一種去除椒鹽噪聲的混合正則化模型

王佳佳，唐利明

（湖北民族大學(xué)，湖北 恩施 445000）

在圖像成像[1]、傳輸和儲(chǔ)存的過程中，圖像常常會(huì)受到外界的信息干擾，例如，在一些遙感圖像設(shè)備中，由于外界環(huán)境存在電磁干擾，往往會(huì)使得成像后的圖像含有一定程度的椒鹽噪聲，使得圖像質(zhì)量下降，導(dǎo)致后續(xù)圖像處理更加困難（對(duì)圖像的分析和理解造成較大干擾）。因此對(duì)于含有椒鹽噪聲的圖像進(jìn)行去噪處理是十分關(guān)鍵的。主要有以下幾種方法：基于濾波器、基于各向異性擴(kuò)散（P-M）方程和基于變分正則化的方法。其中，基于變分正則化的方法能有效地利用圖像的先驗(yàn)信息，具有很強(qiáng)的可解釋性。因此，在1992年，Rudin等[2-3]提出著名的全變分（Total Variation，TV）模型：該模型允許在超平面上重建不連續(xù)的圖像，且有較好的去除噪聲和保持邊緣的能力。缺點(diǎn)：①模型中正則項(xiàng)非光滑，不可導(dǎo)，導(dǎo)致模型求解困難；②重建的圖像有明顯的階梯效應(yīng)；③在去噪過程中紋理等細(xì)節(jié)信息常常被當(dāng)作噪聲過濾掉，導(dǎo)致圖像過模糊。為了克服上述問題，許多學(xué)者對(duì)TV正則項(xiàng)進(jìn)行了改進(jìn)，并提出了一些新的模型，例如：高階全變分模型、廣義全變分模型和分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型等。

Chan等[4]在2000年提出高階全變分（High-Order Total Variation，HOTV）模型，該模型通過在TV模型的歐拉-拉格朗日方程中加入一個(gè)非線性四階擴(kuò)散項(xiàng)，有效減少了塊偽影的數(shù)量，保持圖像的跳躍不連續(xù)性，但在去噪過程中會(huì)導(dǎo)致邊緣過模糊。隨后，You等[5]提出四階偏微分方程的去噪模型，該模型利用強(qiáng)度函數(shù)的拉普拉斯遞增函數(shù)構(gòu)成的泛函導(dǎo)出四階偏微分方程，能夠避免塊狀效應(yīng)，在去噪和保持邊緣之間取得較好的平衡。由于各向異性擴(kuò)散算法容易產(chǎn)生多個(gè)假邊緣，存在散斑現(xiàn)象。Bredies等[6]在此基礎(chǔ)上提出廣義全變分（Total Generalized Variation，TGV）模型，該模型引入函數(shù)u的高階導(dǎo)數(shù)，減少塊狀效應(yīng)，但在非平滑區(qū)域的邊緣附近存在假邊緣，即圖像過模糊現(xiàn)象。2007年，Bai等[7]提出分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散（Fractional-Order Total Variation，F(xiàn)OTV）模型，該模型通過定義圖像強(qiáng)度函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的遞增函數(shù)為損失函數(shù)，再采用折疊算法來消除跨越邊界的跳躍不連續(xù)，能夠較好地處理圖像的紋理細(xì)節(jié)信息，但復(fù)原后的圖像邊緣部分信息保留不完整。

本文基于全變分模型保持圖像邊緣的優(yōu)勢，以及分?jǐn)?shù)階全變分模型能夠抑制階梯效應(yīng)和保護(hù)圖像紋理細(xì)節(jié)信息的特點(diǎn)，將全變分正則化子和分?jǐn)?shù)階正則化子相結(jié)合，提出了一種去除椒鹽噪聲的混合正則化模型（A Hybrid Regularization Model，AHRM）。該模型克服了傳統(tǒng)的全變分模型存在階梯效應(yīng)和分?jǐn)?shù)階模型在去噪的同時(shí)過多損失邊緣信息的弱點(diǎn)，在有效去除圖像中椒鹽噪聲的同時(shí)，很好地保持圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)信息，減少階梯效應(yīng)。本文所提出的AHRM模型是基于變分框架的，因此ADMM可以有效地求解該模型。大量的數(shù)值結(jié)果表明，AHRM模型在圖像去噪方面都優(yōu)于其他經(jīng)典模型，本文模型較好地復(fù)原圖像紋理信息，保留圖像的不連續(xù)性和抑制塊偽影。

1 相關(guān)背景

1.1 基于L1范數(shù)的全變分模型

2005年，Chan等[3]人提出了基于L1范數(shù)的全變分圖像去噪模型。該模型正則化過程中對(duì)圖像特征對(duì)比的依賴小于對(duì)圖像形狀的依賴，可以有效保留圖像的不連續(xù)性和結(jié)構(gòu)，能夠較好地復(fù)原圖像的真實(shí)信息，其去除椒鹽噪聲的變分模型為

式中：u為待求圖像；f為噪聲圖像；?u為u的梯度算子；δ為權(quán)重參數(shù)。

基于L1范數(shù)的全變分模型在圖像去噪過程中能有效復(fù)原圖像的原有信息和保留圖像邊緣，更好分離圖像的高頻成分，如噪聲和紋理。缺點(diǎn)：①由于梯度算子僅能刻畫圖像水平和豎直方向的信息，使得該模型處理圖像局部結(jié)構(gòu)特征時(shí)缺乏自適應(yīng)性；②該模型將圖像正則為分段常值函數(shù)，從而導(dǎo)致“階梯”現(xiàn)象。

1.2 分?jǐn)?shù)階全變分模型

由于TV模型在圖像復(fù)原過程中會(huì)存在階梯效應(yīng)，基于此，Bai等[7-10]在2007年提出分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散的圖像去噪模型。

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義為

則離散的分?jǐn)?shù)階全變分定義為

離散分?jǐn)?shù)階梯度和散度滿足如下關(guān)系式

分?jǐn)?shù)階去除椒鹽噪聲的變分模型為

分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型有效保留圖像的重要紋理細(xì)節(jié)信息，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不僅非線性地保留了圖像光滑區(qū)域的輪廓特征，還保留了邊緣、紋理等高頻成分。缺點(diǎn)：①圖像的邊緣部分的信息不能很好地復(fù)原；②分?jǐn)?shù)階梯度算子需要大量的實(shí)驗(yàn)來確定最優(yōu)階數(shù)。

2 本文模型與算法

2.1 本文模型

本文基于FOTV正則化子和TV正則化子提出一種去除椒鹽噪聲的混合正則化模型為

2.2 模型求解

利用ADMM[11]算法對(duì)式（1）進(jìn)行求解，即利用該模型的可分結(jié)構(gòu)對(duì)該模型進(jìn)行分離變量求解，通過引入輔助變量ν，p，q，并將其轉(zhuǎn)化為下述約束優(yōu)化問題。

然后構(gòu)造增廣拉格朗日函數(shù)，可將式（2）的最小化轉(zhuǎn)化為下面的鞍點(diǎn)問題。即

式中：λ1，λ2，λ3為拉格朗日乘子；μ1，μ2，μ3為懲罰參數(shù)；<·，·>定義為內(nèi)積。進(jìn)一步得到

下面求解各個(gè)子問題。

（1）求解u-子問題，即求解下面方程

該問題為光滑凸優(yōu)化問題，對(duì)式（5）關(guān)于u求偏導(dǎo)可得

式中：F和F-1分別表示傅里葉變換及其逆變換，此處的矩陣除法、平方和絕對(duì)值都是按分量運(yùn)算的。

（2）求解ν-子問題，利用收縮算子給出ν-子問題的閉形解，即求解下面這個(gè)極小值問題

滿足收縮算法的條件，可得

（3）求解P-子問題，類似求解子問題ν。即求解下述極小值問題

滿足收縮算法的條件，有

（4）求解q-子問題，跟上式算法相同。即求解下述極小值問題

滿足收縮算法的條件，可得

對(duì)提出模型求解過程如下。

初始化階段：輸入初始圖像u0=f，設(shè)置參數(shù)的初始值為k=0；φ=0.6；α=1.6；β=0.7；μ1=0.4；μ2=0.3；μ3=0.4，最大迭代次數(shù)maxiter=800，迭代精度ε=10-6。

迭代循環(huán)過程如下。

Step1：初始化k=1，ε=10-6；

Step2：通過式（7）更新子問題中的uk；

Step3：通過式（9）更新子問題中的νk；

Step4：通過式（11）更新子問題中的pk；

Step5：通過式（13）更新子問題中的qk；

Step7：k=k+1。

終止：若迭代精度ε小于10-6或者迭代次數(shù)到達(dá)800則該算法終止，否則繼續(xù)上述迭代循環(huán)過程。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

實(shí)驗(yàn)在LAPTOP-RETV7IRD Aspire A515-516Intel（R）Core（TM）i5-7200U CPU?2.50 GHz 2.71 GHz RAM 4.0 G matlab2014a環(huán)境下進(jìn)行。使用matlab內(nèi)置函數(shù)“Imnoise”對(duì)圖像分別添加10%、30%、50%的椒鹽噪聲，再分別利用FOTV、HOTV、TV和本文模型（AHRM）4種模型對(duì)其去噪。本文利用圖像的峰值信噪比（Peak Singal to Noise Ratio，PSNR）和結(jié)構(gòu)相似性（Structual Similarity，SSIM）2個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)去噪后的圖像，二者值越大則說明去噪效果更好。本文選取的測試圖像結(jié)構(gòu)特征明顯、紋理信息豐富，如圖1所示，其中圖1（a）和圖1（b）為遙感圖像[12]。

圖1 測試圖像

4 AHRM模型在椒鹽噪聲為10%、30%、50%下的去噪效果

4.1 AHRM模型在椒鹽噪聲為10%下的去噪效果

為了驗(yàn)證所提模型的去噪能力，選取含有強(qiáng)度為10%椒鹽噪聲的圖像作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同圖像在強(qiáng)度為10%的椒鹽噪聲下去噪效果對(duì)比

在強(qiáng)度為10%的椒鹽噪聲下，TV對(duì)紋理信息的損失嚴(yán)重，窗戶、墻體及陽臺(tái)的信息存在一定程度的模糊，F(xiàn)OTV復(fù)原后的圖片邊緣信息損失嚴(yán)重，經(jīng)過HOTV復(fù)原后的圖片窗沿部分存在失真現(xiàn)象。而AHRM模型不存在邊緣過模糊，且能較好地復(fù)原圖像的紋理信息，窗戶、墻體及中間的樓輪廓更為清晰。由表1可知，F(xiàn)OTV復(fù)原后的圖像的PSNR值和SSIM值較低，AHRM復(fù)原后的圖像的PSNR值和SSIM值最高，其PSNR值和SSIM值分別高于TV 0.75 dB和0.04，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文模型的有效性。

表1 不同模型在強(qiáng)度為10%的椒鹽噪聲下去噪結(jié)果的PSNR和SSIM對(duì)比

4.2 AHRM模型在椒鹽噪聲為30%下的去噪效果

為了驗(yàn)證所提模型的去噪能力，選取含有強(qiáng)度為30%的椒鹽噪聲的圖像作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，與其他模型相比，AHRM的模型可以很好地保持圖像的結(jié)構(gòu)和邊緣，并產(chǎn)生令人滿意的去噪結(jié)果。FOTV及HOTV復(fù)原后的圖片，船體、船桿及湖面部分的失真較大，且邊緣部分存在一定的模糊，TV重建后圖像可以看到明顯的“階梯現(xiàn)象”。而AHRM對(duì)船體和船桿的復(fù)原效果最好，由表2可知，本文模型去噪后的PSNR值和SSIM值優(yōu)于其他模型，PSNR值和SSIM值分別高于FOTV 0.59 dB和0.04，由客觀指標(biāo)可以看出，AHRM有效抑制階梯效應(yīng)，保留圖像邊緣及較好地復(fù)原圖像紋理細(xì)節(jié)信息。

表2 不同模型在強(qiáng)度為30%的椒鹽噪聲下去噪結(jié)果的PSNR和SSIM對(duì)比

圖3 不同圖像在強(qiáng)度為30%的椒鹽噪聲下去噪效果對(duì)比

4.3 AHRM模型在椒鹽噪聲為50%下的去噪效果

為了驗(yàn)證所提模型的去噪能力，選取含有強(qiáng)度為50%的椒鹽噪聲的圖像作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由圖4對(duì)比可知，在強(qiáng)度為50%的椒鹽噪聲下，椒鹽噪聲對(duì)圖像的結(jié)構(gòu)破壞較為嚴(yán)重，如塔圖的塔頂及塔的輪廓邊緣部分信息被重建后依舊被破壞較為嚴(yán)重，且其整體視覺效果略差于強(qiáng)度為10%和30%的圖像。經(jīng)FOTV處理后塔的邊緣輪廓不清晰，經(jīng)HOTV復(fù)原的圖像可看出每層樓之間的分界部分不清晰且樓體邊緣過模糊，TV復(fù)原的圖像失真較大。AHRM可以更好地復(fù)原圖像紋理信息，分界部分更加清晰，邊界輪廓也復(fù)原得更好，同時(shí)由表3數(shù)據(jù)進(jìn)一步說明本文提出的AHRM模型具有更好的圖像復(fù)原性能。

表3 不同模型在強(qiáng)度為50%的椒鹽噪聲下去噪結(jié)果的PSNR和SSIM對(duì)比

圖4 不同圖像在強(qiáng)度為50%的椒鹽噪聲下去噪效果對(duì)比

4.4 AHRM模型在數(shù)據(jù)庫Set5和Set14下的去噪效果

由圖5、表4可知，本文模型對(duì)應(yīng)的平均PSNR值和SSIM值高于其他對(duì)比模型，說明了本文模型的去噪效果和去噪后的圖像結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)保留普遍優(yōu)于其他對(duì)比模型，驗(yàn)證了本文模型具有更好的圖像復(fù)原性能。

表4 不同數(shù)據(jù)庫在含不同強(qiáng)度的椒鹽噪聲下去噪結(jié)果的平均PSNR值和SSIM值對(duì)比

圖5 對(duì)含不同強(qiáng)度的椒鹽噪聲圖像的4種去噪方法的PSNR比較

5 結(jié)論

本文提出了一種去除椒鹽噪聲的混合正則化模型，該模型能夠沿特征方向?qū)D像進(jìn)行擴(kuò)散，同時(shí)較好地保留了圖像的紋理細(xì)節(jié)、不連續(xù)性和結(jié)構(gòu)，平滑區(qū)域與TV模型不同，AHRM模型不存在邊緣附近的假邊緣，且抑制階梯效應(yīng)，有效保留圖像的結(jié)構(gòu)和紋理信息。