基于模態(tài)測試的裝配式簡支梁橋等效荷載試驗(yàn)方法研究

亓興軍，孫緒法，周廣利，王珊珊

（1.山東建筑大學(xué)交通工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250101；2.山東省交通科學(xué)研究院，山東濟(jì)南 250102；3.山東高速集團(tuán)有限公司，山東濟(jì)南 250098）

引言

近年來，我國基礎(chǔ)建設(shè)如火如荼，橋梁作為交通互聯(lián)互通的關(guān)鍵樞紐也取得了舉世矚目的成就。據(jù)交通部資料統(tǒng)計(jì)，截止2018年底，全國公路橋梁達(dá)到85.15萬座、5 568.59萬米，比上年增加1.90萬座、342.97萬米，其中特大橋梁5 053座、大橋98 869座，中小橋梁更是超過70余萬座。然而在橋梁漫長服役過程中，受環(huán)境侵蝕、荷載的長期效應(yīng)、疲勞效應(yīng)及車輛超載超重等眾多不利因素的影響，導(dǎo)致在役橋梁損傷累積，運(yùn)營壓力不斷增大。因此，如何準(zhǔn)確快速地評估中小型橋梁的承載能力狀態(tài)，是目前亟需攻克的難題。

目前，國內(nèi)外學(xué)者和專家對于橋梁工作狀態(tài)的評估進(jìn)行了許多研究，歷史上UC-Berkeley 大學(xué)的Clough教授曾提出模態(tài)柔度的概念［1］；林賢坤等［2-4］利用環(huán)境激勵(lì)方式，獲得了張家港大橋與通揚(yáng)運(yùn)河大橋的位移柔度矩陣，并預(yù)測橋梁在車輛荷載作用下的模態(tài)撓度，通過與靜載撓度實(shí)測值相比較，給出模態(tài)撓度可準(zhǔn)確地代替靜載撓度的理論；田永?。?］研究了環(huán)境振動(dòng)測試下橋梁位移柔度，并對橋梁的整體性能進(jìn)行評估；張建等［6-9］提出一種利用沖擊激勵(lì)獲得橋梁的柔度矩陣，從而預(yù)測橋梁在荷載作用下的變形，實(shí)現(xiàn)對于橋梁安全狀態(tài)的快速評估。

針對靜載試驗(yàn)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，無法快速評估橋梁承載能力，以及動(dòng)載試驗(yàn)對橋梁結(jié)構(gòu)性能淺層次分析較多的缺點(diǎn)，本文提出了一種基于模態(tài)測試的裝配式簡支梁橋等效荷載試驗(yàn)方法。其基本流程為：（1）實(shí)測橋梁在環(huán)境激勵(lì)下振動(dòng)信號，識別橋梁結(jié)構(gòu)的實(shí)際模態(tài)參數(shù)；（2）結(jié)合有限元模型對實(shí)測振型進(jìn)行質(zhì)量歸一化，計(jì)算橋梁的位移柔度矩陣；（3）根據(jù)規(guī)范設(shè)計(jì)靜載試驗(yàn)方案，由加載效率確定靜載試驗(yàn)的等效荷載，進(jìn)而預(yù)測裝配式簡支空心板梁橋在等效荷載作用下的模態(tài)撓度；（4）將模態(tài)撓度代替靜載試驗(yàn)的實(shí)測撓度，計(jì)算撓度校驗(yàn)系數(shù)，應(yīng)用于在役橋梁的承載能力評定中。

文中以一座跨徑為16 m 的裝配式簡支空心板梁橋?yàn)檠芯繉ο螅脤?shí)橋的模態(tài)測試結(jié)果，探討基于模態(tài)測試的裝配式簡支梁橋等效荷載試驗(yàn)方法的有效性和準(zhǔn)確性。

1 模態(tài)位移柔度計(jì)算方法

1.1 模態(tài)參數(shù)識別方法——隨機(jī)子空間法（SSI）

隨機(jī)子空間參數(shù)識別方法［10］是一種基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)參數(shù)識別的時(shí)域方法，可以將采集到的橋梁加速度時(shí)程響應(yīng)數(shù)據(jù)通過一定方式組成Hankel 矩陣，并建立線性的離散空間狀態(tài)方程，采用QR 分解、奇異值分解（SVD）、最小二乘法等識別結(jié)構(gòu)的離散空間狀態(tài)方程，最后利用特征值分解確定獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)［11］。在環(huán)境激勵(lì)條件下，線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)狀態(tài)空間方程的離散空間形式可表示為：

式中：xK表示離散時(shí)間的狀態(tài)向量；yK表示系統(tǒng)的輸出向量；A表示n×n階系統(tǒng)的離散狀態(tài)矩陣，n表示系統(tǒng)的階次；C表示輸出矩陣；ωk和υk分別表示系統(tǒng)過程噪聲和系統(tǒng)測量噪聲，二者平均值均假設(shè)為零，且二者互不相關(guān)。

SSI的主要目標(biāo)是對系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A和系統(tǒng)輸出矩陣C進(jìn)行求解，具體步驟如下：

（1）確定加速度時(shí)程響應(yīng)數(shù)據(jù)組成的系統(tǒng)Hankel矩陣。結(jié)構(gòu)在進(jìn)行環(huán)境激勵(lì)振動(dòng)測試時(shí)，選取所測結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵位置測點(diǎn)作為參考點(diǎn)，通過測點(diǎn)輸入yK，可以構(gòu)造Hankel矩陣H。

（2）定義投影矩陣pi并對投影矩陣進(jìn)行QR分解，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行縮減，并且保留原有數(shù)據(jù)的信息。

（3）對其投影按照奇異值進(jìn)行分解，并將結(jié)構(gòu)響應(yīng)的輸出yk通過結(jié)合卡爾曼濾波理論來確定狀態(tài)向量，采用最小二乘法計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)矩陣及輸出矩陣C。

（4）對系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A進(jìn)行特征值分解，進(jìn)而得到原連續(xù)系統(tǒng)的特征值和特征向量，最終求得結(jié)構(gòu)的頻率、阻尼比及振型。

1.2 位移柔度矩陣計(jì)算方法

1.2.1 模態(tài)位移柔度概念

剛度是結(jié)構(gòu)最重要的力學(xué)特性，是結(jié)構(gòu)在荷載作用下發(fā)生位移變形的內(nèi)在力學(xué)本質(zhì)，柔度矩陣是剛度矩陣的逆矩陣，是表示在單位荷載下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的變形值。通過模態(tài)振動(dòng)測試試驗(yàn)和模態(tài)分析方法得到的柔度稱為模態(tài)柔度［12］。

1.2.2 實(shí)模態(tài)系統(tǒng)頻響函數(shù)

實(shí)模態(tài)系統(tǒng)［13］為比例阻尼系統(tǒng)，依據(jù)振型的正交性［14］有：

式中：φ為位移振型矩陣，φ=[φ1φ2φ3...φi，φi]為對應(yīng)的第i階振型列向量。

在位移振型矩陣方陣且滿秩的情況下，由式（3）、式（4）和式（5）可解出M，C，K分別為：

將M，C，K代入位移頻響函數(shù)矩陣的定義式[Hd(ω)]=(-ω2M+jωC+K-1)-1可得出：

1.2.3 由位移頻響函數(shù)計(jì)算位移柔度

從環(huán)境激勵(lì)下得到的位移振型與真實(shí)振型（即質(zhì)量歸一化振型）存在一定的比例關(guān)系，假設(shè)每一階振型與質(zhì)量歸一化振型的關(guān)系為：

模態(tài)特征值分析計(jì)算的或進(jìn)行模態(tài)分析識別的某階位移振型φi不一定剛好就是歸一化振型。

那么由式（10）、式（11）和式（12），導(dǎo)出質(zhì)量歸一化系數(shù)為：

在1.2.2小節(jié)中，通過實(shí)模態(tài)理論中給出的位移頻響函數(shù)矩陣定義式，令頻率變量ω=0，則：

式中：d表示該參數(shù)為位移相關(guān)變量。

上述式（16）是多階模態(tài)參數(shù)的疊加，與固有頻率的平方成反比的關(guān)系，隨著模態(tài)階次的提高，固有頻率將會(huì)變大，高階模態(tài)參數(shù)對位移柔度矩陣貢獻(xiàn)將顯著減小。因此，只需利用豎向低階模態(tài)參數(shù)計(jì)算位移柔度矩陣，即可滿足工程精度要求。

2 裝配式簡支空心梁橋模態(tài)測試及位移柔度識別

2.1 試驗(yàn)梁概況

以某段高速公路上具有代表性的16 m裝配式簡支空心梁橋?yàn)檠芯繉ο?，研究評估不中斷交通運(yùn)營狀況下橋梁的剛度。該簡支梁空心板橋初始設(shè)計(jì)荷載為汽車-超20，掛車-120。空心板主梁高0.7 m，混凝土找平層為0.16 m，混凝土找平層與主梁有鋼筋連接，共同參與承受來自車輛荷載的作用力。橋梁的半立面圖如圖1所示。

圖1 半16 m立面圖（單位：cm）Fig.1 Half 16 m elevation view（Unit：cm）

由5片單梁組成的裝配式簡支空心板梁橋截面尺寸如圖2所示。5片單梁組成的裝配式簡支空心板梁橋立面圖如圖3所示。

圖2 主梁截面尺寸（單位：mm）Fig.2 Main beam section size（Unit：mm）

圖3 裝配式簡支空心板梁橋立面圖Fig.3 Elevation view of fabricated simply supported hollow slab girder bridge

2.2 有限元模型的建立

對某高速公路改擴(kuò)建工程的簡支空心板梁橋進(jìn)行切割，獲取5片16 m單梁，將5片主梁拆除拖運(yùn)到試驗(yàn)室，梁體安裝就位后在鉸縫處灌注UHPC 材料使5 片梁在橫向連接為整體橋梁體系。收集簡支空心板梁橋的資料，利用橋梁施工圖紙建立有限元模型。在ANSYS中利用梁格法建立模型，選取beam4、beam44和combin14 單元建立跨度為15.8 m、寬5.8 m 的裝配式簡支空心板梁橋的初始有限元模型。在ANSYS 建模過程中，主梁采用beam4，5片主梁橫向連接采用beam44單元，以此來建立虛擬橫梁，模擬橫向剛度。虛擬橫梁和主梁是相同的材料，且具有共同的截面屬性，將虛擬橫梁密度設(shè)為0，通過耦合其節(jié)點(diǎn)自由度來模擬鉸縫。橋梁支座采用combin14 單元。橋梁的單梁單元?jiǎng)澐譃?.4×11+0.03+299×0.05+0.03+0.05×7=15.8 m，有限元模型如圖4所示。

圖4 裝配式簡支空心板梁橋有限元模型Fig.4 Finite element model of fabricated simply supported hollow slab beam

在ANSYS 軟件中對有限元模型進(jìn)行理論模態(tài)分析，獲得理論計(jì)算頻率與振型，有限元模型理論前四階頻率如表1所示，理論前四階振型如圖5所示。

表1 前四階理論頻率Table 1 The first four-order theoretical frequency

圖5 前四階理論計(jì)算振型Fig.5 The first four-order theoretical calculation mode

2.3 實(shí)測橋梁頻率與振型

采用環(huán)境振動(dòng)測試方法［15］獲得加速度時(shí)程響應(yīng)數(shù)據(jù)，環(huán)境振動(dòng)測試數(shù)據(jù)可輸出結(jié)構(gòu)的基本模態(tài)參數(shù)（如頻率、阻尼、振型等）［16］。

通過在裝配式簡支空心板梁橋上布置加速度測點(diǎn)，來獲得加速度時(shí)程響應(yīng)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)采集使用的加速度傳感器型號為BY-S07。加速度傳感器的位置布置如圖6，圖6 中從下至上依次為1～5片梁，在實(shí)橋上共有45個(gè)測點(diǎn)，限于傳感器的數(shù)量，5 片梁分5 次采集，故需設(shè)置固定參考點(diǎn)，參考點(diǎn)設(shè)置在1 號梁上，采用?標(biāo)注，其余測點(diǎn)采用⊕標(biāo)注。橋面放置好加速度傳感器后，查找機(jī)箱，調(diào)靈敏度，平衡清零，而后進(jìn)行加速度響應(yīng)時(shí)程數(shù)據(jù)的采集，采樣頻率600 Hz，采集時(shí)長為25～30 min，足夠充分準(zhǔn)確地獲取橋梁模態(tài)信息。

圖6 裝配式簡支空心板梁橋加速度傳感器布置圖（單位：m）Fig.6 Layout of acceleration sensor for fabricated simply supported hollow slab girder bridge（Unit：m）

1號、3號梁跨中測點(diǎn)典型加速度時(shí)程曲線如圖7、圖8所示。

圖7 1號梁跨中加速度時(shí)程Fig.7 Acceleration time history of No.1 beam mid-span

圖8 3號梁跨中加速度時(shí)程Fig.8 Acceleration time history of No.3 beam mid-span

應(yīng)用SSI模態(tài)識別方法，由環(huán)境激勵(lì)下橋梁的實(shí)測加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)識別獲得橋梁的前四階頻率與振型，獲得橋梁的前四階頻率如表2。結(jié)合理論前四階計(jì)算頻率，可看出實(shí)測橋梁頻率與理論計(jì)算頻率較為接近，模態(tài)識別結(jié)果較準(zhǔn)確。

表2 橋梁實(shí)測頻率Table 2 Bridge measured frequency table

識別的前四階位移振型如圖9所示。

圖9 橋梁前四階實(shí)測振型圖Fig.9 Measured vibration shape diagram of the first four orders

結(jié)合模態(tài)振型識別結(jié)果與其對應(yīng)的模型理論振型結(jié)果計(jì)算MAC值，MAC越接近于1表示2個(gè)模態(tài)振型的相關(guān)度高，即表示模態(tài)識別結(jié)果越好。MAC 值計(jì)算結(jié)果如表3所示。

從表3可以看出前四階MAC 值均大于0.92，說明模態(tài)識別結(jié)果與有限元模型理論振型吻合度較高。

表3 模態(tài)振型MAC值Table 3 Mode shape MAC value

由于是對該16 m 跨徑空心板梁橋分5 組進(jìn)行的模態(tài)測試試驗(yàn)，高階實(shí)測振型識別較為困難，精度較差。原因在于模態(tài)測試試驗(yàn)在室內(nèi)試驗(yàn)室完成，僅由地脈動(dòng)等環(huán)境因素激振橋梁，激振能量較小，難以獲得高階實(shí)測振型。

2.4 實(shí)測位移柔度矩陣

由于在實(shí)際工程中橋梁的劣化損傷對橋梁質(zhì)量的影響很小，可以近似地采用原設(shè)計(jì)橋梁的模態(tài)質(zhì)量代替損傷橋梁的模態(tài)質(zhì)量［17］。得到實(shí)測橋梁的頻率與振型后，可計(jì)算得到位移柔度矩陣［18-19］。通過實(shí)測獲得橋梁的頻率與振型，對實(shí)測振型進(jìn)行振型質(zhì)量歸一化，利用式（13）計(jì)算出質(zhì)量歸一化系數(shù)γi和質(zhì)量歸一化振型{φi}。計(jì)算出的前四階質(zhì)量歸一化系數(shù)分別為4.425×10-4、5.633×10-4、3.50×10-4、4.782×10-4。計(jì)算獲得質(zhì)量歸一化振型后，利用式（16）計(jì)算得到實(shí)測位移柔度矩陣三維圖如圖10所示。

圖10 實(shí)測位移柔度矩陣三維圖Fig.10 Three-dimensional diagram of the measured displacement compliance matrix

3 橋梁等效荷載試驗(yàn)方法

3.1 實(shí)測柔度預(yù)測橋梁實(shí)際撓度計(jì)算方法

前面第2.4節(jié)中，已計(jì)算出實(shí)測位移柔度矩陣，那么如何對橋梁結(jié)構(gòu)的位移進(jìn)行預(yù)測？在保證橋梁結(jié)構(gòu)安全的前提下，首先，在裝配式簡支空心板梁橋上進(jìn)行均勻荷載面等效加載，即在測點(diǎn)上添加分散集中力。施加荷載后預(yù)測橋梁結(jié)構(gòu)的靜態(tài)位移。

由識別的位移柔度矩陣和已知的荷載向量，預(yù)測橋梁撓度計(jì)算公式如下：

3.2 等效荷載計(jì)算

橋梁設(shè)計(jì)撓度是橋梁在設(shè)計(jì)過程中采用的公路-I級荷載作用下的橋梁撓度。其撓度排除自重產(chǎn)生，只計(jì)算在公路-I級荷載下產(chǎn)生的撓度。橋梁設(shè)計(jì)撓度采用Midas計(jì)算，利用Midas建立橋梁模型，Midas橋梁模型如圖11所示。

圖11 有限元空心板梁模型Fig.11 Finite element hollow slab beam model

依據(jù)《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》（JTG3362-2018）規(guī)定的設(shè)計(jì)荷載計(jì)算設(shè)計(jì)撓度，在裝配式簡支空心板梁橋加上公路-I級荷載，利用影響線，將車輛荷載作用在最不利位置，然后計(jì)算橋梁在車輛荷載的作用下的最大撓度，即為橋梁設(shè)計(jì)撓度。通過計(jì)算所得各片主梁的跨中撓度為4.22 mm（中梁）、4.18 mm（次中梁）、4.15 mm（邊梁）。

根據(jù)《公路橋梁荷載試驗(yàn)規(guī)程》的規(guī)定，加載效率ηq計(jì)算公式如下：

式中：Ss為靜力荷載試驗(yàn)作用下，某以加載試驗(yàn)項(xiàng)目對應(yīng)的加載控制截面內(nèi)力、應(yīng)力或變位的最大計(jì)算效應(yīng)值；S'為控制荷載產(chǎn)生的同一加載控制截面內(nèi)力或位移的最不利效應(yīng)設(shè)計(jì)值；μ為按規(guī)范取定的沖擊系數(shù)值。

經(jīng)過試算，測點(diǎn)相對應(yīng)的等效荷載為每個(gè)測點(diǎn)施加19.0 kN 的集中力等效荷載下跨中最大撓度是4.10 mm，而橋梁設(shè)計(jì)撓度依據(jù)有限元模型計(jì)算值為4.22 mm，得出裝配式簡支空心板梁橋的靜載試驗(yàn)荷載效率為0.96，荷載試驗(yàn)規(guī)范對于舊橋加載效率規(guī)定的范圍是0.95～1.05，滿足規(guī)范的要求，此處忽略沖擊系數(shù)值，因?yàn)椴捎玫刃ъo力荷載，沒有汽車的沖擊力作用。

3.3 裝配式簡支空心板梁剛度評估

撓度校驗(yàn)系數(shù)是指橋梁檢定試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)（應(yīng)力、撓度）與理論計(jì)算值（應(yīng)力、撓度）之比，其可用η表示，計(jì)算公式如下：

式中：Se為試驗(yàn)荷載作用下主要測點(diǎn)的實(shí)測彈性變位值；Ss為試驗(yàn)荷載作用下主要測點(diǎn)的理論計(jì)算變位值。若校驗(yàn)系數(shù)滿足規(guī)范規(guī)定，則說明橋梁承載力滿足設(shè)計(jì)要求。

控制截面5 片梁的撓度校驗(yàn)系數(shù)如表4 所示，5 片梁的撓度校驗(yàn)系數(shù)均小于1，故16 m 裝配式空心板梁橋承載剛度滿足要求。實(shí)測跨中最大撓度為3.56 mm，為第4 片板梁的跨中豎向撓度，說明第4 片板梁劣化最嚴(yán)重，其承載狀況最差。根據(jù)《公路橋梁承載能力檢測評定規(guī)程》由式（5）計(jì)算橋梁撓度校驗(yàn)系數(shù)是0.87，滿足規(guī)范0.7～1.0之間的要求，通過環(huán)境激勵(lì)下的前四階模態(tài)參數(shù)獲得實(shí)測模態(tài)撓度，并計(jì)算5片梁撓度校驗(yàn)系數(shù)，5片梁均滿足承載要求，故此裝配式簡支空心板梁橋的承載剛度滿足設(shè)計(jì)要求。等效集中荷載組成的均勻荷載面加載下裝配式簡支梁橋理論撓度和模態(tài)撓度如圖12所示。

圖12 理論撓度與模態(tài)撓度Fig.12 Theoretical deflection and modal deflection

表4 撓度校驗(yàn)系數(shù)Table 4 Deflection calibration coefficient

從圖12可以看出，通過有限元模型計(jì)算的理論撓度與模態(tài)撓度比較，還具有一定的誤差，主要原因在于測試信號的精度和模態(tài)分析中的試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)識別的精度，需采用高精度傳感器和其他辦法來提高精度。因此，基于模態(tài)測試的等效荷載試驗(yàn)方法可以獲得準(zhǔn)確的實(shí)測撓度值，無需長時(shí)間中斷交通，可實(shí)現(xiàn)對橋梁進(jìn)行承載剛度評估。

4 結(jié)論

（1）基于模態(tài)測試的等效荷載試驗(yàn)方法能夠方便快捷地評估橋梁承載能力，實(shí)測位移柔度矩陣對于振型階數(shù)具有快速收斂性，低階的豎向模態(tài)振型對于柔度矩陣貢獻(xiàn)較大，只需測試橋梁的低階豎向模態(tài)即可獲得簡支梁橋較為準(zhǔn)確的模態(tài)撓度。

（2）均勻荷載面加載得到的實(shí)測撓度與理論設(shè)計(jì)撓度之間的比值為橋梁等效荷載試驗(yàn)的撓度校驗(yàn)系數(shù)，可以結(jié)合現(xiàn)行規(guī)范評定實(shí)際橋梁的剛度狀況。經(jīng)實(shí)際測試和計(jì)算評估，5 片梁撓度校驗(yàn)系數(shù)均小于0.87，滿足規(guī)范要求，故文中裝配式空心板橋的剛度滿足設(shè)計(jì)要求。

（3）文中的基于模態(tài)測試的裝配式橋梁等效荷載試驗(yàn)方法，利用實(shí)測振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行快速荷載試驗(yàn)方法研究，測試識別精度滿足規(guī)范要求，此方法無需長時(shí)間中斷交通和大噸位加載車，具有經(jīng)濟(jì)方便、簡單快捷的特點(diǎn)，在橋梁荷載試驗(yàn)評定的實(shí)際工程中具有廣闊的應(yīng)用前景。