基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)與奇異值分解的振動源數(shù)估計方法

劉維新，葉超

(中國工程物理研究院，機械制造工藝研究所，四川綿陽 621900)

0 前言

轉(zhuǎn)輪模塊是某大型光學實驗裝置空間濾波器的核心部件，對裝置實現(xiàn)預(yù)定功能具有重要作用，其可靠性問題備受關(guān)注。轉(zhuǎn)輪模塊由電機、減速器、聯(lián)軸器、圓光柵、轉(zhuǎn)輪等部件組成，運行在真空環(huán)境中，對可靠性的要求極高。

本文作者在某大型光學實驗裝置部件可靠性實驗時發(fā)現(xiàn)，由于機械結(jié)構(gòu)緊湊、低速重載、工況轉(zhuǎn)換頻繁、沖擊頻率高，轉(zhuǎn)輪模塊中的行星減速器是其主要故障源，是影響裝置可靠性的關(guān)鍵因素。

目前，行星減速器故障診斷領(lǐng)域已有較多學者取得良好的研究成果，但大多針對均勻載荷和伺服電機驅(qū)動下的減速器，對非均勻載荷和步進電機驅(qū)動下的行星減速器的研究較少。由于振動傳感器只能布置在行星減速器箱體外，行星減速箱內(nèi)一系列激勵源產(chǎn)生的振動響應(yīng)與干擾、噪聲等耦合在一起，振動傳感器測量得到的是統(tǒng)計意義上的耦合源信號，很難直接測量得到單一振動激勵源。非均勻載荷和步進電機推力輸出特性造成的干擾與轉(zhuǎn)輪模塊行星減速器故障特征耦合在一起難以剝離，實現(xiàn)振動監(jiān)測信號內(nèi)激勵源(振源)與外激勵源(干擾)的盲源分離，是實現(xiàn)行星減速器故障檢測與辨識的重要前提。

傳統(tǒng)盲源分離中，為計算簡單，一般假設(shè)源的數(shù)量等于觀測傳感器數(shù)，則混合/解耦矩陣是方陣，容易估計。然而，在文中研究對象轉(zhuǎn)輪模塊行星減速器中，這種假設(shè)無法成立，因為受安裝位置和空間限制，傳感器數(shù)量只能是有限的，而源的數(shù)量很容易超過傳感器數(shù)量。

為實現(xiàn)轉(zhuǎn)輪模塊行星減速器振動監(jiān)測信號盲源分離，需準確估計內(nèi)部激勵振源數(shù)。針對振動傳感器數(shù)小于本底振源數(shù)的源數(shù)估計問題，本文作者提出一種基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)的虛擬通道擴展方法。通過經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解得到的固有模態(tài)函數(shù)構(gòu)建振動信號觀測矩陣，以擴充振動傳感器觀測通道數(shù)量。針對奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)特征矩陣中噪聲和數(shù)據(jù)觀測誤差以及不確定性導(dǎo)致的源數(shù)估計不準確問題，提出一種基于類內(nèi)散度與類間距離比值優(yōu)化的聚類分析方法。通過對奇異值分解后特征值矩陣中對角線特征值的聚類分析，獲得盲源數(shù)估計結(jié)果。通過仿真實驗和模擬實驗，驗證文中所提振源數(shù)估計方法的有效性。

1 基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的虛擬通道擴展方法

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解能夠把復(fù)雜信號分解為一系列內(nèi)稟函數(shù)(Intrinsic Mode Function,IMF)之和，每個IMF分量代表原信號的一個固有信號模態(tài)，且包含了不同的特征時間尺度，讓原信號特征以不同的分辨率表現(xiàn)出來。由于每個IMF所包含的頻率成分不僅與采樣頻率有關(guān)，還隨著信號的變化而變化，所以EMD方法是一種自適應(yīng)的信號處理方法，適用于時變、非平穩(wěn)信號分解。

本文作者分析轉(zhuǎn)輪模塊振動監(jiān)測系統(tǒng)的特點和振動機制，分別選取行星減速器2個振動傳感器監(jiān)測信號的前5個IMF，將原有的2個振動觀測通道擴展為10個振動觀測通道。

虛擬通道擴展方法具體實現(xiàn)過程如下：

(1)采集轉(zhuǎn)輪模塊行星減速器箱體表面振動信號()；

(2)辨識信號()上所有局部極大值和極小值點，用三次樣條曲線分別連接所有局部極大值點和極小值點，形成上下包絡(luò)線；

(3)計算上下包絡(luò)線的均值，然后計算=()-，并按條件1、條件2判斷是否滿足IMF的條件，若滿足則為振動信號()的1個IMF分量；

條件1：具有相同數(shù)量的極值點和過零點，或最多相差一個；

條件2：任意時刻極大值和極小值的包絡(luò)線關(guān)于時間軸局部對稱，平均值為0；

(4)若不滿足IMF的條件，則將作為原始數(shù)據(jù)，重復(fù)步驟(1)—(3)次，直到1滿足IMF的條件，記為=1，為振動信號()的1個IMF分量；

(5)將IMF分量從振動信號()中分離出來，得到=()-，將作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)步驟(1)—(4)，重復(fù)循環(huán)次，得到個IMF分量，即得到=-;…;=-1-；

(7)選取1路振動傳感器經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解后的前5個IMF，構(gòu)建該路傳感器新的5路虛擬通道觀測矩陣；

(8)循環(huán)結(jié)束。

在經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解過程中，原振動信號()相鄰2個極大值點或極小值點之間的時間跨度被稱為時間特征尺度，反映的是振動信號不同模態(tài)的局部振動特性。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解過程就是按照特征時間尺度從小到大的順序依次分離各IMF，包含原振動信號從高到低不同頻率段的振動成分，也可以把經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法理解為是一組濾波器。

2 基于奇異值分解的盲源數(shù)估計方法

轉(zhuǎn)輪模塊行星減速器可視為一個多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)。行星減速器中個振源(=1,…,)作為MIMO系統(tǒng)的輸入，經(jīng)過從源到觀測的頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)矩陣={}(=1,…,;=1,…,)的作用，在振動傳感器處混合形成系統(tǒng)輸出(=1,…,)。各源分量之間可能相關(guān)也可能不相關(guān)。

由譜分析理論，個振源的自譜和互譜可構(gòu)成一個×的譜矩陣，譜矩陣的線性無關(guān)行(列)的數(shù)目，即矩陣的秩，即為振動源中的不相關(guān)源數(shù)。譜矩陣通常不可能直接觀測，它與傳感器觀測矩陣的關(guān)系為=。由線性代數(shù)相關(guān)定理可知，如果的秩rank()=,則rank()≥rank()，工程應(yīng)用中可近似認為rank()=rank()，其中：和分別對應(yīng)和的頻率響應(yīng)矩陣。因此,工程中可以利用傳感器觀測信號的譜矩陣的秩估計不相關(guān)振源數(shù)。

奇異值分解是一種對矩陣的正交化分解方法，是一種數(shù)值穩(wěn)定的矩陣求秩方法。一個×矩陣的SVD表達為=，其中：是一個由矩陣的正交特征向量組成的×對角矩陣；是一個由矩陣的奇異值組成的×對角矩陣;是一個由矩陣的正交特征向量組成的×矩陣。

理論上，譜矩陣經(jīng)過奇異值分解后，非零的奇異值數(shù)目即為待求的秩。然而，對于實際采集的傳感器觀測數(shù)據(jù)，譜矩陣的奇異值大多不會出現(xiàn)為零的情況，原因是工程應(yīng)用中采集的傳感器觀測信號，由于有限數(shù)據(jù)采樣精度及奇異值分解計算的誤差累積效應(yīng)，觀測信號譜矩陣的獲得涉及對自譜和互譜密度的估計，導(dǎo)致奇異值分解的非零誤差。一般來說，由數(shù)模轉(zhuǎn)換引入的誤差占比較大。

通常，工程應(yīng)用中采集到的傳感器觀測信號奇異值分解后得到的奇異值呈現(xiàn)大小不等的兩端分布，其中較大的奇異值與待估計的振源有對應(yīng)關(guān)系。文獻[14]中建議采用閾值方法對不同奇異值進行分類，即設(shè)置一固定閾值，大于該閾值的值認為是有效的奇異值，對應(yīng)某一振源；小于該閾值的值認為是無效的奇異值，對應(yīng)誤差或噪聲。然而，實際應(yīng)用中，閾值的設(shè)定必須綜合考慮信號處理與參數(shù)估計誤差對譜矩陣奇異值分解的影響，而影響譜估計精度的參數(shù)和因素較多且相互間并無明確的函數(shù)關(guān)系，導(dǎo)致閾值的合理設(shè)定較為困難。

針對上述奇異值分解特征矩陣中噪聲和數(shù)據(jù)觀測誤差以及不確定性導(dǎo)致的源數(shù)估計不準確問題，提出一種基于類內(nèi)散度與類間距離比值優(yōu)化的聚類分析方法。通過對奇異值分解后特征值矩陣中對角線特征值的聚類分析，獲得振動源數(shù)估計結(jié)果。所提方法的實施流程如圖1所示。

圖1 所提振源數(shù)估計方法流程

所提振源數(shù)估計方法的具體實現(xiàn)過程如下：

(1)采集轉(zhuǎn)輪模塊減速箱箱體表面90°夾角布置的2個振動傳感器的振動信號()、()；

(2)采用第1節(jié)所述的基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的虛擬通道擴展方法，得到振動信號的固有模態(tài)；采用每個單獨振動信號的前5個固有模態(tài)擴展振動觀測信號矩陣；

(3)計算振動觀測信號矩陣中各固有模態(tài)的自/互相關(guān)系數(shù)，構(gòu)建自/互相關(guān)系數(shù)矩陣:

其中：IMF，IMF，代表原始振動信號的第個固有模態(tài)函數(shù)與第個固有模態(tài)函數(shù)的互相關(guān)系數(shù)，、取值范圍均為[1,2,3,4,5]。

(4)根據(jù)所構(gòu)建的自/互相關(guān)系數(shù)矩陣，分別計算矩陣和矩陣的特征值和特征向量;計算得到的矩陣的特征向量為矩陣奇異值分解的左奇異向量，計算得到的矩陣的特征向量為矩陣奇異值分解的右奇異向量，特征值組成的對角線矩陣為矩陣的奇異值矩陣，即=，rank()=10；

(5)以對角矩陣的10個對角線特征元素作為均值聚類的對象，基于類內(nèi)散度與類間距離的比值，即用DB指標來評價聚類效果，確定最優(yōu)聚類數(shù)；

(6)最優(yōu)聚類數(shù)減1(噪聲干擾形成的奇異值矩陣特征元素聚集為一類)即為振動信號盲源數(shù)估計結(jié)果。

3 仿真實驗驗證

為驗證文中所提振動信號盲源數(shù)估計方法的有效性，采用仿真實驗驗證盲源數(shù)估計結(jié)果是否正確。仿真信號的振源已知，便于評價算法的有效性。構(gòu)造仿真信號如下：

=sin(2π)+sin(2π)+sin(2π)+0.1

(1)

式中：=250；=100；=50;為隨機干擾，范圍為[0,1)。由式(1)可看出該仿真信號具有3個振源，其時域波形如圖2所示。

圖2 仿真信號時域波形

原仿真信號觀測傳感器數(shù)量為1，由盲源分離原理可知，最多只能估計出一個振動源。為準確估計振動源，采用文中第1節(jié)所述的基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的虛擬通道擴展方法，擴展傳感器觀測矩陣，得到仿真信號固有模態(tài)分解結(jié)果如圖3所示。

圖3中IMF8為殘余分量，IMF1～IMF7為仿真信號固有模態(tài)。采用這7個固有模態(tài)函數(shù)擴展原觀測傳感器通道，可擴展為7通道觀測信號。采用文中第2節(jié)所述的基于奇異值分解的源數(shù)估計方法，構(gòu)建自/互相關(guān)系數(shù)矩陣，然后對矩陣進行奇異值分解，得到奇異值矩陣。對奇異值矩陣的7個對角線特征值進行聚類分析，基于類內(nèi)散度與類間距離的比值來評價聚類效果，結(jié)果如圖4所示。

圖3 仿真信號經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解結(jié)果

由DB指標的定義可知，DB指標越小，聚類效果越好，但DB指標不應(yīng)為0。因此，由圖4可判斷仿真信號觀測矩陣7個奇異值特征最優(yōu)分類數(shù)為4，分類結(jié)果如圖5所示。

圖4 仿真信號DB指標聚類效果 圖5 仿真奇異值矩陣特征值聚類結(jié)果

由圖5可以看出：仿真信號奇異值矩陣對角線特征值聚類為4類；有3個聚類結(jié)果分別對應(yīng)不同的振動源，第4個聚類結(jié)果數(shù)值接近為0，對應(yīng)噪聲和數(shù)據(jù)觀測誤差等因素；文中方法振源辨識結(jié)果與仿真信號真實情況一致。結(jié)果表明：對于仿真信號，文中所提方法可有效實現(xiàn)振動源數(shù)盲估計。

4 故障模擬實驗對比驗證

為進一步驗證文中所提振源數(shù)估計方法的有效性，采用某大型科學裝置上的轉(zhuǎn)輪模塊原型樣機開展實驗驗證。轉(zhuǎn)輪模塊結(jié)構(gòu)與構(gòu)建的原型樣機狀態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)分別如圖6、圖7所示。

圖6 轉(zhuǎn)輪模塊結(jié)構(gòu)

圖7 轉(zhuǎn)輪模塊狀態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)

該監(jiān)測系統(tǒng)由轉(zhuǎn)輪模塊、8個振動傳感器、1臺DASP-V11振動信號采集分析儀組成。8個振動傳感器分別布置在前支撐軸承、后支撐軸承、行星減速器、步進電機上，其中，本文作者重點研究的行星減速器上呈90°夾角布置有2個振動傳感器。為獲取減速器故障狀態(tài)下的振動信號，通過在減速器太陽輪、行星輪表面進行加工的方式模擬減速器齒輪故障，并獲取對應(yīng)工況下的減速器振動監(jiān)測信號。實驗過程：轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)360°后反向往復(fù)運動，采樣頻率1 000 Hz。齒輪故障模擬效果如圖8所示。

圖8 一級行星輪崩齒故障模擬效果

以崩齒故障為例，驗證文中方法的有效性。一級行星齒輪崩齒故障振動信號監(jiān)測結(jié)果如圖9所示。

圖9 崩齒故障行星減速器振動監(jiān)測信號

行星減速器具有2個振動觀測傳感器，根據(jù)盲源分離原理分析，最多只能估計出2個振動源。為準確估計振動源，采用第1節(jié)所述的基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的虛擬通道擴展方法，擴展傳感器觀測矩陣。考慮到算法的復(fù)雜度和運算速度，選取每個振動傳感器監(jiān)測信號的前5個固有模態(tài)函數(shù)擴展觀測信號，結(jié)果如圖10所示。

圖10 崩齒故障振動信號經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解結(jié)果

采用垂向和橫向振動信號的前5個固有模態(tài)IMF1～IMF5擴展原觀測傳感器通道，可擴展為10通道觀測信號。采用文中第2節(jié)所述的基于奇異值分解的源數(shù)估計方法，得到奇異值矩陣。對奇異值矩陣的10個對角線特征值進行聚類分析，基于類內(nèi)散度與類間距離的比值評價聚類效果，結(jié)果如圖11所示。

由圖11可判斷仿真信號觀測矩陣10個奇異值特征最優(yōu)分類數(shù)為5，分類結(jié)果如圖12所示。

圖11 振動信號DB指標聚類效果 圖12 振動信號奇異值矩陣特征值聚類結(jié)果

由圖12可以看出：奇異值矩陣對角線特征值聚類為5類，其中5個聚類結(jié)果分別對應(yīng)不同的振動源，第5個聚類結(jié)果數(shù)值接近0，對應(yīng)噪聲和數(shù)據(jù)觀測誤差等因素，即文中方法估計轉(zhuǎn)輪模塊崩齒故障振動源有4個。而采用傳統(tǒng)的閾值方法處理奇異值矩陣對角線特征時，特征閾值如設(shè)為0.4，則小于0.4的對角線特征值都被歸類于噪聲和觀測誤差而不被認為是振動源。傳統(tǒng)方法振源估計結(jié)果為1，顯著不符合轉(zhuǎn)輪模塊的物理特性，并且該特征閾值只能人為估計，很難準確設(shè)定。結(jié)果表明，文中所提振動信號盲源數(shù)估計方法效果優(yōu)于傳統(tǒng)閾值方法。

5 結(jié)論

本文作者針對轉(zhuǎn)輪模塊行星減速器振動源數(shù)盲估計問題，提出一種基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解與奇異值分解相結(jié)合的振動信號盲源數(shù)估計方法。針對振動傳感器數(shù)小于本底振源數(shù)的源數(shù)估計問題，通過經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解得到的固有模態(tài)函數(shù)構(gòu)建振動信號觀測矩陣，以擴充振動傳感器觀測通道數(shù)量。針對奇異值分解特征矩陣中噪聲和數(shù)據(jù)觀測誤差以及不確定性導(dǎo)致的源數(shù)估計不準確問題，通過對奇異值分解后特征值矩陣中對角線特征值的聚類分析，獲得盲源數(shù)估計結(jié)果。通過仿真實驗和故障模擬實驗驗證所提方法的有效性。結(jié)果表明：利用傳統(tǒng)直接采用原始振動信號進行源數(shù)估計的方法只能計算得到2個振動源；傳統(tǒng)的基于閾值的奇異值分解方法難以準確估計振動源數(shù)；所提的基于虛擬通道擴展與奇異值分解相結(jié)合的方法可準確估計振動源數(shù)，效果優(yōu)于傳統(tǒng)方法。