地鐵隧道圍巖簡(jiǎn)化模型研究

劉 俊 劉俊媛 車輪飛 徐新華

（1.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司 武漢 430064；2.華中科技大學(xué)建筑環(huán)境與能源應(yīng)用工程系 武漢 430074）

0 引言

地鐵隧道一般淺埋在土壤變溫層中，有著獨(dú)特的熱特性，在傳熱過程、傳熱范圍、邊界條件等方面都與其他的結(jié)構(gòu)傳熱，如巷道圍巖的傳熱[1,2]、埋地管道傳熱[3-6]等不一樣。長(zhǎng)期來看，地鐵隧道圍巖傳熱可能改變地下土壤溫度，影響地鐵系統(tǒng)的遠(yuǎn)期運(yùn)營(yíng)環(huán)境，威脅地鐵的穩(wěn)定運(yùn)行[7]。因此研究地鐵隧道圍巖傳熱非常有必要。在地鐵隧道傳熱方面，部分學(xué)者建立利用數(shù)值模擬研究隧道圍巖傳熱。胡文斌[8]建立CFD 地鐵隧道模型對(duì)活塞風(fēng)進(jìn)行模擬，分析了隧道區(qū)間的熱平衡情況并估算了圍巖傳熱散熱量，提出了變風(fēng)量通風(fēng)的優(yōu)化方案。鄧昌黎[9]基于BIM 技術(shù)搭建車站隧道模型進(jìn)行數(shù)值模擬，在模擬隧道圍巖溫度場(chǎng)遠(yuǎn)期分布時(shí)，分別采用周期性變化的空氣溫度場(chǎng)和周期性通過的列車熱源兩種邊界條件，模擬結(jié)果比較接近。胡增輝[10]利用FLAC3D 模擬隧道圍巖傳熱，研究了某區(qū)間隧道斷面圍巖傳熱能力與溫度場(chǎng)的演化規(guī)律。于連廣等[11]建立地鐵土壤溫度預(yù)測(cè)模型，利用有限差分法進(jìn)行數(shù)值模擬，利用高頻熱擾觀察模型的溫度熱響應(yīng)，結(jié)果表明高頻熱擾對(duì)隧道空間的溫度影響很大，但是對(duì)土壤內(nèi)部溫度的分布影響有限。

有的學(xué)者從換熱器的角度研究地鐵隧道圍巖的傳熱。劉政軒[12]提出了一種基于U 型的垂直埋管土壤-空氣換熱器VEAHE（Vertical Earth-to-Air Heat Exchanger,VEAHE）系統(tǒng)，該數(shù)學(xué)模型考慮了垂直方向土壤溫度及導(dǎo)熱系數(shù)的分層。Rotta等[13]將地下隧道視為地下熱交換器，研究其熱能儲(chǔ)存潛力，表明利用地下結(jié)構(gòu)作為熱能儲(chǔ)存手段有希望建立可持續(xù)的能源系統(tǒng)。有的學(xué)者提出將毛細(xì)管換熱器作為熱泵前端取熱部分置于隧道襯砌內(nèi)，通過毛細(xì)管內(nèi)的循環(huán)介質(zhì)與隧道圍巖換熱[14]。該文獻(xiàn)進(jìn)一步采用數(shù)值模擬對(duì)毛細(xì)管換熱器在不同氣候類型下冬夏季的傳熱過程進(jìn)行分析。

劉伊江[15]對(duì)隧道周圍土壤熱沉積效應(yīng)機(jī)理及規(guī)律進(jìn)行研究，提出熱沉積作用的計(jì)算方法，表明熱沉積效應(yīng)主要影響因素為大氣與深層土壤的溫度差與以列車散熱為主的隧道內(nèi)熱源。還研究了土壤含水量對(duì)隧道圍巖傳熱的影響[16]，結(jié)果表明土壤含水量對(duì)隧道周圍土壤熱物性以及蓄熱能力有顯著影響。上述研究都是采用地鐵隧道圍巖傳熱的相關(guān)內(nèi)容做了研究，建立不同的模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算以及簡(jiǎn)化為不同的換熱器模型等。但在現(xiàn)有的研究隧道土壤傳熱的方法上，進(jìn)行遠(yuǎn)期分析時(shí)往往需要的工作量大，效率低。本文建立一種簡(jiǎn)化模型，與常用熱濕軟件包結(jié)合可以大大增加實(shí)用性與提高計(jì)算效率。

1 地鐵隧道圍巖原型及簡(jiǎn)化

地鐵隧道主要分為區(qū)間隧道和車站隧道。地鐵區(qū)間隧道通常是指地鐵車站站點(diǎn)與站點(diǎn)之間的隧道，一般在同一軌道中隧道的結(jié)構(gòu)形式較為單一且長(zhǎng)度較長(zhǎng)。地鐵車站隧道通常指的是車站范圍部分包含的隧道，位于各個(gè)地鐵站點(diǎn)，長(zhǎng)度較短。本文區(qū)間隧道圍巖為研究對(duì)象，參考實(shí)際情況，取兩車站之間區(qū)間隧道長(zhǎng)度為1000m，隧道截面圖見圖1。

圖1 區(qū)間隧道截面Fig.1 Cross-section of the running tunnel

參考武漢某地鐵區(qū)間隧道實(shí)際尺寸，其隧道上壁面至地面的高度為13.1m，隧道直徑為5.2m，隧道中心至地面高度為15.7m。隧道圍巖側(cè)土壤物性參數(shù)如表1 所示[17]。

表1 土壤物性參數(shù)Table 1 Physical properties of the soil

實(shí)際情況下隧道內(nèi)部情況較為復(fù)雜，為方便建立簡(jiǎn)化熱網(wǎng)模型本節(jié)將進(jìn)行一些簡(jiǎn)化。視表1 中不同深度土壤物性參數(shù)在土樣一致時(shí)物性參數(shù)也保持一致性。將實(shí)際區(qū)間隧道斷面簡(jiǎn)化為半徑為2.6m的規(guī)則圓形，隧道壁面管片的尺寸相對(duì)于圍巖土壤尺寸小，采用粉土物性參數(shù)。

隧道圍巖物理模型如圖2 所示。通過恒溫層分析以及地鐵隧道表面熱響應(yīng)頻域特性分析，進(jìn)行模型尺度的選擇，結(jié)果表明以下尺寸的設(shè)定是合理的：隧道中心到地面參考實(shí)際物理模型的尺寸即15.7m，隧道中心至土壤底部尺寸、隧道中心離土壤模型左右兩端尺寸均為10m。在物理模型簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上，提出一種簡(jiǎn)化熱網(wǎng)模型（RC 模型），RC模型中只要確定其熱阻和熱容就可以得到其對(duì)應(yīng)傳熱系統(tǒng)的傳熱特性。

圖2 隧道圍巖物理模型Fig.2 Physical model of the tunnel surrounding rock

2 圍巖簡(jiǎn)化RC 模型與核心層參數(shù)確定

2.1 模型概述

簡(jiǎn)化物理模型按隧道頂和底為界限分為三個(gè)部分，分別命名為上結(jié)構(gòu)層、核心層、下結(jié)構(gòu)層。按此劃分方式建立RC 簡(jiǎn)化熱網(wǎng)模型，如圖3 所示。其中，Ttop為地面的溫度，Tpipe為隧道內(nèi)壁的內(nèi)表面溫度。R1~R9均為模型不同位置的土壤熱阻，C1~C6為對(duì)應(yīng)土壤熱容。對(duì)隧道所處核心層作進(jìn)一步簡(jiǎn)化，其中兩側(cè)土壤部分與中間隧道與其周邊土壤部分視為并聯(lián)關(guān)系，具體RC 階數(shù)劃分與并聯(lián)關(guān)系如圖3 中間段核心層所示。

圖3 簡(jiǎn)化RC 模型Fig.3 Simplified RC model

上結(jié)構(gòu)物理模型簡(jiǎn)化為3 階RC 模型。上結(jié)構(gòu)中總熱阻與熱容值計(jì)算如式（1）與（2）。

式中，L 為與傳熱方向相同的深度，m；λ 為土壤熱導(dǎo)率，W/(m·℃)；δ 為垂直傳熱方向的寬度，m；ρ為土壤密度，kg/m3；c 為熱容，kJ/(kg·℃)；V為面積，m2。在計(jì)算式中由于計(jì)算的是對(duì)應(yīng)部分的總熱阻值，所以需要考慮δ 的影響。

R、C 具體數(shù)值的計(jì)算需要對(duì)此部分進(jìn)行比例分割，為使地面溫度響應(yīng)更為準(zhǔn)確，進(jìn)行了參數(shù)的試算分析。靠近地面的部分劃分比例將遠(yuǎn)小于較深土壤部分，剩余R2、R3部分平分，令R1:R2:R3=1:350:350，則有C1:C2=1:700。該分配方式可獲得較理想計(jì)算結(jié)果。

下結(jié)構(gòu)其物理模型及該部分RC 結(jié)構(gòu)示意圖如圖3 所示。下結(jié)構(gòu)中總熱阻與熱容值計(jì)算如式（3）、（4）。

本層采用2R1C 形式的RC 結(jié)構(gòu)，考慮到土壤底部為絕熱，所以R7數(shù)值意義不大，將此部分熱阻絕大部分分給R6，R6取值為0.227℃/W，R7取值為0。

2.2 核心層參數(shù)確定方法

簡(jiǎn)化模型中隧道所在的層命名為核心層，該層的物理模型與RC 結(jié)構(gòu)示意圖分別如圖3 所示。核心層可分為兩個(gè)部分，其中a 部分代表圖中RC 模型中R4、R5、C4所組成的2R1C 結(jié)構(gòu)，b 部分代表其余2R2C 部分，a、b 兩部分為并聯(lián)關(guān)系。對(duì)b 部分寬度尺寸進(jìn)行試算，對(duì)b 部分不同尺寸模型的熱流響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行分析，比較選擇后取b 為厚度與寬度分別為5.4m 與8m 的二維矩形。

a 部分的參數(shù)計(jì)算較為簡(jiǎn)單，參考上文中上、下結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算方法，并劃分相應(yīng)比例。其中R4:R5的比例需要確定，嘗試采用不同的比例并將熱流結(jié)果與理論模型對(duì)比。結(jié)果表明R4:R5=1:10 時(shí)RC 模型計(jì)算結(jié)果與理論模型更加接近。R4取值0.019℃/W，R5取值0.194℃/W，C4計(jì)算結(jié)果為3.5×108J/℃。

將隧道周圍土壤分為左右相同的兩個(gè)部分，隧道空腔部分等效成中間面積相等的矩形空腔，如圖4 所示。R8+R9的總熱阻值可視為左右兩部分并聯(lián)值，由于面積相同，因此總熱阻值為單邊阻值的一半，總熱阻與熱容值計(jì)算如式（5）、（6）。

圖4 b 部分簡(jiǎn)化Fig.4 Simplification of Part b

上述只是給出了核心層中b 的熱阻熱容劃分與計(jì)算的一種方法（方法A）。本研究還采用另外兩種方法進(jìn)行簡(jiǎn)化，方法B 與方法C。方法B 將隧道周圍土壤分為上下兩個(gè)部分，隧道空腔部分等效成中間面積相等的矩形空腔。方法C 將隧道周圍土壤等效為圍繞在隧道周圍面積相同的圓環(huán)，隧道部分形狀域面積均不變。經(jīng)計(jì)算，利用不同的劃分方法，雖然土壤部分熱容均通過相同面積的等效方法沒有變化，但不同計(jì)算方法得到的R 值區(qū)別很大。方法B 計(jì)算出的熱阻值為0.163℃/W，方法C計(jì)算出的熱阻值為0.0536℃/W。

3 簡(jiǎn)化模型的頻域表示

在確定區(qū)間隧道簡(jiǎn)化RC 模型各部分參數(shù)后，可以得到系統(tǒng)在邊界條件下的節(jié)點(diǎn)溫度隨時(shí)間的變化，隧道圍巖模型各節(jié)點(diǎn)傳熱方程如（7）~（12）。當(dāng)系統(tǒng)處于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)溫度可以表示為頻域下的復(fù)指數(shù)形式，如式（13），通過拉普拉斯變換，節(jié)點(diǎn)傳熱方程組可表示為矩陣形式，如式（14）所示。

式中：Ri（i 取值1~9）為系統(tǒng)內(nèi)各部分熱阻，℃/W；Ci（i 取值1~6）系統(tǒng)內(nèi)各部分熱容，J/℃；Ti（i 取值1~7）為系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)溫度，℃；t 為時(shí)間，s；ω為頻率，s-1；u 為溫度實(shí)部；ν 為溫度虛部。

確定RC 模型各部分熱阻與熱容值之后，加載溫度外擾的邊界條件，通過式（14）矩陣計(jì)算求解即可獲得各溫度節(jié)點(diǎn)溫度諧波的實(shí)部與虛部即u和v，結(jié)合式（15）、（16），從而可以分析出整個(gè)系統(tǒng)在不同外擾作用下的頻域特性。

式中，Tt為時(shí)域節(jié)點(diǎn)溫度，℃；φ 為相角，rad；A 為幅值，℃。

4 簡(jiǎn)化模型驗(yàn)證

以相同物理模型為基準(zhǔn)建立頻域有限元模型作為基準(zhǔn)模型，頻域有限元模型與簡(jiǎn)化熱網(wǎng)模型所參考的物理模型與物性參數(shù)等具有一致性。因此可以利用頻域有限元模型的熱響應(yīng)為基準(zhǔn)，與RC 簡(jiǎn)化模型的熱響應(yīng)結(jié)果作對(duì)比。判定RC 簡(jiǎn)化模型準(zhǔn)確性的依據(jù)為：與頻域熱特性結(jié)果更為接近的計(jì)算結(jié)果視為更加可靠，即模型更加準(zhǔn)確。

4.1 頻域有限元模型介紹

有限元法是用離散模型來近似連續(xù)函數(shù)的一種系統(tǒng)方法。它將問題域離散成有限個(gè)節(jié)點(diǎn)和子域，不重疊的子域叫做有限單元，單元和單元通過節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接。利用有限元方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算一般會(huì)分為時(shí)域有限元和頻域有限元兩類。時(shí)域模型的模擬往往需要同時(shí)考慮到初始條件與模擬周期時(shí)間長(zhǎng)短的影響，頻域模型可以在不考慮初始條件的基礎(chǔ)上大大減少計(jì)算量，并且同時(shí)獲得周期性條件下的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)傳熱特性。

圖2 的隧道圍巖物理模型的傳熱過程可用二維傳熱偏微分方程如式（17）進(jìn)行描述。

式中，T 為求解域的溫度，℃；qv為內(nèi)熱源，取0；其他各參數(shù)如前所述。利用有限元法將二維模型離散成一系列網(wǎng)格，建立圍巖傳熱的離散模型，如圖5 所示。

圖5 隧道圍巖網(wǎng)格模型Fig.5 Meshing model of the tunnel surrounding rock

溫度場(chǎng)離散成若干個(gè)溫度節(jié)點(diǎn)T1、T2、T3…Tn（在簡(jiǎn)化模型中，也采用這樣的方式表示溫度節(jié)點(diǎn)，只是更為宏觀），并在計(jì)算域中對(duì)它們進(jìn)行逐 一偏導(dǎo)，可得矩陣形式，如式（18），簡(jiǎn)寫為式（19）。

其中，KD為總體剛度矩陣；ND為總體變溫矩陣；PD為總體溫度載荷向量或者熱流載荷向量。為總體溫度向量對(duì)時(shí)間TD的偏導(dǎo)。

當(dāng)不考慮系統(tǒng)的初始條件且只受到單一諧波熱擾的作用時(shí)，可認(rèn)為該系統(tǒng)處于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)，此時(shí)的系統(tǒng)溫度可以表示為頻域下的復(fù)指數(shù)形式，由實(shí)部與虛部共同組成，如式（15），式（16）。對(duì)方程（18）直接求解就可以得到在任意頻率ω下各個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻域溫度響應(yīng)（即各點(diǎn)頻率相同、振幅和相位不同的溫度諧波）。詳細(xì)細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)[18,19]。

4.2 簡(jiǎn)化模型驗(yàn)證

當(dāng)系統(tǒng)受到隧道熱擾作用時(shí)，采用三種計(jì)算方法得到的簡(jiǎn)化模型進(jìn)行熱流幅值的預(yù)測(cè)，同時(shí)采用基準(zhǔn)模型對(duì)熱流幅值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果對(duì)比如圖6 所示。當(dāng)系統(tǒng)受到地面熱擾作用時(shí)上述四種模型熱流幅值的對(duì)比圖如圖7 所示。由圖6 可以看出，三個(gè)簡(jiǎn)化模型與基準(zhǔn)模型均在低頻區(qū)擬合情況較好，但在高頻區(qū)表現(xiàn)出很大差異。方法A 的簡(jiǎn)化模型計(jì)算得到的熱流幅值與基準(zhǔn)模型的熱流幅值相差最小。在高頻區(qū)差異最大為方法C 的簡(jiǎn)化模型計(jì)算得到的幅值曲線，方法B 的簡(jiǎn)化模型次之。圖7（a）顯示三種方法獲得的簡(jiǎn)化模型與基準(zhǔn)模型均差別不大，表現(xiàn)出一致性。圖7（b）中，方法B 的簡(jiǎn)化模型計(jì)算所得幅值曲線，與基準(zhǔn)模型的幅值相差最大。方法A 的簡(jiǎn)化模型計(jì)算得到的幅值曲線與方法C 的簡(jiǎn)化模型計(jì)算得到的幅值曲線相差不大，在高頻區(qū)都偏離基準(zhǔn)模型的幅值曲線。

圖6 簡(jiǎn)化模型與理論模型在隧道熱擾下隧道與地面溫度熱響應(yīng)幅值Fig.6 Amplitudes of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the tunnel thermal disturbance

圖7 簡(jiǎn)化模型與理論模型在地面熱擾下隧道與地面溫度熱響應(yīng)幅值Fig.7 Amplitudes of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the ground surface thermal disturbance

三種方法計(jì)算得到的簡(jiǎn)化模型的相角與基準(zhǔn)模型的相角的對(duì)比如圖8、圖9 所示。三個(gè)簡(jiǎn)化模型在相角值上沒有表現(xiàn)出明顯的差異性，在整體上與基準(zhǔn)模型的相角接近。

圖8 簡(jiǎn)化模型與理論模型在隧道熱擾下隧道與地面溫度熱響應(yīng)相角Fig.8 Phase angles of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the tunnel thermal disturbance

圖9 簡(jiǎn)化模型與理論模型在地面熱擾下隧道與地面溫度熱響應(yīng)相角Fig.9 Phase angles of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the ground surface thermal disturbance

三種方法確定的簡(jiǎn)化模型計(jì)算出的相角相差不大，但幅值表現(xiàn)出較大的差別。采用熱流響應(yīng)結(jié)果中的熱流幅值進(jìn)行比較，選擇方法A 得到的簡(jiǎn)化模型?？偟膩碚f，通過方法A 計(jì)算得到的簡(jiǎn)化模型在計(jì)算得到的熱流響應(yīng)曲線上與基準(zhǔn)模型吻合較好?？梢哉J(rèn)為該模型在不同的外擾作用下得到的熱流響應(yīng)結(jié)果即熱流幅值與相角均表現(xiàn)出很好合理性，該模型可用于隧道圍巖傳熱的計(jì)算分析。

5 結(jié)論

本文以實(shí)際地鐵隧道物理模型為基礎(chǔ)建立了隧道圍巖簡(jiǎn)化RC 模型。確定模型中的RC 參數(shù)對(duì)模型的準(zhǔn)確性十分關(guān)鍵，本文對(duì)模型中上層結(jié)構(gòu)與下層結(jié)構(gòu)各個(gè)熱阻值的比例分配進(jìn)行了分析選取，對(duì)核心層的參數(shù)確定不同的方法進(jìn)行測(cè)算，其中采用方法A（即將隧道周圍土壤分為左右相同的兩個(gè)部分進(jìn)行并聯(lián)，隧道空腔部分等效成中間面積相等的矩形空腔）計(jì)算出的熱阻值最為合理。進(jìn)一步采用頻域有限元模型做為基準(zhǔn)模型，并采用特征外擾獲取基準(zhǔn)模型的頻域熱響應(yīng)特性。對(duì)簡(jiǎn)化模型方程組進(jìn)行拉普拉斯變換得到圍巖簡(jiǎn)化模型的頻域傳熱計(jì)算矩陣，進(jìn)一步獲得特征外擾下的頻域熱響應(yīng)特性。比較基準(zhǔn)模型的頻域熱響應(yīng)特性與簡(jiǎn)化模型的頻域熱響應(yīng)特性表明，采用方法A 獲取的簡(jiǎn)化模型的頻域熱特性與基準(zhǔn)模型的頻域熱特性中低頻區(qū)域（<10-4rad/s）吻合很好。