC matrix of test mode

2 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)有限元建模

2.1 有限元模型

針對對接圓柱殼試驗(yàn)件，采用ANSYS有限元軟件對其進(jìn)行了有限元建模、網(wǎng)格劃分以及動力學(xué)特性分析。在ANSYS中建立的有限元模型如圖5所示，采用四面體單元劃分網(wǎng)格，采用15 mm網(wǎng)格尺寸進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，共劃分32 639個節(jié)點(diǎn)，9 699個單元。對接圓柱殼的密度為2 750 kg/m3，彈性模量為71 GPa，泊松比為0.33，所采用的邊界條件為自由邊界。

圖5 系統(tǒng)有限元模型Fig.5 Finite element model of system

在有限元建模過程中，法蘭實(shí)體單元與圓柱殼殼體單元因?yàn)閱卧杂啥炔黄ヅ?，不能直接進(jìn)行連接。在ANSYS Workbench有限元軟件中提供了三種接觸方式，六種接觸類型。針對法蘭SOLID186單元和圓柱殼SHELL181單元的連接接觸面問題，選擇面-面的手動接觸綁定，連接界面采用罰函數(shù)算法[19]實(shí)現(xiàn)不同類型單元的連接。其中殼體端選用targe170單元，法蘭端選用conta174單元來定義3-D接觸對模擬。

2.2 有限元結(jié)果及對比

使用有限元軟件ANSYS對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，并采用Block Lanczos模態(tài)提取法[20]提取結(jié)構(gòu)前14階模態(tài)頻率。與試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果進(jìn)行對比分析以確定有限元結(jié)果的準(zhǔn)確性，模態(tài)頻率的對比結(jié)果如表3所示。從表3中結(jié)果可以看出：對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果與有限元模態(tài)分析結(jié)果相對誤差最大為6.33%，超出了可接受的誤差范圍。此外，由于實(shí)際結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)的誤差波動，建立的有限元模型一般存在一定誤差。因此，有必要對有限元模型進(jìn)行模型修正。

表3 試驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果與有限元模態(tài)結(jié)果的對比Tab.3 Comparison of experimental modal results with finite element modal results

3 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的有限元模型修正

對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的有限元模型修正流程如圖6所示。其具體流程包括參數(shù)篩選、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、響應(yīng)面模型構(gòu)造、響應(yīng)面擬合精度分析、模型修正及結(jié)果分析5部分。具體地，選擇合適的設(shè)計(jì)參數(shù)；根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在參數(shù)的設(shè)計(jì)空間內(nèi)確立樣本點(diǎn)；由樣本點(diǎn)計(jì)算響應(yīng)值獲得完整的樣本數(shù)據(jù)；由樣本數(shù)據(jù)選擇合適的響應(yīng)面模型；依據(jù)實(shí)測試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定合適的目標(biāo)函數(shù),根據(jù)響應(yīng)面模型進(jìn)行迭代修正，最后獲得修正后的有限元模型并進(jìn)行修正精度分析。

圖6 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的模型修正流程圖Fig.6 Model updating flow chart of butted cylindrical shell structure

3.1 參數(shù)篩選和試驗(yàn)設(shè)計(jì)

由于單個圓柱殼結(jié)構(gòu)由法蘭和圓柱殼兩部分焊接構(gòu)成，而對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的圓柱殼部分采用同種材料鍛造而成。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，選擇彈性模量、密度和泊松比作為待修正參數(shù)，對其進(jìn)行上下10%的取值。隨后采用三因素、五水平的中心復(fù)合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方法[21]，三個因素的水平數(shù)如表4所示。選取的15組設(shè)計(jì)方案如表5所示，根據(jù)不同方案更新有限元模型，并分別計(jì)算模態(tài)頻率，獲得完整的樣本數(shù)據(jù)。

表4 設(shè)計(jì)變量因素水平表Tab.4 Design variable factor level table

表5 中心復(fù)合設(shè)計(jì)試驗(yàn)表Tab.5 Central composite design test table

3.2 響應(yīng)面模型構(gòu)造

目前，二次多項(xiàng)式[22]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[23]、高斯徑向基函數(shù)[24]、Kriging模型[25]和支持向量機(jī)是比較常見的響應(yīng)面模型。本文采用常用的不考慮交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面[26]。其響應(yīng)面模型可表示為

(2)

(3)

式中，k為試驗(yàn)次數(shù)。

A=[a,b,c]T，

a為單量，b=[b1,b2,…,bn]，c=[c1,c2,…,cn]。

當(dāng)k>2n+1時，則PTP非奇異，由最小二乘法可得響應(yīng)面模型的系數(shù)

A=(PTP)-1PTY

(4)

得到模型系數(shù)之后，進(jìn)而可得到二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型。

3.3 響應(yīng)面擬合精度分析

在響應(yīng)面模型建立之后，需要評價(jià)響應(yīng)面函數(shù)與有限元結(jié)果之間的擬合程度和響應(yīng)面模型的有效性。常用的評價(jià)因子有決定系數(shù)R2和均方根誤差ERMS(root mean square error,RMSE)兩種檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[27]。

(5)

(6)

對擬合后的響應(yīng)面模型進(jìn)行擬合精度分析，表6給出了對應(yīng)的決定系數(shù)和均方根誤差。結(jié)果顯示各階模態(tài)頻率的決定系數(shù)均為1，均方根誤差值則在10-6數(shù)量級，這表明響應(yīng)面模型與有限元模型的差異很小，響應(yīng)面模型的精度符合要求，可代替有限元模型進(jìn)行后續(xù)的修正計(jì)算。

表6 模態(tài)頻率決定系數(shù)和均方根誤差Tab.6 Determination coefficient and root mean square error of modal frequencies

3.4 模型修正及結(jié)果分析

在得到滿足精度要求的響應(yīng)面模型之后，將根據(jù)響應(yīng)面模型和試驗(yàn)的目標(biāo)響應(yīng)值構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，選擇優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解。本文選擇多目標(biāo)遺傳算法[28]，該算法是非支配排序遺傳算法的一種變體。它支持多個目標(biāo)和約束，旨在找到全局最優(yōu)值[29]。以響應(yīng)面模型和試驗(yàn)結(jié)果的各階模態(tài)頻率相差最小作為目標(biāo)函數(shù)[30]，目標(biāo)函數(shù)可以表示為

(7)

圖7給出了修正前后的有限元模型計(jì)算得到的模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率的相對變化率，其中樣本點(diǎn)為200，最佳修正密度為2 659.6 kg/m3，最佳修正彈性模量為70.627 GPa，最佳修正泊松比為0.305 22。從圖7中結(jié)果可以看出,修正后的有限元模型得到的各階模態(tài)頻率與試驗(yàn)結(jié)果相比總體有所減小，但第7階模態(tài)頻率與試驗(yàn)值的相對誤差仍大于5%。第5階、第6階模態(tài)頻率與試驗(yàn)值的相對誤差接近5%。這說明需要在現(xiàn)有修正基礎(chǔ)上進(jìn)行二次模型修正。

圖7 初次模型修正前后的模態(tài)頻率變化率Fig.7 Change rate of modal frequency before and after the first model updating

在上述響應(yīng)面模型修正的基礎(chǔ)上，分析第5階、第6階、第7階模態(tài)頻率對設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度。圖8給出了初次修正后第5、6、7三階模態(tài)頻率對設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度情況。從圖8中結(jié)果可以看出，這三階模態(tài)頻率對泊松比最靈敏，密度和彈性模量的影響較小可以忽略不計(jì)。

圖8 初次修正后第5、6、7階模態(tài)頻率對設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度Fig.8 The sensitivity of the 5th,6th and 7th modes frequencies to design parameters after the first model updating

表7給出了模型修正前后的模態(tài)頻率相對誤差情況，其中樣本點(diǎn)為200，最佳修正泊松比為0.263 77。表7中還給出了靈敏度分析方法的結(jié)果。從表7中結(jié)果可以得出：(1)與修正前的誤差相比，響應(yīng)面法得到的各階模態(tài)頻率最大誤差由6.33%變?yōu)?.63%，其相對誤差均在5%以內(nèi)，已滿足工程實(shí)際的計(jì)算需求。(2)與修正前的誤差相比，靈敏度分析方法得到的各階模態(tài)頻率最大誤差由6.33%變?yōu)?.50%，誤差有所下降，但不符合工程實(shí)際計(jì)算要求。(3)靈敏度分析方法得到的各階模態(tài)頻率最大相對誤差為5.50%，響應(yīng)面法得到的最大相對誤差為4.63%。兩種方法相比，響應(yīng)面法的修正效果更明顯，精度要更高，進(jìn)一步驗(yàn)證了響應(yīng)面法的有效性。此外，靈敏度分析方法實(shí)際上是基于有限元軟件的不斷迭代，直至達(dá)到精度要求，對于復(fù)雜化的模型多次調(diào)用有限元計(jì)算會使計(jì)算效率大大降低。響應(yīng)面法通過建立一個代理模型替代有限元模型，在計(jì)算效率方面具有明顯的優(yōu)越性。

表7 模型修正前后的模態(tài)頻率相對誤差Tab.7 Relative error of modal frequency before and after model updating

圖9給出了模型修正前后的模態(tài)頻率相關(guān)性分析結(jié)果。將試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率和有限元修正后的模態(tài)頻率分別作為直角坐標(biāo)系的橫縱坐標(biāo)，如果各階頻率值在對角線附近，說明各階模態(tài)頻率對應(yīng)的比較好。從圖9中結(jié)果可以看出,計(jì)算的各階模態(tài)頻率與試驗(yàn)值接近，說明了響應(yīng)面法的有效性。圖10給出了重點(diǎn)修正的模態(tài)頻率對應(yīng)的模態(tài)振型，也給出了試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型結(jié)果。由圖10可知,修正后的有限元模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)振型具有較好地一致性，進(jìn)一步說明采用響應(yīng)面法對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正具有較高精度。

圖9 模型修正前后的模態(tài)頻率相關(guān)性分析Fig.9 Modal frequency correlation analysis before and after model updating

(a) 試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型(4,2)*

4 結(jié) 論

本文以對接圓柱殼結(jié)構(gòu)為研究對象，采用LMS數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗(yàn)，另一方面利用ANSYS有限元軟件建立結(jié)構(gòu)的有限元模型并進(jìn)行模態(tài)分析，對比模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果和有限元仿真結(jié)果以確定有限元模型的準(zhǔn)確性。根據(jù)模態(tài)試驗(yàn)得到的模態(tài)頻率與響應(yīng)面計(jì)算結(jié)果之差構(gòu)造修正目標(biāo)函數(shù)，選擇待修正參數(shù)并采用多目標(biāo)遺傳算法對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行了優(yōu)化修正，并利用模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對修正后的有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證。根據(jù)模態(tài)試驗(yàn)與有限元模型修正的結(jié)果，可得以下結(jié)論：

(1) 通過對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)自由邊界條件下的模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，得到了對接圓柱殼的振型特點(diǎn)。對于周向節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的模態(tài)，模態(tài)頻率有多組。此外，周向的半波數(shù)和軸向波數(shù)隨著模態(tài)階數(shù)的增加而增加，表現(xiàn)出圓柱殼結(jié)構(gòu)的一般振動特性。但由于結(jié)構(gòu)為對接形式，振型呈現(xiàn)出以法蘭面為分界的對稱振動和非對稱振動。

(2) 采用響應(yīng)面法修正后得到的有限元模態(tài)頻率與實(shí)測模態(tài)頻率間相對誤差明顯減小，具體地，與修正前的誤差相比，響應(yīng)面法得到的各階模態(tài)頻率最大誤差由6.33%變?yōu)?.63%，其相對誤差均在5%以內(nèi)，已滿足工程實(shí)際的計(jì)算需求。結(jié)果表明,采用響應(yīng)面法進(jìn)行模型修正有效提高了對接圓柱殼有限元模型的準(zhǔn)確度，取得更好的預(yù)測效果，進(jìn)而驗(yàn)證了基于響應(yīng)面法在對接圓柱殼有限元模型修正中的有效性。

(3) 靈敏度分析方法得到的各階模態(tài)頻率最大相對誤差為5.50%，響應(yīng)面法得到的最大相對誤差為4.63%。兩種方法相比，響應(yīng)面法的修正效果更明顯。此外，靈敏度分析方法實(shí)際上是基于有限元軟件的不斷迭代，直至達(dá)到精度要求，對于復(fù)雜化的模型多次調(diào)用有限元計(jì)算會使計(jì)算效率大大降低。響應(yīng)面法通過建立一個代理模型替代有限元模型，在計(jì)算效率方面具有明顯的優(yōu)越性。